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CALCUL DE LIMITES
Les cas immédiats
Règle 1 : soit f une des fonctions suivantes : polynôme, rationnelle, racine carrée, valeur absolue,
trigonométrique ou encore somme, produit, quotient ou composée des précédentes
...
x→a
1
= 1 ; lim x + cos x = π – 1 ; lim x − 3 = 0
x →π
x →3
1+ x
Exemples : lim x² + 2x – 1 = 7 ; lim x +
x→ 2
x→0
Les puissances de x
Règle 2 : Soit n appartenant à IN*
...
Règle 3 : avec a réel ou infini, L et L’ réels, on a les règles suivantes
...
Somme
lim f ( x )
L
+∞
+∞
–∞
+∞
x →a
lim g ( x )
L’
L’
+∞
–∞
L + L’
+∞
+∞
–∞
x →a
lim f ( x ) + g ( x )
x→a
–∞
indéterminé
Produit
lim f ( x )
L
+∞
+∞
–∞
+∞
lim g ( x )
L’
L’>0
+∞
–∞
0
L×L’
+∞
+∞
+∞
indéterminé
x→a
x→a
lim f ( x ) g ( x )
x→a
Quotient
lim f ( x )
L
+∞
L
L>0
+∞
0
lim g ( x )
L’≠0
L’≥0
+∞
0+
+∞
0
L
L’
+∞
0
+∞
x→a
x→a
lim
x→a
f ( x)
g ( x)
indéterminé indéterminé
On retiendra, mais on n’écrira pas, quelques schémas mentaux :
∞+L=∞
∞×∞ = ∞
(L non nul)×∞ = ∞
1
=∞
0
1
=0
∞
0
=0
∞
Formes indéterminées
...
Règle 4 : • en + ∞ (ou – ∞), un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré
...
Théorèmes de comparaison
...
Hypothèse 1 : inégalité(s)
pour x dans un intervalle
contenant a ou borné par a
Hypothèse 2 : limite(s) quand x
tend vers a
Conclusion
u(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = +∞
lim v ( x ) = +∞
u(x) ≤ v(x)
lim v ( x ) = −∞
lim u ( x ) = −∞
| f(x) – L | ≤ u(x)
lim u ( x ) = 0
lim f ( x ) = L
u(x) ≤ f(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = lim v ( x ) = L
lim f ( x ) = L
u(x) ≤ v(x)
lim u ( x ) = L et lim v ( x ) = L'
L ≤ L’
x→a
x →a
x →a
x→a
x →a
x →a
x→a
x→a
Fonction composée
...
(indétermination du type + ∞ – ∞)
lim x = +∞
x →+∞
1
Pour x > 0, on a : f ( x) = x 1 −
f(
...
Exemple : étude en + ∞ de f(x) = x + 1 − x
...
(Cf
...
Indétermination de type quand x tend vers 1
...
x -1
u ( x) - u (1)
x
1
Donc : lim f ( x) = lim
= u '(1)
...
Remarque : les autres cas sont obtenus en remplaçant + ∞ par – ∞ et/ou x > a par x < a
...
Courbes asymptotes
Cf et Cg sont dites asymptotes l’une à l’autre en + ∞ lorsque : lim f ( x) − g ( x) = 0 (id en – ∞)