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---

100%
1re et 2e années
ÉMILE AMZALLAG - JOSEPH CIPRIANI - JOCELYNE BEN AÏM - NORBERT PICCIOLI

LA PHYSIQUE EN FAC
Électrostatique
et Électrocinétique
Cours et exercices corrigés
2 édition
e

ÉLECTROSTATIQUE
et ÉLECTROCINÉTIQUE
50 % COURS, 50 % EXOS

ÉLECTROSTATIQUE
et ÉLECTROCINÉTIQUE
Rappel de cours et exercices corrigés de Physique
50 % cours + 50 % exos

Émile Amzallag
Josep Cipriani
Josseline Ben Aïm
Norbert Piccioli
Maîtres de conférences à l’université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

2e édition

Illustration de couverture : Claude Lieber

© Dunod, Paris, 2006
© Ediscience, Paris, 2002 pour la première édition

ISBN 2 10 050249 2

Table des matières
1

CALCUL VECTORIEL

1

1
...
Représentation d’un point dans l’espace
1
...
Vecteurs
1
...
Circulation d’un vecteur
1
...
Flux d’un vecteur
1
...
Angle solide
1
...
Opérateurs vectoriels
1
...
Relations vectorielles
1
...
Transformations intégrales
Exercices
Corrigés

3

CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE

27

2
...
Charges électriques
2
...
Loi de Coulomb
2
...
Champ et potentiel
2
...
Force et énergie potentielle électrostatiques
2
...
Circulation du champ électrique
2
...
Loi locale et loi intégrale
2
...
Exemples d’application
2
...
Dipôle électrostatique
Exercices
Corrigés

2

1
2
5
6
7
8
13
14
17
19

27
28
29
31
32
32
33
38
42
45

THÉORÈME DE GAUSS

56

3
...
Flux du champ électrique
créé par une charge ponctuelle

56

VI

Table des matières

3
...
Théorème de Gauss
3
...
Loi locale et loi intégrale
3
...
Conservation du flux
le long d’un tube de champ
3
...
Équations de Poisson et de Laplace
3
...
Conditions de passage à l’interface
entre deux distributions de charges différentes
3
...
Exemples d’application
3
...
Récapitulation
Exercices
Corrigés

4

CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
4
...
Loi de conservation de la charge
4
...
Corps conducteurs et corps isolants
4
...
4
...
5
...

Théorème de Faraday
4
...
Capacité d’un condensateur
4
...
Association de condensateurs
4
...
Méthodes de résolution
Exercices
Corrigés

5

ÉNERGIE ÉLÉCTROSTATIQUE
5
...
Énergie potentielle d’une charge ponctuelle
en interaction avec un champ extérieur
5
...
Énergie potentielle d’un système de charges
5
...
Énergie électrostatique emmagasinée
dans les conducteurs chargés
5
...
Charge d’un condensateur : aspect énergétique
5
...
Localisation de l’énergie :
densité d’énergie électrostatique

58
58
59
60
60
62
66
67
69

82
82
82
83
86
87
93
95
96
98
102

116
116
117
119
120
122

Table des matières

5
...
Calcul de forces électrostatiques
à partir de l’énergie
5
...
Exemples d’application
Exercices
Corrigés

6

LE COURANT ÉLÉCTRTIQUE DANS LES MILIEUX
CONDUCTEURS
6
...
Les charges mobiles
6
...
Le courant électrique
6
...
Équation de continuité
6
...
Conductivité électrique : loi d’Ohm locale
6
...
Résistance électrique :
loi d’Ohm macroscopique
6
...
Association de résistances
6
...
Rôle du générateur : force électromotrice
6
...
Les lois de Kirchhoff
6
...
Aspect énergétique : loi de Joule
Exercices
Corrigés

© Dunod
...


7

RÉSEAUX ÉLÉCTROCINÉTIQUES
...
1
...
2
...
3 Circuits en régime sinusoïdal
Exercices
Corrigés

VII

123
124
129
133

148
148
149
153
156
159
160
161
163
165
167
172

183
183
185
192
202
206

PROBLÈMES D’EXAMEN CORRIGÉS

221

INDEX

252

1
Calcul vectoriel
1
...
REPRÉSENTATION D’UN POINT DANS L’ESPACE
On se placera toujours dans un repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez
...
1
...
1
...

z
−→
−
x = r cos θ
O M = r er + zez
y = r sin θ
z
−→
−
d O M = dr er + r dθ eθ + dzez

M (r, θ,z)
ez

−→
−
(d O M)2 = dr 2 + (r dθ)2 + dz 2

y

O

−→2
−
O M = r 2 + z2

x
x

θ

r

eθ
H

er

y

2

1 Calcul vectoriel

1
...
3 Coordonnées sphériques
Vecteurs unitaires : er , eθ , eϕ
...

⎧
⎨ x = r sin θ cos ϕ
−→
−
O M = r er y = r sin θ sin ϕ
⎩
z = r cos θ
−→
−
d O M = dr er + r sin θ dϕ eϕ + r dθ eθ
−→2
−
O M = r2
−→
−
(d O M)2 = dr 2 + r 2 sin2 θ d ϕ2 + r 2 dθ2
z
er

z
M
θ

r

eθ
y

O
x

eϕ

ϕ

x

y
eϕ

H

Bien distinguer la coordonnée polaire r = O M et la coordonnée sphérique
r = O M
...
2
...

1
...
1 Somme de deux vecteurs
V = V1 + V2
V = X 1 ex + Y1 e y + Z 1 ez

V
V2

O
V1

1
...
2
...


• Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul
...
Travail d’une force
Si F est la force et d le déplacement,
on a : W = F · d = F d cos α
Si F ⊥ d , le travail est nul
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


F
α

Si α est obtus, le travail est négatif, il
s’agit d’un travail résistant
...
2
...

• Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul
...
Moment d’une force par rapport à un point O
ᏹo

On écrit :
−
→ −
→
MO = OM ∧ F

F
O
α
M

−
→ −
→
Le produit vectoriel OM ∧ F est toujours orienté de telle sorte que le trièdre
− −
→ →
OM, F , MO soit direct
...
2
...

Par exemple, une force est un vecteur polaire (on dit aussi « vecteur vrai ») : le
choix d’un sens pour son support ne modifie en rien sa direction, ni son sens
...


1
...
Il arrive d’ailleurs qu’un vecteur axial soit représenté avec une
flèche
(par exemple M )
...
3
...

᭿ Circulation

élémentaire

−
→
dC = V · dM

V

(scalaire)

(1
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Il convient de fixer le sens de
parcours sur la courbe (C)
...
2)

V

A

Si le chemin est fermé :

M
(C )

C=

V · dM

(1
...


1
...
FLUX D’UN VECTEUR
Soit un champ de vecteurs V (M) et une surface élémentaire d S
...
4)

où N est le vecteur unitaire normal à la
surface dS, qu’il convient de bien orienter,
en tenant compte des conventions qui vont
être précisées
...

Une fois (C) orienté, le sens du vecteur
unitaire N est défini par la règle du tirebouchon (sens dans lequel avance le tirebouchon quand on le tourne dans le sens
positif choisi sur (C))
...
5)

1
...
Par convention N
est orienté de l’intérieur vers l’extérieur
...

Ext
...
Champ à symétrie sphérique
Calculer le flux du vecteur V (M) = f (r)er à travers une sphère de centre
O et de rayon r
...


x

1
...
ANGLE SOLIDE
᭿ Angle

solide élémentaire

Par définition l’angle solide d sous lequel on voit une surface élémentaire
−
→
dS à partir d’un point donné O est :

© Dunod
...


d

−
→
dS · er
dS cos α
=
=
2
r
r2

(1
...

• Espace entier :
• Demi-espace entier :

1
4πr 2
= 2
dS = 2 = 4π stérad
...


8

1 Calcul vectoriel

• Cône de demi-angle au sommet α0 :
dS = 2πr sin α r dα
= 2πr 2 sin α dα

α αo

α0

dS
=
2π sin α dα
=
2
S r
0
= 2π(1 − cos α0 )

r

1
...
OPÉRATEURS VECTORIELS
1
...
1 Gradient

−→
−
L’opérateur grad (ou encore ∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à
∂f ∂f ∂f
, ,

...
7)

relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques
...
6 OPÉRATEURS VECTORIELS

9

On en déduit :
−→
−
−
→
d f = grad f · dM = (grad f )r dr + (grad f )θr dθ + (grad f )z dz
df =

Or

∂f
∂f
∂f
dr +
dθ +
dz
∂r
∂θ
∂z
⎛ ∂f ⎞

⎜ ∂r ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂f ⎟
−→
−
⎜
⎟
grad f = ⎜
r∂θ ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂f
∂z
Coordonnées sphériques :

er
eθ
ez

f = f (r, θ, ϕ)

Un calcul analogue au précédent donne :
⎛

⎞
∂f
⎜
⎟
∂r
⎜
⎟
⎜
⎟
∂f
−→
−
⎜
⎟
grad f = ⎜
⎟
⎜ r∂θ ⎟
⎜
⎟
⎝ 1 ∂f ⎠
r sin θ ∂ϕ

er
eθ
eϕ

Propriétés :

© Dunod
...


Les surfaces de niveau sont définies par
f (x, y, z) = cte
...

Pour un point M se déplaçant sur cette surface, on a :
−→
−
d f = grad f

−
→
· dM = 0

−→
−
Le vecteur grad f est donc normal à la surface de niveau
...

−→
−
d f = λ2 − λ1 = grad f

On a

−−
−→
· M1 M2 > 0

−→
−
Le vecteur grad f est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f
...
8)

Elle est égale à la variation de la fonction f et ne dépend pas du chemin parcouru
...
Encore faut-il que ce vecteur soit un gradient
...
9)

1
...
2 Divergence

L’opérateur div (ou encore ∇· ) associe à un vecteur V le produit scalaire de
∇ par ce vecteur
div V = ∇ · V

(scalaire)

1
...
10)

© Dunod
...


où dτ représente un volume élémentaire : la divergence d’un champ vectoriel
représente le flux de ce vecteur sortant de l’unité de volume
...
8) facilite parfois le calcul du flux d’un vecteur à travers une surface fermée
...
6
...
11)

où dS est un élément d’une surface quelconque (S)
qui s’appuie sur (C)
...
7 RELATIONS VECTORIELLES

13

Cette relation permet de définir la coordonnée du rotationnel dans une direction quelconque de vecteur unitaire n
...
8), facilite parfois le calcul
de la circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé
...
6
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


1
...
RELATIONS VECTORIELLES
Produit mixte :

A · ( B ∧ C) = C · ( A ∧ B) = B · (C ∧ A)

Double produit vectoriel : A ∧ B ∧ C = B( A · C) − C( A · B)

(1
...
13)

14

1 Calcul vectoriel

f et p étant des fonctions scalaires, on a :
−→
−
−→
−
−→
−
grad( f p) = f grad p + p grad f

(1
...
15)

−
→
−
→
div( A ∧ B) = B · rot A − A · rot B

(1
...
17)

−
→
∧ A + f rot A

−→
−
div(grad f ) =

f

(1
...
19)

− −→
→ −
rot(grad f ) = 0

(1
...
21)

1
...
TRANSFORMATIONS INTÉGRALES
Théorème de Stokes (ou du rotationnel) :

C

−
→
A· d =

(S)

→
−
→ −
rot A · dS [(S) s’appuie sur (C)]

(1
...
23)

[(τ) volume englobé par (S)]

1
...
24)

Formule du rotationnel :

(τ)

−
→
rot A dτ =

(S)

−
→
dS ∧ A

(1
...

y

On considère le champ vectoriel
V = (ax + by)ex + (cx + f y)e y

1

D

et le contour fermé ABC D A précisé sur la figure
...


C

N

1

A

B

x

On a d’une part :
C=

C

−
→
V·d =

1
0

axdx +

1
0

(c+ f y)dy +

0
1

(ax +b)dx +

0
1

© Dunod
...


et d’autre part :
(S)

−
→
−
→
rot V · dS =

(S)

−
→
rot V · N dS

et comme :
−
→
rot(V ) = (c − b)ez

et

N = ez

il vient :

(S)

−
→
−
→
rot V · dS =

1
0

1
0

(c − b)dxdy = c − b

f ydy = c−b

16

1 Calcul vectoriel

Exemple 6
...

Vérifier le théorème d’Ostrogradsky
en calculant le flux de V à travers la
surface de la sphère
...
1
...

Ce champ vectoriel est-il un gradient ?

1
...
Soit le champ vectoriel :
−→
−
OM
V (M) =
OM

avec

−→
−
O M = r er

Calculer la circulation de V le long de :
a) la spirale logarithmique d’équation polaire :
r = aekθ ,

entre

θ1 et θ2

b) la cardioïde :
r = a(1 + cos θ),

entre

0 et π
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
3
...

dérive par la relation

1
...
Un champ de vecteur E, dans l’espace orthonormé ex , e y , ez , est caractérisé par
ses composantes :

⎞
yz
E = ⎝ zx ⎠
f (x,y)
⎛

où f ne dépend que de x et y
...

3) Quelle est la circulation du champ E entre les points A(0, 0, 0) et B(1, 1, 1) ?

er

...

r

1
...
1) On considère le champ vectoriel à symétrie sphérique : V =

2) Calculer div

er
r2

− er
→
et rot 2
...
6
...


1
O

1

y

x

1
...
Calculer le flux du champ vectoriel :
V (M) = x z 2 ex + (x 2 y − z 3 )ez + (2x y + y 2 z)ez

z
(S )

à travers la surface totale de l’hémisphère S
limité par z = a 2 − x 2 − y 2 et z = 0
...
8
...


O
R

R

y

(C )

x

2) En déduire le flux sortant à travers l’hémisphère
...
Même question pour une surface fermée ne
contenant pas le point O
...
9
...
10
...


(S )

3
x

© Dunod
...


3

O

y

(C )

CORRIGÉS
A = (3x 2 + 6y)ex − 14yze y + 20x y 2 ez

1
...


a) Sur le segment de droite joignant (0, 0, 0) et (1, 1, 1), on a : x = y = z
...


1
...
On a :

−→
−
r
OM
= = er
V =
OM
r

a) Le long de la spirale logarithmique r = aekθ , on a :
−
→
dC = V · dM = er · (dr er + r dθ eθ )
= dr = ak ekθ dθ

Corrigés

21

C = ak

θ2
θ1

ekθ dθ = [aekθ ]θ2
θ1

= a(ekθ2 − ekθ1 )
b) Le long de la cardioïde r = a(1 + cos θ), on a :
−
→
dC = V · dM = dr = −a sin θ dθ

C=

π
0

−a sin θ dθ = [a cos θ]π
0

= −2a

1
...
Pour montrer que V est un gradient, il suffit de vérifier que les dérivées croisées
de ses composantes sont égales deux à deux
...


• Détermination de la fonction ϕ
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


⇒

ϕ = x 2 − yx + f (y,z)

⇒

f = y 2 + g(z)

⇒

g = −2z 2 + C

22

1 Calcul vectoriel

On en déduit finalement :
ϕ = x 2 − yx + y 2 − 2z 2 + C

1
...
Le champ E est défini par :
E = yzex + zx e y + f (x,y)ez
1) Pour que E soit un gradient, il faut que les dérivées croisées de ses composantes
soient égales deux à deux, soit :
∂ Ey
∂ Ex
=
∂y
∂x

⇒
⇒

∂ Ey
∂ Ez
=
∂z
∂y
∂ Ez
∂ Ex
=
∂x
∂z
∂f
=x
∂y

z = z qui est vérifié identiquement
x=

⇒

⎫
∂f ⎪
⎬
∂ y conditions nécessaires
∂f
⎪
= y⎭
∂x

⇒

∂f
dg
=y+
=y
∂x
dx

f = x y + g(x)

⇒

dg
=0 ⇒g=C
dx

La fonction f doit donc être de la forme :
f = xy + C
−→
−
2) Pour déterminer le potentiel V, on écrit que E = −grad V
...
5
...

r2
r 2 = x 2 + y2 + z2
r dr = r dx + y dy + z dz
⎛
x ⎞
x
∂r
Vx = 3
=
r ⎟
∂x
r
⎜
⎜
y ⎟
∂r
y
er
⎜
⎟
=
V = 2 = ⎜ Vy = 3 ⎟
⎜
r ⎟
∂y
r
r
⎝
⎠
z
∂r
z
Vz = 3
=
r
∂z
r

On a :

∂ Vx
3 x
1
= 3 +x − 4
∂x
r
r r

© Dunod
...


∂ Vy
r 2 − 3y 2
=
∂y
r5
div
sauf pour r = 0

er
r2

=

=

r 2 − 3x 2
r5

∂ Vz
r 2 + 3z 2
=
∂z
r5

3r 2 − 3(x 2 + y 2 + z 2 )
=0
r5

où V n’est pas défini
...

er
−→
−
Il est plus simple de remarquer que, 2 étant égal à grad f, on peut appliquer la relar
tion vectorielle :
− −→
→ −
rot(grad f ) = 0

24

1 Calcul vectoriel

− er
→
rot 2
r

Par conséquent,

=0

sauf pour r = 0 où V n’est pas défini
...
6
...
7
...

z
On peut calculer le flux directement, mais il est plus
commode d’utiliser le théorème de la divergence
...
8
...

x

Le théorème de la divergence permet d’écrire :
S

(sortant) +
hémisphère

=

(S)

V · N dS =

(sortant) = 0
disque

2) On en déduit :

hémisphère

=

div V dτ = 0

(sortant) =
hémisphère

(rentrant) = 0
disque

2r 3 sin θ cos θ dθ dr
disque
2π

R

sin θ cos θ dθ
0

© Dunod
...


N

⎧
⎨ x = r cos θ
2x y dS avec
y = r sin θ
⎩
disque
dS = r dr dθ

(sortant) =

=2

⇒

(τ)

y

a

V =K

1
...


r 3 dr = 0

0

er
r
=K 2
3
r
r

a) Si la surface fermée contient l’origine, on ne peut pas appliquer le théorème de
Green-Ostrogradsky car div V n’est pas définie en O
...


dS = R 2 sin θ dθ dϕ N = er
π
2

−
→
rot V · N dS = R 2

C=

er
=0
r2

z

1
...
Théorème de Stokes :
C=

div

S
2

2π

sin θ cos θ dθ

dϕ
0

0

= πR = 9π
b) Calcul direct :
−
→
On a : d = R dα eα où eα est le vecteur unitaire
porté par la tangente à (C)
...


α

er
M
x

2
Champ électrostatique
dans le vide
2
...
CHARGES ÉLECTRIQUES
Dans tout phénomène physique intervient un « objet » dont la structure
confère certaines propriétés à l’espace qui l’entoure
...
En électrostatique, l’objet est une
charge, mesurée en coulomb (C) dans le système international
...
Les unes
sont dites « positives » et sont mesurées par un nombre positif, les autres sont
dites « négatives » et sont mesurées par un nombre négatif (cf
...
2)
...

On distingue :
• les charges ponctuelles : supposées sans dimension, ce qui est analogue à
l’hypothèse du point matériel en mécanique
...

On définit ainsi les densités :
dq
d
dq
– surfacique (ou surperficielle) sur une surface : σ =
dS
dq
ρ=
– volumique dans un volume :
dτ

[C · m−1 ]

λ=

– linéique sur un fil :

[C · m−2 ]
[C · m−3 ]

auxquelles correspondent respectivement les charges infinitésimales λ dl,
σ dS et ρ dτ
...
2
...
Ces charges
peuvent être positives ou négatives, mais dans le cas de la figure, nous supposerons qu’elles sont de même signe
...

Cette loi s’écrit :

q'
uM'M
r
q
M

qq
FM = K 2 u M M
r
ou

qq
FM = K 2 u M M
r

avec

K =

FM'

M'

uMM'

(2
...
I
...

La force est répulsive si les charges sont de même signe, elle est attractive
si elles sont de signes contraires
...
Les notions de champ
et de potentiel permettent de préciser les propriétés relatives à un seul objet
...
3 CHAMP ET POTENTIEL

29

2
...
CHAMP ET POTENTIEL
2
...
1 Cas d’une charge ponctuelle

La seule présence d’une charge ponctuelle q au point M (comme d’ailleurs
d’une masse ponctuelle m, dans le cas de la gravitation) permet de définir
deux propriétés en un point M de l’espace environnant :
– une propriété vectorielle, le champ électrostatique :
q
EM = K 2 uM M
r

(2
...
3)
VM = K + cte
r
– et une relation entre les deux propriétés :
−→
−
E M = −grad VM

ou

−
→
dV = − E M · dM

(2
...
paragraphe 1
...
1)
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
3
...
Ces
lignes sont orientées centrifuges ou centripètes suivant que q est respectivement positif ou négatif
...
En
effet, sur ces surfaces, on a :
−→
−
dV = grad V

−
→
−
→
· d = −E · d = 0

−
→
⇒d ⊥E

2
...
3 Cas d’un système de charges

Lorsque n charges ponctuelles existent simultanément en des points M1,
M2 ,
...
5)

u Mi M

– et pour le potentiel résultant :
VM = K

qi
ri
i

(2
...
4 FORCE ET ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUES

31

2
...
4 Utilisation des symétries

Si, en un point donné M, il passe un plan (M) laissant la distribution des charges invariante par réflexion dans ce plan, alors le champ en M doit être invariant dans cette réflexion : E est donc contenu dans le plan de symétrie (M)
...

Si en M passent trois plans de symétrie formant un trièdre, alors E est nul en
ce point
...

(Voir exemples d’applications et exercices)
...
4
...
en particulier
l’expression (2
...
7)

– une propriété scalaire, l’énergie potentielle définie à une constante près
comme le potentiel :
E p = q VM

(2
...
9)

• L’interaction entre deux charges est réciproque
...

• L’énergie potentielle E p définie ci-dessus peut être vue comme :
– l’énergie de q dans le champ de q,
– l’énergie de q dans le champ de q ,
– l’énergie potentielle du système isolé, constituée par les deux charges
de q et q
...
5
...
5
...

La circulation du champ E M sur un élé−
→
ment de parcours d s’écrit :
−
→
dC = E M · d
−
→
−→
−
= −grad VM · d = −dVM

B

EM

M

dᐉ

A

On en déduit les relations :
−
→
E · d = −dV

AB

−
→
E · d = V A − VB

(2
...

Et en particulier, sur un parcours fermé :

(C)

−
→
E·d =0

(2
...
Le potentiel étant
défini à une constante près, on voit que le choix de cette constante n’intervient pas dans la différence de potentiel
...
Il faut donc toujours orienter le parcours avant de calculer la circulation de E
...
6
...
Elle présente un caractère général, libéré de
toute considération de symétrie susceptible d’apparaître à l’échelle globale
...
7 EXEMPLES D’APPLICATION

33

Cette loi peut s’écrire sous une autre forme, également locale : en effet,
− −→
→ −
sachant que rot (grad V ) ≡ 0, on peut écrire :
−
→
rot E = 0

(2
...

᭿

Forme intégrale

La loi
AB

ou encore

(C)

−
→
E · d = V A − VB

−
→
E·d =0

((C) contour fermé)

peut permettre le calcul de E en un point, mais il faut passer par un calcul à
l’échelle globale
...
Dans ce cas,

la deuxième méthode peut s’avérer plus rapide que la première
...


2
...
EXEMPLES D’APPLICATION

© Dunod
...


Exemple 1
...
I
...

Dans l’atome d’hydrogène, un électron (charge −e) décrit une orbite circulaire de
rayon a0 autour d’un noyau constitué d’un proton (charge +e)
...


9109 (1,6 · 10−19)
Fe = K 2 =
= 8,1 · 10−8 N
(0,53 · 10−10 )2
a0
2

q1 q2

Fg = G

m 1m 2
2
a0

=

6,7 · 10−11 (9,1 · 10−31 )(1,67 · 10−27 )
(0,53 · 10−10 )2

= 3,7 · 10−47 N

34

2 Champ électrostatique dans le vide

La force électrostatique est environ 2 · 1039 fois plus grande que la force de
gravitation
...

Pour les particules « élémentaires » (électrons, protons, ions,…) on néglige
toujours les forces de gravitation ou de pesanteur devant les forces électrostatiques
...
Champ créé par un fil circulaire portant une densité de
charge uniforme λ =

dq
, en un point M de son axe (O M = z)
...


dᐉ

1) Calcul direct du champ E

dE'

À chaque élément d du fil, on peut faire
ez
M
α
correspondre un élément d symétrique
z
O
z
par rapport à O
...

Il est plus élégant de remarquer que tout plan contenant Oz est plan de
symétrie pour la distribution de charge et contient donc E (qui est un vecteur polaire)
...

E
On a successivement :
dE z = dE cos α
K dq
z
= 2
z + R 2 (z 2 + R 2 )1/2

O

avec dq = λ d
Ez =

2πR
K λz
d
(z 2 + R 2 )3/2 0

et

E=

λ Rz
ez
2ε0 (R 2 + z 2 )3/2

2) Calcul direct du potentiel
dV =

K dq
Kλ d
= 2
(z 2 + R 2 )1/2
(z + R 2 )1/2

z

2
...
Champ créé par un disque de rayon R portant une densité
de charge surfacique uniforme σ =

dq
, en un point M de son axe Oz
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Calculer le potentiel et en déduire le champ
...

De la sorte, on peut appliquer les résultats de
l’exemple précédent
...
On a donc la correspondance :
2πrλ −→ 2πr drσ et λ −→ σ dr

r
O

E
M

z

36

2 Champ électrostatique dans le vide

1) Calcul du potentiel
λR
V =
est à remplacer par
2ε0 (R 2 + z 2 )1/2

dV =

R
r dr
σ
2ε0 0 (r 2 /z 2 )1/2
σ
R
=
[(r 2 + z 2 )1/2 ]0
2ε0
σ
=
[(R 2 + z 2 )1/2 − |z|]
2ε0

σr dr
2ε0 (r 2 + z 2 )1/2
V

V =

σR
2ε0

z

O

2) Calcul du champ
En faisant le même calcul directement, ou
−→
−
en passant par E = −grad V, on trouve :
E=

σz 1
1
ez
− 2
2ε0 |z| (R + z 2 )1/2

Remarque :
• On peut noter la discontinuité du champ
E au passage par le point O(z = 0)
...

σ z
E=
ez
On trouve :
2ε0 |z|

z
E=

σ

O

σ e
z
2ε0

ez
σ e
E =–
z
2ε0

• Le calcul direct du champ E créé par un disque chargé superficiellement,
en un point M de son axe, sera proposé comme exercice
...
Potentiel créé par une sphère de centre O et de rayon R ,
chargée uniformément, en un point M extérieur à la sphère
...


2
...


© Dunod
...


2) Sphère uniformément chargée en volume
Soit ρ la charge volumique
...

Ainsi, on peut appliquer les résultats de a)
...

3
Là encore, tout se passe comme si toute la charge Q de la sphère était ponctuelle et située au centre O
...

• Le calcul du champ créé à l’intérieur de la sphère précédente sera fait en
utilisant ce théorème
...
8 DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE
On considère deux charges −q, +q placées aux points A et B, distants de a
...
Le
modèle théorique du dipôle trouve son application dans la polarisation des
molécules conduisant à l’approximation dipolaire de la matière
...

des points très éloignés du dipôle O M
2
...
1 Calcul du potentiel à grande distance

VM = K q

1
1
−
MB
MA

Comme O M = r
MA

r+

a
cos θ
2

= Kq

MA − MB
MB
...

VM = K

p · ur
K p cos θ
=
2
r
r2

(2
...
8 DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE

39

2
...
2 Calcul du champ électrique à grande distance

−→
−
E = −grad V
Er = −

(2
...
15)

cartésiennes

Le potentiel et le champ présentent évidemment une symétrie de révolution
−
→
autour de l’axe support de AB, pris ici comme axe O x
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

r
r
La figure ci-après indique l’allure des lignes de champs (en trait plein) et des
lignes équipotentielles (en pointillés) dans le plan x Oy
...
8
...


B

E

+

FB

R

ey

θ ex

• Force résultante sur le dipôle
F = FB + F A = q E e x − q E e x = 0

q

x

O
A
FA

−q

E
ez

La force résultante est nulle, mais le moment résultant ne l’est pas, F A et FB
constituent un couple
...

Dans le cas d’une molécule assimilée à un dipôle, le point A représente le
barycentre des charges négatives et le point B le barycentre des charges

2
...
Le moment dipolaire moléculaire aura tendance à s’aligner avec
le champ E
...

• Énergie potentielle du dipôle dans le champ E :
E p = q V B − q V A = q(V B − V A )
Or le champ appliqué E est lié à V B − V A par
V
VB − V A
∂V
−→
−
ex = −
ex = −
ex
E = −grad V = −
∂x
x
a cos θ
On en déduit :
E p = −aq E cos θ
soit

E p = − pE cos θ = − p · E

L’énergie potentielle est minimum lorsque θ = 0, indiquant que le dipôle est
en équilibre stable quand il est orienté parallèlement au champ appliqué
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Il en résulte
une force qui va déplacer le dipôle dans son ensemble
...

La force résultante est liée à l’énergie potentielle par :
−→
−
F = −grad E p
On aura donc :
−→
−
F = grad ( p · E)

42

2 Champ électrostatique dans le vide

EXERCICES
2
...
On place quatre charges ponctuelles aux sommets ABC D d’un carré de côté
a = 1 m, et de centre O, origine d’un repère orthonormé O x y de vecteurs unitaires
ex et e y
...
I
...
Préciser la direction, le sens et
la norme de E
...

3) Exprimer le potentiel sur les parties des axes x x et y y intérieures au carré
...
2
...

Soit O la projection de M sur la droite AB, on
posera :
O M = y,

O A = xA,

O B = xB

2) On examinera les cas particuliers suivants :

M
y
2a

O
xA

A

B
xB

a) le point M est dans le plan médiateur de AB,
b) le fil a une longueur infinie
...
3
...


1) Retrouver, par un calcul direct, le champ E créé par le disque en un point M de

−
→
son axe z Oz (O M = z > 0) à partir du champ élémentaire d2 E créé par la charge
élémentaire dq = σ dS (voir exemple 3 du paragraphe 7 pour une autre méthode)
...

Calculer le champ E en un point M de l’axe z Oz du trou
...
4
...

Calculer le champ E 1 créé au point O
...
En considérant
la distribution volumique comme engendrée par la distribution surfacique de la 1re
question lorsque le rayon de cette dernière varie de O à R, calculer le champ électrique E 2 créé au point O
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


2
...
A) On assimile la molécule de SO2 à un
ensemble de trois charges ponctuelles dispo- O 1
sées comme l’indique la figure
...
On désigne par α O 2
l’angle entre les deux liaisons soufre-oxygène (−q)
et on adopte le système d’axes x y représenté
sur la figure
...


S (2q)

α

M

y

L

x

1) Montrer que cette distribution de charges électriques est équivalente à un dipôle
...

A
...
:

α = 120°

L = 1,432 · 10−10 m

q = 0,29 · 10−19 C

B) Étant donné un point M situé sur l’axe y à une grande distance de S, on désire
justifier l’approximation dipolaire pour M = 20L par exemple
...

2) Calculer le champ E M créé au point M, en remplaçant les trois charges par le
dipôle équivalent
...


2
...
Dans l’espace où règne un champ électrique uniforme E, on considère sur un axe
−
→
x O x parallèle à E deux points A et B tels que AB soit dans le même sens que E
...


3) On place les charges −q et +q respective-

M
E

r
θ

x'
A

x

O

B

ment en A et B
...

b) Quel est le potentiel résultant en M ?
c) Montrer qu’il existe une sphère de centre O, sur laquelle ce potentiel reste constant
...
I
...
7
...
Calculer
le moment dipolaire p A de cette molécule sachant que
les distances entre O2− et les deux ions H+ sont toutes
les deux égales à 1 Å
...
Elle est assimilable à un dipôle électrique permanent
de moment p A dont le centre est en O
...
Quelle est
la force exercée par la molécule A sur cette
charge ?

pA
−2q

O

+

2q

M

−→
−

2) Un dipôle de moment p orienté selon O M
...
)

b) Quelle est la force à laquelle est soumis le dipôle ? On précisera sa direction et son
sens
...


a) Quelle est l’énergie potentielle d’interaction de ce dipôle avec la molécule d’eau ?
b) À quelle force est-il soumis ?
4) L’interaction dipôle-dipôle peut-elle suffire à expliquer la stabilité du système de
deux molécules ? Justifier votre réponse
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
1
...

Soit E 1, E 2, E 3 et E 4 les champs créés en O
respectivement par les charges q1 , q2,
q 3 , q4
...

a2

√
E = 9 · 109 × 10−8 × 2 2 = 254,6 V · m−1

A
...
:

2) Détermination du potentiel V en O :
Soient V1 , V2 , V3 et V4 les potentiels créés par les charges q1 , q2 , q3 et q4 en O
...


I et I étant sur l’axe, on a

b) Sur l’axe y Oy, on a : M A = M B
V = Kq

soit :

V = Kq

⎧
⎨
⎩

(y − a)2 +

MC = M D

et

1
1
−
MC
MA

−1
a2 2

4

⎫

− (y − a 2 ) +

−1
a2 2 ⎬

⎭

4

En deux points symétriques par rapport à O, sur l’axe y Oy, les potentiels sont opposés :
V (y) = −V (−y)
√
a 5
a
JC =
Si M est en J, on a J A =
, soit :
et
2
2
√
2
5−5
2
2K q
=
V (J ) = K q √ −
a
5
a 5 a
Si M est en J , alors V (J ) = −V (J )
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
N
...
2
...


−
→
Soit dE le champ créé par un élément de
fil de longueur dx autour de P
...
3
...


α
αo

Le champ créé par un élément de surface dS
est :
−
→
σ dS
uPM
d2 E = K
P M2

M

dE

ez
R

O

dθ

r

uPM
P

Corrigés

49

dS = dr r dθ

avec

PM =

et

z
cos α

−
→ K r dr dθ
σ cos2 α
d2 E =
z2
Le champ dE z créé par la couronne comprise entre les deux rayons r et r + dr est :
dE z =

K rdr
σ cos3 α
z2

2π

dθ = K

0

2πr dr
σ cos3 α
z2

On a, pour tous les éléments de la couronne :
r
z

dα
dr
=
cos2 α
z
2π
dα
dE z = K 2 z(tan α)z 2 σ cos3 α
z
cos α
= K 2πσ sin α dα
tan α =

⇒

Le champ E z créé par le disque de rayon R est donc :
α0

E z = K 2πσ

sin α dα =

0

E=

σ
(1 − cos α0 )
2ε0

z
σ
1−
ez
1
2ε0
(z 2 + r 2 ) 2

2) Quand R tend vers l’infini, alors :

© Dunod
...


E −→

σ
ez
2ε0

3) D’après le principe de superposition, le champ E créé par le plan percé d’un trou est :
E = E1 + E2
z
où E 1 est le champ créé par le plan infini chargé
avec une densité +σ,
O

E 2 est le champ créé par le disque chargé avec une
densité −σ,
E=

z
σ
σ
1− 2
k+ −
2ε0
2ε0
(z + r 2 )1/2
E=

P
z'

ez

z
σ
e
2 + r 2 )1/2 z
2ε0 (z

50

2 Champ électrostatique dans le vide

2
...
1) Cas d’une distribution surfacique hémisphérique
Par symétrie, le champ E 1 produit par l’hémisphère, portant une densité surfacique σ > 0, a
le sens du vecteur unitaire ex porté par l’axe O x
...
En effet, tout plan contenant O x est
plan de symétrie pour la distribution de charge :
E=

ρ
Rex
4ε0

Le champ électrique d’une distribution sphérique uniforme (sphère complète) au centre O est nul par symétrie, que la distribution soit surfacique ou volumique
...
5
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
N
...
m
...


52

2 Champ électrostatique dans le vide

B) 1) Soit E 1 le champ créé par l’atome de soufre et E 2, E 3 les champs créés par les
deux atomes d’oxygène
...

2K q
2K q
ey −
cos θ e y
E M = E1 + ( E2 + E3) =
S M2
O1 M 2
Or

S M2 = ( M −
O1 M 2 =

et

S)2 =

M2 1 −

M2 1 +

O1
M

Le point M étant situé à grande distance de
S
1
= ε1
M
⎧ 1
⎪
⎪
⎪
⎪ S M2
⎪
⎪
⎨ 1
⎪ O1 M 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
cos θ
EM

A
...
:

2

, on peut poser :
O1
= ε2
M

1

1
(1 + 2ε1 )
M2
1
(1 − ε2 )
2
M2
1−

ε2
2
2

2K q
3
e 1 + 2ε1 − 1 + ε2
2 y
M
2 2

EM =

2

S
M

soit :

2K q
3
2ε1 + ε2 e y
2 2
M2

1
ε1 =
40

√
3
ε2 =
40

E M = 3,18 · 106 (1 + 0,056) = 3,35 · 106 V · m−1
2) Le champ créé par le dipôle (−2q, +2q) dont les charges sont placées en
S est :
1
1
−
ey
E M = 2K q
2
SM
M2
2K q
2K q
=
[1 + 2ε1 − 1]e y =
2ε1 e y
2
M
M2

et en

Corrigés

53

EM =

4K q
ε1 e y
M2

E M = 3,18 · 106 Vm−1

A
...
:
3) À la distance
dipolaire est :

M = 20L, l’erreur relative effectuée en utilisant l’approximation
EM − EM
E
=
E
EM

3ε2
2
= 0,056
2 × 2ε1

L’approximation dipolaire sera meilleure pour une distance

M bien supérieure à 20L
...
6
...

−
→
−dV = E · d
2)
E = E cos θu r − E sin θu θ

M

E

r

Eθ

θ
A

ou

O

B

−
→
et d = dr u r + r dθ u θ
−

© Dunod
...


D’où

V (M)
V (O)

r

dV =

E cos θ dr
0

V (O) − V (M) = +Er cos θ
V (M) = V (O) − Er cos θ

3) a) Le dipôle est soumis à un couple de forces de moment :
−
→
= p ∧ E = q AB ∧ E = 0
Le dipôle est donc en équilibre ; l’équilibre
est stable car, lorsqu’on écarte légèrement
le dipôle de sa position d’équilibre, le cou−
→ −
→
ple de forces (q E, −q E) tend à l’y ramener
...

•

r3

Kp
=
:r =
E

A
...
:

Kp
E

1/3

ce qui correspond à une sphère de centre O et de rayon r
...

H+

2
...
A) Moment dipolaire de la molécule H2 O :
−→
−
p A = 2|e| O O = 2|e| O H cos α · u r

O 2−

α

O'
ur

cos α = cos 52° = 0,615

A
...
:

H+

p A = 2 × 1,6 · 10−19 × 10−10 × 0,615 = 19,68 · 10−29 C
...


ur

M
+

q

F

Corrigés

55

2) a) Énergie potentielle du dipôle placé en M :
E p = − p · E = −( pu r ) · 2K p A

ur
r3

=−

2K p A p
r3

b) Force à laquelle est soumis le dipôle placé en M :
F =−

dE p
pA p
u r = −6K 4 u r (attractive)
dr
r

3) a) Énergie potentielle du dipôle induit
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

Pour rendre compte de la stabilité du système
de molécules, il faut introduire, dans l’énergie
potentielle, un terme de répulsion à courte distance
...
1
...

Le champ créé par cette charge en un point M, à une distance O M = r est
donnée par :
q
E = K 2 er
r
Rappelons les propriétés suivantes de ce
er
champ en 2 :
r
div E = 0
(voir Exercice 5 chapitre 1)
−
→
rot E = 0

car E est un gradient
...

q
−
→
On a :
d
= E · dS
= K 2 er · N dS = −K q d
r
−
→
q
d
= E · dS = K 2 er · N dS = −K q d
r

issu

3
...

b) q est englobée par (S)

N´

Dans ce cas,

er´
dS

er
div E = K q div 2
r

dS´

O
q

er
N

n’est pas défini en O
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

On a :

d
d

−
→
= E · dS

Kq
er · N dS
r2
−
→
Kq
= E · dS = 2 er · N dS
r

Au total (cf
...
2
...

Si qi est à l’intérieur :

i =

Si qi est à l’extérieur :

i

qi
ε0

q1

q3

q2

(τ)

q4
(S)

=0

Par conséquent, le flux du champ résultant à travers (S) n’est dû qu’aux seules charges intérieures à S :
=

S

−
→
E · dS =

qi
(charges intérieures uniquement)
ε0
i

(3
...


3
...
LOI LOCALE ET LOI INTÉGRALE
Soit une surface (S) fermée, contenant une charge Q répartie uniformément
dans le volume τ qu’elle entoure, la densité volumique étant ρ
...

Le théorème de la divergence permet d’écrire par ailleurs :
=

S

−
→
E · dS =

div E dτ
τ

(3
...
4 CONSERVATION DU FLUX LE LONG D’UN TUBE DE CHAMP

59

De ces relations, on déduit la forme locale suivante pour le théorème de Gauss :
ρ
(3
...


3
...
CONSERVATION DU FLUX
LE LONG D’UN TUBE DE CHAMP
Un tube de champ est constitué par toutes les lignes de champ qui s’appuient sur
un contour fermé : contour (C1 ) sur la
figure, qui devient (C2 ) un peu plus loin,
dans le sens du champ
...

Comme aucun flux ne sort de la paroi latérale du tube, on a :
tube

=
=

1 (sortant) +

2 (sortant)

ρ
dτ = 0
(τ) ε0

© Dunod
...


D’après l’orientation des vecteurs N1 et N2 , on voit que
tif, alors que 2 (sortant) est positif
...
On peut
alors écrire :
1

=

2

qui exprime à l’échelle globale que le flux est conservatif à travers les différentes sections du tube
...
5
...
On en déduit :
ρ
=0
ε0

(équation de Poisson)

(3
...
5)

3
...
CONDITIONS DE PASSAGE À L’INTERFACE
ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS DE CHARGES DIFFÉRENTES
Soit deux points M1 et M2 infiniment voisins du
point M pris sur l’interface séparant les deux distributions
...

On veut exprimer que la circulation de E le long du contour fermé élémentaire (C) représenté sur la figure est nulle
...
6 CONDITIONS DE PASSAGE À L’INTERFACE ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS…

E 1T = E 2T

on en déduit :

61

(3
...

Supposons maintenant que l’interface porte une
charge surfacique σ
...

La contribution des densités volumiques ρ1 et ρ2
à ce flux étant un infiniment petit du 3e ordre
comparée à la contribution de la densité surfacique σ qui est du 2e ordre, on peut ignorer les
charges volumiques et écrire :
=

(S totale)

E1N

N12
ρ1
σ

1

ρ2
2

N12

E2N

−
→
E · dS = E 2N S − E 1N S

Le théorème de Gauss s’exprime par :
=

σS
ε0

on en déduit :

© Dunod
...


E 2N − E 1N =

σ
N12
ε0

(3
...
Elle ne se conserve que si l’interface ne porte pas de
charges
...

E =±
2ε0
σ
en traversant le plan chargé
...
7
...
Champ créé par un fil rectiligne infini chargé d’une densité
linéïque
La distribution de charge est invariante par
rotation autour du fil et par translation parallèle au fil : le potentiel et le champ ne peuvent
donc dépendre des coordonnées cylindriques
ϕ et z :
dV
−→
−
E = −grad V = − er
V = V (r) et
dr

r

h

M

E
er

(S)
λ

Le champ électrique est donc radial
...

Le flux sortant par les bases de (S) étant nul, on a :
=

(S)

−
→
E · dS =

(S lat
...


dS = 2πr h E

q int
λh
=
ε0
ε0
Le théorème de Gauss s’écrit donc :
2πr h E =

λh
ε0

⇒

E=

λ
er
2πε0r

Le potentiel en M se déduit de E par
−→
−
E = −grad V
D’où :

V =−

⇒

dV = −E dr

E dr = −

λ
ln r + cte
2πε0

Les lignes de champ sont des droites radiales, et les surfaces équipotentielles des cylindres coaxiaux, de révolution autour du fil
...


3
...
Champ créé par une sphère chargée d’une densité volumique ρ uniforme
Ce problème a déjà été résolu par un calcul direct dans l’exemple 4 du chapitre 2
...
Il s’agit ici de l’étendre à tout point de l’espace
...

1) Champ à l’extérieur : O M R
...


M

R

On a :
E ext dS = E ext

(S1 )

dS =

4πr 2 E

O

Eext

P
Eint

ext

qint
4 R3
= π ρ
ε0
3 ε0
Le théorème de Gauss donne donc :
4 R3
4πr 2 E ext = π ρ
3 ε0

⇒

E ext = ρ

R3
KQ
er = 2 er
3ε0r 2
r

© Dunod
...


expression déjà trouvée par le calcul direct
...

Soit (S2 ) la surface de Gauss passant par le point P intérieur (sphère de
rayon r)
...

3) Calcul du potentiel

−
→
Le champ E étant radial, dV = − E · dr = −E dr
...


⇒

À l’intérieur :
Vint = −

V
R2
ρ
2ε0

E int dr

ρ
r dr
3ε0
ρr 2
=−
+ C2
6ε0
=−

2
ρ R
3ε0

O

R

r

La continuité de V à la surface de la sphère donne :
ρR 3
ρR 2
+ C2
=−
3ε0 R
6ε0
Finalement :

Vint = ρ

⇒

C2 =

ρR 2
2ε0

r2
R2
1−
2ε0
3R 2

Exemple 3
...


L’équation locale de Poisson s’écrit :
V =−

ρ
ε0

Par suite de la symétrie sphérique, on a :
V =

1 ∂ 2 (r V )
∂2V
2 ∂V
+ 2 =
r ∂r
r ∂r 2
∂r

3
...

ρR 2
B
+C
=−
R
6ε0

Continuité de V en r = R :

© Dunod
...


Continuité de E = −
On en déduit :

∂V
en r = R :
∂r
B=

D’où finalement :
⎧
⎪
⎪ pour r
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪ pour r
⎪
⎩

ρR 3
6ε0

R : Vext =

B
ρR
=
2
3ε0
R
C=

ρR 2
2ε0

ρR 3
3ε0

r2
ρR 2
1−
R : Vint =
2ε0
3R 2

Ce sont les mêmes expressions que celles obtenues en appliquant le théorème de Gauss
...
1
...
3)
1 d
div E = 2 (r 2 Er )
r dr

3
...
RÉCAPITULATION
Les exemples d’application présentés jusqu’ici montrent que la détermination
du champ E créé par des charges dans le vide peut se faire en suivant trois
méthodes différentes :
1) par un calcul direct, en partant de l’expression du champ créé par une
charge ponctuelle ou par un élément différentiel de charge, et en la sommant
ensuite sur la distribution de charge,
2) en appliquant le théorème de Gauss, si la symétrie de la distribution de
charge est élevée (sphérique, cylindrique, plane),
3) en appliquant les équations locales, en tenant compte des conditions aux
limites
...
1
...


2) fil infini de densité linéique de charge λ
...

4) disque de densité surfacique de charge σ
...

6) sphère de rayon R chargée uniformément :
a) en surface avec une densité surfacique σ ;
b) en volume avec une densité volumique ρ
...


3
...
1) On creuse dans une sphère de centre O1 et

© Dunod
...


de rayon R une cavité sphérique de même centre
R
O1 et de rayon
...
Dans le volume sphérique restant, la densité volumique de charges est ρ0 = cte > 0
...

2) La cavité est centrée en O2 tel que O1 O2 =

R

...
Que peut-on en conclure ?
−→
−
b) Le champ en un point N extérieur à la sphère de rayon R en fonction de r1 = O1 N
−→
−
et r2 = O2 N
...
3
...
À l’intérieur de la
sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q, placées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral ayant O comme centre de gravité
...

r

2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le
champ électrique E 2 créé en A par la distribution
volumique de charges
...


R

O
C

B

4) Déterminer le potentiel électrostatique V1 créé en A par les charges ponctuelles −q
placées en B et C
...
En déduire le potentiel total V A au point A
...
4
...

1) Quelles sont les dimensions de A et de a ?
2) Calculer le champ E(M) correspondant, en tout point de l’espace (excepté O)
...
En déduire la charge
totale de la distribution
...

5) Montrer qu’au point O, il existe une charge positive finie, dont on précisera la
valeur en fonction des données
...
5
...
6
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

4πR 3

1) Exprimer le potentiel en tout point de l’espace en utilisant les équations locales de
Laplace et de Poisson
...

3) Retrouver l’expression de E(r) en appliquant le théorème de Gauss
...
1
...

2) Fil de longueur infinie : oui
...
Soit h et r respectivement la hauteur et le rayon de ce cylindre, r étant

70

3 Théorème de Gauss

la distance du fil au point M où l’on calcule le
champ électrique
...
On a :
λh
ε0
λ
E=
2πε0r

2πr h E =
soit

r

h

λ>0

E est dans le sens de u r

λ<0

E est opposé à u r

⇒E=

M

ur

λ
ur
2πε0r

3) Circonférence : non
...

5) Plan infini
...

dV
−→
−
ez est perpendiculaire au plan (π)
...
En effet, si l’on prend pour surh
face de Gauss un cylindre de hauteur h et de
S
σ>O
surface de base S, symétrique par rapport à π
(π), (voir figure ci-contre), on a :
N
σS
qint
⇒ 2E S =
ε0
ε0
σ
E=
2ε0

E · N dS =
d’où :

N2

E2 = – E1

Le sens de E indiqué sur la figure correspond
à σ > 0
...

6) Dan le cas de la sphère creuse ou pleine, on peut appliquer le théorème de Gauss
...
On a :
E · N dS =

qint
,
ε0

N = er

Corrigés

soit :

71

4πr 2 E =

qint
ε0

a) Sphère chargée en surface (on suppose
σ > 0) :
si r > R :
σ R2
⇒ E ext =
er
qint = 4πR 2 σ
ε0 r 2
si r < R :
qint = 0

er
R
r

O

E

M

⇒ E int = 0

En utilisant la relation

E =−

dV
er ,
dr
Vext =

Vext (∞) = 0

on trouve :
σ R2
+ C1
ε0 r

⇒ C1 = 0

⇒ Vext =

σ R2
ε0 r

Vint = C2
La continuité de V (r) sur la surface implique que :
σ
Vint = R
ε0
Allure des courbes V (r) et E(r) :
E (r )

© Dunod
...


V (r )

V (r )

σ
ε0 R
σ
ε0

E (r )

O

R

On note une discontinuité de E, d’une valeur

r

σ
, à la traversée de la surface de la
ε0

sphère
...

On remarque que, aussi bien dans le cas de la sphère chargée en surface que dans le
cas de la sphère chargée en volume, le calcul de E ext revient à considérer la charge
totale Q portée par la sphère comme placée au centre O de cette sphère
...
2
...
En utilisant les résultats du
la sphère O1 ,
4
−→
−
O1 M
cours et en posant er = − → on obtient :
−
O1 M
r

b)

R
4

© Dunod
...


c)

r

r

−

ρ0 R 3
er
3ε0r 2

R

ρ0r
er
3ε0

0

ρ
− 02
3ε0r

ρ0r
er
3ε0

R

E = E1 + E2

E2

ρ0r
er
3ε0

R
4

r

a)

E1

R
4

3

ρ0
3ε0r 2

R
4

3

−

er

R3
ρ0
r−
er
3ε0
64r 2

er

21 ρ0 R 3
64 ε0r 2

On obtient alors V (r) en utilisant la relation :
V (r) = −
– Pour r

V (r) =

R:

21 ρ0 R 3
+ C1
64 ε0r

V (∞) = 0
– Pour

R
4

r

R:

V (r) = −

E(r) dr

⇒ C1 = 0

ρ R3
ρ0r 2
− 0
+ C2
6ε0
192ε0r

74

3 Théorème de Gauss

La continuité de V (r) en r = R s’écrit :
21 ρ0 R 2
33 ρ0 R 2
=−
+ C2
64 ε0
192 ε0
C2 =
V (r) = −

d’où
– Pour r

ρ0 R 2
2ε0

R
:
4

r
R

2

+

1
96

R
r

−1

V (r) = C3

La continuité de V (r) en r =

R
:
4
ρ0 R 2
2ε0

1
1
+
−1
48 24
15ρ0 R 2
V (r) =
32ε0

C3 = −
d’où :

1
3

ρ0 R 2
2ε0

Allure des courbes

2) En appliquant toujours le principe de
superposition :
E(M) = E 1 (M) + E 2 (M)
ρ −→
−
E 1 (M) = 0 O2 M
a)
3ε0
ρ −→
−
E 2 (M) = − 0 O2 M
et
3ε0
ρ −→ −→
−
−
( O1 M − O2 M)
D’où : E(M) =
3ε0
ρ −−
−→
( O1 O2 )
E(M) =
soit :
3ε0
Le champ électrique est uniforme
...
3
...

On a successivement :

E2

Kq
u AB
l2
Kq
E C = 2 u AC
l
2K q
E 1 = E B + E C = − 2 cos αi
l
EB =

A
EB α
O
−q
B

EC
E1
−q
C

en désignant par i le vecteur unitaire porté par
−
→
O A
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
L’application du théorème de Gauss à la sphère de centre O, de rayon r passant par A donne :
ρ
4
4πr 2 E 2 = πr 3
3
ε0
ρr
E2 =
avec r R
3ε0
La sphère contient la charge totale +3q (sans les trois charges ponctuelles −q) donc :
9q
4 3
πR ρ = 3q ⇒ ρ =
3
4πR 3
r
E 2 = 3K q 3
avec r R
R

76

3 Théorème de Gauss

Le champ E 2 est radial centrifuge :
E 2 = 3 kq

r
i
R3

avec

R

r

3) Le champ total en A est :
Kq
3K qr
E A = E1 + E2 = − √ +
i
2 3
R3
r
Pour que la charge placée en A soit en équilibre, il faut que :
FA = −q E A = 0
D’où :
4)

Or
On obtient :

3
...


√
3r 3 3 = R 3

⇒ EA = 0
R
⇒ r=√
3

2K q
2K q
=− √
l
r 3
3K qr 2
V2 = − E dr = −
+C
2R 3
V2 (0) = 0
⇒ C =0
V1 = −

2K q
3K qr 2
V A = V1 + V2 = − √ −
2R 3
r 3

V (M) =

A
exp(−r/a)
4πε0r

1) A a les dimensions d’une charge et a d’une longueur
2)

dV
−→
−
er
E (M) = −grad V = −
dr
E(M) = −

d
dr

= KA

KA
exp(−r/a)
r

1
r
1+
2
r
a

exp(−r/a)

3) Théorème de Gauss, appliqué à une sphère de centre O et de rayon r :
Q
=
ε0

E · N dS = E 4πr 2
sphère

Corrigés

77

On en déduit :
Q = 4πε0r 2 E
r
= A 1+
a

exp(−r/a) > 0

La charge totale de la distribution correspond à la valeur de Q lorsque r −→ ∞
...
On peut écrire :
ρ(r)4πr 2 dr = dQ
= A exp(−r/a) −

1
r
1+
a
a

+

1
a

r
exp(−r/a)
a2
A 1
ρ(r) = −
exp(−r/a) < 0
4πa 2 r
= −A

5) On a :

Q = A 1+

Lorsque

r −→ 0

r
a

exp −

r
a

Q −→ A > 0

Au voisinage de 0, le champ E devient :

© Dunod
...


E(M) =

KA
r2

Tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle Q 0 = A > 0
point O
...


78

3 Théorème de Gauss

3
...
Pour des raisons de symétrie (voir exemple 1), le champ électrique E est radial
...

1) Application du théorème de Gauss :
(S)

qint
ε0

E · dS =

La symétrie cylindrique de la distribution
impose de prendre pour surface de Gauss un
cylindre de rayon r et de hauteur h
...
6
...


© Dunod
...


En coordonnées sphériques, le laplacien se réduit à :
V =

1 d
r 2 dr

r2

dV
dr

r
er

1) Calcul du potentiel V (r) :

M

a) pour r < R : ρ = Cte
...
Par suite :
V (0 < r < R) = −

ρr 2
+B
6ε0

où la constante B sera déterminée ultérieurement
...
On a donc d’une part :
−

C
ρR 2
+B=−
6ε0
R

(1)

C
ρR
= 2
3ε0
R

(2)

et d’autre part :
−

C =−

L’équation (2) donne :
L’équation (1) donne :
Finalement puisque ρ =

B=

ρR 3
3ε0

ρR 2
ρR 2 ρR 2
+
=
3ε0
6ε0
2ε0

3Q
, on obtient :
4πR 3

Corrigés

81

• pour r

R:

• pour r

V (r) =

R:

KQ
2R

V (r) =

3−

r2
R2

KQ
r

Dans ce dernier cas, tout se passe comme si toute la charge Q était placée au point O
...

a) pour r < R :
4
Q int = πr 3 ρ0
3

⇒

E=

K Qr
ρ0r
er =
er
3ε0
R3

b) pour r > R :

© Dunod
...


Q int = Q
On retrouve bien les mêmes résultats
...
1
...

Parmi les conducteurs, on peut citer les métaux, les semiconducteurs, les
électrolytes ou encore les gaz ionisés
...

Énoncé de la loi

Dans un système isolé, la charge électrique se conserve :
q=0
Par exemple, un atome non ionisé se comporte comme une particule électriquement neutre
...
2
...


4
...
Ainsi, dans les métaux, on admet
qu’en moyenne un électron se trouve libéré pour chaque atome, le nombre
d’atomes par cm3 étant de l’ordre de 1023
...
Il en résulte une
conductivité très faible, ce qui correspond à une résistance très élevée (voir
chapitre 6)
...
3 ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE :
THÉORÈME DE COULOMB
On définit la condition d’équilibre d’un conducteur comme impliquant l’immobilité des charges contenues à l’intérieur de ce conducteur
...

ρ
div E int = int
L’équation locale :
ε0
entraîne que l’équilibre s’exprime finalement par :

© Dunod
...


E int = 0

ρint = 0

(4
...

Deux cas peuvent se présenter suivant que le corps est neutre ou chargé
...

−→
−
⇒
Vint = 0
– grad Vint = 0
L’équation de Laplace, valable dans l’espace vide où
ρ = 0, est donc applicable aux conducteurs en équilibre
...

᭿ Corps

conducteur chargé

La condition d’équilibre des porteurs de charge entraîne toujours :
E int = 0 d’où ρi = ε0 div E = 0 d’une part et Vint = cte = V0 d’autre part
...

(σ > O )
Les conditions de passage du champ E à
travers la surface donnent :
a)

E

V0
ρint = 0

N

Eint = 0

E T ext = E T int = 0

Vint = V0

E

Par conséquent, au voisinage de la surface, E ne peut être que normal à la surface
...

Comme E int = 0, on a :
E ext =

σ
N
ε0

(4
...

Cette relation, qui traduit que les lignes de champ sont normales à la surface
du conducteur, constitue le théorème de Coulomb
...
3 ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE : THÉORÈME DE COULOMB

85

᭿ Conséquences

– Dans le cas d’un conducteur sphérique chargé, le champ sur la surface a
pour expression :
Q
E=
er
4πεR 2
comme si la charge Q était placée au centre de la sphère
...

– Comme σ =

Exemple d’application : parafoudre à éclateurs où le champ très intense sur
les pointes peut ioniser les molécules de l’air environnant, contribuant à l’écoulement des charges accumulées
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

Sur cette surface, il y aura apparition de
σ < 0 aux points où aboutissent les lignes
de champ, et de σ > 0 aux points d’où
elles repartent
...

On en déduit que les points M et N pris sur V = V0
la surface interne sont au même potentiel :
−
→
VM − VN = −
E cavité · d = 0 ⇒ E cavité = 0
MN

Le champ est nul dans la cavité, comme il l’est dans la partie massive du
conducteur, et cela, quelles que soient les conditions extérieures au conducteur
...
On peut montrer que, inversement, tout

86

4 Conducteurs en équilibre

champ appliqué dans la cavité, ne sera pas décelé à l’extérieur du conducteur
...


4
...
PRESSION ÉLECTROSTATIQUE
Soit dS un élément de surface sur un conducteur
chargé d’une densité surfacique σ
...
2) E = N
ε0
On en déduit que le champ créé par le reste du conducteur (conducteur privé
de dS) est :
σ
E2 = E − E1 =
N
2ε0
L’élément σ dS « ne voyant pas » son propre champ, ne subit que l’action du
champ E 2
...
3)

4
...
4)

où E est la norme du champ à la surface du conducteur
...


4
...
INFLUENCE DE DEUX CONDUCTEURS CHARGÉS
...
5
...
On suppose que, initialement (C1 ) est
chargé avec une densité σ1 > 0, et C2 est neutre
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Les densités sont
de signes contraires pour assurer la neutralité de (C2 )
...

On considère le tube de champ de section dS1 sur (C1 ) : il va délimiter sur
(C2 ) une section dS2
...

Le théorème de Gauss appliqué à ce tube donne :

(tube)

soit :

−
→
E · dS = 0 =

qint
ε0

qi = σ2 dS1 + σ1 dS2 = 0

88

4 Conducteurs en équilibre

Les charges σ1 dS1 et σ2 dS2 qui se font face sur deux éléments de surface
correspondants sont égales et opposées (théorème de Faraday)
...

4
...
2 Influence totale

Si l’un des deux corps (C2 par exemple)
entoure totalement l’autre, il y a correspondance totale entre les charges de la
surface (S1 ) de (C1 ) et la surface interne
(S2 ) de (C2 )
...

On peut donc résumer la situation de la manière suivante :
– dans la partie massive de (C1 ) : E 1 = 0,
– sur la surface de (C1 ) : charge Q 1 > 0 créant E 2 ,
– sur la surface interne de (C2 ) : charge −Q 1 ,
– dans la partie massive de (C2 ) : E = 0,
– sur la surface externe de (C2 ) : apparition de la charge +Q 1 pour assurer
la neutralité de (C2 ) (si l’on suppose (C2 ) neutre au départ),
– à l’extérieur des deux conducteurs : le champ E ext est celui créé par la
seule charge Q 1 portée par la surface externe de (C2 )
...
6
...
Il apparaît
alors sur sa surface, une charge q définie par :
q=

(S)

σ dS

Si le potentiel devient V1 , puis V2 , puis V3 , la
charge devient q1, q2, q3
...
7 SYSTÈME DE n CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE

89

ρ
est
ε0
linéaire car si on multiplie ρ par un facteur A, le potentiel sera lui aussi multiplié par A), on peut écrire :
V =−

potentiel étant linéaires (par exemple, l’équation locale

q
q2
q3
q1
=
=
=C
=
V
V1
V2
V3
Le coefficient de proportionnalité C, indépendant de q et de V, est appelé la
capacité du corps conducteur
...


Exemple 1
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
5)

4
...
SYSTÈME DE n CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
Pour simplifier, on se limite à un système
de trois conducteurs
...

Pour cela, on définit trois états d’équilibre
auxquels on applique ensuite le principe
de superposition
...

2e état : conducteur n° 2 au potentiel V2 , les autres au potentiel 0
...

1er état : Q 11 , Q 21 , Q 31 étant les charges portées respectivement par les
conducteurs 1, 2, 3, on a :
Q 11 = C11 V1

C11 > 0

Q 21 = C21 V1

C21 < 0

car charge Q 21 < 0

Q 31 = C31 V1

C31 < 0

car charge Q 31 < 0

avec

|C21 + C31 |

2e état :

Q 12 = C12 V2

C11

(influence partielle)

Q 22 = C22 V2
Q 32 = C32 V2
3e état :

Q 13 = C13 V3
Q 23 = C23 V3
Q 33 = C33 V3

Superposition des potentiels :
V1 + 0 + 0 = V1
0 + V2 + 0 = V2
0 + 0 + V3 = V3
Superposition des charges :
Q 1 = C11 V1 + C12 V2 + C13 V3
Q 2 = C21 V1 + C22 V2 + C23 V3
Q 3 = C31 V1 + C32 V2 + C33 V3
La relation entre charges et potentiels est une relation matricielle
...
7 SYSTÈME DE n CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE

⎡

91

C11 C12 C13

⎤

⎢
⎥
C = ⎢ C21 C22 C23 ⎥
⎣
⎦
C31 C32 C33
constitue la matrice des coefficients d’influence du système des trois conducteurs
...
Sous forme matricielle, cette relation s’écrit :
[Q i ] = [Ci j ][Vj ]

(4
...
Cette écriture signifie que, pour
chaque valeur de i, il faut sommer cette expression sur j
...

᭿ Cas

particulier d’un système de deux conducteurs en influence totale

On a :

Q 1 = C11 V1 + C12 V2
Q 2 = C21 V1 + C22 V2

avec

C21 = C12

Si le corps (2) entoure le corps (1), l’influence est totale, on a alors :
© Dunod
...


Q 2 = −Q 1 ⇒ C12 V1 + C22 V2
= −C11 V1 − C12 V22
quels que soient V1 et V2
...


(4
...
On arrive à une relation matricielle
de la forme :
[Vi ] = [Di j ][Q j ]
où la matrice D est la matrice inverse de la matrice C des coefficients
d’influence
...


Exemple 2
...
On demande de calculer
les coefficients de capacité C11 , C22
et les coefficients d’influence C12 et
C21 d’un tel système
...

d
En faisant de même pour le potentiel de (S2 ) dû à (S1 ), on peut écrire :
⎧
⎤
⎡
1
1
⎪ V = K Q1 + K Q2
⎪ 1
⎪
⎨
⎢ R1 d ⎥
R1
d
⎥
⎢
⇒D=K⎢
⎥
⎪
⎣ 1
K Q1
K Q2
1 ⎦
⎪
⎪V =
⎩ 2
+
d
R2
d R2
La matrice C des coefficients de capacité et d’influence est alors obtenue en
prenant l’inverse de la matrice D
...
8 CAPACITÉ D’UN CONDENSATEUR

C11 =

93

R1 /K
1 − R1 R2 /d 2

C22 =

C12 = C21 =

R2 /K
1 − R1 R2 /d 2

−R1 R2 /K
d(1 − R1 R2 /d 2 )

On vérifie bien que :
– la matrice C est symétrique : C12 = C21 ,
– C11 et C22 sont positifs
...

En faisant tendre d vers l’infini, on retrouve la capacité de la sphère S1 seule,
soit :
C11 = 4πε0 R1

4
...
CAPACITÉ D’UN CONDENSATEUR
À partir de la relation (4
...
8)

© Dunod
...


on voit que la connaissance de la charge Q 1 (ou Q 2 ) et de la différence de
potentiel (d
...
p
...

Lorsque des considérations de symétrie permettent d’appliquer le théorème de
Gauss, le calcul de la capacité C peut se faire très aisément
...

Pour un point M, situé entre les deux
armatures et tel que O M = r, on peut
écrire :
Q1
E = K 2 er
r
dV = −E dr

⇒

V =K

Q1
R1
O

R2

V1
M
V2

E

Q1
+ Cte
r

94

4 Conducteurs en équilibre

La d
...
p
...
9)

Le conducteur sphérique de rayon R1 pris tout seul, peut être considéré
comme une armature d’un condensateur sphérique dont la deuxième armature de rayon R2 est rejetée à l’infini
...
5)
...
Entre ces deux armatures, le théorème de Gauss permet d’écrire :
E 2πr h =

Q1
ε0

⇒E=

r
h

Q1
er
2πε0r h
R1

On en déduit :

R2

V1 − V2 =

R2 dr
Q1
Q1
R2
=
ln
2πε0 h R1 r
2πε0 h
R1

D’où la capacité :
C=

᭿ Condensateur

Q1
2πε0 h
=
R2
V1 − V2
ln
R1

(4
...


4
...
Entre les deux armatures, on a :
σ
u 12 pour la 1re armature,
E1 =
2ε0
E2 =

95

V1

S

u12

e

u21
V2

−σ
u 21 pour la deuxième
...
11)

4
...
ASSOCIATION DE CONDENSATEURS

© Dunod
...


4
...
1 Association en série

La charge Q se conserve : toutes les
armatures de rang impair portent la
même charge +Q, toutes les armatures
de rang pair la même charge −Q :

+Q

− Q +Q

−Q

C1
V

C2

C3

V12

V23

V34

Q = C1 V12 = C2 V23 = C3 V34
Les d
...
p
...
9
...
d
...
se conserve ; elle est commune à
tous les condensateurs :
⎧
⎪ Q 1 = C1 V
⎨
Q = C2 V
⎪ 2
⎩
Q 3 = C3 V

Q1

Q2

Q3

C1

C2

C3

V

Les charges se répartissent différemment, l’ensemble donnant la charge
Q = C V
...
10
...
Cette méthode repose sur le théorème d’unicité, qui
exprime que la solution de l’équation de Laplace vérifiant les conditions aux
limites données est unique
...
L’exposé de ces techniques sort du cadre de cet
ouvrage
...
10 MÉTHODES DE RÉSOLUTION

97

– en appliquant le théorème de Gauss si des symétries favorables se présentent,
– en utilisant le principe de superposition des états d’équilibre (voir paragraphe 7)
...


Exemple 3
...
On demande de déterminer la
densité de charge σ apparaissant sur (π), ainsi que la force d’attraction entre
+q et (π)
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

r
E−
La solution est évidente : une charge −q plax
cée en P , symétrique de P par rapport à (π),
θ
P
P'
qui sera associée à +q en P en l’absence du
a
+q
–q
u
plan conducteur : l’ensemble des deux charges donnera bien un potentiel nul sur le plan
V=0
(π)
...

L’introduction de cette image facilite le calcul
...
1
...

1) Quelles sont la capacité C et la charge Q de ce condensateur quand il est soumis
à une différence de potentiel V A − VB = 500 V ?
2) On isole le condensateur (P)
...

A
(M1)
(M)
(M2)

R
d1
e

d

B

Quelles sont les charges portées par les deux faces (M1 ) et (M2 ) de la feuille métallique ?
3) Quelle est la force électrostatique résultante agissant sur (M) ?
4) Calculer la capacité C du condensateur équivalent à l’ensemble (P) + (M)
...
d
...
V A − VB entre les armatures A et B
...
2
...

1) Quels sont la capacité C1 et le potentiel V1 de (S1 ) ?
2) On relie (S1 ) à une autre sphère métallique (S2 ) de rayon
R2 = 1 cm, par un fil conducteur long et fin
...
Les charges superficielles sur le fil fin sont supposées
négligeables
...


(S1)

(S2)

4
...
Une sphère s conductrice de rayon r, de centre O1 , est au contact d’une pointe
P reliée au sol (potentiel nul)
...
On pose
O1 O2 = a
...

1) Au départ s est au contact de P
...

2) Calculer la charge Q 1 de (S) au premier contact avec (s) et la charge q1 de (s) au
contact suivant avec P
...
N
...
Au bout de combien de contacts la
charge de (S) sera de 10 000/3 plus faible que sa charge initiale ?

© Dunod
...


4
...
On considère un fil conducteur cylindrique infiniment long et mince, de rayon
R, portant une densité linéique de charge λ
...
En déduire le potentiel V (r) en ce point en supposant
V (∞) = 0
...

R est suffisamment petit devant a pour que la répartition
des charges sur les conducteurs soit considérée comme
−λ
+λ
uniforme
...
En
déduire le potentiel de chaque conducteur
...

A
...
: R = 2 mm ; a = 2 m ; K = 9
...
I
...

3) Application : Un fil conducteur de rayon R = 0,5 cm parallèle au plan du sol, à
une hauteur de 4 m, est porté au potentiel Vf = 1 kV
...

b) Quelle est la valeur du champ électrique à la surface de
ce conducteur ?

2R
d

4
...
1) Quelle est la charge Q 1 d’une sphère métallique (A) de rayon R1 = 6 cm
lorsqu’elle est portée au potentiel V0 = 45 000 volts ? Dans tout le problème on supposera cette sphère isolée
...


(A)
R1
(B)

O

R2
R3

a) Quelles sont les charges portées par (B) ?
b) En déduire les potentiels V A et VB des deux sphères
...


3) La sphère (B) est reliée à la terre (VB = 0)
...
I
...
6
...

La sphère est portée au potentiel V > 0, puis isolée
...


Exercices

101

2) Dans le cas où la coupure est faite dans le plan équatorial, pour quelle valeur de
V y aura-t-il séparation des deux hémisphères ?

4
...
Trois petites sphères (S1 ), (S2 ) et (S3 ) conductrices, isolées, identiques de rayon
R, sont placées dans le vide aux trois sommets d’un triangle équilatéral de côté a
(a
R)
...


1) Calculer les potentiels aux centres O1 , O2 et O3
...


(S3)

a

O3

a

O2

(S2)

Ci j Vj avec j = 1, 2, 3 et où Vj est le potentiel de la sphère j

2) Si on écrit Q i =
j

portant la charge Q j, on introduit la matrice des coefficients d’influence Ci j qui
exprime les charges Q i en fonction des potentiels Vi
...

b) Vérifier qu’elle est symétrique, que les coefficients Cii sont positifs et les coefficients Ci j négatifs
...

3) On fait les trois opérations suivantes : la sphère (S1 ) est connectée à la terre pen-

© Dunod
...


dant un temps suffisamment long pour que l’équilibre électrostatique se rétablisse,
puis la connexion est coupée
...

Calculer les charges Q 1 , Q 2 et Q 3 des trois sphères après ces trois opérations
...
8
...
N
...
Calculer les tensions aux bornes de chaque condensateur ainsi que les charges qu’ils portent
...
1
...
N
...


2) L’influence entre les conducteurs est totale
...
d
...
entre A et B
...

C1 C2
ε0 S
ε0 S
C =
=
=
On en déduit :
C1 + C2
d1 + d2
d −e
C =

soit :

ε0 S
e
d 1−
d

C

=

1−

e
d

e
C
1
=
= 0,4 ⇒ C =
= 1,7 · 10−9 F
d
2,5
0,6

A
...
:

V A − VB =

Q
C
= (V A − VB )
C
C

V A − VB = 0,6 × 500 = 300 V

A
...
:

4
...
1) On a successivement :
C = 4πε0 R1 =

© Dunod
...


A
...
:

R1
K

V1 =

et

C1 = 10−11 F = 10 p F

Q1
Q1
=K
C1
R1

V1 = 103 V = 1 kV

et

2) La charge Q 1 va se répartir sur les deux sphères de façon qu’à l’équilibre le potentiel soit le même sur les deux sphères
...
N
...


4
...
1)

V01 =

q
Q
+
r
a

1
4πε0

=0

⇒ q=−

Qr
a

2) Au 1er contact de (s) et (S) on a V01 = V02 et, par conséquent :
q1
Q1
q1 + Q 1
=
=
r
R
r+R
Conservation de la charge :

Q1 =

R
(q + Q)
r+R
Q R(a − r)
q1 =
a(r + R)

⇒ Q1 =

q1 + Q 1 = q + Q
Q R(a − r)
a(r + R)

Au contact suivant de (s) et P :
q1 = Q 1

r
a

3) On a de même :
Q2 = Q1

R(a − r)
R(a − r)
=Q
a(r + R)
a(R + r)

et par récurrence :
Qn = Q

4) A
...
:

Qn = Q
a = 9R

n

R(a − r)
a(R + r)
a−R
2a

⇒ Qn = Q

n

4
9

n

2

Corrigés

105

On doit avoir :
4
9

n

= 3 · 10−4 ⇒

n=

4 − log 3
= 10
log 9 − log 4

4
...
1) La distribution de charge présente la symétrie
cylindrique : V ne dépend donc que de r et
dV
−→
−
er est radial et ne dépend que
E = −grad V = −
dr
de r
...


λ>O
r

E (r)

er

h

Le théorème de Gauss donne :
2πr h E =

λh
ε0

⇒E=

λ
2K λ
er =
er
2πε0r
r

On en déduit :
V (r) = −

E dr = −2K λ ln r + cte

V (∞) = 0 ⇒ cte = 0 ⇒ V = −2K λ ln r
R : la densité linéique de charge de chaque fil ne change pas
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

a) L’ensemble (fil + sol) est équivalent à deux fils (A) et (B) parallèles, distants de
2 d, admettant le plan du sol (π) comme plan médiateur, et portant respectivement les
charges linéiques +λ et −λ
...
Le fil (B) constitue l’image du fil (A) par rapport au plan (π)
...
N
...
5
...

b) On a :
K Q1
K Q1
K Q1
VA =
−
+
= 40,5 kV
R1
R2
R3
VB =

er
−Q1

+Q1

R1
K Q1
K Q 1 R1
=
= V0
= 18 kV
R3
R1 R3
R3

M

Q1
R1

r
O
(A)

R2
R3

(B)

c) 0 < r < R1 :
V (r) = V A = 40,5 kV

© Dunod
...


E =0
R1 < r < R2 : Le théorème de Gauss s’écrit :
Q1
K Q1
⇒ E(r) = 2 er
4πr 2 E =
ε0
r
K Q1
V (r) =
+ C1
d’où :
r
La continuité de V pour r = R1 s’écrit :
K Q1
+ C = V A ⇒ C1 = V A − V0 = −4,5 kV
V (R1 ) = V A et
R1
K Q1
− 4,5 kV
V (r) =
D’où :
r

108

4 Conducteurs en équilibre

R2 < r < R3 : Le conducteur est équipotentiel, soit :
V (r) = V (R2 ) = V (R3 ) = VB = 18 kV
= E(r) = 0
r > R3 : On obtient de même par le théorème de Gauss :
E(r) =

K Q1
er
r2

K Q1
avec V (∞) = 0
r2
Discontinuité de E au passage des surfaces des conducteurs :
V (r) =

Surface r = R1 :
E(r = R1 ) =

E(r < R1 ) = 0

K Q1
= 750 kV · m−1
2
R1

Surface r = R2 :
E(r < R2 ) =

K Q1
K Q1
=
2
2
R2
R1

R1
R2

2

= 187,5 kV · m−1

E(r = R2 ) = 0
Surface r = R3 :
E(r < R3 ) = 0

E(r = R3 ) =

K Q1
K Q1
=
2
2
R3
R1

R1
R3

2

= 120 kV · m−1

Représentations graphiques :

V(r) (kV)
40,5

18

0

6

12

15

r(cm)

Corrigés

109

E(r) (kV
...
6
...

On en déduit :
© Dunod
...


R

θ

α

ε0 V
σ=
O
R
D’après le théorème de Coulomb, le champ E est normal à la surface et a pour
σ
valeur : E = N
...
Il en résulte une force élépropre champ, n’est soumise qu’au champ E =
2ε0
mentaire
σ2
−
→
N dS
dF = dq E =
2ε0
σ2
dF
constitue la pression électrostatique
...

En prenant dS = 2πR 2 sin α dα , on a :
θ

cos α dS = 2πR 2

sin α cos α dα = πR 2 sin2 θ

0

S1

ε0 V 2
π sin2 θ
2
π
2) Si la coupure est dans le plan équatorial, θ = et l’on a :
2
2
ε0 V
Fz =
π
2
ε0 V 2 π
M
, soit :
La calotte se soulève si g <
2
2
Mg
V >
ε0 π
Fz =

D’où :

4
...
1) S1 crée en O1 le potentiel :

S1

K Q1
V1 (O1 ) =
R1
(S2 ) et (S3 ) créent en O1 les potentiels :
V1 (O1 ) =

K Q2
K Q3
et V1 (O1 ) =
a
a

a

a

S3

D’où le potentiel total en O1 :
V1 =

O1

O3

K
R
(Q 1 + αQ 2 + αQ 3 ) en posant α =
R
a

On aura de même, aux points O2 et O3 :
K
V2 = (αQ 1 + Q 2 + αQ 3 )
R
K
V3 = (αQ 1 + αQ 2 + Q 3 )
R

S2

a
O2

(α

1)

Corrigés

111

On en déduit la relation matricielle :
⎛
⎞
⎛ ⎞
Q1
V1
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ V2 ⎠ = D ⎝ Q 2 ⎠
V3

Q3

où D est la matrice :
⎛
⎞
1 α α
K ⎝
D=
α 1 α⎠
R
α α 1
2) La matrice des coefficients d’influence est l’inverse de la matrice D
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

• en divisant la matrice obtenue par le déterminant de la matrice D
...

Déterminant :
K
= [(1 − α2 ) − α(α − α2 ) + α(α2 − α)]
R
K
= (1 − 3α2 + 2α3 )
R
Matrice des cofacteurs :
⎡
⎤
(1 − α2 ) −(α − α2 )
(α2 − α)
⎢
⎥
(1 − α2 ) −(α − α2 ) ⎦
⎣ −(α − α2 )
(α2 − α) −(α − α2 )

(1 − α2 )

En tenant compte des signes, on obtient la matrice cherchée :
⎡
C=

1 − α2

α2 − α α2 − α

⎤

1
R
⎢ 2
⎥
·
⎣ α − α 1 − α2 α2 − α ⎦
K (1 − 3α2 + 2α3 )
α2 − α α2 − α 1 − α2

On vérifie bien que :
– la matrice est symétrique : Ci j = C ji

112

4 Conducteurs en équilibre

– les Cii sont positifs : 1 − α2 > 0

car

α

1

α2 − α = α(α − 1) < 0

– les Ci j sont négatifs :
Au second ordre près on a :
Cii
Ci j

R 1 − α2
4πε0 R(1 + 2α2 )
K 1 − 3α2
R α(1 − α)
−
−4πε0 Rα(1 − α)
K 1 − 3α2

3) La sphère S1 est mise au potentiel zéro puis déconnectée : elle va prendre la charge
Q 1 , S2 et S3 gardent leur charge Q 2 et Q 3
...
8
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
On trouve :
√
−C1 + C1 5
C2 =
2
A
...
:

C2 = 4,94 μF

114

4 Conducteurs en équilibre

2) Soit u AB = V A − VB la tension appliquée entre les points A et B
...
N
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
1
...
En effet, cette charge crée autour
d’elle un champ E et un potentiel V, mais c’est en interagissant avec le champ
d’une autre charge ou d’une distribution de charges qu’elle va acquérir une
énergie potentielle E p engendrant une force d’interaction F
...
1)

où q et q sont des valeurs algébriques et r est la distance séparant les deux
charges
...

Une justification du dernier point consiste à dire que cette énergie représente
le travail qu’il faut effectuer pour réaliser le système des deux charges, c’està-dire amener la charge q de l’infini où le champ de q est nul, à la distance
r où le champ est :
Kq
E = 2 er
r

5
...
Pour exprimer
son énergie potentielle, on peut utiliser la
même idée : calculer le travail que l’expériM0
mentateur doit effectuer pour amener cette
E(M0)
q
charge q de l’infini au point M0
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


5
...
ÉNERGIE POTENTIELLE D’UN SYSTÈME DE CHARGES
5
...
1 Cas d’une distribution de charges ponctuelles

Soit un système de charges q1, q2, q3 placées respectivement aux points A1,
A2, A3
...

Pour cela, on adoptera la même démarche
que précédemment, qui consiste à reconstituer le système en amenant les charges l’une
après l’autre, de l’infini à leurs positions définitives
...
Le travail effectué est
W1 = 0
...

W2 = K

Travail effectué :

q1 q2
A1 A2

q1 étant en A1 et q2 en A2, on amène q3 en A3
...
On obtient :
2E p = K q1

q2
q3
+
A1 A2
A1 A3

+ q2

= (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 )

q3
q1
+
A2 A3
A1 A2
q2
q1
+
+ q3
A2 A3
A1 A3

où V1 est le potentiel résultant créé par les charges (q2 ,q3 ) au point A1 , V2 le
potentiel créé par les charges (q3 ,q1 ) au point A2, et V3 le potentiel créé par
les charges (q1 ,q2 ) au point A3
...
2)

5
...
2
...
En désignant par dq la charge élémentaire et par V le potentiel auquel
est soumis cette charge, on obtient :
Ep =

1
2

(5
...
3
...
3
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
3) s’intègre immédiatement, puisque le conducteur est équipotentiel (V = cte)
...
4)

5
...
2 Énergie d’un système à n conducteurs

On a alors :

1
1
1
E p = q1 V1 + q2 V2 +
...


(5
...
3
...
6)

et cela, quelle que soit la forme du condensateur
...
4
...

À chaque instant du processus de charge, le condensateur « voit » à la fois son
potentiel et sa charge varier
...
On retrouve l’expression de
E p établie précédemment à partir de :
Ep =

1
[q1 V1 + q2 V2 ]
2

qui explicite les contributions des deux armatures
...
4 CHARGE D’UN CONDENSATEUR : ASPECT ÉNERGÉTIQUE

121

La source, quant à elle, « voit » son potentiel rester constant et égal à Vf pendant tout le processus de charge
...

On peut montrer que la différence E p − E p = E p est obligatoirement dissipée
sous forme calorifique dans les fils de connexion, et d’une manière générale
dans la résistance du circuit de charge, quelle que soit cette résistance
...

i

C

R

E

La loi d’Ohm pour ce circuit s’écrit :

© Dunod
...


Ri +

q
=E
C

L’énergie dissipée par effet Joule entre les instants t et t + dt est donc :
dW = Ri 2 dt = Ei dt −
= E dq −

q
i dt
C

qdq
C

Par conséquent, l’énergie totale dissipée au cours de la charge est :
W =

Q
0

E dq −

1 Q
Q2
q dq = E Q −
C 0
2C

122

5 Énergie électrostatique

soit, compte tenu de Q = C E :
W = C E2 −

C E2
1
= C E2
2
2

L’énergie dissipée dans le circuit de charge est bien égale à l’énergie emmagasinée dans le condensateur
...
5
...
Soit V
la différence de potentiel appliquée entre
ces armatures
...
Sa norme
est donnée par :
V
E=
e
1
E p = ε0 E 2 Se
On peut donc écrire :
2
On peut considérer que la densité d’énergie par unité de volume, qui est liée
au champ électrique est également uniforme
...


5
...
7)

5
...
CALCUL DE FORCES ÉLECTROSTATIQUES
À PARTIR DE L’ÉNERGIE
Lorsqu’on cherche à calculer les forces électrostatiques à partir de l’énergie
emmagasinée dans un système, deux cas peuvent se présenter :
– la charge reste constante,
– le potentiel reste constant
...
6
...

À chaque travail élémentaire dW des forces électrostatiques correspond une
variation dE p de l’énergie emmagasinée
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
8)

en tout point de la distribution de charge
...
6
...

Dans ce cas, à tout travail élémentaire dW des forces électrostatiques correspondent à la fois une variation dE p de l’énergie emmagasinée, et une énergie dE s dépensée par la source pour maintenir le potentiel constant
...

On en déduit
dW + dE p = 2dE p

⇒ dW = dE p

−
→
et comme dW = F · d , il vient :
−→
−
F = +grad E p

(à potentiel constant)

en tout point de la distribution de charge
...


5
...
EXEMPLES D’APPLICATION
Exemple 1
...
Soit Q la charge portée par cette sphère, et C sa
capacité
...
Énergie d’une sphère chargée en volume
Il ne peut s’agir d’une sphère conductrice, car à l’équilibre, celle-ci ne peut
contenir des charges volumiques
...


5
...

D’après le paragraphe 2, on a :

R
M
r

O

1
ρV dτ
2 τ
où V est le potentiel au point courant M et τ est le volume de la sphère
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

À un instant quelconque, la charge amenée est :
dq = 4πr 2 dr ρ

R

O

r

126

5 Énergie électrostatique

et le potentiel régnant à la surface de la sphère est :
Kq
V =
r
où q est la charge portée par la sphère à cet instant, soit :
4
q = πr 3 ρ
3
L’énergie élémentaire acquise par la sphère est donc :
dE p = V dq
4πr 3 ρ
4πr 2 drρ
3r
16
= K π2 ρ2r 4 dr
3
=K

On en déduit :
Ep = K ·
et comme ρ = Q

16 2 2 R 4
16
r dr = K π2 ρ2 R 5
π ρ
3
15
0

4 3
πR , on arrive finalement à la même expression de
3

l’énergie :
Ep =

3 K Q2
5 R

3e méthode :
On utilise le fait que, une fois la sphère chargée, il existe en tout point de
l’espace (intérieur ou extérieur à la sphère) une densité volumique d’énergie :
1
w = ε0 E 2
2
où E est la norme du champ électrique créé par la sphère chargée, en ce
point
...
7 EXEMPLES D’APPLICATIONS

ou encore puisque ρ = Q

127

4 3
πR
3

K Qr
er
R3
L’énergie emmagasinée dans la sphère elle-même est donc :
E=

ε0 K 2 Q 2
E p (int) = w dτ =
r 2 dτ
6
2 R
τ
τ
2 dr, on trouve :
En prenant encore dτ = 4πr
E p (int) =

1 K Q2 R 4
K Q2
r dr =
2 R6 0
10R

Contribution de l’extérieur (r

R) :

À l’extérieur de la sphère, le champ est donné par :
KQ
E = 2 er
r
L’énergie contenue à l’extérieur est donc :
E p (ext) =
=

esp ext
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


Exemple 3
...

On suppose que l’armature inférieure A est fixe et que l’armature supérieure B
est susceptible de se déplacer sous l’action des forces électrostatiques qui
s’exercent entre les deux armatures
...
On
peut prévoir que la force subie par l’armature B sera verticale et dirigée vers
le bas
...


x
x

–

–

–

–

–

–

+

+

B

F
O

+

+

+

+

A

1) Condensateur chargé et isolé ( q = cte ) :
D’après le paragraphe 6, on a dans ce cas :
dE p
−→
−
F = −grad E p
⇒ Fx = −
dx
Comme

1 q2
2C

ε0 S
, on en déduit :
x
1
1 dC
d 1
1
= − q2 − 2
Fx = − q 2
2 dx C
2
dx
C
q 2 ε0 S
q2
=− 2 2 =−
2ε0 S
2C x

Ep =

et

C=

2) Condensateur relié à un générateur (V = cte) :
Dans ce cas, on a :

x

dE p
−→
−
F = +grad E p ⇒ Fx =
dx
1
E p = C V 2 d’où :
2

–
E

–

–

B

F

x
+

–

+

+

+

A

V 2 dC
q2
V 2 ε0 S
=−
Fx =
=−
2 dx
2 x2
2ε0 S
Ainsi, on obtient la même force attractive dans les deux cas : à charge constante ou à potentiel constant
...
1
...

1) Soit V1 − V2 la différence de potentiel entre l’armature interne et l’armature externe du condensateur, et q la charge de ce condensateur par unité de
longueur
...

2) En utilisant l’énergie emmagasinée entre les
armatures, retrouver l’expression de Cl
...
2
...
À l’intérieur de la
sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q, placées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral de centre O
...


© Dunod
...


1) Donner les expressions :
– du potentiel V1 créé en A par les charges
ponctuelles −q placées en B et C,
– du potentiel V2 créé en A par la distribution
volumique de charges sachant que
V2 (O) = 0 ,
En déduire le potentiel total V A au point A
...

3) Tracer la courbe E p (r)
...
Préciser la stabilité de cet équilibre
...
3
...

Quelle est l’expression de l’énergie potentielle
du dipôle P2 dans le champ de P1 ?

P1

x

M3
P2

ᐉ

O1

P1

3) On considère à présent une chaîne, supposée infinie, de molécules polaires identiques, distantes de d, (d est très grand, devant la dimension du dipôle) dans les deux
configurations suivantes :
• configuration α :
chaîne α

P

P

P

P
M

d

P

d

• configuration β :

chaîne β

P

−P

−P

P
d

M

P

d

On choisit une molécule M quelconque dans la chaîne
...

– En déduire l’énergie potentielle du dipôle placé en M dans le champ des autres
dipôles
...


Exercices

131

1+

1
1
+
+
...

3
2
3

0,9

5
...
Un condensateur plan est constitué par deux plaques métalliques de surface
S = 30 cm2 distantes de x = 5 cm
...

1) Quelles sont :
– sa capacité C ?
– la charge Q de ses armatures ?
– son énergie potentielle E p ?
Faire l’application numérique
2) On écarte les armatures de façon à porter leur distance à x = 10 cm
...

b) On suppose que l’écartement des plaques est réalisé par un opérateur de façon
quasi statique
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


3) On effectue la même opération mais en maintenant constante la ddp à 500 V grâce
à une liaison avec un générateur de tension
...

a) Quelles sont, à la fin de cette opération :
– la nouvelle charge Q des armatures ?
– l’énergie potentielle E p du condensateur ?
Quelle a été la variation d’énergie potentielle E p du condensateur au cours de cette
opération ?
b) Comme dans la question 2b, l’écartement des plaques est réalisé par un opérateur
...
Établir le bilan
énergétique de l’opération
...
5
...

Donner les expressions de la charge Q 0 et de l’énergie W0 emmagasinées dans le
condensateur C1 à la fin de l’opération
...
Calculer, à l’équilibre,
en fonction de Q 0 , C1 et C2 :

R
C1

C2

a) les charges Q 1 et Q 2 prises par les deux condensateurs,
b) les différences de potentiel V1 et V2 aux bornes des deux condensateurs,
c) les énergies W1 et W2 emmagasinées dans les deux condensateurs
...

b) En déduire l’énergie WJ dissipée par effet Joule dans la résistance R, en fonction
de Q 0 , C1 et C2 , pendant la décharge de C1
...


5
...
A) L’énergie potentielle d’interaction entre les deux atomes d’une molécule diatomique d’iodure d’hydrogène (IH) est représentée par une expression de la forme :
a
b
E p (x) = − 6 + 12 (potentiel de Lennard-Jones)
x
x
où x représente la distance séparant les deux atomes, et a et b sont deux constantes
positives
...
Déterminer la valeur x0 pour laquelle le système est en
équilibre stable
...

– Quelle est la relation entre E D et E p (x0 ) ?
– Quelles sont les valeurs des constantes a et b ?
B) On considère maintenant que la liaison entre les deux atomes de masse m 1 (pour
l’hydrogène) et m 2 (pour l’iode) est équivalente à un ressort de rappel k, dont la longueur au repos est égale à la longueur x0 de la liaison à l’équilibre
...


Corrigés

133

m1
ex

m2

M
x (équilibre)

x0
x2
m2

x1

1) Écrire les équations différentielles vérifiées par x1 et x2
...
On posera
1
1
1
+
=
(μ est la masse réduite de l’oscillateur)
...

C) On revient à la molécule d’iodure d’hydrogène
...
En
déduire l’expression de k en fonction x0 et E D
...
N
...


© Dunod
...


On donne :

m 1 = m H = 1,67 · 10−27 kg
m 2 = m I = 127m 1

CORRIGÉS
5
...
1) Par suite de la symétrie, le champ en tout point M est radial et ne dépend que
de r = H M
...


134

5 Énergie électrostatique

Le théorème de Gauss donne :

Δ

qh
ε0

E M 2πr h =

h

q
er
2πε0

EM =

R2

r

M

R1

Si V1 est le potentiel de l’armature interne, le
potentiel au point M est :
r

VM = V1 −

E dr

r

R1

VM = V1 −

q
r
ln
2πε0 R1

R1

R2

Entre les deux armatures, la différence de potentiel est :
V2 − V1 = −
Cl =

q
R2
ln
2πε0
R1

q
2πε0
=
R2
V1 − V2
ln
R1

2) Entre les armatures du condensateur, la densité d’énergie électrostatique a pour
expression :
w=

q2
ε0 E 2
= 2 2
2
8π ε0r

L’énergie Wh emmagasinée dans un volume dτ de hauteur h est :
Wh =

w dτ

avec

dτ = 2πr h dr

τ

Wh =

q 2h
4πε0

R2
R1

dr
R2
q 2h
ln
=
r
4πε0
R1

Corrigés

135

Par unité de longueur, on a :
et comme

W1 =

1 q2
,
2 C1

W1 =

Wh
R2
q2
ln
=
h
4πε0
R1

on obtient :
Cl =

2πε0
R2
ln
R1

qui est bien l’expression trouvée dans la 1re question
...
2
...

R

2K q
2K q
=− √
V1 = −
AB
r 3

O

B
En un point intérieur à la sphère de rayon R,
(−q)
le champ E créé par la distribution sphérique
est radial et a pour norme :
r
Er = 3K q 3 (voir chapitre 3, exercice 3)
R
3K qr 2
V2 = − E dr = −
+C
2R 3

Or :

V2 (O) = 0

⇒C =0

r

⇒ V2 = −

C
(−q)

3K qr 2
2R 3

© Dunod
...


On en déduit le potentiel total au point A :
2K q
3K qr 2
V A = V1 + V2 = − √ −
2R 3
r 3
2) Travail pour amener la charge −q de l’infini en A, en présence de la distribution
volumique :
W1 = −q(V2 − V∞ ) = −q V2
Travail pour amener la charge −q de l’infini en B, en présence de la charge −q en
A et de la distribution volumique :
W2 = −q(V2 + VB )

136

5 Énergie électrostatique

Travail pour amener la charge −q de l’infini en C en présence des charges −q en A
et B et de la distribution volumique
W3 = −q(V2 + VB + VC )
D’où l’énergie potentielle :
E p (r) = W1 + W2 + W3 = −3q V2 − q(2VB + VC )
E p (r) = −3q −
E p (r) = 3K q 2

3K q
3K qr 2
−q − √
3
2R
r 3

3r 2
1
+ √
2R 3 r 3

3) Pour r < R, on a :
E p (r) = 3K q 2

3r 2
1
+ √
3
2R
r 3

dE p
3r
1
− √
= 3K q 2
dr
R3 r 2 3
√
dE p
= 0 ⇒ 3r 3 3 = R 3
dr

R
soit r = √
3

Tableau de variation :

r

dE p
dr

R
√
3

0

−

0

+
K q2
R

+∞

Ep

R

9 K q2
2 R

9 √
+ 3
2

Corrigés

137

R
Pour r = re = √ , l’énergie potentielle
3
des trois charges est minimum, donc re correspond à une position d’équilibre stable
...
3
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

Or, d’après la 1re question :
E M3 =

P1

K P1
eθ avec P1 eθ = − P1
r3

E1 = −

K P1
3

E p = − P2 ·
( P1 , P2 ) = π

−

K P1
l3

⇒

P1 · P2
l3

=K

Ep = −

K P1 P2
3

3) a) Chaîne α
P

N

P

M

P

N'

P

P

• Champ créé en M par le dipôle placé en N :
2K P
EN =
d3
Champ créé en M par le dipôle placé en N :
EN =

2K P
d3

Le champ E créé par les molécules situées de part et d’autre de M est donc :
E = EN + EN =

2K P
d3

En groupant les dipôles deux par deux, on obtient pour le champ total en M :
ET =
=

4K P
4K P
4K P
+
+
+
...
= 4,8 3
3
d
2
3
d

Corrigés

139

• Énergie potentielle du dipôle placé en M dans le champ des autres dipôles :
E p = −P · E T = − P · 4,8

KP
K P2
= −4,8 3
d3
d

b) Chaîne β
d
N2

N1

d
M

N'1

N'2

• Champ créé en M par les deux dipôles placés en N1 et N1 :
4K P
d3
M par les deux dipôles placés en N2 et N2 :
• Champ créé en
E =−

E =+

4K P
(2d)3

Le champ électrique total E T en M est donc :
ET = −

1
4K P
1
1 − 3 + 3 −
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
4
...
N
...

3) a) Cette fois, V = cte
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

En effet, si nous faisons le bilan énergétique au cours de l’opération, la variation d’énergie potentielle du condensateur est due :
– au travail W de l’opérateur,
– à l’énergie fournie par le générateur

E g pour maintenir la tension V = cte
...
5
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


5
...
A) 1) E p = −ax −6 + bx −12
dE p
= 6ax −7 − 12bx −13 = 6x −7 (a − 2bx −6 )
dx
dE p
2b 1/6
=0
x0 est une position d’équilibre
...

2) L’énergie de dissociation de la molécule est l’énergie qu’il faut fournir à la molécule pour éloigner un des deux atomes à l’infini, à partir de sa position d’équilibre
...
I
...
N
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
I
...

C) E p = −ax −6 + bx −12
Le développement limité au 2e ordre de E p (x) au voisinage de x = x0 s’écrit :
E p (x) = E p (x0 ) + (x − x0 )

dE p
dx

+
x0

(x − x0 )
2!

d2 E p
dx 2

+
...
N
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
1
...
Qu’elles
soient liées à l’atome ou qu’elles soient « libres », l’équilibre électrostatique
implique qu’elles restent fixes
...
Relier cette densité
de courant j en un point d’un conducteur, au champ électrique E en ce point,
constitue le but de l’électrocinétique
...
Le volume du métal contient
deux types de charges de densités volumiques égales et opposées : les charges
positives, constituées par les atomes donneurs d’un électron, qui sont supposées fixes et les charges négatives, les électrons libérés, qui sont des charges
mobiles
...


6
...
Dans le cas du silicium, à 300° K par exemple, le nombre d’électrons (ou de trous) par cm3, est de l’ordre de 7 · 1010 comparé à 1023
pour les métaux
...
Les électrons libérés ont une densité égale à celle
des atomes donneurs
...
Un tel semi-conducteur est dit de type N (pour négatif)
...
Ces atomes dits accepteurs vont devenir des ions
négatifs fixes
...

d) Les électrolytes
Dans ce cas, les molécules se dissocient en deux ions de signes contraires
...
Les densités volumiques des ions libres positifs et
négatifs sont égales et opposées
...

e) Les gaz ionisés

© Dunod
...


Les molécules d’un gaz à faible pression peuvent être ionisées par libération
ou capture d’électrons
...


6
...
LE COURANT ÉLECTRIQUE
6
...
1 Vecteur densité de courant

On peut se limiter, pour le moment, à un seul type de porteurs, les électrons
par exemple
...

En désignant par v , la vitesse moyenne de l’ensemble des électrons (on dit
aussi vitesse d’entraînement ou de dérive), et par ρ la charge volumique du
milieu, on définit le vecteur de courant en tout point du milieu par :
j = ρv

(6
...
2)

6
...
2 L’intensité du courant électrique
j

Soit le flux de j à travers une surface (S) orientée (s’appuyant sur un contour (C) orienté)
...

On peut donc écrire :
−
→ dQ
=I
j · dS =
dt
(S)

(6
...

6
...
3 Lignes et tube de courant

Une ligne de courant est définie comme une ligne
tangente en tout point au vecteur densité de courant j
...

Ses génératrices sont donc tangentes à j en tout
point
...
2 LE COURANT ÉLECTRIQUE

151

6
...
4 Différentes formes de conducteurs

a) Conducteurs filiformes
Si la section S d’un conducteur est constante et très petite devant sa longueur,
on admet que le vecteur densité de courant est uniforme :
j=

I
s’exprime en A · m−2
S

b) Conducteurs massifs cylindriques
I =

On a :

(S)

−
→
j · dS

Si j est uniforme, on a encore :
j=

I
s’exprime en A · m−2
S

c) Nappe de courant
C’est le cas d’un ruban mince ou d’une couche mince
...
4)
A

© Dunod
...


où σ est la charge libre surfacique
...
5)

Si js est uniforme, on a :
js =

I
AB

6
...
5 Ordre de grandeur

La vitesse de dérive des électrons due au champ appliqué E est très inférieure
à la vitesse des électrons due à l’agitation thermique :

152

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

Vitesse d’agitation thermique
Dans ce mouvement tout à fait aléatoire, l’énergie moyenne d’un électron est
de l’ordre de quelques eV
...

Vitesse de dérive
Soit un fil de cuivre parcouru par un courant de densité 10 A/mm2
...

On trouve
n=

8,8 · 103 × 6,02 · 1023
= 0,83 · 1029 électrons ·m−3
63,6 · 10−3

On en déduit :
|ρ| = ne = 0,83 × 1029 × 1,6 · 10−19 = 1,33 · 1010 C · m−3
v=

j
10 · 106
= 7,5 · 10−4 m · s −1
=
ρ
1,33 · 1010

La vitesse de dérive des électrons est très faible devant la vitesse d’agitation
thermique
...
3 ÉQUATION DE CONTINUITÉ

153

1) À la vitesse de 7,5 · 10−4 ms−1 , il faudrait une heure à un électron pour
parcourir une distance de 2,7 m
...

En fait, la fermeture de l’interrupteur se traduit par la propagation le long
du fil d’un signal correspondant au champ électrique, signal qui se propage
à une vitesse très élevée, de l’ordre de la vitesse de la lumière dans le
conducteur
...

2) On peut généraliser la relation j = −ne v établie dans le cas d’une
conduction électronique, au cas où l’on aurait des porteurs de charges de
natures différentes
...
6)

k

la sommation se faisant sur toutes les espèces de particules concernées
...

En particulier, dans le cas d’un semi-conducteur où les charges positives et
négatives se déplacent en sens inverse sous l’action du champ appliqué, on a :
−→ E
−→ −→
v+
j+
−→
v−
j−

−→
© Dunod
...


j = ρ+ v+ + ρ− v−
j = e(n + v+ − n − v− )

Par conséquent, les densités de courant des charges positives et négatives
sont de même sens
...


6
...
ÉQUATION DE CONTINUITÉ
Soit S une surface fermée entourant un volume τ
d’un conducteur
...
Pendant un intervalle de temps dt, la
variation de charge qui en résulte dans un volume
élémentaire dτ, s’écrit :
∂ρ
dq =
dt dτ
∂t

j
j
j
(S)
j

j
N

154

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

d’où la variation de charge pour le volume τ :
∂ρ
dt dτ
(τ) ∂t

q=

−
→
Par ailleurs, l’intensité du courant traversant un élément de surface dS est :
−
→
dI = j · dS = j · N dS
où N est le vecteur unitaire de la normale sortante
...
7)

Cette équation constitue l’équation de continuité, qui régit tout phénomène de
transfert de charges
...

᭿

Cas particulier d’un régime stationnaire

Un régime est dit stationnaire (ou permanent) si la distribution des charges et
des courants est indépendante du temps
...
3 ÉQUATION DE CONTINUITÉ

155

Autrement dit, la charge contenue dans le volume dτ est renouvelée par le passage du courant, sans aucune variation de la charge volumique
...

L’équation de continuité se réduit alors à :
div j = 0
Il en résulte que :
S

(6
...
En d’autres termes :
– l’intensité du courant se conserve à travers un
tube de courant
...
9)

I3

© Dunod
...


K

1) Les courants alternatifs de la forme I = I0 cos(ωt + α) correspondent
à des régimes quasi stationnaires dans la mesure où l’on peut considérer I
à chaque instant comme étant la même en tout point d’un tube de courant
...
(Exemple de circuit ouvert : une antenne traversée par un courant
alternatif et émettant des ondes électromagnétiques
...
d
...
nécessaire
...


156

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

6
...
CONDUCTIVITÉ ÉLECTRIQUE : LOI D’OHM LOCALE
Il s’agit d’exprimer la densité de courant j dans un conducteur, en fonction du
champ appliqué E, en partant tout simplement du principe fondamental de la
dynamique appliqué à une particule de charge q et de masse m
...

6
...
1 Premier modèle

m

dV
= qE
dt

V =

⇒

q
Et + V0
m

Visiblement, cette vitesse (et par conséquent j ) tend vers l’infini au cours du
temps, ce qui ne peut être satisfaisant
...

Tout d’abord, la vitesse initiale V0 étant aléatoire, sa valeur moyenne v0 est
nulle
...

La relation cherchée s’écrit :
j = σE

où :

σ=

nq 2 τ
m

(6
...
11)

σ est la conductivité électrique du matériau, elle s’exprime en siemens par
mètre (s · m−1 )
...


6
...
4
...

• On définit le libre parcours moyen de la charge q comme étant :
= vτ = q

τ2
E
m

(6
...
Elle reste cependant valable en régime sinusoïdal jusqu’à des fréquences très élevées, de l’ordre
de 1012 Hz
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
4
...
13)

τ
E
m
σ
qτ
=
μ=
m
nq
v=q

La mobilité définie ainsi est une grandeur algébrique, qui a le même signe de
la charge q
...


158

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

6
...
4 Résistivité électrique

La résistivité ρ est définie comme l’inverse de la conductivité :
ρ=

1
1
=
elle s’exprime en
σ
n|qμ|

· m
...
4
...
2, soit
v = 7,5 · 10−4 ms−1 , on obtient pour la mobilité :
|μ| =

eτ
1,6 · 10−19 × 2 · 10−14
=
m
9,1 · 10−31
35 · 10−4 m2 · V−1 · s−1 = 35 cm2 · V−1 · s−1

Dans le cas du silicium à 20 °C, les mobilités des électrons et des trous sont
respectivement :
μe = −1 700 cm2 · V−1 · s−1
μt =

250 cm2 · V−1 · s−1

Les expressions précédentes montrent que la conductivité σ dépend à la
fois de la mobilité μ et du nombre n de porteurs par unité de volume
...
La loi de variation de ρ avec la température est :
ρ = ρ0 (1 + αt)
avec α

1
(degré)−1 et ρ0 la résistivité à t = 0° Celsius
...
5 RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE : LOI D’OHM MACROSCOPIQUE

159

À l’inverse des conducteurs, les semi-conducteurs intrinsèques ont une
conductivité σ qui augmente avec la température
...

Dans le cas des matériaux supraconducteurs, la conductivité devient infinie à des températures très basses (T 7 °K pour le plomb)
...
5
...

On peut écrire :
−
→
V A − VB =
E·d =

(SB)

(SA)

B

G

© Dunod
...


j −
→
·d
AB
AB σ
En régime stationnaire on peut définir la densité de courant en un point comme :
I
j=
S
où I est l’intensité du courant et S l’aire de la section droite du conducteur en
ce point
...
14)

qui constitue la loi d’Ohm macroscopique
...
15)

160

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

Il convient de bien noter les conventions adoptées pour définir les signes
des courants et des d
...
p
...
Il
convient d’écrire :

A

V AB = V A − V B = −R I
I

B

VAB = − RI

Exemple 1
...

Calculer la résistance d’un conducteur occupant
l’espace compris entre une sphère de centre O et de
rayon R1 et une sphère concentrique de rayon
R2 > R1 , le courant arrivant par le centre et sortant
par la périphérie
...


O

Les lignes de courant étant radiales, on peut prendre comme section du tube
de courant la surface d’une sphère de centre O et de rayon r tel que
R1 < r < R2
...
6
...
6
...
7 RÔLE DU GÉNÉRATEUR : FORCE ÉLECTROMOTRICE

Résistance équivalente :

161

R = R1 + R2
R=

(6
...
6
...
17)

© Dunod
...


6
...
RÔLE DU GÉNÉRATEUR : FORCE ÉLECTROMOTRICE
I

Soit un générateur (G), appliquant une d
...
p
...

En régime stationnaire ou quasi stationnaire,
on a div j = 0 en tous les points du circuit, y
compris dans le générateur, et les lignes de
champ sont des courbes fermées
...
C’est la circulation de ce champ E m dans le générateur
qui assure la d
...
p
...

Cette circulation est appelée force électromotrice e du générateur (f
...
),
bien qu’elle ait les dimensions d’un potentiel
...
18)

Le champ E m peut avoir des origines chimiques (piles et accumulateurs) ou
magnétiques (f
...
induite)
...

On a simplement :
᭿

e

+
−
B

e = V A − VB > 0

Générateur en circuit fermé :

I

A
e

En se référant à la loi d’Ohm, on a :
e = V A − V B = (R + r)I

+
−
r

R

B

Si le générateur a une résistance r non négligeable, celle-ci prélève sur e la
chute de tension (ou chute ohmique) r I avant de délivrer V A − V B aux bornes A et B
...
19)

6
...
20)

r

+

A

᭿

B

I

Cas d’un récepteur

Alors que pour un générateur, le courant sort du pôle positif et rentre par le
pôle négatif, pour un récepteur, le courant suit le chemin inverse : il sort par
le pôle négatif
...
m
...

Dans un circuit complexe, comprenant des générateurs et des récepteurs, il
peut arriver que le courant d’un générateur sorte par le pôle négatif
...

᭿

Tronçon de circuit comportant un récepteur
e'

V A − VB = r I + e

(6
...
8
...

Ik = 0

(loi des noeuds)

(6
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
3, pour illustrer l’équation de continuité, nécessite d’adopter une convention de signe pour les courants (par
exemple positifs s’ils arrivent au nœud, négatifs s’ils en partent)
...
m
...

ek −
k

Rk I k = 0
k

(loi des mailles)

(6
...
Les courants qui vont dans ce sens sont pris positifs, les autres sont pris négatifs
...
m
...


Exemple 2
...

Déterminer les courants I1 , I2 , I3 , respectivement dans les branches AB, C D,
E F
...


e1
A
I2

C

I3

e2

I1

B

R2
D
R3
F

E

Loi des nœuds en C :
I2 = I1 + I3

(1)

e2 + R2 I2 + R3 I3 = 0

(2)

−e2 − R2 I2 + e1 = 0

(3)

Maille CDFEC :

Maille CDBAC :

La résolution de ce système de 3 équations à 3 inconnues I1, I2, I3 donne :
I1 =
I2 =

(R2 + R3 )e1 − R3 e2
R2 R3

e1 − e2
R2

I3 = −

e1
R3

À partir de ces expressions, connaissant les valeurs numériques des f
...
et
des résistances, on peut alors déterminer les véritables orientations des courants
...
9 ASPECT ÉNERGÉTIQUE : LOI DE JOULE

165

6
...
ASPECT ÉNERGÉTIQUE : LOI DE JOULE
6
...
1 Formulation locale

Reprenons l’équation du mouvement d’une charge q d’un conducteur sous
l’action d’un champ appliqué E (cf
...
4
...
On en déduit :
mv 2
d 1 2
mv + q V = −
dt 2
τ

© Dunod
...


L’expression entre crochets n’est autre que l’énergie totale de la charge q,
1
composée de l’énergie cinétique mv 2 et de l’énergie potentielle q V
...

conséquent, la puissance dissipée par frottement par la charge q est
τ
On en déduit que la puissance dissipée par unité de volume est :
p=

nmv 2
τ

où n est le nombre de porteurs par unité de volume, et comme

v=

j
nq

nq 2 τ
, on peut écrire :
et que σ =
m
p=
d’où

m
j2
= j·E
j2 =
σ
nq 2 τ
p = σE 2

(6
...

6
...
2 Expression macroscopique

(ᑞ)

Pour un conducteur AB, de résistance R, occupant le volume (D ), traversé par un courant I,
on a :
V A − VB =
I =
(V A − V B )I =
=

B
AB

I
(S) A

B

−
→
E·d

(S)
(D )
(D )

−
→
j · dS
j · Edτ
p dτ = P

Ainsi, quelle que soit la forme du conducteur, on retrouve l’expression bien
connue de la loi de Joule :
P = (V A − V B )I = R I 2

(6
...
1
...

On créé entre ces deux plaques, ayant chacune une surface de 1 m2, une différence
de potentiel u = 6 V
...

u = 6V

I

d = 10 cm

1) Calculer la résistivité de la solution de SO4 Cu
...

3) Déterminer l’énergie W nécessaire au raffinage d’un kilogramme de cuivre
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
2
...
La distance d entre l’anode A et la cathode C est égale à 20 cm, leur surface S est 30 cm2
...
Les valeurs des mobilités des cations
Na+ et des anions SO2− sont respectivement :
4
μ+ = 5 · 10−8 m2 · V−1 · s−1
μ− = 8 · 10−8 m2 · V−1 · s−1

(A)

(C)

d = 20 cm

Calculer :
1) le champ E dans la solution électrolytique,
2) le nombre n + de cations et le nombre n − d’anions par m 3 de solution, en supposant une dissociation totale,

168

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

3) la densité du courant
...

On donne : le nombre d’Avogadro N = 6,02 · 1023
la charge élémentaire e = 1,6 · 10−19 C

6
...
On suppose que dans un cristal de germanium, un atome sur 109 atomes donne
un électron libre
...

3) En fait, le nombre d’atomes donnant un électron libre dépend de la température du
cristal
...

Le nombre n i d’électrons d’énergie E i (i = 1,2) est
donné par la loi de Boltzmann :
Ei
n i = n 0 exp −
kB T

E

E2

E1

n2

n1

où k B = 1,38 · 10−23 J · K−1 est la constante de Boltzmann et T est la température du
cristal exprimée en kelvin
...

a) Montrer que le germanium est isolant à très basse température
...

c) Décrire qualitativement la variation de la conductivité σ avec la température
...
4
...
Ce matériau est placé dans un champ
électrique uniforme E indépendant du temps
...
On reprév
sente leur interaction avec le matériau par la force f a = −m où τ est une constante
τ
de temps
...
Donner l’allure de la courbe
v(t)
...

2) Déduire de la relation entre le vecteur densité de courant j et le champ E, en
τ), l’expression de la conductivité σ0 du matériau en foncrégime permanent (t
tion de n, e,τ et m
...
On suppose que chaque
atome fournit un électron libre
...
En
déduire la valeur de τ si σ0 = 108 −1 · m−1
...

j = σ(ω) E 0 eiωt

b) On pose :
Exprimer alors le rapport

σ(ω)

...
La photocopie non autorisée est un délit
...
On a la
relation :
ρ
div E =
ε0
où ρ est la densité volumique de charges
...

div j +
∂t
b) On pose ρ = ρ0 eαt et ω2 =
p
t dans le cas où ωp τ

1
...
Décrire la loi de variation de ρ en fonction de
mε0

170

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

6
...
Une lampe à vide est composée des éléments suivants : une cathode (C) émet
des électrons sans vitesse initiale ; parallèlement à la cathode, à une distance de
3 mm, est placée une grille (G) de fil fin, qui laisse passer librement les électrons
...
Une
seconde surface plane (anode (A)), située à 12 mm de (G) est au potentiel V A audessus de celui de la cathode
...
Déterminer le courant électrique correspondant à cette émission
...

3) a) Déterminer V A pour que les électrons arrivent sur l’anode avec une vitesse
nulle
...

d) En déduire l’abscisse du point où les électrons rebroussent chemin, en fonction de
VA
...
N
...

On rappelle que la masse m de l’électron est m = 9,1 · 10−31 kg
...
6
...
Le fond est
isolant
...


V1

V2
r2

r1

1) Quelle est la relation entre le champ
électrique E(r) entre les deux électrodes
et le courant I circulant radialement dans
l’électrolyte ? En déduire la résistance R
de la couche liquide
...
N
...

3) En conservant à r2 sa valeur, quelle doit être la valeur de r1 pour que j1 soit minimal ? Quelle est alors la nouvelle valeur de j1 ?

6
...
Un circuit électrique est constitué comme l’indique la figure
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

1) (M) est un récepteur polarisé de f
...
m
...
Montrer que, quelle que
soit la position de ses pôles sur la branche AB, ce récepteur se comporte comme un
générateur
...

Dans ce cas, il faut que le courant I3 réel ait le sens choisi au départ pour polariser le
récepteur, c’est-à-dire qu’il entre par le pôle positif de (M) et qu’il ressorte par le pôle
négatif
...


172

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

CORRIGÉS
6
...
L’électrolyse de SO4 Cu entre deux électrodes de cuivre provoque le dépôt de
Cu2+ sur la cathode (C)
...

4
La solution reste inaltérée dans l’ensemble et le phénomène se réduit à un transport
de cuivre de l’anode vers la cathode
...
N
...
On a :
Iτ
2en
I =
⇒ n=
τ
2e
D’où la masse de cuivre transportée pendant le même temps τ = 1 h :
m=n
A
...
:

m=

I τM
M
=
N
2N e

160 × 3 600 × 63,5 · 10−3
= 0,19 kg
2 × 6,02 · 1023 × 1,6 · 10−19

3) Temps nécessaire pour déposer une masse m = 1 kg
...
N
...
2
...

2) Une molécule de SO4 Na2 se dissocie en donnant :
SO4 Na2 −→ SO2− + 2NA+
4
La solution étant décimolaire, on a

N
1
× 103 molécules par
de mole par litre, soit
10
10

m3 , d’où :
n − = 102 N

soit

n − = 6,02 · 1025 m−3

n + = 2 · 102 N = 2 n −

soit

n + = 12,04 · 1025 m−3

Remarque : Les cations portent la charge q+ = +e et les anions portent la charge
q− = −2e
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
3
...

b) On a :
n1 + n2 = n2

n2
+ 1 = 2 · 1025 m−3
n1

2 · 1025
n2 = n
1
+1
n2

avec

n2 =
exp

n1
= exp
n2
2 · 1025
E2 − E1
kB T

E2 − E1
, soit :
kB T

+1

E 2 − E 1 = 0,35 eV = 0,35 × 1,6 · 10−19 J = 0,56 · 10−19 J
Pour

T1 = 100 K on obtient n 2

4,8 · 107 m−3

Pour

T2 = 300 K on obtient n 2

2,7 · 1019 m−3

c) On remarque que n 2 croît avec la température, donc σ = n 2 eμ croît également,
du moins tant que la mobilité μ ne varie pas trop dans l’intervalle de température
considéré
...
4
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
5
...

E m (C) = E m (G)
Étant donné les conditions initiales :
E m (C) = E c (C) + E p (C) = 0

178

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

0=

On a alors :

1
2
mvG − eVG
2

vG =

2eVG
m

vG = 2,52 · 106 m · s−1

d’où

b) Le champ électrique E 1 est perpendiculaire à la cathode et à la grille, et dirigé dans
le sens des potentiels décroissants, donc de (G) vers (C)
...

b) Si V A < 0, l’électron rebrousse chemin avant d’atteindre l’anode
...
N
...


6
...
1) On a :
−
→
j · dS = I
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

h

I
I
1
j= =
= E
2
2πr h
ρ
d’où

E=

ρI
2πr h

On a aussi
V1 − V2 = −

r2
r1

E · dr

⇒ V1 − V2 =

ρI
r2
ln
2πh r1

180

6 Le courant électrique dans les milieux conducteurs

R=

On en déduit :

R=

A
...
:

ρ
r2
V1 − V2
=
ln
I
2πh r1

20
ln 5 = 34,15
2 × π × 0,15

2) Au voisinage de l’électrode centrale, la densité de courant est :
j1 =
j1 =

I
V1 − V2
1
=
×
S1
R
2πr1 h
V1 − V2
−2
r2 = 18,64 A · m
ρr1 ln
r1

3) j1 (r1 ) sera minimal quand la fonction f (r1 ) = r1 ln
d
r2
r1 ln
dr1
r1

=0

⇒
r1 =

r1
d
[ f (r1 )]
dr1

ln

r2
sera maximale
...

e
ρ
e

On obtient :

j1 (r1 ) = 16,31 A · m−2
...
7
...

a) Récepteur disposé comme l’indique la figure 1
...
1
Les lois de Kirchhoff permettent d’écrire :
⎧
(noeud A)
⎪ I1 = I2 + I3
⎨
12I3 + E + 6I1 − 5 + 4I1 = 0 (maille ABC A)
⎪
⎩
4I2 − 5 + 12I2 − E − 12I3 = 0 (maille AD B A)
ou encore
I1 = I2 + I3
10I1 + 12I3 = 5 − E
16I2 − 12I3 = 5 + E

⎫
⎪
⎬

I3 =

⇒

⎪
⎭

30 − 26E
472

© Dunod
...


Si E = 2 volts, on a I3 < 0 et par conséquent le courant I3 réel est de sens opposé
à celui de la figure 1 : le récepteur (M) joue le rôle de générateur
...

5V

4Ω
+

−
I1

I3

6Ω

C

E'

A

B
−

12Ω

+

I2
−
4Ω

+

− 5V

D

FIG
...

Là encore, si E = 2 volts, on obtient I3 < 0 ; le courant I3 réel est de sens opposé
à celui de la figure 2, le récepteur (M) se comporte bien comme un générateur
...

a) Supposons que le courant I3 va de A vers B : c’est le cas de la figure 1, où (M) se
comporte comme un récepteur
...

b) Supposons que I3 va de B vers A :
C’est le cas de la figure 2, où (M) se comporte encore comme un récepteur
...
Par conséquent, la seule solution est I3 = 0
...

Seul reste acceptable le cas de la figure 1
...

I1 = I2 = I

On en déduit alors :

La loi de Kirchhoff appliquée à la maille ADBCA permet d’écrire :
4I − 5 + 12I + 6I − 5 + 4I = 0
26I = 10

soit

I = 0,385 A

7
Réseaux électrocinétiques
Régimes variables
7
...
DIPÔLES ÉLECTROCINÉTIQUES
Un dipôle électrocinétique est une portion de circuit comportant deux bornes
(par lesquelles entre ou sort le courant)
...
Des exemples en sont donnés au
paragraphe 7
...
4
...
1
...


FIG
...
1
7
...
2 Puissance électrique reçue par un dipôle

Nous adoptons ici la convention récepteur
...
1)

7
...
3 Condensateur et inductance

FIG
...
2

Avec la convention récepteur on a les relations (notez bien les conventions
choisies sur la figure pour le condensateur) :
u=

q
C

i=

dq
dt

(7
...
3)

Rappelons que l'inductance s'exprime en henry (H) dans le système international
...
2 RÉPONSE D’UN CIRCUIT À UN ÉCHELON DE TENSION

185

7
...
4 Exemples de dipôles

© Dunod
...


FIG
...
3

7
...
RÉPONSE D'UN CIRCUIT À UN ÉCHELON DE TENSION
Le régime transitoire correspondant à l'établissement du courant dans un
circuit comportant une source de tension est caractérisé par la réponse de ce
circuit à un échelon de tension, c'est-àdire à une tension de la forme :
e = 0 pour
e = E pour

t <0
t >0
FIG
...
4

186

7 Réseaux électrocinétiques

7
...
1 Circuit R, L

La loi des mailles s'écrit (figure 7
...
4)

Une solution particulière de cette équation est précisément la solution constante correspondant au régime continu :
i 0 (t) =

E
R

En posant L/R = τ, l'équation homogène
correspondante admet la solution générale :
i 1 (t) = A e−t/τ
La solution générale de (7
...
7
...
Par conséquent :
i(t) =

E
1 − e−t/τ
R

τ = L/R, qui est homogène à un temps, est appelé la
constante de temps du circuit
...


(7
...
7
...


7
...
2
...
7
...
6)

La solution particulière constante correspond au régime stationnaire, soit :
u 0 (t) = E
L'équation homogène correspondante admet la solution générale :
u 1 (t) = A e−t/τ
La solution générale de (7
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
7)

expression valable évidemment pour t 0
...

dq
dq
=C
:
On en déduit i =
dt
dt
i(t) =

E −t/τ
e
R

(7
...
En fait, le circuit possède
toujours une inductance aussi faible soit-elle et il n'y a pas de véritable discontinuité
...
7
...
9)

On a de même i = −dq/dt = −Cdq/dt, ce qui donne en explicitant τ :
i(t) =

E −t/τ
e
R

(7
...
2 RÉPONSE D’UN CIRCUIT À UN ÉCHELON DE TENSION

189

On note là aussi la discontinuité du courant
...
7
...
Courant de fuite dans un condensateur
Un condensateur de capacité C = 1 µF présente un courant de fuite entre ses
armatures
...

1) Calculer la constante de temps de la décharge et en déduire le temps au bout
duquel la charge du condensateur a diminué de moitié
...
La charge évolue suivant la même
loi que la tension
...

d’où
τ
2) Quelle est l'intensité initiale de décharge si l'on isole le condensateur après
l'avoir chargé sous la tension E = 100 V? Que vaut-elle au bout de 48 s ?

L'intensité initiale est i 0 = E/R = 1,25 µA
...


© Dunod
...


7
...
3 Circuit R, L, C
᭿

Décharge du condensateur

Loi des mailles :
u − Ri − L

di
=0
dt

On obtient ainsi :
d2 u
R du
u
+
+
=0
L dt
LC
dt 2

(7
...
7
...

La nature des solutions dépend du caractère réel ou imaginaire des solutions
du polynôme caractéristique de cette équation différentielle (c'est-à-dire du
signe de son discriminant) :
r2 +

ω0
2
r + ω0 = 0
Q

en posant :
R
ω0
=
L
Q

1
2
= ω0
LC
ω0 = √

1

(7
...
13)

est le facteur de qualité de l'oscillateur
...
7
...
14)

(7
...
2 RÉPONSE D’UN CIRCUIT À UN ÉCHELON DE TENSION

191

Régime critique
(racine double réelle : Q = 1/2, soit R 2 − 4L/C = 0)
R

R
t
2L

(7
...
17)

−
t
u = E e 2L 1 +

i =−

FIG
...
12

Régime hypercritique
(racines réelles distinctes négatives : Q < 1/2)
Les racines sont :
r1 = ω0 −

1
−
2Q

1
−1
4Q 2

et r2 = ω0 −

1
+
2Q

1
−1
4Q 2

La solution est de la forme :

© Dunod
...


u = A er1 t + B er2 t

(7
...
19)

Les courbes représentatives sont analogues à celles du régime critique, avec
un retour à zéro plus lent
...

᭿

Réponse à un échelon de tension

L'équation (7
...
20)

192

7 Réseaux électrocinétiques

La solution particulière est encore la constante E que l'on doit ajouter aux
solutions trouvées pour u(t) dans les trois cas envisagés précédemment et qui
constitue donc le régime continu vers lequel tend le circuit
...
21)

2
ω0
ω0
A e−ω0 t/2Q cos ωt +
sin ωt
i = CE
Cω
2Qω

(7
...
23)
(7
...
3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL
Nous supposerons le régime sinusoïdal quasi-stationnaire, c'est-à-dire l'intensité du courant uniforme dans le circuit, ce qui est pratiquement toujours
réalisé à l'échelle du laboratoire, mais ne le serait pas pour des fils télégraphiques par exemple
...
3
...
Elle est fondée sur la propriété suivante :
la partie réelle d'une combinaison linéaire de complexes est la combinaison
linéaire correspondante de leurs parties réelles
...
Elle ne s'applique pas par contre aux calculs non
linéaires (calcul de la puissance électrique instantanée, par exemple)
...
On en détermine l'amplitude A et la phase à l'origine de la
façon suivante
...
3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL

193

On pose y1 = Re A1 eiωt , y2 = Re A2 eiωt , y = Re A eiωt avec A1 = A1 eiϕ1 ,
etc
...
Dans ces conditions l'amplitude complexe de
l'oscillation résultante est la somme des amplitudes complexes :
A = A1 + A2
(7
...

Par identification des parties réelle et imaginaire, il vient :
A2 = A2 + A2 + 2A1 A2 cos (ϕ1 − ϕ2 )
1
2
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
tan ϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
᭿

(7
...
27)

Dérivation et intégration

La méthode est également très utile pour effectuer la dérivation ou l'intégration d'une fonction sinusoïdale en la transformant en une simple multiplication ou division : dériver ei(ω t+ϕ) , c'est la multiplier par iω, l'intégrer c'est la
diviser par iω
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

Cependant, on peut utiliser la relation suivante entre les amplitudes complexes
F et G de deux grandeurs sinusoïdales f (t) et g (t) de même fréquence pour
calculer la valeur moyenne sur une période du produit f g :
f (t) g(t) =

1
Re F G ∗
2

(7
...
3
...
7
...
Impédance

Il s'agit de trouver l'intensité i(t) du courant en régime quasi stationnaire,
c'est-à-dire en négligeant le régime transitoire d'établissement du courant
...
29)

Il faut donc trouver une solution particulière de cette équation, laquelle représente le régime stationnaire
...

Nous conviendrons dorénavant de mettre systématiquement un tilde (~) à la
grandeur complexe (x) associée à une grandeur réelle donnée x et nous noterons j le symbole des imaginaires pour éviter toute confusion avec les intensités des courants
...
29) devient :
LC

dq
d2 q
+ RC
+ q = CUm e j ωt
2
dt
dt

(7
...
30), il vient après simplification par
e j ωt :
1 − LCω2 + jωRC Q m = CUm

7
...
31)

1
Cω

(7
...

L'expression (7
...
33)

On vérifie que l'on retrouve la loi d'Ohm habituelle si l'on supprime le condensateur et l'inductance
...

On peut écrire l'impédance complexe sous la forme :
Z = Z e jϕ

© Dunod
...


avec Z =

R 2 + Lω +

1
Cω

Par conséquent Im = Um / Z = Im e− jϕ

2

et ϕ = arctan

Lω −
R

1
Cω (7
...
32) montre que ϕ est compris entre −π/2 et π/2
...


196

7 Réseaux électrocinétiques

La loi d'Ohm complexe a une conséquence importante :
Les lois des circuits linéaires en courant continu s'appliquent en régime
sinusoïdal à des associations quelconques de dipôles élémentaires R, L ou
C, à condition de considérer les amplitudes complexes des courants et des
tensions et les impédances complexes de ces éléments
...
6
s'appliquent aux impédances complexes (mais pas à leurs modules !) :
᭿

Association en série

Impédance équivalente : Z = Z 1 + Z 2
᭿

Association en parallèle

1
1
1
+
=
(cf
...
14)
Z
Z1
Z2
᭿ Loi des nœuds
...
35)

La quantité :
Y =

1
Z

(7
...

FIG
...
14

La figure 7
...

L'impédance (l'admittance) est réelle positive pour un conducteur ohmique,
imaginaire pure pour une inductance pure et pour une capacité pure ; l'inductance déphase la tension de +π/2 sur le courant (quadrature avance), la
capacité déphase la tension de −π/2 (quadrature retard)
...
7
...
3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL

197

Exemple 2
...
Calculer l'impédance du condensateur et le déphasage de la
tension appliquée, par rapport au courant
...
32) se réduit à :
Z =−

j
e− j π/2
=
Cω
Cω

La tension est donc en retard de π/2 sur le courant et la valeur de l'impédance du condensateur est :
Z=

1
1
1
=
=
Cω
2πνC
314 × 3,2 · 10−6

soit

Z

1000

Par suite, Im = Um /Z = 0,3 A
...
Bobine alimentée en courant sinusoïdal
de haute fréquence
1) Une bobine de résistance r = 200
et d'inductance L = 64 mH est soumise à une tension sinusoïdale de fréquence f = 5 kHz
...


On a :

© Dunod
...


Z = r + j Lω = r + j 2π f L
Z=
=
tan ϕ =

r 2 + (2π f L)2 =

4 · 104 + (2 × π × 5 · 103 × 0,064)2

4 · 104 + 4 · 106

2000

2π f L
2000
=
= 10 et ϕ
r
200

84°

La tension est donc pratiquement en avance de phase de π/2 sur le courant
...

Le rôle de la résistance est négligeable (r
2) Même question si la bobine est alimentée sous 50 Hz
...

résistance qui joue un rôle prédominant (Lω
᭿

Résonance d'intensité dans le dipôle R,L ,C

Lorsque l'on fait varier la pulsation, l'amplitude de l'intensité Im = Um /Z
passe par un maximum IM quand Z est minimal, c'est-à-dire pour la pulsation
de résonance ω0 correspondant à :
Lω0 =

1
Cω0

ω0 = √

soit

1
LC

(7
...
38)

À la résonance d'intensité, le courant et la tension sont en phase ; l'impédance du dipôle est réelle et égale à sa résistance
...
Si la résistance est inférieure à celle du condensateur, alors les
tensions aux bornes de celui-ci et de la bobine seront supérieures à la tension
appliquée Um (surtension)
...

7
...
3 Puissance moyenne consommée dans un dipôle
᭿

Expression générale

En régime stationnaire (ou quasi stationnaire) lorsqu'une charge dq entre par
la borne A d'un dipôle pendant l'intervalle de temps dt, il ressort la même

7
...
Le dipôle reçoit ainsi l'énergie V A dq et perd l'énergie
V B dq durant dt
...
7
...
39)

Notez le caractère général de la relation (7
...

᭿

Puissance moyenne en courant sinusoïdal

Si u = Um cos ωt et i = Im cos (ωt + ϕ) , soit u = Um ei ωt
et i =
i (ωt+ϕ) , on obtient directement la valeur moyenne P de la puissance en
Im e
utilisant la relation (7
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
40)

Comme on a cos ϕ = R/Z (cf
...
32) et (7
...
41)

Valeurs efficaces

On appelle valeurs efficaces U et I du courant et de la tension respectivement
l'intensité U et la tension I continues qui produiraient la même puissance P
dans la résistance R, soit :
Um
U= √
2

et

Im
I =√
2

(7
...
43)

7
...
4 Théorèmes généraux des circuits linéaires

Les lois de Kirchhoff (cf
...
8) sont linéaires; on en déduit les théorèmes suivants, valables pour les circuits ne comportant que des dipôles actifs ou passifs linéaires
...

Ce théorème est utile lorsqu'il y a plusieurs sources de tension dans le réseau
...
Le théorème de Millmann
traduit la loi des nœuds à l'aide des potentiels des nœuds voisins d'un nœud
donné
...
44)

k

Ce théorème est très utile pour éliminer les
courants, si l'on ne s'intéresse qu'aux tensions
...
7
...
3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL

201

Notez bien que le théorème n'est pas applicable sous cette forme si l'une
des branches aboutissant en N est active, en particulier par exemple si elle
impose une tension donnée (ce qui suppose la présence d'une source de
tension)
...

᭿

Théorème de Thévenin
Le courant qui circule dans une branche AB d'un réseau linéaire est le
même que si la branche AB était alimentée par une source de tension E t
égale à la tension obtenue entre A et B en supprimant la branche AB, en
série avec une impédance Z R égale à l'impédance équivalente entre A et B
dans les mêmes conditions
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


FIG
...
18
᭿

Théorème de Norton
Le courant qui circule dans une branche AB d'un réseau linéaire est le
même que si la branche AB était alimentée par une source de courant d'intensité In égale à l'intensité entre A et B en remplaçant la branche AB par
un court-circuit, en parallèle avec une impédance Z R égale à l'impédance
équivalente entre A et B dans les mêmes conditions
...


202

7 Réseaux électrocinétiques

EXERCICES
7
...
Surtension à l'ouverture d'un interrupteur
1) Le circuit d'une lampe à incandescence allumée peut être schématisé par une résistance et
une inductance alimentées en régime stationnaire par une source de tension continue E
...
19)
...


FIG
...
19

2) Calculer la constante de temps du circuit, la période des oscillations non amorties
et la valeur maximale Um atteinte par u(t) en fonction de E
...


7
...
Oscillations de relaxation d'une
lampe au néon
Une ampoule au néon (L) ne s'allume que
si la tension u entre ses bornes atteint la
tension Va (tension d'allumage)
...
Lorsque la
lampe est éteinte sa résistance est pratiFIG
...
20
quement infinie ; elle prend la valeur r
lorsqu'elle est allumée
...
20 avec une source de tension continue E
...
Préciser le domaine des valeurs possibles de la tension appliquée E
...


Exercices

203

7
...
Adaptation d'impédance
Une source de tension sinusoïdale d'amplitude E et d'impédance z est utilisée pour
alimenter un dipôle d'impédance Z
...
4
...
On définit cette
bande passante comme l'ensemble des pulsations
(ou des fréquences) pour lesquelles l'intensité
√
efficace est supérieure à Ir / 2 où Ir est sa valeur
à la résonance
...
7
...


2) Montrer que le facteur de qualité Q du circuit peut s'écrire :
ω0
Q=
ω
3) Calculer la fréquence de résonance ν0 , le facteur de qualité et la bande passante en
fréquence ν du dipôle si L = 4 mH, C = 0,4 µF, R = 120
...


© Dunod
...


7
...
Représentation « parallèle » d'une bobine réelle
Une bobine réelle est normalement représentée par une inductance L et une résistance r en série
...


7
...
Circuit bouchon
1) Montrer qu'un dipôle constitué d'un condensateur (capacité C) et d'une bobine
d'indutance L et de résistance négligeable ne laisse pas passer le courant pour une
fréquence ω0 que l'on déterminera
...
On
intercale pour cela dans le circuit un dipôle constitué par une bobine d'inductance
0,25 H et de résistance 16 en parallèle avec un condensateur
...
7
...
22, on donne
i 2 = I0 cos ωt ainsi que L ,C,R
...
On exprimera
les phases de u(t) et i 1 (t) en fonction de ϕ
...
7
...
8
...
23 est (en volt) :
u 1 (t) = 120 sin 300t + 120 sin 600t
Calculer la tension de sortie u 2 (t) en
circuit ouvert
...
7
...
9
...
24, tandis
que la tension u(t) = U0 cos (ωt − ϕ) est prélevée entre les points M et N
...

2) Trouver le déphasage ϕ lorsque cette
condition est réalisée
...
7
...
10
...
25 (Pont de Nernst) alimenté par une source
de tension sinusoïdale de fréquence f = 5 kHz et dans lequel R1 ,R2 ,R3 sont des boîtes de résistances variables étalonnées, C3 une boîte de capacités également étalonnées, C et R représentent la capacité et la résistance de fuite en parallèle d'un condensateur inconnu
...

1) On désigne par Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z les impédances complexes des branches (AM) ,
(A P), (M B), (P B) respectivement
...

FIG
...
25

© Dunod
...


7
...
Le circuit de la figure 7
...

1) Calculer les impédances Z L de la bobine et Z C du condensateur
...


FIG
...
26

206

7 Réseaux électrocinétiques

CORRIGÉS
7
...
Surtension aux bornes d'un interrupteur
1) La loi des mailles s'écrit :
L

q
di
+ Ri − E = u(t) =
dt
C

soit, avec i = dq/dt = Cdu/dt et τ = L/R :
d2 u
R du
u
+
+
=E
dt 2
L dt
LC

FIG
...
27

C étant très faible, le discriminant de l'équation caractéristique de l'équation homogène est certainement négatif
...
L'inductance impose la continuité du courant,
c'est-à -dire de du/dt , et donc a fortiori celle de la tension u :
du
=
dt

t
1
1
− A + ωB cos ωt + − B − ωA sin ωt e− τ
τ
τ

Soit, à t = 0 :
E=E+A
du
i(0) = C (0)
dt

⇒
⇒

A=0
E
= CωB
R

(continuité de u)
(continuité de i)

En définitive :
u(t) = E 1 +

1
sin ωt
RCω

t

e− τ

2) La constante de temps du circuit est :
τ=

10−5
L
=
R
102

soit

τ

6 · 10−7 s
...


Corrigés

207

T0 est donc petit devant τ : la pseudo-période des oscillations du circuit considéré est
donc pratiquement égale à T0 et l'on peut considérer que, lorsque u(t) est maximale,
√
sin ωt = 1 et e−t/τ 1
...


7
...
Oscillations de relaxation d'une lampe au néon
1) Dans la première phase on ferme l'interrupteur, la tension aux bornes de la
lampe est initialement nulle et la lampe est
éteinte
...
7
...
paragraphe 7
...
2), sachant que u(0) = 0 et avec
τ = RC :
u(t) = E 1 − e−t/τ

© Dunod
...


Si E < Va , alors u ne peut atteindre Va et la lampe reste éteinte
...
On a :

dq
du 

ic =
=C
du u
dt
dt
+
⇒ i =C
u

dt
r

ir =
r

208

7 Réseaux électrocinétiques

E = u + Ri = u + RC
E =τ

du
Ru
+
dt
r

du
R
+ 1+
u
dt
r

On obtient donc la même équation que dans la première phase en posant
E
τ
τ =
et E =
Par suite, avec la condition initiale u(t1 ) = Va , il
1 + R/r
1 + R/r
vient :
u(t) = E + A e−(t−t1 )/τ = E + (Va − E ) e−(t−t1 )/τ
On voit que u tend vers E quand t tend vers l'infini : si E < Ve , alors la lampe
s'éteindra à un instant t2 et un régime périodique va s'établir
...
7
...
N
...


Corrigés

209

7
...
Adaptation d'impédance
La tension aux bornes du dipôle et du générateur est u = Z i = e − z i et l'intensité
du courant dans le dipôle est par conséquent :
i=

e
Z +z

La puissance moyenne absorbée par le dipôle est donc (cf
...
3
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
4
...

+
+
ω1 = −
2L
2L
La largeur de la bande passante est donc :
R
L

ω=
2) Le facteur de qualité est :
Q=

Lω0
Lω0
=
R
L ω

soit :
Q=

ω0
ω

3) Fréquence de résonance :
ω0
1
1
ν0 =
Hz
=
=
√
√
−3 × 4 · 10−7
2π
2π LC
2π 4 · 10
soit : ν0

39 kHz
...


Bande passante :
ν=

ν0
39 · 103
=
Q
2 · 103

soit

ν

20 Hz
...
Par suite :
Z = R 1 + 4 · 106 × 4 · 10−2

400 R

Comme U = Z I1 = R Ir , il en résulte que :
I
R
1
=
=
Ir
Z
400
L'intensité est 400 fois plus faible qu'à la résonance : le dipôle R,L ,C série constitue
un filtre en fréquences de bande passante étroite grâce à un facteur de qualité élevé
...
5
...
7
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
6
...
En parallèle, les admittances
s'ajoutent (figure 7
...
7
...
Il suffit donc

1
1
=
F soit C = 0,4 µF
...


7
...
Étude d'une branche dans un circuit
La loi d'Ohm s'écrit, aux bornes communes aux deux branches, à l'aide des amplitudes complexes (cf
...
32) :
U = j Lω I1 =

R+

1
jCω

I2

Par conséquent, on a d'une part, avec I2 = I0 :
U=

1 + j RCω
jCω

I0

On a donc, puisque 1/j = − j = e− j (π/2) :
1 + (RCω)2
I0
Cω
π
arg U = arctan (RCω) −
2
U=

et

FIG
...
32

Corrigés

213

Or,
I2 = jCωV

⇒

U=

R+

1
V
jCω

Le déphasage ϕ entre u(t) et v(t) est donc :
ϕ = arctan (RCω)
Par suite,

arg U = ϕ − π/2 :
u(t) = Re U ei ωt = U cos(ωt + ϕ − π/2)

soit enfin :
u(t) =

1 + (RCω)2
I0 sin (ωt + ϕ)
Cω

Par ailleurs, on a :
I1 =

U
1 + j RCω
=−
j Lω
LCω2

=−

I0

1 + (RCω)2
I0 eiϕ
LCω2

Finalement en prenant la partie réelle de I1 ei ωt , il vient :

© Dunod
...


i 1 (t) = −

1 + (RCω)2
I0 cos (ωt + ϕ)
LCω2

Comme on pouvait s'y attendre, la tension aux bornes de l'inductance supposée pure
est en quadrature avance sur le courant qui la traverse
...
8
...
La figure 7
...
Notez que, le circuit étant ouvert entre P et M (il n'y a pas de circuit extérieur), le courant dans les
branches N P et P M est le même, ce qui n'est pas le cas dans les branches B A et AN
car la tension entre A et B est imposée
...
En reportant l'expression (2) dans
(1) et (3) on obtient, après avoir multiplié les deux membres de (3) par j Cω :
U1 = R I1 + (1 + j RCω) U2

(1 )

0 = −R I1 + j CωU2 + (1 + j RCω) j RCω

(3 )

Par addition membre à membre des
équations (1 ) et (3 ) :
U1 = 1 − R 2 C 2 ω2 + 3 j RCω U2
On a donc finalement :
FIG
...
33
U2 = K e j ϕ

avec

K

=

1 − R 2 C 2 ω2

2

+ 9 (RCω)2

ϕ = − arccos K 1 − R 2 C 2 ω2

−1/2

2

Avec ω = 300 rad · s−1 on trouve :
K = 0,083

U2 = 10 V

ϕ2 = −2,30 rad

Avec ω = 600 rad · s−1 on trouve :
K = 0,025

U2 = 3 V

ϕ2 = −2,67 rad

En définitive, par superposition :
u 2 (t) = 10 cos (300 t − 2,30) + 3 cos (600 t − 2,67)
On note que l'amplitude de la composante du signal de sortie dont la pulsation est 600
est réduite à 30 % de celle de la pulsation fondamentale : le dispositif constitue un
« filtre passe bas », c'est-à-dire ne laissant passer que les basses fréquences
...
En posant VB = VM = 0 , la somme des admittances des branches aboutissant au nœud N est :
YN =

1
1
2
+
+ j Cω =
+ j Cω
R
R
R

VN =

V A /R + V P /R
U1 + U 2
=
2/R + j Cω
2 + j RCω

d où

De même pour le nœud P :
YP =

1
1
+ j Cω =
+ j Cω
R
R

VP =

VN /R + 0 × j Cω
U1 + U2
=
1/R + j Cω
(2 + j RCω)(1 + j RCω)

d où

Comme V P = U2, il vient :
U1 + U2 = U2 2 − R 2 C 2 ω2 + 3 j RCω
U1
U2 =
2 C 2 ω2 + 3 j RCω
1− R

© Dunod
...


C'est bien le résultat obtenu plus haut
...


7
...
Pont déphaseur
1) Cherchons la relation entre les amplitudes
complexes U et V des tensions u(t) et v(t)
...
figure 7
...
7
...
Posons VB = 0 , de
sorte que V A = V , et appliquons le théorème aux nœuds M et N :
VM =

V A /R + j CωVB
V
=
1/R + j Cω
1 + j RCω

VN =

VB /R1 + j C1 ωV A
j R1 C 1 ω V
=
1/R1 + j C1 ω
1 + j R1 C 1 ω

U = VM − VN =
=

(1 + j R1 C1 ω) − j R1 C1 ω (1 + j RCω)
V
(1 + j RCω) (1 + j R1 C1 ω)

1 + RC R1 C1 ω2
V
(1 + j RCω) (1 + j R1 C1 ω)

On retrouve donc l'expression ci-dessus
...

2

7
...
Pont de mesure de Nernst
1) Exprimons la différence de potentiel VM − V P
en suivant respectivement les chemins M A P et
M B P, et écrivons qu'elle est nulle lorsque le pont
est à l'équilibre :
VM − V P = − Z 1 I + Z 2 I = 0
VM − V P = Z 3 I − Z I
Par suite :
Z2
Z
I
=
=
I
Z1
Z3

⇒

=0

Z1 Z = Z2 Z3

FIG
...
35

© Dunod
...


On obtiendra aussi rapidement ce résultat avec le théorème de Millmann (poser par
exemple VB = 0)
...
N
...
11
...
7
...
37a) et en supprimant les sources ; Z L et Z C apparaissent alors en parallèle :
1
1
1
+
= 2 · 10−4 j − 10−4 j = 10−4 j et Z = −104 j
=
Z
ZC
ZL
La tension E t entre A et B en l'absence de R (figure 7
...


FIG
...
37
Le schéma équivalent de Thévenin (figure 7
...

=
104 (1 − j)
Z+R

On retrouve les résultats de 2)
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Il
reste donc à trouver le courant de court-circuit In entre A et B
...
7
...

On obtient facilement ces courants en appliquant la loi des mailles (7
...
36b)
permet de trouver U :
In =

1
1
+
R
Z

U = 10−4 + 10−4 j U

soit

U = −30V et I =

D'où :
U=

−3 · 10−3 (1 + j)
10−4 (1 + j)

U
= −3 · 10−3 A
...

−10−4 j + 2 · 10−4 j + 10−4
10−4 ( j − 1)

On retrouve par conséquent I = U /R = −3 · 10−3 A
...


Problèmes d’examen
corrigés
ÉNONCÉS
Problème n° 1
Une sphère métallique de rayon a, non
chargée, est placée dans un champ
électrostatique uniforme E 0 = E 0 ex
...

Soit V0 le potentiel en O avant l’introduction de la sphère
...

On désigne par P = α E 0 le moment dipolaire équivalent à la sphère, placé en
O
...
)
4) En déduire les composantes radiale et orthoradiale du champ à l’extérieur
de la sphère
...
Calculer la force qui s’exerce sur la sphère
2
ε0 E 0 (x)
en fonction de a et de la densité volumique d’énergie ω =

...

Une distribution uniforme de charge de densité volumique ρ remplit l’espace
compris entre les deux plans
...

2) a) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ produit par
l’ensemble des charges en tout point M d’abscisse x
...

B) Application : oscillation d’un gaz d’électrons
Soit une lame de cuivre d’épaisseur 2d dont les autres dimensions sont grandes devant d
...
Dans l’état d’équilibre, le x'
x
x
nombre d’électrons par unité de volume est n 0
...
Ainsi, si x > x0 , le gaz d’électrons
situé à droite du plan (P) d’abscisse x sera comprimé, alors que le gaz d’électrons à gauche de (P) sera dilaté : la neutralité locale n’est plus maintenue ; cependant la plaque de cuivre étant isolée, sa charge totale est nulle
...

2) En utilisant les résultats de la partie A), déterminer les composantes E dx et
E gx des champs créés sur le plan (P), d’abscisse x, par ρd et ρg
...

3) En négligeant l’effet de la pesanteur, quelle est la force agissant sur un des
électrons du plan (P) ?

Énoncés

223

4) Montrer que cet électron a un mouvement périodique de pulsation ωp que
l’on explicitera
...
Le
noyau, placé en O, porte la charge Z e (Z : numéro atomique de l’atome,
e : valeur absolue de la charge de l’électron)
...

2) Montrer que n doit être supérieur à une valeur que l’on déterminera
...

4) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrique et le
potentiel en tout point de l’espace
...

Problème n° 4

© Dunod
...


1) Deux charges électriques q et q = −λq (0 < λ < 1) sont placées, sur un
axe x O x, respectivement en O et en A (x A = d)
...


y

x'

O

A

q

q'

Ω

x

y'
2) On considère maintenant une charge q
placée en O et une sphère conductrice (S) reliée au sol (V = 0), de même
rayon R que la sphère et dont le centre se trouve à la distance D de q
...
On précisera la valeur de −q1 et les coordonnées de B
...


224

Problèmes d’examen corrigés

b) Quelle est la charge Q portée par la sphère (S) ?
c) Quel est le champ électrique E en un point M de la sphère ?
d) En déduire la densité surfacique de charge portée par la sphère ?
3) On maintient la charge q à la distance D de (S) mais cette fois, la sphère
conductrice, initialement neutre, est isolée
...


Problème n° 5
V1

x'

O
i

V1

x1

V2

x2

V2

x'1

x

I
(P'1)

(P1)

(P2)

(P'2)

Quatre plaques métalliques P1 , P1 , P2 , P2 sont disposées comme l’indique la
figure
...

Les lames métalliques sont suffisamment minces pour être perméables aux
électrons
...

Une source émet des électrons vers (P1 ) avec une vitesse initiale v0
...

Un électron dont la trajectoire rectiligne fait l’angle i avec x O x, arrive au
point I sur (P1 )
...
Sachant que le potentiel
d2 V (x)
= 0 , calculer V (x) et tracer la
V (x) vérifie l’équation de Laplace
dx 2
courbe V (x)
...
Quelle est la nature de la trajectoire de l’électron
entre les lames (P1 ) et (P1 ), (P1 ) et (P2 ), (P2 ) et (P2 ) ?

Énoncés

225

2) En considérant que la vitesse v0 est pratiquement nulle, déterminer la
vitesse v(x) des électrons en un point quelconque M(x) en fonction de V (x)
...
En déduire une relation entre les angles i 1 et i 2 que fait la trajectoire de l’électron avec x O x aux points d’abscisse x1 et x2
...

4) Quel est le rôle d’un tel dispositif dans un microscope électronique ?
On négligera, dans tout le problème, l’effet de la pesanteur
...
Étude d'un réseau capacitif

© Dunod
...


On considère le circuit de la figure, dont
on respectera les conventions d'orientation
...

2) Écrire V A − V B en fonction de i 1 , puis
i 2 et enfin i 3
...
En déduire les valeurs
FIG
...

3) En éliminant i 1 et i 2 des relations obtenues au 2), montrer que l'équation
différentielle régissant i 3 peut s'écrire :
i3
di 3
+
=0
dt
τ
avec τ = 3RC
...
Précisez la solution correspondant aux conditions initiales du 2)
...


226

Problèmes d’examen corrigés

6) Donner les expressions des intensités correspondant aux conditions initiales et en faire une représentation graphique
...
Donner l'impédance du circuit entre A et B
...

Représenter graphiquement l'amplitude de l'intensité totale dans le circuit en
fonction de ω
...
Filtrage
On utilise le circuit de la figure 1 pour transformer la tension d'entrée sinusoïdale u 1 en une tension de sortie u 2
...

1) Donner le module et la phase de la fonction de transfert
...

3) Représenter graphiquement l'allure du
module et de la phase de la fonction de transfert en fonction de la pulsation ω
...
Expliquer
qualitativement comment l'amplitude relative de ces signaux sera modifiée dans la
tension de sortie
...
1

5) On envoie un signal en créneau u 1 (t) de pulsation ωc en entrée
...
Faire
de même avec les modules des fonctions de
transfert et conclure
...
2

Énoncés

227

une impédance complexe Z (figure 2)
...

A
...
Calculer L pour que la fréquence de coupure soit de 2,4 kHz si C = 2μF
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

La borne commune est prise comme masse (potentiel nul), le potentiel à l'entrée est noté u 0 (t), le potentiel à la sortie du filtre n est u n (t) et l'on désigne
par i n (t) l'intensité du courant sortant du filtre n
...


FIG
...

Calculer le rapport Un /U0 représentant le module de la fonction de transfert
des n premiers éléments
...


228

Problèmes d’examen corrigés

Calculer Un /U0 (on montrera que seule l'une des deux solutions trouvées au
6) a une réalité physique)
...
N
...

10) Représenter l'allure du graphe de Un /U0 en fonction de la pulsation ω
...


x'

O

2) À l’intérieur de la sphère :

x
ex
E0

Er = E0 + Ei = 0 ⇒ Ei = − E0
Par suite V = V (0) = V0
et, par continuité :
V (a) = V0
3) À l’extérieur de la sphère :
V (M) = V1 (M) + V2 (M)
où V1 (M) est le potentiel dû à E 0 et V2 (M) est le potentiel dû à P
...

© Dunod
...


Pour r = a, on a :
E = Er er = 3E 0 cos θ er
σ = 3ε0 E 0 cos θ
6) On a :

−→
−
F = −grad E p
F=

soit, avec

et

Ep = − P · E0

a3
d E0
d E0
ex =
E0 ·
ex
P·
dx
K
dx

1
= 4πε0 :
K

F = 4πa 3

2
d ε0 E 0
ex
dx
2

230

Problèmes d’examen corrigés

F = 4πa 3

soit enfin :

dw
ex
dx

La sphère se déplace dans le sens des champs croissants
...
Le système physique est invariant dans
toute rotation autour de la parallèle à O x menée de M
...

Le système est de plus invariant dans toute
translation perpendiculaire à O x
...
Enfin, le système est
invariant dans une symétrie par rapport au
plan x = 0
...


(Π)

(Π′)

A

x'

O

−d

⇒

pour
pour

−d

d ou x

(Π′)

(Π)
O

A

–d

ρd
E=
ε0

x

+d

ρ

L’application du théorème de Gauss
donne, compte tenu que le flux latéral est
nul :
(2d)Sρ
= 2S E =
ε0
ρd
ε0
ρd
Ex =
ε0

B

2d

2) a) Calcul de E x pour tout point M d’abscisse x
On choisit comme surface de Gauss un
cylindre d’axe parallèle à O x dont les
bases de surface S, symétriques par rapport à O, sont situées à l’extérieur de la
E (– x)
distribution de charge
...


Corrigés

231

= 2S E =

On a :

Ex =

D’où :

(2x)Sρ
ε0

ρx
ε0

c) Courbe E x (x)

B) 1) Le nombre d’électrons en excès à droite est :
Nd = n 0 S(x − x0 )
où S est la section de la plaque de cuivre
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Ainsi les électrons du plan (P)
ont un mouvement sinusoïdal autour de leur position d’équilibre x0 avec une
pulsation : ωp =

e2 n 0 1/2
mε0

Problème n° 3
1) À la distance r de O, la charge q(r) du cortège électronique est égale à :
q(r) =
Si n = 3

alors

(τ)

ρ(r)dτ = 4πA
q = 4πA ln

r
a

r
a

r 2−n dr

Corrigés

/
Si n = 3

233

q=

alors

4πA 3−n
− a 3−n )
(r
3−n

2) On remarque que pour n

3 on a Q = lim q = ∞,

alors que pour n > 3 :

Q=

r→∞

4πA 3−n
a
n−3

3) La charge totale comprise dans la sphère de rayon r > a est :
q (r) = Z e + q(r)
La neutralité de l’atome implique que :
q (∞) = 0

⇒

Ze + Q = 0

⇒ Q = −Z e

Cette valeur finie de Q correspond au cas n > 3
...
L’application
du théorème de Gauss donne :

© Dunod
...


4πr 2 E =

Q int
ε0

où Q int est la charge contenue dans la sphère de centre O et de rayon r
...
La symétrie sphérique du problème implique que :
1 d
div E = 2 (r 2 Er)
r dr
a) Champ E 1 créé par le noyau :
E1 =

K Ze
er
r2

b) Champ E 2 créé par le cortège électronique :
– Pour r < a :
div E 2 = 0 avec E 2 (0) = 0 car tous les plans passant par O sont des plans de
symétrie
...

E 2 (r < a) = 0

On a donc :
– Pour r > a :

div E 2 =
d 2
A
(r E 2 ) = r 2−n
dr
ε0
A=

avec

E 2 (r > a) =

soit :

ρ
A
=
ε0
ε0r n

⇒

r 2 E2 =

A r 3−n
+C
ε0 3 − n

3 − n Ze
4π a 3−n
K Z e a n−3 C
+ 2 er
r2 r
r

La détermination de la constante C se fait en écrivant la continuité du champ
total en r = a :
K Z e K Z e a n−3 C
K Ze
+0= 2 + 2
+ 2
a
a2
a
a
a
Par suite :
a n−3
− 1 er
r

et

E 2 (r

K Ze
a) = 2
r

E =

K Ze
er
r2

(r

a)

E =

K Z e a n−3
er (r
r2 r

a)

C = −K Z e

© Dunod
...


Finalement, on obtient :

Problème n° 4
1) On a : V (M) = K q
r2
=λ
r1

et

1
λ
−
r1 r2
2
r2
2
r1

= λ2

=0

236

Problèmes d’examen corrigés

2
r1 = x 2 + y 2

avec :

2
r2 = (x − d)2 + y 2

et

(x − d)2 + y 2
= λ2
x 2 + y2
d’où

x 2 − 2dx + d 2 + y 2 = λ2 x 2 + λ2 y 2

soit

x 2 (1 − λ2 ) − 2d x + y 2 (1 − λ2 ) = −d 2

Cette dernière équation peut se mettre sous la forme :
x−

2

d

−

1 − λ2

(1 − λ2 )2

+ y2 = −

2

d

x−

d2

+ y2 =

1 − λ2

d2
1 − λ2

λ2 d 2
(1 − λ2 )2

Dans le plan x Oy, c’est l’équation d’un cercle de centre C de coordonnées :
xc =

d

yc = 0

1 − λ2
R=

et de rayon

λd
1 − λ2

La symétrie de révolution autour de O A montre que la surface équipotentielle
V = 0 est bien la sphère ( ) de centre C et de rayon R
...

La surface (S) constitue l’équipotentielle ( ) si est en C
...
Ces deux champs sont dirigés suivant les droites O M et AM et
leur résultante est dirigée suivant le rayon M puisque (S) est une équipotentielle
...

Les deux triangles MIK et AMO sont semblables comme ayant un angle égal
M A r2
= =λ ;
(MIK = AMO = α) compris entre deux côtés proportionnels
M O r1
IM
= λ
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
Dans ce dernier cas, la répartition de charge est
D
uniforme sur la surface, le potentiel de la sphère est le même que si la charge
q était placée au centre soit :
V =K

q
Kq
=
,
R
D

En superposant ces deux états d’équilibre, on obtient l’état d’équilibre correspondant à une sphère isolée mise en présence d’une charge q placée à la
distance D de son centre
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

Nature des trajectoires :
La force F = −e E qui agit sur l’électron est opposée à E :
pour

0 < x < x1

pour

x1 < x < x2

Fx = 0
Fx = e

V2 − V1
(> 0)
x2 − x1

Corrigés

pour

241

x2 < x < x2

0 < x < x1
Pour
uniforme
...
La trajectoire est un arc de parabole
...
À la source, elle est
nulle (v0 = 0 et V = 0)
...
La photocopie non autorisée est un délit
...

√
√
4) La relation V1 sin i 1 = V2 sin i 2 montre que si V2 > V1 alors i 2 < i 1,
l’électron se rapproche de l’axe x O x
...


Problème n° 6
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


Corrigés

245

i 1 (t) et i 3 (t) sont décroissants
...
2

Par ailleurs i 2 s'annule pour :
t=

τ
ln 3
2

0,55 τ

i 2 passe par un maximum (figure 2)
...
La photocopie non autorisée est un délit
...


246

Problèmes d’examen corrigés

FIG
...
Filtrage
1) On a, avec les notations de la figure 1 :
1
i1
jCω

u1 =

R+

u2 =

1
i1
jCω

la fonction de transfert est :

FIG
...

2) 0n a :
1
= √
2
1 + (RCωc )2
1

soit :

ωc =

⇒

1
RC

RCωc = 1

Corrigés

247

Application numérique :
1
1
R=
=
Cωc
2π f c C

soit

R = 1,6 · 104

3) Désignons par H (ω) le module de la fonction de transfert et par ϕ(ω) son
argument
...
Calculons sa dérivée logarithmique :
1 2R 2 C 2 ω
H (ω)
=−
H (ω)
2 1 + (RCωc )2
Celle-ci s'annule pour ω = 0 et le graphe
présente une tangente parallèle à l'axe des
abscisses en ce point
...
Sa dérivée
ϕ (ω) = −

RC
1 + (RCω)2

vaut −RC à l'origine
...
2

4) L'amplitude de la tension de sortie est d'autant plus faible que la fréquence
est élevée : il y a atténuation des hautes fréquences
...

© Dunod
...


5) On a, pour les harmoniques 3ωc , 5ωc , 7ωc :
ϕ3 = − arctan 3

−1,2 rad et
H (3 ωc )
=
H (ωc )

ϕ5 = − arctan 5

ϕ7 = − arctan 7

√
2
1 + (3RCωc )2

−1,4 rad et
H (5 ωc )
=
H (ωc )
−π/2 rad

2
=
1 + 52

H (7 ωc )
=
H (ωc )

=

√
2
1 + 72

=

2
= 0,45
1 + 32

2
= 0,28
26
2
= 0,20
50

248

Problèmes d’examen corrigés

Les phases des harmoniques s'écartent de
la phase du fondamental et tendent assez
rapidement vers π/2
...
3
45 %, 28 % et 20 % de celle du fondamental ; le signal en créneau va donc être déformé et se rapprocher d'un
signal sinusoïdal de pulsation ωc
...
N
...
103 )2 2 · 10−6 H , soit L = 8,8 mH
...
figure 4) :
u n−1 − u n = j Lω i n−1
= Z i n−1

u n−1

Par conséquent, en faisant le rapport
membre à membre :
1−

un
u n−1

=

j Lω
Z

FIG
...
début de la question 6))
...

8) Si ω < ωc on a alors, en utilisant le résultat de 6) :

© Dunod
...


Z − j Lω = − j

et par conséquent

Lω L
±
2
2
un

u n−1

=

2
ωc − ω2 = Z ∗

Z∗
Z

est de module 1
...


250

Problèmes d’examen corrigés

9) Si maintenant ω > ωc , on a, toujours en utilisant le résultat de 6) :
Z − j Lω = − j

un
u n−1

=

Lω L
ω 2 − ω2
±
c
2
2

−Lω/2 ± (L/2) ω2 − ω2
c
Lω/2 ± (L/2) ω2 − ω2
c

et, par suite :

± 1−
=

2
ωc
−1
ω2

±(L/2) 1 −

2
ωc
+1
ω2

Le signe − devant le radical implique Un /Un−1 > 1, tandis que le signe +
correspond à Un /Un−1 < 1
...

La deuxième solution donne :
Un−1)
Un−2

Un
Un−1

Un−2
U1
···
Un−3
U0

⎛

Un
=
U0

⎞n
2
ωc
⎟
ω2 ⎟

⎜1 −
⎜
Un
=⎜
U0 ⎜
⎝
1+

1−
1−

soit :

⎟
⎟
ω2 ⎠
c
ω2

A
...
On a :
Un
ωc
fc
2,4
=
=
=
= 0,8 d où
ω
f
3
U0

√
n
1 − 1 − 0,64
=
√
1 + 1 − 0,64

1 − 0,6 n
1 + 0,6

Soit donc :
Un
1
= n
U0
4

d où

U1
U5
1
= 0,25 et
= 10 = 10−3
...
La photocopie non autorisée est un délit
...
5

Index
A
admittance 196
angle solide 7
association de condensateurs 95
de résistances 160

C
capacité d’un condensateur 93
d’un conducteur 88
d’une sphère conductrice 89
caractéristique d'un dipôle 183
champ créé par une sphère chargée 63
d'une charge ponctuelle 29
circulation d’un gradient 10
du champ électrique 32
élémentaire 5
condensateur 91
cylindrique 94
plan 94
sphérique 93
conductivité électrique 156
conservation du flux 59
constante de temps 186
convention récepteur, générateur 183

D
densité d’énergie électrostatique 122
densité volumique de courant 149
surfacique de courant 151
dipôle électrostatique 38
divergence 10

d’un système à conducteurs 119
d’une distribution continue de charges 119
d’une distribution de charges ponctuelles 117
d’une sphère chargée en volume 124
d’une sphère conductrice chargée
124
électrostatique 119
potentielle 31
potentielle d'une distribution de charges ponctuelles 117
potentielle du dipôle 41
équation de continuité 153
équation de Laplace 60
de Poisson 60, 64

F
facteur de qualité 190, 198
flux à travers une surface ouverte 6
du champ électrique 56
élémentaire 6
force à charge constante 123
à potentiel constant 123
d’attraction entre les armatures
d’un condensateur plan 127
électromotrice 161
force et couple exercés par un champ
électrique sur un dipôle 40

G
gradient 8
générateur 183

E
électrolytes 149
énergie 119
d’un condensateur 120
d’un conducteur unique 119

I
impédance complexe 195
influence 87
totale 88

Index

253

L

R

Laplacien 13
ligne de courant 150
de champ 29
loi d’Ohm locale 156
macroscopique 159
loi de conservation de la charge 82
de Coulomb 28
intégrale 32, 58
locale 32, 58
de Kirchhoff 163

récepteur 163, 183
régime stationnaire 154
résistivité électrique 158
résonance d'intensité 198
rotationnel 11

M
masse (dans un circuit) 200
méthode des images 97
mobilité des porteurs 157

P

© Dunod
...


pont de Nernst 205
potentiel de nœuds 200
électrostatique 29
pression électrostatique 86
produit scalaire 3
vectoriel 3
puissance moyenne 199

S
semi-conducteurs intrinsèques 148
surfaces équipotentielles 29
symétrie 31

T
théorème de Millmann 200
de superposition 200
de Thévenin 201
de Coulomb 83
de Faraday 87
de Gauss 58
tube de courant 150

V
valeur efficace 199
vitesse d’agitation thermique 152
de dérive 152

050249 - (I) - (1,5) - OSB 80° - LAS - CHD
Achevé d’imprimer sur les presses de
SNEL Grafics sa
Z
...
des Hauts Sarts - Zone 3
Rue Fond des Fourches 21 – B-4041 Vottem (Herstal)
Tél +32 (0)4 344 65 60 - Fax +32 (0)4 286 99 61
août 2006 – 37934
Dépôt légal : septembre 2006
Dépôt légal de la 1re édition : 2002
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électromagnétiques et milieux, Magnétostatique et induction, Mécanique,
Ondes mécaniques et mécanique des fluides, Optique, Thermodynamique)
est destiné aux étudiants des premières années de licence scientifique
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Chaque chapitre
débute par des rappels mettant l'accent sur les points fondamentaux
du cours, illustrés d'exemples classiques et d’exercices d'application
...
Le dernier chapitre propose
une dizaine de problèmes d'examen corrigés
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9 782100 502493

ISBN 2 10 050249 2

www
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net

Émile Amzallag,
Joseph Cipriani,
Jocelyne Ben Aïm,
et Norbert Piccioli
sont maîtres de conférences
à l’université Paris 6

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