Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

CHAPTERS 4
MECHANICAL DEVICES OF MECHATRONIC SYSTEMS
4
...
Description of mechanical devices
...
4
...


z

ЗАНЯТИЕ 4
4
...
Прямая и обратная
задачи кинематики
В мехатронике и робототехнике часто приходится решать
задачи
нахождения
функциональной
связи
между
координатами позиционирования исполнительного механизма
x, y, z (например, захватного устройства робота) и
координатами привода q1, q2 , q3 , которые называются
обобщенными координатами
...
4
...
4
...


q3 = F3 ( x, y, z )
...

Прямая задача кинематики обычно используется для
анализа траекторий движения робота и анализа погрешностей
позиционирования
...
Именно
обратная задача кинематики позволяет получить при заданных
координатах позиционирования найти функцию управления
манипуляционным механизмом
...


y = f 2 (q1 , q2 , q3 );
z = f 3 (q1 , q2 , q3 )
...

робота M (x, y, z )
...


The inverse kinematics problem allows to find the coordinates of the
drive x, y, z by the given positioning coordinates q1, q2 , q3
...

For us, mechatronics and robotics, it is more important to solve the
inverse problem of kinematics
...

It is important to understand that for many manipulation
mechanisms it is almost impossible to solve the inverse problem of
kinematics without first solving the direct problem of kinematics
...
4
...
кинематики для манипуляционного механизма, изображенного
на fig
...
1
...
1)
x = (r0 + q3 )cosq1;
(4
...
2)
y = (r0 + q3 )sin q1;
(4
...
3)
z = z0 + q2
...
3)
z = z0 + q2
...
1)-(4
...

of expressions (4
...
3)
...
3) найдем величину q2 :
From the expression (2
...
4)
q2 = z − z0
...
4)
q2 = z − z0
...
2)
To find the value q1 , divide the expression (4
...
1):
(4
...

y (r0 + q3 )sin q1 sin q1
x (r0 + q3 )cos q1 cos q1
=
=
= tgq1
...
5)
 
...

(4
...
1) and (4
...
выражения (4
...
2)
...

2

2

q3 = x + y − r0
...


(4
...


(4
...

For more complex manipulation mechanisms (fig
...
2) it is
impossible to solve the inverse problem of kinematics without first
solving the direct problem of kinematics
...

Для более сложных манипуляционных механизмов (fig
...
2)
решить обратную задачу кинематики без предварительного
решения прямой задачи кинематики невозможно
...
4
...
2
...
2
...

crank-slider mechanism (fig
...
3)
...
4
...
4
...

Here the function S = f ( ) is the solution of the direct kinematics

We will find a solution in two ways
...
Let's imagine a triangle ABC with sides l1 and l2 known as the
sum of two triangles ABD and DBC
...

Distance S2 is determined from the Pythagorean theorem as
S2 = l − h = l − l sin  ,
2
2

2

2
2

2
1

2

and the total movement of the slider will be equal to
S = S1 + S2 = l1 cos  + l − l sin 
...

1
...

Из треугольника ABD определим величины S1 и h:
S1 = l1 cos ; h = l1 sin 
...


You can also get a dependency from the last expression  = f ( S )
...
Таким образом, решая задачу путем разбиения
triangles ABD and DBC, we solved the direct kinematics problem треугольника ABC на два треугольника ABD и DBC, мы решили
прямую задачу кинематики S = f ( )
...

В мехатронике решение прямой задачи кинематики
In mechatronics, the solution of the direct kinematics problem is
используется только для анализа траекторий движения
used only to analyze the trajectories of the output actuator, as well выходного исполнительного устройства, а также для анализа
as to analyze the positioning errors of the actuator
...

Consider the second approach for solving the direct and inverse Рассмотрим второй подход для решения прямой и обратной
задачи кинематики для данного механизма
...

2
...

2
...
The value of S is
Величину S определим, воспользовавшись теоремой
determined using the cosine theorem
...

Based on this theorem, we write:
На основании этой теоремы запишем:
l22 = l12 + S 2 − 2l1S  cos 
...

From the last expression we find the solution of the inverse
Из последнего выражения найдем решение обратной
kinematics problem  = f ( S ) :
задачи кинематики  = f ( S ) :

 l2 − l2 + S2 
2

...

 = arccos 1


2l1S



4
...
Analysis of mechanisms by the method of projection of a
closed vector paths
The problem of positions of links
...
It appears in the condition of
any kinematic analysis problem
...

With regard to the flat lever mechanism, the initial system of
analysis equations is most simply compiled by the method of
projecting closed vector contours on the coordinate axis
...
Then a number of closed vector contours are selected
and for each of them a vector equation is formed, which displays the
condition of contour closure
...
Most often
z = (п–1)/2
...
2
...
Определение положений
звеньев – это наиболее важная часть задачи анализа рычажного
механизма или структурной группы
...

П е р в ы м э т а п о м решения задачи о положениях
звеньев является составление исходной системы уравнений
анализа, связывающих постоянные и переменные параметры
механизма
...

В соответствии с этим методом на кинематической схеме
механизма вводятся векторы, связанные со звеньями механизма
...
Число векторных
уравнений, равное числу z контуров, зависит от числа п звеньев
плоского механизма
...


F

4

4
C
2

2
2

А
1

O

E

0

B

5

x

0

Fig
...
2

2

3

3

2

А
1

5

1

2

b5

3

2

b2

5

5

y

1

C

b5
3

3

4

D
3

2

b2

4

4

D

F

4

O

E

5

y

1

5

5

1

0

B

5

x

0

Fig
...
2
...
В результате этого получается система из 2z=п–1 скалярных уравнений
...
В качестве неизвестных выступают искомые переменные
параметры механизма, число которых обычно равно числу
уравнений, т
...
При этом обобщенная координата
механизма считается известной
...
4
...
К поFor constant parameters of the mechanism are ℓ0, ℓ1, ℓ2, 2, b2, стоянным параметрам данного механизма относятся ℓ0, ℓ1, ℓ2,
ℓ3, ℓ4, ℓ5, 5, b5, by variable parameters – 1, 2, 3, 4, 5
...

The result is a system of 2z=п–1 scalar equations
...

The unknown variables are the required parameters of the
mechanism, the number of which is usually equal to the number of
equations, i
...
n–1
...

This can be illustrated by the example of a six-link flat hinge
mechanism (fig
...
2)
...


5
...


First, we introduce vectors on the kinematic scheme of the

Сначала на кинематической схеме механизма вводим

mechanism OA, AC, CE, AD, DF , OB, BE и BF
...


Затем

two closed vector path ОАСЕВО and OADFBO and they make two выделяем два замкнутых векторных контура ОАСЕВО и
OADFBO и для них составляем два векторных уравнения
vector equations
OA + AC + CE = OB + BE; 


OA + AD + DF = OB + BF
...



Проецируя эти векторные уравнения на оси х и у, получаем
Projecting these vector equations on the x and y axes, we четыре скалярных уравнения с четырьмя неизвестными 2, 3,
obtain four scalar equations with four unknowns 2, 3, 4, 5:
4, и 5
...
7)

l1 sin 1 + l2 sin 2 + l3 sin 3 = l5 sin 5 ;

l1 cos 1 + b2 cos(2 + 2 ) + l4 cos 4 = l0 + b5 cos(5 + 5 );

(4
...

3, 4, и 5 различными численными методами

---