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Endomorphismes orthogonaux
1) Définitions

E est un espace euclidien

Un endomorphisme u de E est une isométrie si et seulement si par définition il conserve
la norme, c'est-à-dire : ∀ x ∈ E ∥ u  x ∥=∥ x ∥
On note O E  l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de L  E
On appelle matrice orthogonale de M n (ℝ) une matrice dont l'endomorphisme
canoniquement associé à ℝn (plus exactement M n ,1 (ℝ) ) est une isométrie
...

2) Caractérisations (elles remplacent donc toutes la définition, souvent avantageusement)
E est un espace euclidien de dimension n et u ∈ L  E
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

u ∈ O( E)
u conserve le produit scalaire : ∀ x , y ∈ E  u x | u  y = x | y 
(( On dit de manière équivalente que u est un automorphisme orthogonal ))
u envoie toute base orthonormale de E sur une base orthonormale
...

(dans la pratique on choisit une base appropriée à l'exercice)

A retenir : O(n) = { M ∈ M n (ℝ) , t M M =I n }
Preuve : selon le schéma a  ⇔ b ⇒  c ⇒ d  ⇒ e  ⇒  f  ⇒ b
a  ⇒ b 
en reconstituant le produit scalaire à l'aide de la norme ( polarisation )
a  ⇐ b 
en prenant x = y dans le ∀ x , y
a  ⇒  c
en revenant à la définition  ei | e j  = i , j
c ⇒  d 
avec la caractérisation matricielle des bases orthonormales (sens ⇒ )
...

x1
n
 f  ⇒ b
e i , on
en notant X = Coord B x = ⋮ , c'est-à-dire que x = ∑ xi⋅
i=1
xn
remarque alors que X = Coord u  B   u  x   par linéarité de u , ce qui permet d'effectuer le calcul
des normes matriciellement dans des bases appropriées
...
, en  est orthonormale si et seulement si sa matrice dans une
base orthonormale B (à choisir !) est dans O n
...

Preuve :
Je note C i = Coord B  ei 
...
C n et
t
que M M =  ai , j 1≤i , j ≤n alors a i , j = t C i C j
...


3) Propriétés
●

●

●

Si M ∈ O n alors M est inversible et son inverse est t M et donc M t M = I n
...

Si f et g sont des endomorphismes de E tels que f ° g = id E et que E est de
dimension finie alors f et g sont inversibles : inverses l'un de l'autre
...
On peut donc composer à droite par l'inverse de g
...

O E  et O n sont stables par composition et par inverse (bijection réciproque) et
contiennent l'identité
...

Si M ∈ O n alors det M =±1
...

Preuve : évaluer det  t M M  sachant que det  t M  = det M

4) Rotations
a) groupe spécial orthogonal
Le groupe spécial orthogonal d'ordre n est par définition l'ensemble des matrices orthogonales de
déterminant 1
...

Propriétés :

il est stable par produit et inverse
il contient la matrice identité
...

E étant un espace vectoriel euclidien, on dit que deux bases B et B ' ont la même orientation
si et seulement si, par définition, det B  B '   0 , dans le cas contraire, on remarque que
det B  B '   0 car le déterminant est non nul
...

On a défini ainsi une relation d'équivalence entre les bases
Preuve : det B  B = 1 , det B '  B = 1/det B  B ' et det B  B ' '  = det B  B '  × det B '  B ' ' 
permettent de contrôler les signes
...

On remarque aussi que si B1 et B2 n'ont pas la même orientation, alors toute autre base B a
soit la même orientation que B1 soit la même que B2
...

Lorsqu'un espace vectoriel possède une base canonique, l'orientation canonique consiste à choisir
que la base canonique est directe
...
Il n'en est rien, pas même en physique : vous savez bien qu'une base d'un plan qu'on voit directe vue de
dessus paraît indirecte vu de dessous
...
De façon générale, vous savez bien que pour calculer un flux à travers une surface, il faut d'abord choisir
une orientation (décider dans quel sens le flux est sortant), que le choix n'est pas naturel si la surface n'est pas
fermée, et qu'une fois que vous avez choisi un sens, les formules de la physique vous imposent l'orientation du
contour de la surface
...


Caractérisation : deux bases orthonormales ont la même orientation si et seulement si leur matrice
de passage est dans le groupe spécial orthogonal
...

Dans une base orthonormale, sa matrice est donc dans SO (2)
...
Et on peut remarquer que C 2 = Rot ( 2 ) C 1 : le vecteur v⃗ est
u par une rotation d'angle droit
...
Ainsi les rotations commutent entre elles
...

π
Toutes ces matrices codiagonalisent car Rot (θ) = cos(θ) I 2 +sin(θ) Rot ( 2 )
iv) Angle d'une rotation d'un plan orienté
...
Sa matrice dans une base orthonormale
directe ne dépend pas de la base
Définition : si cette matrice est Rot (θ) ,on dit que θ est une mesure de l'angle de la rotation
...

Autrement formulé : si on change l'orientation du plan, l'angle de la rotation est changé en son
1
opposé
...

Propriété : si le vecteur normé w
⃗ se déduit de u⃗ par une rotation d'angle α alors
〈⃗
u ∣w
⃗ 〉 = cos(α)
...
C'est ce qui justifie que le
déterminant calcule une aire en plus de préciser si les vecteurs forment une base directe ou
indirecte
...
On dit aussi ''isométries
directes'', par opposition aux autres qui sont indirectes
...
Par contre on n'a plus d'interprétation géométrique simple en dimension > 3 et en
particulier il n'y a plus d'angle de rotation
...

Preuves que ce sont des endomorphismes orthogonaux :
•
en dimension finie : on choisit une base orthonormale dans chacun des espaces de la somme
directe dont la réunion est donc une base orthonormale de l'espace et la matrice est donc de
I p 0 p, q
la forme BlocDiag  I p , − I q  =
un élément visible de O pq
...

•
en dimension quelconque : on perd les caractérisations matricielles mais les autres valent
toujours
...

Si on considère la matrice dans une base adaptée comme ci-dessus (avec q = 1 ), on voit
que
leur déterminant vaut -1
...

Si E = H ⊕ D une somme directe orthogonale où D = ℝ⋅n
 avec n
 un vecteur de
⊥
norme 1 et r H la réflexion par rapport à H = ⃗n , j'exprime cette réflexion à l'aide des
projections orthogonales : r H = p H − p D (faire un dessin !) Comme les projecteurs sont associés à
une somme directe, on a aussi : p H  p D = id E et je peux simplifier le calcul :
r H = 2 p H −id E = id E −2 p D
...
Il convient donc de choisir la projection sur l'espace
qui a la plus petite dimension pour avoir moins de calculs
...
Par cette formule, on trouve
⃗
1−2 cos 2 α −2 cos α sin α
Mat B ( r H ) =
= −cos ( 2 α) −sin (2 α)
2
−sin (2 α) cos( 2 α)
−2 sin α cos α
1−2 sin α

(

)(

)

c) isométries indirectes d'un plan euclidien
cos θ sin θ
Elles ont une matrice de la forme S =
, comme matrice de changement
sin θ −cos θ
de base indirecte, ce sont alors des réflexions (ou symétries axiales)
...
Il suffit de remarquer
on a déjà fait la recherche des bases ( ⃗
u , −⃗v ) est indirecte
...
Pour avoir un vecteur
π
directeur de la droite H des vecteurs invariants, il suffit d'enlever 2 à l'angle α : on a une
θ
θ
symétrie orthogonale par rapport à la droite Vect cos 2 ⋅ ⃗i + sin 2 ⋅⃗j
θ
θ
Vérification : je pose d⃗ = cos 2⋅⃗i +sin 2⋅⃗j et calcule matriciellement son image : les formules
d'addition de la trigonométrie me donnent que ce vecteur est invariant comme prévu
...

C'est normal, car les angles entre deux droites ne se mesurent pas à 2 π près mais à π près,
puisque la mesure dépend de l'orientation choisie dans chacune des deux droites, c'est-à-dire du
vecteur normé qu'on choisit comme base de chacune des droites et que 
x , −y  =  
x , y  
où ϖ = (̂
⃗i , −⃗i ) représente l'angle plat (égal à son opposé)
...

Le polynôme caractéristique de la matrice est X 2−1 = ( X −1)( X +1)
...
Difficile de faire plus efficace !
sin θ L
2
= 2
L = sin θ
−cos θ
Remarque : I 2−S (trigo)
avec
le
vecteur
ligne
,
2
2
−cos θ L
2
donc Ker ( I 2 −S ) = Ker L
...


( )
()
()

( ()

( ))

Remarque : la composée de deux isométries indirectes redonne une isométrie directe ( = rotation),
car −1 × (−1) = 1 (calcul de déterminant )
...

Pour la physique (optique géométrique) :
On calcule matriciellement la composée de deux réflexions planes
cos φ sin φ × cos θ sin θ
=
Rot ( φ−θ ) , ce qui donne
sin φ −cos φ
sin θ −cos θ ( formules d ' addition dela trigo)
r ∘ r = rot ( 2 ( ̂
D , Δ ) ) (je distingue en notation la matrice ''Rot'' de l'endomorphisme ''rot'' )
...

On avait vu qu'un angle de droite se mesure à π près, le double d'un angle de droites se mesure
donc à 2 π près, ce qui correspond bien à une mesure d'angle de rotation
...

Frime : c'était une démonstration de mon prof de maths de première scientifique, un résultat qu'on
utilisait la même année avec le prof de physique dans le cours d'optique géométrique
...

C'est juste une synthèse des résultats antérieurs : ce sont soit des rotations, soit des
réflexions
...
Sa matrice dans la base ( 1 , i ) est effectivement Rot (θ)
...

Remarque : cette application n'est pas ℂ−linéaire contrairement aux rotations qui sont des
ℂ−homothéties de la droite complexe
...

Comme vous pouvez le remarquer, les rotations du plan qui ne sont pas des homothéties
( celles pour lesquelles sin θ ≠ 0 ) ne sont pas diagonalisables, pas même trigonalisables car leur
polynôme caractéristique X 2−2 cos θ X +1 est irréductible donc non scindé ( il est d'ailleurs
évident géométriquement qu'il n'y a pas de vecteur propre )
...

Propriété :
Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par l'isométrie u , alors son orthogonal F ⊥
est aussi stable par u
...

Remarque : l'endomorphisme induit par u à F est un élément de O(F )
...

On suppose que dim( E) = 3 et on considère u ∈ O( E)
...
Indication : prendre un vecteur propre et appliquer le propriété précédente à la droite
qu'il engendre
...
On la note λ dans la suite de l'exercice, on note D la droite
propre associée et P son plan orthogonal
...

A finir pour les curieux :
e) Synthèse = réduction canonique des isométries en dimension 3 : montrer
λ 0 0
∀ M ∈ O( 3) , ∃ λ ∈ {−1 , 1 } , ∃ θ ∈ ℝ , ∃ P ∈ SO(3)
P−1 M P = t P M P = 0
Rot (θ)
0
Les cas particuliers où M représente une symétrie correspondent à θ ∈ π ℤ , λ = det ( M )
permet de discerner les isométries directes des indirectes

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