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TRIGONOMETRIE
Emilien Suquet, suquet@automaths
...
I Cosinus, Sinus et Tangente d'un angle aigu
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu
ABC de la manière suivante :
coté opposé à ABC AC
sin ABC =
=
C
BC
hypoténuse
cos ABC =
coté adjacent à ABC AB
=
BC
hypoténuse
tan ABC =
AC
coté opposé à ABC
=
coté adjacent à ABC AB
Hypoténuse
Côté opposé à
ABC
A
Côté adjacent à ABC
B
Remarques :
On peut prouver l’existence du sinus et de la tangente de la même façon qu’en quatrième
...
On a aussi avec l’angle ACB : cos ACB =
AC
AB
AB
; sin ACB =
; tan ACB =
BC
BC
AC
Il n’est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus, il est donc astucieux de trouver
des moyens mnémotechniques pour les retenir
...
Le sinus, le cosinus et la
tangente d’un angle
n’ont pas d’unité
...
Exemple : si sin ABC = 0,8 et ABC est un angle aigu alors ABC = 53,13 degrés à 0,01 près
...
Exemple : si cos ABC = 0,5 et ABC est un angle aigu alors ABC = 60 degrés
...
Exemple : si tan ABC = 0,2 et ABC est un angle aigu alors ABC = 11,30 degrés à 0,01 près
...
1
© www
...
com
II Relations trigonométriques
Pour toutes valeurs de x on a : cos2x + sin2x = 1 et tan x =
sin x
cos x
Démonstration dans le cas ou x est une valeur strictement comprise entre 0 et 90 degrés :
C
Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que ABC = x
On a alors : cos x =
AC
AC
AB
, sin x =
et tan x =
BC
BC
BC
2
cos2x + sin2x =
x
2
AB + AC = AB2 + AC2 = AB2 + AC2
BC2
BC BC BC2 BC2
B
A
On sait que le triangle ABC est rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore,
On a AB2 + AC2 = BC2
BC2
D’où cos2x + sin2x =
=1
BC2
AC
sin x BC AC BC AC
=
=
×
=
= tan x
cos x AB BC AB AB
BC
III Exercices types commentés
Enoncé 1 : détermination d’une distance
DEF est un triangle rectangle en D tel que DEF = 30° et DF = 5
...
Cela vous évitera bien des erreurs d’étourderie
...
Ecrivez d’abord la formule en toutes lettres
...
2
© www
...
com
Enoncé 2 : détermination d’un angle
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 7
...
C
7
?
A
B
5
ABC est un triangle rectangle en A
...
2)
On a tan x =
tan x =
sin x
cos x
0,84
0,4
On peut arrêter ici si on veut
...
automaths
...
6
1) Calculer HA au millimètre près
...
4
1)
2
AHC est un triangle rectangle en H
D’après le théorème de Pythagore
On a AC2 = HA2 + HC2
D’où 62 = HA2 + 42
36 = HA2 + 16
HA2 = 20
H
B
HA = 20
HA ≈ 4,5 au mm près
2)
ABH est un triangle rectangle en H
AH
Donc tan ABH =
Il faut absolument prendre la valeur exacte de AH même si on a demandé
BH
tan ABH =
20
2
la valeur approchée dans la question précédente
...
ABH ≈ 65,91 degré à 0,1 près
Si nous n’avions pas garder 20 mais pris la
valeur approchée 4,5 nous aurions trouvé 66,04
4
© www
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com