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Ecuaciones
Recuerda:
•

•
•
•
•

Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor
desconocido
...

Solucionar una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transformen la
ecuación en una identidad
...

Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se pueden efectuar alguna de las siguientes
propiedades:
Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión
...


Ecuaciones de primer grado con una incógnita
...
(Propiedad 2)
Quitar paréntesis
...
Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b
...

Despejar la incógnita
...

Comprobar la solución
...

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tienen infinitas soluciones
...

Ejercicio:
Resuelve gráficamente y analíticamente la ecuación 3 x − 2y = 6
Notemos que si despejamos una incógnita las soluciones son infinitas y dependen del valor que
demos a la otra incógnita
...

⎧⎪x = a
3a − 6
Si le damos el valor a
son: ⎨
Esta es la solución analítica
...
En el eje de abscisas los valores de la
incógnita x
...


Sistemas de ecuaciones lineales
...

⎧a ⋅ x + b ⋅ y = c
La expresión general es ⎨
⎩d ⋅ x + e ⋅ y = f
Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver algebraicamente por tres métodos:
Igualación, sustitución y reducción
...
Cada una de las ecuaciones,
y = m ⋅ x + n , representa una recta en el plano
...
Si son rectas coincidentes el sistema
tiene infinitas soluciones, los infinitos puntos de la recta
...


Ejercicios:
2x + y = −1 ⎫
⎬
− x + 2y = 8⎭
Representaremos gráficamente cada una de las ecuaciones
...
Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

y = −1 − 2x ⎫
⎪
8+x ⎬
y=
⎪⎭
2
La primera ecuación es la recta y = −2x − 1
...

La solución es el punto de intersección de las
⎧x = −2
dos rectas: (−2, 3)
...
Tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado) si son la
misma recta
...


2ª

x+y=2 ⎫
⎬
x − 2y = 5⎭
Despejamos en cada una de las ecuaciones la misma incógnita
...

Despejamos la incógnita y de las dos ecuaciones:
y = 2−x⎫
x − 5⎫
2−x =
⎪
⎪
Igualamos
las
dos
incógnitas:
2 ⎬
x − 5⎬
y=
⎪⎭
y = 2−x
2 ⎪⎭
Resolvemos la primera ecuación con la incógnita x
4 − 2x = x − 5⎫
x=3
⎫
⎬
⎬
y = 2−x
y = 2 − x⎭
⎭
Sustituimos el valor de la incógnita x en la segunda ecuación:
x=3
x=3 ⎫
⎫
La solución del sistema es
⎬
⎬
y = 2 − 3⎭
y = −1⎭
Comprobación: veamos que los valores anteriores transforman las dos ecuaciones iniciales en
identidades:
3 + ( −1) = 2 ⎫
⎬
3 − 2( −1) = 5⎭

2
...

De la primera ecuación despejamos la incógnita y:
5x − y = 0⎫
y = 5x
⎫
⎬
⎬
3 x + y = 8⎭
3 x + y = 8⎭

3
...

Después sumaremos las ecuaciones
...
Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

Queremos reducir la incógnita y
...

2x + 6 y = −10 ⎫
2x + 6 y = −10⎫
⎬
⎬
2 ⋅ ( x − 3 y ) = 2 ⋅ 7⎭
2x − 6 y = 14 ⎭
Sumemos las dos ecuaciones:
4x + 0y = 4 ⎫
⎧4 x = 4
⎬ (notemos que siempre mantenemos dos ecuaciones) ⎨
2x + 6 y = −10⎭
⎩2x + 6 y = −10
Resolvemos la primera ecuación con la incógnita x:
x =1
⎫
⎬
2x + 6 y = −10⎭
Sustituimos el valor de la incógnita x en la segunda ecuación:
x =1
x =1
⎫
⎧x = 1
⎫
⎬ La solución del sistema es: ⎨
⎬
2 ⋅ 1 + 6 y = −10⎭
6 y = −12⎭
⎩y = −2

Ecuaciones de segundo grado
Recuerda
Una ecuación de segundo grado es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 , tal que a ≠ 0
...

Les soluciones de la ecuación de segundo grado son: ⎨
− b − b 2 − 4ac
⎪
⎪⎩x =
2a
2
Llamamos discriminante y lo representamos por: ∆ = b − 4ac
...
Para resolverla
aplicamos la fórmula:
a = 3, b = −4, c = 1
4+2
⎧
2
− b ± b 2 − 4ac 4 ± ( −4) − 4
...
1 4 ± 16 − 12 4 ± 2 ⎪x = 6 = 1
x=
=
=
=
=⎨
4−2 2 1
2a
2
...

La ecuación x 2 − 4 x = 0 no tiene término independiente, c = 0
...

Entonces,
x = 0 , o bien x − 4 = 0
Resolvemos la segunda ecuación x = 4
...
No tiene término de grado primer, b = 0
...


Ecuaciones bicuadradas:
Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 , los
coeficientes de tercer y primer grado son cero
...

Por tanto, las soluciones de la ecuación son x = 4 , x = −4

Ecuaciones de grado superior a 2 con 1 incógnita
...

Factorizaremos el polinomio (utilizando la regla de Ruffini y el teorema del resto)
...

Resolveremos la ecuación
...

Probaremos con los divisores del término independiente que son 1, − 1, 2, − 2, 3, − 3, 6, − 6
1
1
1
−1
1
−1
1
2
1
−3
1

2
1
3
−1
2
−1
1
2
3
−3
0

−6
3
−3
−2
−5
−1
−6
6
0

−8
−3
−11
5
−6
6
0

5
−11
−6
6
0

6
−6
0

Factorizamos el polinomio
(x − 1)(x + 1)2 (x − 2)(x + 3 ) = 0
Igualando cada factor a cero, obtenemos las soluciones que son:
x = 1, x = −1, x = −1, x = 2, x = −3 que son los ceros o raíces del polinomio
...

Método de resolución:
Quitar denominadores
Resolver la ecuación resultante
...
(En este caso la solución es válida)
...


Ecuaciones irracionales con una incógnita
...

Método de resolución:
Despejamos un radical
...

Resolver la ecuación resultante
...

Ejercicio:
Resuelve la ecuación: 3 x − 5 + x = 6 x + 1
Despejamos el radical:
− 5 + x = 6x + 1 − 3x
− 5 + x = 3x + 1
Elevemos al cuadrado ambas partes de la ecuación
...

x= ,
9
9
9
9
x = −1 ,

3 ⋅ ( −1) − 5 − 1 = 6 ⋅ ( −1) + 1

por tanto es solución
...

Un sistema es no lineal si alguna o les dos ecuaciones son de grado mayor o igual a 2
...

Ejercicios:
a) Resuelve el siguiente sistema:
⎧x + y = 12
⎨
⎩ xy = −45
Notemos que la segunda ecuación es de segundo grado
...
Resolvámosla:
⎧x = 12 − y
⎧x = 12 − y
⎪
⎨ 2
⎨
12 ± 12 2 − 4 ⋅ 1⋅ ( −45) 12 ± 18
y
−
12
y
−
45
=
0
⎩
=
⎪y =
2
2
⎩
La incógnita y tiene 2 soluciones entonces el sistema tiene 2 soluciones:
⎧x = −3
⎧ x = 15
1ª solución: ⎨
la 2ª solución ⎨
⎩ y = 15
⎩y = −3

b) Resuelve el siguiente sistema:
⎧3 x 2 + y 2 = 12
⎨
2
⎩ 2x + y = 5
De la segunda ecuación despejamos la incógnita y y sustituimos su valor en la primera ecuación:
⎧⎪3 x 2 + 5 − 2x 2 2 = 12
⎧3 x 2 + 25 − 20 x 2 + 4 x 4 = 12
⎧4 x 4 − 17 x 2 + 13 = 0
⎨
⎨
⎨
2
2
⎪⎩y = 5 − 2x 2
⎩y = 5 − 2x
⎩y = 5 − 2x
La primera ecuación es una ecuación bicuadrada:
⎧ 2 17 ± 81
13
13
⎪x =
La incógnita x tiene 4 soluciones x = 1, − 1, +
,−

...
Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)
b)
c)
d)

e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)

3 x − 5 = 11 + 7 x
4(2 − 3 x ) = −2x − 27
3( 2x − 2) = 2(3 x + 9)
7 x + 15 = 3(3 x − 7)
4 x + 1 12x − 3
=
3
7
2x − 5 − x 5
=
−
12
4
3
x x
x
+ − 1=
5 3
2
2x + 4 x
= −3
3
6
2x + 3 x + 11
−
= −5
5
2
6x + 1
2x + 1
= −10 +
5
3
4x
1
=
33 + x 3

4 x 6 x + 28
=0
−
15
5
2x 5 x
=
−2
m)
3 12
4 x − 3 4 x 2( x − 13)
n)
−
=
5
3
15
3x + 5 4x − 5 7x + 1
=
−5
−
o)
2
3
6
2x + 1
15 x − 2
= 3x +
p) 5 x −
2
4
4(3 x + 6)
2(2x + 5)
+3=
− 3x
q)
5
3
2(2x + 8)
r) 2x − 6 −
= 4x − 1
3
2
s) (x + 4 ) = x( x − 14) + 5
l)

t)

x 2 + (x + 1) = (2x − 1)( x + 4)
2

2
...

2x + y = 3
x − 2y = 6
2x − 4 y = 5

a)
b)
c)

− 2x + 3 y = 4
4 x − 1 = 3 y + 11
2x + 5 y = −10

d)
e)
f)

3
...
Explica el resultado obtenido
...
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando el método más
conveniente:
⎧2x + y = 4
⎧5 x − y = 9
d) ⎨
a) ⎨
⎩3( x − 1) − 5 y = 1 − 3 x
⎩3 x + 2y = −5
⎧3 x − 2y = −1
⎧− 5 x + 3 y = 2
e) ⎨
b) ⎨
⎩5 x + y = 7
⎩3( x − 1) + 2y = 5( y − 2x ) + 11
⎧4 x − y = 1
c) ⎨
⎩2x + 3 y = 18

f)

⎧2x + y = 8
⎨
⎩5 x − 2y = 10

5
...
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x 4 + 3 x 2 − 10 = 0
b) 9 x 4 − 40 x 2 + 16 = 0
125
c) x 2 + 2 = 30
x

d) x 4 + 6 x 2 = 48
e) x 2 ( x 2 − 5) = −4
f)

x 4 + 100 = 20 x 2

7
...
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x4
x4
x5
x5

+ 9x 3
+ 2x 3
+ 3x 4
+ 4x 4

+ 21x 2 − x − 30 = 0
− 7 x 2 − 8 x + 12 = 0
− 17 x 3 − 87 x 2 − 128 x − 60 = 0
= 4 x 3 + 34 x 2 + 45 x + 18

+ 5 x 3 − 24 x 2 − 36 x = 0
− 3x 4 − 4x 3 + 4x 2 = 0
+1= 0
− 12x 2 + 14 x − 5 = 0

9
...
Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales
a)

2x + 3 = 4

b) 2 = x + 1

i)

x + 10 = x − 2

j)

2x + 1 = 1 − x

c)

3x − 4 = x

k) − x + 2 = 1 − 8 x

d)

10 x + 9 = x

l)

4 + 3x − 2 = x

e)

x + 3x = 2

m)

4 − 5x + 2 = x

f)

x 2 + 3x + 6 = x

n)

2x + 6 = 1 + x + 4

o)

x+3 + x−2 =5

p)

1 − 4x − x + 3 = 2

2

g) 1 + 5 x + 2 = 4
h)

x 2 + 2x + 4 = x + 4

)

− 16 (2x + 3 ) x 2 + 3 x + 4 = 0

11
...

1
...
Si entre las dos suman 73 años, ¿qué edad tiene cada
una?
2
...
Si la diferencia de sus años es 52, ¿qué edad tiene
cada uno?
3
...

4
...

5
...
000€ de beneficios
...


7
...
3 horas más tarde sale un
coche a 120 km/h de velocidad
...

7

8
...
Dividiendo el mayor entre el menor, resulta 4 de
cociente y 71 de resto
...


9
...


10
...
Un de ellos lo haría solo en 4 horas
...

11
...
Calcula el tiempo que tardaran en llenarlo los tres juntos
...
Un padre tiene 42 años y sus hijos 7 y 5
...
Determina dos números de forma que su diferencia sea 120 y el menor sea la quinta parte
del mayor
...
Ernesto tiene 3 años más que Mercedes y esta tiene 5 años más que Luis
...

15
...
¿Cuántas naranjas habrá en cada caja?
16
...
Si me han rebajado un 15%
...
Calcula un número de forma que si le sumamos la mitad de su cuadrado el resultado sea
310
...
Calcula dos números de forma que la suma sea 40 y que la suma de sus cuadrados sea
818
...
Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos
...

20
...

21
...

22
...
Determina el área del
rectángulo
...
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 m y la suma de las longitudes de los
catetos es 35 m
...

24
...

7

25
...

26
...
Sabiendo que el área es 96 cm 2 ,
¿cuántos cm miden la base y la altura?

---