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---

Exo7

Matrices
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partie
partie
partie
partie
partie
partie

1
...

3
...

5
...


Définition
Multiplication de matrices
Inverse d'une matrice : définition
Inverse d'une matrice : calcul
Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques

Les matrices sont des tableaux de nombres
...
Ceci est vrai en particulier pour
la résolution des systèmes linéaires
...
On peut penser à Q, R ou C
...
Définition
1
...
Définition
Définition 1
–
–
–
–

Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de K
...

Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A
...


Un tel tableau est représenté de la manière suivante :


a 1,1 a 1,2
...
a 1,p


 a 2,1 a 2,2
...
a 2,p 



...



ou
A=

 a i,1 a i,2
...
a i,p 



...



a n,1 a n,2
...
a n,p

A = a i, j

Exemple 1
A=

1 −2 5
0 3 7

est une matrice 2 × 3 avec, par exemple, a 1,1 = 1 et a 2,3 = 7
...


2
Définition 2
– Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux
...

Les éléments de M n,p (R) sont appelés matrices réelles
...
2
...
On
note M n (K) au lieu de M n,n (K)
...


...

a n,1

a 1,2
a 2,2

...


...


...


...



a 1,n

a 2,n 

...


...
, a n,n forment la diagonale principale de la matrice
...

On la note
A = a 1,1 a 1,2
...

– De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne ou
vecteur colonne
...

A=


...

a n,1
– La matrice (de taille n × p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice
nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0
...


1
...
Addition de matrices
Définition 3
...
Leur somme C = A + B est la matrice
de taille n × p définie par
ci j = ai j + bi j
...
Remarque : on note indifféremment a i j
où a i, j pour les coefficients de la matrice A
...

3 6

3

Par contre si

B =

−2
8

alors

A+B

n’est pas définie
...
Produit d’une matrice par un scalaire
Le produit d’une matrice A = a i j de M n,p (K) par un scalaire α ∈ K est la matrice αa i j
formée en multipliant chaque coefficient de A par α
...


Exemple 3
Si

A=

1 2 3
0 1 0

et

α=2

alors

αA =

2 4 6

...
La différence A − B est définie par A + (−B)
...

−3 0 −1

L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :
Proposition 1
Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p (K)
...

1
...
A + (B + C) = (A + B) + C : la somme est associative,
3
...
(α + β)A = α A + β A,
5
...


Démonstration
Prouvons par exemple le quatrième point
...
D’après les
règles de calcul dans K, (α + β)a i j est égal à αa i j + βa i j qui est le terme général de la matrice α A + β A
...
Soient A = 0 −1 , B = 2 3 1 , C = 0 3 , D = 1 0 1 0 , E = −3 0
...
Calculer 3A + 2C et 5B − 4D
...

2
...

3
...
Idem avec nA = A + A +
· · · + A (n occurrences de A)
...
Multiplication de matrices
2
...
Définition du produit
Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A
est égal au nombre de lignes de B
...
Produit de deux matrices
Soient A = (a i j ) une matrice n × p et B = (b i j ) une matrice p × q
...

Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante
...
On calcule
le produit du premier coefficient de la ligne par le premier coefficient de la colonne (a i1 × b 1 j ), que
l’on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le deuxième coefficient de la colonne
(a i2 × b 2 j ), que l’on ajoute au produit du troisième
...
2
...
Puis on calcule chacun des coefficients, en commençant par le premier coefficient c 11 =
1 × 1 + 2 × (−1) + 3 × 1 = 2 (au milieu), puis les autres (à droite)
...


...

bn

Alors u × v est une matrice de taille 1 × 1 dont l’unique coefficient est a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + a n b n
...

Calculer le coefficient c i j dans le produit A × B revient donc à calculer le produit scalaire des
vecteurs formés par la i-ème ligne de A et la j-ème colonne de B
...
3
...
Le produit de matrices n’est pas commutatif en général
...
Mais même dans le cas où AB et BA sont définis et de la même taille, on a
en général AB = BA
...

3 −2
29 −2

Deuxième piège
...

Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul
...

Exemple 7
A=

0 −1
0 5

B=

2 −3
0 0

AB =

et

0 0

...
AB = AC n’implique pas B = C
...

Exemple 8
A=

0 −1
0 3

B=

4 −1
5 4

C=

2 5
5 4

et

AB = AC =

−5 −4

...
4
...
A(BC) = (AB)C : associativité du produit,
2
...
A · 0 = 0

et

(B + C)A = BA + C A : distributivité du produit par rapport

et

0 · A = 0
...
Prouvons que A (BC ) = ( AB)C en
montrant que les matrices A (BC ) et ( AB)C ont les mêmes coefficients
...
Le terme d’indice ( i, j ) de la matrice ( AB)C
=1

est donc

q

q

p

k=1

=1

x ik c k j =
k=1

ai b

ck j
...


Le terme d’indice ( i, j ) de la matrice A (BC )

b

k ck j


...
Les autres démonstrations se font comme celle de l’associativité
...
5
...


...

0 0


...


...


...


...

1








Ses éléments diagonaux sont égaux à 1 et tous ses autres éléments sont égaux à 0
...
Dans le calcul matriciel, la matrice identité joue un rôle analogue à celui du
nombre 1 pour les réels
...
En d’autres termes :
Proposition 3
Si A est une matrice n × p, alors
In · A = A

et

A · I p = A
...
Soit A ∈ M n,p (K) de terme général a i j
...

On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker
...

Donc
0 si i = j
δ i, j =
1 si i = j
...

La matrice produit AI p est une matrice appartenant à M n,p (K) dont le terme général c i j est donné
p

a ik δk j
...
Si k = j alors δk j = 0, et si k = j alors δk j = 1
...
Donc les matrices AI p et A ont le même terme général et sont donc égales
...


2
...
Puissance d’une matrice
Dans l’ensemble M n (K) des matrices carrées de taille n × n à coefficients dans K, la multiplication
des matrices est une opération interne : si A, B ∈ M n (K) alors AB ∈ M n (K)
...

On peut ainsi définir les puissances successives d’une matrice :
Définition 6
Pour tout A ∈ M n (K), on définit les puissances successives de A par A 0 = I n et A p+1 = A p × A
pour tout p ∈ N
...

p facteurs

Exemple 9



1 0 1


On cherche à calculer A p avec A = 0 −1 0
...

0 0 16

L’observation de  premières puissances permet de penser que la formule est : A p =
ces

1
0
2p − 1


0 
...

0 (−1) p
0
0
2p
Il est vrai pour p = 0 (on trouve l’identité)
...
On a, d’après la définition,


1
0

A p+1 = A p × A = 0 (−1) p
0
0

 
 
2p − 1
1 0 1
1
0
 
 
0  × 0 −1 0 = 0 (−1) p+1
2p
0 0 2
0
0


2 p+1 − 1

0

...


2
...
Formule du binôme
Comme la multiplication n’est pas commutative, les identités binomiales usuelles sont fausses
...

Proposition 4
...
Alors,
pour tout entier p 0, on a la formule
p

(A + B) p =
k=0

où

p
k

p p− k k
A
B
k

désigne le coefficient du binôme
...

Exemple 10

1 1

0 1
Soit A = 
0 0

0 0



1
0



0
1

...
La matrice N est nilpotente (c’est3

0

N k = 0) comme le montrent les calculs suivants :



2 4
0 0 0 6





0 6
3 0 0 0 0

N =
et
N 4 = 0
...
On utilise que I k = I
pour tout k et surtout que N k = 0 si k 4
...

2! N +
3!


p(p2 − p + 1)

p(3p − 2) 

...
Soient A = 6 −4 −2 , B = 0 1 0 , C =
0
2 −2 −3
sont possibles ? Les calculer !

2
...
Soient A =
BA
...


8 2
−3 2
−5 5

,D=

5
2
−1

,E= x

1 0 0
0 0 2
...
Calculer A p et B p pour
310

y

z
...

tout p

0
...
Inverse d’une matrice : définition
3
...
Définition
Définition 7
...
S’il existe une matrice carrée B de taille n × n telle
que
AB = I
et
BA = I,
on dit que A est inversible
...

On verra plus tard qu’il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB = I ou bien BA = I
...

p facteurs

– L’ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté GL n (K)
...
2
...
Étudier si A est inversible, c’est étudier l’existence d’une matrice B =
03
coefficients dans K, telle que AB = I et BA = I
...
Il n’y a donc qu’une seule matrice
3
3
possible, à savoir B =

1 −2
3
0

1
3


...
La matrice A est donc inversible et A −1 =

10
1 −2
3
1
...
En effet, soit B =

a
c

b
une matrice quelconque
...


Exemple 13
– Soit I n la matrice carrée identité de taille n × n
...

– La matrice nulle 0n de taille n × n n’est pas inversible
...


3
...
Propriétés
Unicité
Proposition 5
Si A est inversible, alors son inverse est unique
...

Soient donc B1 telle que AB1 = B1 A = I n et B2 telle que AB2 = B2 A = I n
...
D’une
part, comme AB1 = I n , on a B2 ( AB1 ) = B2
...
Donc B1 = B2
...
Alors A −1 est aussi inversible et on a :
(A −1 )−1 = A

Inverse d’un produit

11

Proposition 7
Soient A et B deux matrices inversibles de même taille
...
Cela suit de
(B−1 A −1 )( AB) = B−1 ( A A −1 )B = B−1 IB = B−1 B = I,
et

( AB)(B−1 A −1 ) = A (BB−1 ) A −1 = AI A −1 = A A −1 = I
...
, A m sont inversibles, alors
(A 1 A 2 · · · A m )−1 = A −1 A −1 1 · · · A −1
...
En revanche, si C est une matrice
inversible, on a la proposition suivante :
Proposition 8
Soient A et B deux matrices de M n (K) et C une matrice inversible de M n (K)
...


Démonstration
Ce résultat est immédiat : si on multiplie à droite l’égalité AC = BC par C −1 , on obtient l’égalité :
( AC )C −1 = (BC )C −1
...


Mini-exercices
1
...
Calculer l’inverse de
3
...
Calculer A −1 , B−1 , (AB)−1 , (BA)−1 , A −2
...



...
Sans calculs, en déduire A −1
...
Inverse d’une matrice : calcul
Nous allons voir une méthode pour calculer l’inverse d’une matrice quelconque de manière efficace
...

Auparavant, nous commençons par une formule directe dans le cas simple des matrices 2 × 2
...
1
...

d

Proposition 9
Si ad − bc = 0, alors A est inversible et
A −1 =

1
ad − bc

d
−c

−b
a

Démonstration
On vérifie que si B =

1
d −b
ad − bc − c a

alors AB =

10
01


...


4
...
Méthode de Gauss pour inverser les matrices
La méthode pour inverser une matrice A consiste à faire des opérations élémentaires sur les lignes
de la matrice A jusqu’à la transformer en la matrice identité I
...
On aboutit alors à une matrice qui est A −1
...

En pratique, on fait les deux opérations en même temps en adoptant la disposition suivante : à
côté de la matrice A que l’on veut inverser, on rajoute la matrice identité pour former un tableau
(A | I)
...
Et alors B = A −1
...
L i ← λL i avec λ = 0 : on peut multiplier une ligne par un réel non nul (ou un élément de
K \ {0})
...
L i ← L i + λL j avec λ ∈ K (et j = i) : on peut ajouter à la ligne L i un multiple d’une autre ligne
L j
...
L i ↔ L j : on peut échanger deux lignes
...


4
...
Un exemple



1 2 1


Calculons l’inverse de A =  4 0 −1
...

Ce qui termine la première partie de la méthode de Gauss :


1 2

 0 1
0 0

1

1

5
8
1
2

1
2

−1

0
−1
8
1
2


0

0 
1



1 2

 0 1
0 0

puis
L 3 ←L 3 −4L 2

1


0

0 
2

1

0
1
−1
2
8
−2 1

5
8

1

L 3 ←2 L 3

Il ne reste plus qu’à « remonter » pour faire apparaître des zéros au-dessus de la diagonale :



1 2 1

 0 1 0
0 0 1

1

0
7
3
−4
4
−2 1


0

−5 
4
2

−1
2
7
4

L 2 ←L 2 − 5 L 3
8

puis

1 0 0

 0 1 0
0 0 1

1
2
−3
4

1
2
−5
4

−2



1

2



L 1 ←L 1 −2L 2 −L 3




Ainsi l’inverse de A est la matrice obtenue à droite et après avoir factorisé tous les coefficients par
1
4 , on a obtenu :


−2 2
2
1

A −1 =  7 −3 −5
4
−8 4
8
Pour se rassurer sur ses calculs, on n’oublie pas de vérifier rapidement que A × A −1 = I
...
Si possible calculer l’inverse des matrices :
2
...



...


3
...


14

5
...
1
...

a n 2 x2

+
+
+

+ ··· +
+ ··· +

a1 p x p
a2 p x p

=
=

b1
b2

+ ··· +

a np x p

=

bn

peut s’écrire sous forme matricielle :







a 11
a 21

...


...


...


a1 p
a2 p

...


...


...

xp









 = 





X

b1
b2

...


...




B

On appelle A ∈ M n,p (K) la matrice des coefficients du système
...
Le vecteur X ∈ M p,1 (K) est une solution du système si et seulement si
A X = B
...


5
...
Matrices inversibles et systèmes linéaires
Considérons le cas où le nombre d’équations égale le nombre d’inconnues :







a 11
a 21

...


...


...

A

a 1n
a 2n

...


...


...

xn
X









 = 





b1
b2

...


...




B

Alors A ∈ M n (K) est une matrice carrée et B un vecteur de M n,1 (K)
...


15

Proposition 10
Si la matrice A est inversible, alors la solution du système A X = B est unique et est :
X = A −1 B
...

Réciproquement si A X = B, alors nécessairement X = A −1 B
...


5
...
Les matrices élémentaires
Pour calculer l’inverse d’une matrice A, et aussi pour résoudre des systèmes linéaires, nous avons
utilisé trois opérations élémentaires sur les lignes qui sont :
1
...

2
...

3
...

Nous allons définir trois matrices élémentaires E L i ←λL i , E L i ←L i +λL j , E L i ↔L j correspondant à ces
opérations
...
Voici
les définitions accompagnées d’exemples
...
La matrice E L i ←λL i est la matrice obtenue en multipliant par λ la i-ème ligne de la matrice
identité I n , où λ est un nombre réel non nul
...
La matrice E L i ←L i +λL j est la matrice obtenue en ajoutant λ fois la j-ème ligne de I n à la
i-ème ligne de I n
...
La matrice E L i ↔L j est la matrice obtenue en permutant les i-ème et j-ème lignes de I n
...

Le résultat de la multiplication d’un matrice élémentaire E par A est la matrice obtenue en
effectuant l’opération élémentaire correspondante sur A
...
La matrice E L i ←λL i × A est la matrice obtenue en multipliant par λ la i-ème ligne de A
...
La matrice E L i ←L i +λL j × A est la matrice obtenue en ajoutant λ fois la j-ème ligne de A à la
i-ème ligne de A
...
La matrice E L i ↔L j × A est la matrice obtenue en permutant les i-ème et j-ème lignes de A
...


1

E L 2 ← 1 L 2 × A = 0
3
0

0
1
3

0

 
0
x1
 
0 ×  y1
z1
1

x2
y2
z2

 
x1
x3
 1
y3  =  3 y1
z3
z1

x2
1
3 y2
z2


x3

1
3 y3 
z3

2
...



 
1 0 0
x1

 
E L 2 ↔L 3 × A = 0 0 1 ×  y1
z1
0 1 0

x2
y2
z2

 
x3
x1
 
y3  =  z1
z3
y1

x2
z2
y2


x3

z3 
y3

5
...
Équivalence à une matrice échelonnée
Définition 8
Deux matrices A et B sont dites équivalentes par lignes si l’une peut être obtenue à partir
de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes
...

Définition 9
Une matrice est échelonnée si :
– le nombre de zéros commençant une ligne croît strictement ligne par ligne jusqu’à ce
qu’il ne reste plus que des zéros
...

Exemple d’une matrice échelonnée (à gauche) et échelonnée réduite (à droite) ; les ∗ désignent des
coefficients quelconques, les + des coefficients non nuls :




+ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
1 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0




 0 0 + ∗ ∗ ∗ ∗
 0 0 1 0 ∗ ∗ 0




 0 0 0 + ∗ ∗ ∗
 0 0 0 1 ∗ ∗ 0








0 0 0 0 0 0 1
 0 0 0 0 0 0 +




0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0




0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0

17

Théorème 2
Étant donnée une matrice A ∈ M n,p (K), il existe une unique matrice échelonnée réduite U
obtenue à partir de A par des opérations élémentaires sur les lignes
...

Démonstration
Nous admettons l’unicité
...
L’idée générale consiste à utiliser des substitutions de lignes pour placer des zéros là où il faut de façon à créer d’abord une forme échelonnée, puis
une forme échelonnée réduite
...

Partie A
...

Étape A
...
Choix du pivot
...
Soit elle ne contient que des zéros, auquel cas on
passe directement à l’étape A
...
On choisit alors un tel
terme, que l’on appelle le pivot
...
2 ; si c’est un
terme a i1 avec i = 1, on échange les lignes 1 et i (L 1 ↔ L i ) et on passe à l’étape A
...

Au terme de l’étape A
...


...

0


...


...


...

a i2

...


...


...

ai j

...


...


...

= A
aip 


...


...


...


 a i1


...


...


...

a i2

...


...


...

ai j

...


...


...

 ∼ A
...


...

a np

···

···

···

···

Étape A
...
Élimination
...
Pour cela, il suffit de remplacer la ligne i par elle-même moins
a

a

pour i = 2,
...

11

11

Au terme de l’étape A
...


...


...


...


...


...


...

 0
a i2 · · · a i j · · · a i p 



...


...


...


...


...


...

0
a n2 · · · a n j · · · a np
Étape A
...
Boucle
...
3, on a obtenu dans tous les cas de figure une matrice de la forme


a1
a1
· · · a1 j · · · a1 p
11
12
1
1


 0
a1
· · · a1 j · · · a1 p 
22
2 
2


...


...


...


...


...


...


1
1
1 ∼ A
 0
a i2 · · · a i j · · · a i p 



...


...


...


...


...


...

0
a1 2 · · · a1 j · · · a1
np
n
n
dont la première colonne est bien celle d’une matrice échelonnée
...
Si a1 = 0, on conserve aussi la première ligne, et l’on repart avec l’étape A
...
1 en l’appliquant à la sous-matrice
11
n × ( p − 1) (à droite, on « oublie » la première colonne) :


 1

a1
· · · a1 j · · · a1 p
12
1
1
1
1
a 22 · · · a 2 j · · · a 2 p
 1

 a 22 · · · a1 j · · · a1 p 

...


...



...


...


...


...


...


...


...

1
1 
a
· · · ai j · · · aip 
 1

 i2
 a i2 · · · a1j · · · a1p 

...


...


...


...


...


...


...


...


...

1
1
1
a n2 · · · a n j · · · a np
1
1
1
a n2 · · · a n j · · · a np
Au terme de cette deuxième itération de la boucle, on aura obtenu une matrice de la forme


1
a1
a1
· · · a1 p
11
12 · · · a 1 j
1


2
 0
a2
· · · a2 p 
22 · · · a 2 j
2 


...


...


...


...


...


...


2
2  ∼ A,
 0
0
· · · ai j · · · aip 



...


...


...


...


...


...

0
0
· · · a2 j · · · a2
np
n
et ainsi de suite
...

Partie B
...

Étape B
...
Homothéties
...
Exemple : si le premier élément non nul de la ligne i est α = 0, alors on
1
effectue L i ← α L i
...

Étape B
...
Élimination
...
Ceci ne modifie pas la structure échelonnée de la matrice en
raison de la disposition des zéros dont on part
...

−1 0 1 0

A
...


19
Première itération de la boucle, étape A
...
Le choix du pivot est tout fait, on garde a1 = 1
...
2
...
On obtient



1 2 3 4


A ∼ 0 2 4 6
...
1
...

22
Deuxième itération de la boucle, étape A
...
On remplace la ligne 3 avec l’opération L 3 ←
L 3 − L 2
...

0 0 0 −2
Cette matrice est échelonnée
...
Passage à une forme échelonnée réduite
...
1, homothéties
...

0 0 0 1

Étape B
...
On ne touche plus à la ligne 3 et on remplace la ligne 2 par
L 2 ← L 2 − 3L 3 et L 1 ← L 1 − 4L 3
...

0 0 0 1

Étape B
...
On ne touche plus à
L 1 ← L 1 − 2L 2
...


5
...
Matrices élémentaires et inverse d’une matrice
Théorème 3
Soit A ∈ M n (K)
...


20
Démonstration
Notons U la forme échelonnée réduite de A
...

⇐= Si U = I n alors E A = I n
...

=⇒ Nous allons montrer que si U = I n , alors A n’est pas inversible
...
Alors la dernière ligne de U est nulle (sinon il y aurait un pivot sur chaque
ligne donc ce serait I n )
...

– Alors, A n’est pas inversible non plus : en effet, si A était inversible, on aurait U = E A et U
serait inversible comme produit de matrices inversibles (E est inversible car c’est un produit
de matrices élémentaires qui sont inversibles)
...

Nous partons de (A | I) pour arriver par des opérations élémentaires sur les lignes à (I |B)
...
Faire une opération élémentaire signifie multiplier à gauche par une
des matrices élémentaires
...
Dire que l’on
arrive à la fin du processus à I signifie E A = I
...
Comme on fait les mêmes
opérations sur la partie droite du tableau, alors on obtient EI = B
...
Conséquence :
B = A −1
...

0

0

0

0

(ii) Le système linéaire A X =
...


...


...

(iii) Pour tout second membre B, le système linéaire A X = B a une unique solution X
...

Nous allons seulement montrer ( ii ) =⇒ ( i )
...
Si A n’est pas inversible, alors sa forme échelonnée réduite
U contient un premier zéro sur sa diagonale, disons à la place
...


...

0

0

...

0
···
···

...


...


...


···

0
1
0
0

...


...


...


...

∗








...


...



− c −1 


X =  1 
...


...


0

Alors X n’est pas le vecteur nul, mais U X est le vecteur nul
...
Nous avons donc trouvé un vecteur non nul X tel que A X = 0
...
Exprimer les systèmes linéaires suivants sous forme matricielle et les résoudre en


 x+t =α


 x+z =1

 x − 2y = β

2x + 4y = 7
inversant la matrice :
,

...
Écrire les matrices 4 × 4 correspondant aux opérations élémentaires : L 2 ← 1 L 2 , L 3 ←
3
1
L 3 − 4 L 2 , L 1 ↔ L 4
...
Écrire la matrice 4 × 4 de l’opération L 1 ← L 1 − 2L 3 + 3L 4
...
Écrire les matrices suivantes sous forme échelonnée, puis échelonnée réduite :
1 2 3
1 4 0
−2 −2 −3

,

1 0 2
1 −1 1
2 −2 3

,

2
0
1
−1

0
−1
−2
2

−2
1
1
−1

0
0
4
−2


...
Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
6
...
Matrices triangulaires, matrices diagonales
Soit A une matrice de taille n × n
...

Une matrice triangulaire inférieure a la forme suivante :


a 11

0


a
 21

...


...


...

a n1

a 22

...


...


...

a n2

···

...


...


0

...


...


...


···


...



...


···

On dit que A est triangulaire supérieure si ses éléments en-dessous de la diagonale sont nuls,
autrement dit :
i > j =⇒ a i j = 0
...


...


...


...


...

0

a 12
a 22

...



...


...


...



...



...



...



...



...



...


0


...


...


...


...


...

a nn

22

Exemple 16
Deux matrices triangulaires
droite) :

4 0

0 −1
3 −2

inférieures (à gauche), une matrice triangulaire supérieure (à

0

0
3



5 0
1 −2


1 1 −1


0 −1 −1
0 0 −1

Une matrice qui est triangulaire inférieure et triangulaire supérieure est dite diagonale
...

Exemple 17
Exemples de matrices diagonales :


−1 0 0


 0 6 0
0 0 0

et

2 0
0 3

Exemple 18
...


...


...

0

...


...


...


...


...


...

=⇒
Dp = 
...


...


...


...


...
0 αn−1 0 
 0
...

0
αn
0
...


Démonstration
Supposons que A soit triangulaire supérieure
...
En multipliant chaque ligne i par l’inverse de l’élément diagonal a ii , on obtient
des 1 sur la diagonale
...
Le
théorème 3 permet de conclure que A est inversible
...
En multipliant les lignes 1 à − 1 par l’inverse de leur

23
élément diagonal, on obtient une matrice de la forme


1















0
0
0
0

...


...


...


...

···

···

···
∗
1
0
0

...


...


...


...

∗








...
La forme échelonnée réduite de A ne peut donc pas être I n et par le théorème 3, A
n’est pas inversible
...
On applique alors la démonstration cidessus
...
2
...


...

a n1

a 12
a 22

...


...


...


a1 p
a2 p

...


...




Définition 10
On appelle matrice transposée de A la matrice A T de taille p × n définie par :



A =


T

a 11
a 12

...


...


...

a2 p


...


...


...

a np





...
Ou encore la i-ème ligne de A devient
la i-ème colonne de A T (et réciproquement la j-ème colonne de A T est la j-ème ligne de A)
...

Exemple 19

T 
1 2 3
1 4 −7




8
 4 5 −6 = 2 5
−7 8 9
3 −6 9


T
0
3
0 1 −1


 1 −5 =
3 −5 2
−1 2


L’opération de transposition obéit aux règles suivantes :



(1

−2


1
 
5)T = −2
5

24

Théorème 5
1
...
(α A)T = α A T
3
...
(AB)T = B T A T
5
...

Notez bien l’inversion : (AB)T = B T A T , comme pour (AB)−1 = B−1 A −1
...
3
...
, a nn sont appelés les
éléments diagonaux
...
, a nn )
...


...

a n1

a 12
a 22

...


...


...


...



a 1n

a 2n 

...


...

Autrement dit,
tr A = a 11 + a 22 + · · · + a nn
...

1 1 2
5 2 8
11 0 −10

, tr B = 1 + 2 − 10 = −7
...
Alors :
1
...
tr(α A) = α tr A pour tout α ∈ K,
3
...
tr(AB) = tr(BA)
...
Pour tout 1
tr(B)
...
Ainsi, on a bien tr( A + B) = tr( A ) +

2
...

3
...

4
...
Alors par définition

c ii = a i1 b 1 i + a i2 b 2 i + · · · + a in b ni
...


...

+ a n1 b 1 n

+a 12 b 21
+a 22 b 22

+···
+···

+ a 1 n b n1
+ a 2 n b n2

+ a n2 b 2 n

+···

+a nn b nn
...


On peut réarranger les termes pour obtenir
tr( AB)

=

a 11 b 11
+a 12 b 21

...


...
On note d i j les coefficients de BA
...


6
...
Matrices symétriques
Définition 12
Une matrice A de taille n × n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si
A = AT ,
ou encore si a i j = a ji pour tout i, j = 1,
...
Les coefficients sont donc symétriques par rapport
à la diagonale
...

Preuve : (BB T )T = (B T )T B T = BB T
...


6
...
Matrices antisymétriques
Définition 13
Une matrice A de taille n × n est antisymétrique si
A T = − A,
c’est-à-dire si a i j = −a ji pour tout i, j = 1,
...

Exemple 23

0 4 2


−4 0 −5
−2 5 0


0 −1
1 0

Remarquons que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls
...

Preuve : Soit A une matrice
...
Alors d’une part
2
2
1
A = B + C ; d’autre part B est symétrique, car B T = 2 (A T + (A T )T ) = 1 (A T + A) = B ; et enfin C
2
est antisymétrique, car C T = 1 (A T − (A T )T ) = −C
...


antisymétrique

Mini-exercices
1
...
Montrer que c’est aussi valable pour le produit
...
Montrer que si A est triangulaire supérieure, alors A T est triangulaire inférieure
...
Soit A = 
...


...

xn

4
...
Calculer tr(A · A T )
...
Soit A une matrice de taille 2 × 2 inversible
...
Et si A est antisymétrique ?
6
...


Auteurs
• D’après un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de l’École
Polytechnique Fédérale de Lausanne,
• et un cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties
de cours de H
...
Queyrut,
• mixés et révisés par Arnaud Bodin, relu par Vianney Combet

---