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---

Cours de Syst`mes Asservis
e
J
...
P
...
Gasnier, M
...
1

D´finition de l’automatique
e

Automatique : Qui fonctionne tout seul ou sans intervention humaine
...
On parle d’automatisme
e
a e e
(s´quence d’actions dans le temps)
...

a
– Dans les syst`mes continus pour asservir et/ou commander des grane
deurs physiques de fa¸on pr´cise et sans aide ext´rieure
...

Dans ce cours, nous ne nous int´resserons qu’` l’automatique des syst`e
a
e
mes continus
...
2

Principes de base

faire une contre-r´action ou un ”feedback” : r´agir en fonction de
e
e
ce qui est r´alis´, connaissant ce qui est demand´
...

Pour conduire, nous devons regarder la route et sans cesse corriger la direction de la voiture mˆme s’il n’y a pas de virages
...
2
...
L’objet d’application de l’automatique est appel´ syst`me
...
INTRODUCTION

Un syst`me se caract´rise par ses grandeurs d’entr´e et de sortie
...
Il en existe
e
e
de deux types :
commandes : celles que l’on peut maˆ
ıtriser
perturbations : celles que l’on ne peut pas maˆ
ıtriser
...

Dans le cas contraire, le syst`me est dit en boucle ferm´e
...
Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise des capteurs
...

e
entrée = commande
Système

entrée = consigne

Elaboration de
la commande

sortie

commande
Système

sortie

Fig
...
1: Sch´ma d’un syst`me en Boucle Ouverte (en haut) et en Boucle
e
e
Ferm´e (en bas)
e
Ce que nous avons vu permet de donner cette autre d´finition de l’aue
tomatique
...

e
e
e

1
...
3
...
Le syst`me est constitu´
e
e
e
e
par l’ensemble chauffage + salle
...
La commande du syst`me est la position 0 ou 1 de l’interrupteur
...
En boucle ouverte, la commande est insensible ` la sortie
...

e
e
La commande est alors ´labor´e en fonction de la consigne (temp´rature
e
e
e
souhait´e) et de la sortie (temp´rature de la pi`ce)
...
4
...
1
...
3
...
4

N´cessit´ de la boucle ferm´e
e
e
e

Exceptionnellement, le syst`me de commande peut op´rer en boucle oue
e
verte ` partir du seul signal de consigne
...
INTRODUCTION

Chapitre 2

Equations d’un syst`me
e
lin´aire
e
Dans toute la suite du cours, les syst`mes consid´r´s n’auront qu’une
e
ee
entr´e et qu’une sortie
...
1

Introduction

Un syst`me est dit lin´aire si l’´quation liant la sortie ` l’entr´e est une
e
e
e
a
e
´quation diff´rentielle lin´aire ` coefficients constants
...
1)
dt
dtn
dt
dtm
Ces syst`mes lin´aires sont homog`nes, c’est ` dire s(k
...
s(e), et
e
e
e
a
additifs, c’est ` dire que l’on a s(e1 + e2 ) = s(e1 ) + s(e2 )
...
1 (n), l’ordre du syst`me lin´aire
...

e
b0 s(t) + b1

2
...
2
...
1
...
2
...
EQUATIONS D’UN SYSTEME LINEAIRE

8

Les ´quations ´lectriques sont :
e
e
v1 = R
...


dv2
=i
dt

Nous pouvons obtenir une ´quation diff´rentielle d’ordre 1 reliant la sortie
e
e
v2 et l’entr´e v1 :
e
dv2
+ v2
v1 = R
...

dt

2
...
2

Moteur ´lectrique
e

Soit le moteur ´lectrique d´crit par le sch´ma 2
...

e
e
e

L

R

J

!

"

v (t)

Fig
...
2: Sch´ma du moteur ´lectrique
e
e
L’´quation ´lectrique est :
e
e
v(t) = R
...


di
+ Ke
...


dω
= Kc i − φ
...
J d2 ω R
...
φ dω
R
...
2 +

...
ω = v(t)
Kc dt
Kc
dt
Kc
On en d´duit que ce syst`me est d’ordre 2
...
3
2
...
1

Remarques
R´gime statique
e

Dans l’´quation 2
...
On d´finit le gain statique
e
0
K du syst`me comme ´tant le rapport K = a0
...
4
...
3
...
En fait, si ce n’est pas le cas mais que l’on
e
se trouve dans des conditions de repos du syst`me, on peut montrer que les
e
variations autour de ce point d’´quilibre v´rifient la mˆme ´quation 2
...

e

2
...
3

Lin´arisation
e

Les syst`mes r´els ne sont parfois pas lin´aires mais peuvent ˆtre consid´r´s
e
e
e
e
ee
comme tels dans certaines conditions
...

e
e
e

2
...
4

R´ponse d’un syst`me lin´aire
e
e
e

Si l’on veut connaˆ la r´ponse d’un syst`me lin´aire, il suffit de r´soudre
ıtre
e
e
e
e
l’´quation 2
...
Dans la suite du cours, on utilisera la Transform´e de Lae
e
place (TL) pour simplifier la r´solution de ces ´quations
...
1
...
4
2
...
1

Rappels sur la transform´e de Laplace
e
D´finition
e

Soit une fonction f d´finie pour t ≥ 0
...
e−p
...
dt

0

On admettra qu’il existe une transform´e de Laplace pour toutes les
e
fonctions que nous rencontrerons
...
En pratique, les transform´es de Lae
place ne seront pas calcul´es mais on utilisera la table des transform´es
...
4
...
f (t) + b
...
F (p) + b
...
F (p) − lim f (t)
dt
t→0+

`
´
CHAPITRE 2
...
F (p) − p
...

Int´gration
e
t
F (p)
f (τ )
...
p
...
F (p)
p→+∞

t→0+

Th´or`me de la valeur finale
e e
lim f (t) = lim p
...
f (t)
Les transform´es de Laplace que nous rencontrerons seront la plupart du
e
temps des fonctions rationnelles
...
La fonction u(t) (´chelon
e
e
unitaire) intervient syst´matiquement dans ces tables ; elle est d´finie par :
e
e
u(t) = 0∀t < 0u(t) = 1∀t ≥ 0

f(t)
a

t
1

2

3

4

5

Fig
...
3: La fonction ´chelon unitaire
e

`
´
´
´
2
...
APPLICATION A LA RESOLUTION D’EQUATIONS DIFFERENTIELLES11

2
...
3

Exemple

D´terminer l’original de
e
F (p) =

p2
...
p)

τ >0

R´ponse : f (t) = (t − τ + τ
...
u(t)
...
5

Application ` la r´solution d’´quations diff´a
e
e
e
rentielles

Rappelons la forme g´n´rale d’une ´quation diff´rentielle d’ordre n :
e e
e
e
b0 s(t) + b1

ds(t)
dn s(t)
de(t)
dm e(t)
+ · · · + bn
= a0 e(t) + a1
+ · · · + am
dt
dtn
dt
dtm

Nous pouvons former la TL de cette ´quation :
e
b0 S(p) + b1 p
...
S(p) − p
...
E(p) − e(0+ ) + · · ·
Ce qui peut se mettre sous la forme :
(b0 + b1
...
pn )
...
p + · · · + am pm )
...
Dans le cas o` ces conditions initiales sont nulles (c’est la cas le plus
u
courant en automatique), on obtient :
S(p) =

a0 + a1
...
pm

...
p + · · · + bn
...
Il ne reste plus qu’` former la
e
a
transform´e inverse de Laplace pour avoir s(t)
...
6
2
...
1

Fonction de transfert d’un syst`me lin´aire
e
e
D´finition
e

On appelle fonction de transfert ou transmittance d’un syst`me lie
n´aire le rapport entre la transform´e de Laplace de la sortie sur celle de
e
e
l’entr´e :
e
S(p)
a0 + a1
...
pm
T (p) =
=
E(p)
b0 + b1
...
pn

`
´
CHAPITRE 2
...
L’ordre du syst`me (qui est l’ordre de
e
l’´quation diff´rentielle) est le degr´ du d´nominateur de T (p)
...
4
e e
e

E(p)

T(p)

S(p)

Fig
...
4: Sch´ma fonctionnel d’une fonction de transfert
e

2
...
2

Mise en cascade

La mise en cascade de deux syst`mes dont les fonctions de transfert sont
e
T1 (p) et T2 (p) est ´quivalent ` un seul syst`me dont la fonction de transfert
e
a
e
serait T1 (p)
...
5)
...
T (p)
1
2

T (p)
2

S (p)
2

S (p)
2

Fig
...
5: Les fonctions de transfert en cascade se multiplient

2
...
3

Diff´rentes formes d’´criture de la fonction de transfert
e
e

Nous avons vu pr´c´demment la forme d´velopp´e de la fonction de transe e
e
e
fert o` l’on peut lire directement les coefficients de l’´quation diff´rentielle
...
p + · · · + am
...
p + · · · + bn
...
2)

Il est souvent pr´f´rable de mettre en ´vidence le gain K du syst`me ainsi
ee
e
e
que le nombre α d’int´grateurs purs aussi appel´ type du syst`me
...


1
1 + · · · + cm pm

...
G(p)
pα 1 + · · · + dn−α pn−α

(2
...

e
b
– si α = 0, alors K = limp→0 pα T (p)
Cette derni`re forme peut parfois se trouver sous forme factoris´e :
e
e
T (p) = K
...
7
...

e a
Nous pouvons enfin faire apparaˆ les pˆles et les z´ros de la fonction
ıtre
o
e
de transfert
...


(p − z1 ) · · · (p − zm )
− p1 ) · · · (p − pn−α )

pα (p

o` k = K
...
7

Exemples

2
...
1

Circuit RC

Nous reprenons l’exemple du paragraphe 2
...
1
...
C
...
En prenant la transform´e de
e
e
Laplace de l’´quation pr´c´dente, on peut former la fonction de transfert de
e
e e
ce syst`me :
e
S(p)
1
T (p) =
=
E(p)
1 + R
...
p

v (t)
1

1
1 + RC p
Circuit RC

T(p)=

v (t)
2

Fig
...
6: Sch´ma fonctionel d’un Circuit RC
e
On identifiera facilement le fait que c’est un syst`me d’ordre 1 dont la
e
constante de temps est τ = RC et de gain statique K = 1
...
EQUATIONS D’UN SYSTEME LINEAIRE

Chapitre 3

R´ponse temporelle des
e
syst`mes
e
On veut caract´riser les syst`mes d’une part par leur fonction de transfert
e
e
et, d’autre part, par leur comportement
...
Classiquement, on peut apprendre
e
a
e
e
beaucoup des syst`mes en observant la r´ponse aux entr´es suivantes :
e
e
e
– l’impulsion → r´ponse impulsionnelle
e
– l’´chelon → r´ponse indicielle
e
e
– la rampe
– la sinuso¨ → r´ponse fr´quentielle
ıde
e
e
Nous ´tudierons au chapitre suivant les r´ponses fr´quentielles des syse
e
e
t`mes
...
Comme dans la suite du cours, nous allons ´tudier les syst`mes
e
e
simples et tr`s r´pandus que sont les syst`mes du premier ordre et du see e
e
cond ordre
...


3
...
1
...
Elle correspond ` un changement
e
e
a
brusque de consigne
...
REPONSE TEMPORELLE DES SYSTEMES

16

f(t)
a

t
1

2

3

4

5

Fig
...
1: La fonction ´chelon
e
1
On appelle ´chelon unitaire la fonction dont la TL est p (a = 1)
...
On appelle r´ponse indicielle la r´ponse ` l’´chelon
e
e
a e
unit´
...

e
e
e
e

3
...
2

La rampe

La rampe de pente a est la primitive de l’´chelon de hauteur a
...
3
...

e
e

3
...
3

L’impulsion

L’impulsion unit´ est, dans l’espace des distributions, la d´riv´e de l’´chee
e e
e
lon unitaire
...
On la note g´n´ralement
e e
δ(t)
...

e

´
3
...
DECOMPOSITION DE SIGNAUX COMPLEXES

17

f(t)
a

t
1

2

3

4

5

Fig
...
3: La fonction impulsion de dirac de poids a

3
...
Nous
e
e e
d´terminerons par la suite la r´ponse temporelle des syst`mes ` ces entr´es
...

e
e

3
...
1

Exemple

Determiner la TL de la fonction en figure 3
...

10
5
2
0,2

0,4

0,6

Fig
...
4: Exemple de fonction compos´e d’´chelons, rampes et dirac
e
e
R´ponse :
e
1
25
F (p) = (5 − 8e−0,6p ) + 2 (1 − e−0,2p )
p
p
Remarque : Dans la suite du cours, si rien n’est pr´cis´, les condie e
tions initiales seront consid´r´es comme nulles
...
E(p) o` E(p) est la TL de l’entr´e
...

e
e

´
`
CHAPITRE 3
...
3
3
...
1

R´ponse d’un syst`me du premier ordre
e
e
Fonction de transfert

Un syst`me du premier ordre est d´crit par
e
e

b0 s(t) + b1

de
ds
= a0 e(t) + a1
dt
dt

Nous ne traiterons, dans ce chapitre, que les syst`mes pour lesquels a0 = 0
e
et a1 = 0
...

e

3
...
2

R´ponse ` un ´chelon
e
a
e

Pour toutes les r´ponses indicielles (` un ´chelon), on d´finit :
e
a
e
e
R´gime permanent sp (t) = s(t)
e

∀t >> tr

(sp (t) = limt→∞ s(t)

Temps de mont´e tm est le temps pendant lequel s(t) passe de 0, 1sp (t) `
e
a
0, 9sp (t)
Temps de r´ponse ` 5% tr est le temps au bout duquel ∀t > tr , sp (t)−s(t) <
e
a
0, 05sp (t)
On applique ` l’entr´e de ce syst`me un ´chelon d’amplitude E0
...
La sortie du syst`me est telle que :
e
e

S(p) = E(p)
...
E0
p(1 + τ p)

t

s(t) = K
...
3
...
Eo

95%
s(t)

63%

0

0

!

t

3!

Fig
...
5: R´ponse ` un ´chelon d’un syst`me du premier ordre
e
a
e
e
Sur son trac´ ci-dessus, on peut noter
e
– s(τ ) = 0, 632KE0
– limt→∞ s(t) = K
...
E0
a
τ
– temps de mont´e ≈ 2τ
e
– temps de r´ponse ` 5% ≈ 3τ
e
a
On peut tracer la courbe en coordonn´es r´duites, c’est ` dire le trac´ de
e
e
a
e
s(t)
y = K
...
(y = 1 − e−x )
e
e

3
...
3

R´ponse ` une rampe
e
a

L’entr´e est une rampe de pente a : e(t) = atu(t)
...
La sortie est donn´e par :
e

S(p) =

K
...

1
τ p2 (p + τ )
t

s(t) = K
...
(t − τ ) + K
...
e− τ

´
`
CHAPITRE 3
...
3
...
a
...
La
e
diff´rence entre la sortie et l’entr´e est appel´e erreur de traˆ
e
e
e
ınage et
vaut a
...
Ils divergent
...
3
...
δ(t)
...
La sortie
e
e
est donn´e par
e

S(p) =

K
...
E0 − t
⇒ s(t) =
e τ
1 + τp
τ

´
`
3
...
REPONSE DES SYSTEMES DU SECOND ORDRE

21

K
...
3
...
4
3
...
1

R´ponse des syst`mes du second ordre
e
e
Fonction de transfert

L’´quation diff´rentielle la plus g´n´rale de second ordre est :
e
e
e e
b2

d2 s
ds
d2 e
de
+ b1 + b0 s(t) = a2 2 + a1 + a0 e(t)
2
dt
dt
dt
dt

Dans ce paragraphe, nous n’´tudierons que les syst`mes tels que les
e
e
d´riv´es de l’entr´e n’interviennent pas (a2 = a1 = 0)
...

e
ωn est la pulsation naturelle (en rd/s)
...


z est le coefficient d’amortissement
...
REPONSE TEMPORELLE DES SYSTEMES

22

z = 1 les deux pˆles sont ´gaux et r´els
...

o
e
e
z < 1 les deux pˆles sont des complexes conjugu´s
...

e

3
...
2

R´ponse ` l’´chelon pour z > 1
e
a e

On parle de syst`me ` fort amortissement
...
Pour une
e
entr´e e(t) = E0 u(t) → E(p) = E0 , la sortie est donn´e par
e
e
p
S(p) =

s(t) = K
...
E0
...
u(t)
τ1 − τ2
τ1 − τ2

avec p1 = − τ1 et p2 = − τ1
1
2
K
...
3
...
E0
e
– ` l’origine, la tangente est horizontale
a

´
`
3
...
REPONSE DES SYSTEMES DU SECOND ORDRE

3
...
3

23

R´ponse ` l’´chelon pour z = 1
e
a e

Par rapport au paragraphe pr´c´dent, les pˆles sont confondus
...
ωn
(p + ωn )2

s(t) = K
...
u(t)
La courbe de r´ponse ressemble a la courbe obtenue au paragraphe pr´c´e
`
e e
dent, mais la croissance est plus rapide
...
4
...
Les pˆles sont complexes
e
a
o
conjugu´s
...
E0 1 − √
√

avec tan ϕ =

1
e−zωn t sin(ωn 1 − z 2 t + ϕ)
1 − z2

1−z 2
z

Tp 2

Tp

s(t)

D
1,05K
...
Eo
0,95K
...
3
...
E0
e

´
`
CHAPITRE 3
...

Tp
ϕ
tm =
(1 − )
2
π
– temps de pic
Tp
π
tp =
=
2
ωp
– temps de r´ponse ` 5% : C’est le temps au bout duquel la sortie atteint
e
a
le r´gime permanent ` 5% pr`s et y reste
...
Une
e
approximation pour z
1 est
tr = 3

3
τn
=
z
zωn

qui est le temps de r´ponse de l’enveloppe exponentielle
...
E0
...
E0
...
E0

=

e 1−z2
...

e
ln

3
...
5

D2
−2zπ
=√
D1
1 − z2

R´ponse d’un syst`me du second ordre ` une rampe
e
e
a

L’entr´e est une rampe de pente a
...

p2

On en d´duit la sortie
e

Ka
2
p2 (p2 + 2zωn p + ωn )

Pour z > 1,
s(t) = K
...
e τ1 −

...
4
...
sin (ωp t − ψ)
s(t) = K
...

z
Dans les deux cas, le r´gime stationnaire est une droite de pente Ka
...

e

26

´
`
CHAPITRE 3
...
1

R´ponse d’un syst`me ` une sinuso¨
e
e
a
ıde

Consid´rons un syst`me lin´aire d’ordre quelconque avec une entr´e et
e
e
e
e
une sortie
...
On aura : s(t) = S0 sin (ωt + ϕ)
...
Cette
r´ponse sera caract´ris´e par deux param`tres :
e
e e
e
Gain =

S0
E0

dephasage : ϕ

Ces deux param`tres d´pendent de la pulsation ω de l’entr´e
...

L’int´rˆt de connaˆ les r´ponses fr´quentielles vient du fait que, d’apr`s
ee
ıtre
e
e
e
Fourier, tout signal peut ˆtre d´compos´ en une somme de fonctions sinus
e
e
e
ou cosinus
...

L’expression analytique du gain et du d´phasage en fonction de ω ne sont
e
pas ‘parlantes’
...
Il existe trois types de repr´sentations
e
e
graphiques :
BODE se pr´sente sous la forme de deux courbes :
e
27

´
´
`
CHAPITRE 4
...
La
e
e
courbe est gradu´e en ω
...
La courbe est gradu´e
e
e
en ω
...
2
4
...
1

Repr´sentation dans le plan de BODE
e
D´finition
e

Cette repr´sentation s’appelle ´galement Lieu de Bode
...
Le d´phasage
e
est souvent repr´sent´ en degr´s
...

e
a
e

4
...
2

Syst`mes du premier ordre
e

La fonction de transfert d’un syst`me du premier ordre est donn´e par :
e
e
T (p) =

K
1 + τp

⇒

T (jω) =

K
1 + jτ ω

Pour pouvoir tracer ce lieu dans le cas g´n´ral (nous n’avons pas de
e e
valeur num´rique pour K et τ , on posera u = τ ω et K = 1
...
)
e
|T (ju)|dB = 20 log K − 10 log (1 + u2 )

arg(T (ju)) = − arctan(u)

– asymptotes :
– pour u → 0, |T (ju)|dB → 0, arg(T (ju)) → 0
– pour u → ∞, |T (ju)|dB → −20 log(u), arg(T (ju)) → −90
...

– r`gle des 10% : pour u < 0
...

– Pour u = 1, |T (ju)|dB = −3dB, et ϕ = −45
...

a

´
4
...
REPRESENTATION DANS LE PLAN DE BODE

29

– Pour u = 1/2, |T (ju)|dB = −1dB, et ϕ = −26, 5
...

˚
0
-10

Gain
dB

-20
-30
-40
-50
10 -2

(rad/sec)
1

!

!

10 -1

1

10

10 2

!

!

10 -1

!

!

!

="

10

10 2

!

!

0

Phase deg

-20
-40
-60
-80
-100
10 -2

!

(rad/sec)

Fig
...
1: Lieu de Bode d’un syst`me du premier ordre
e

4
...
3

Int´grateur pur
e

On appelle int´grateur pur les syst`mes dont la fonction de transfert est
e
e
T (p) =

K
p

Pour ces syst`mes, on a : s(t) = K
...
dt
...
2
...
Si K = 1, il
e
suffira de d´caler la courbe de gain de 20 log(K)
...
REPONSE FREQUENTIELLE D’UN SYSTEME
arg(T (ju)) = − arctan(

2zu
)
1 − u2

– Asymptotes pour u → 0 : |T | → 1 = 0dB et le d´phasage ϕ → 0
...

˚
– Les asymptotes se coupent en u = 1 (cad ω = ωn )
...

˚
– La recherche d’un extremum sur la courbe de gain donne :
Si z > 0, 7 la courbe ne pr´sente pas d’extremum
...

√
Si z < 0, 7 la courbe a un maximum en u = 1 − 2z 2 cad pour
ωR = ωn 1 − 2z 2
On appelle cette pulsation la pulsation de r´sonance
...
On d´finit le facteur de r´sonance Q par :
e
e
e
Q=

|T |ωR
|T |ω→0

|T |ωR =

1
2z 1 − z 2
√

Dans les feuilles jointes, vous trouverez un r´seau de courbes de bode,
e
pour plusieurs valeurs de z
...
2 repr´sente le lieu de Bode en
e
coordonn´es r´duites pour z = 0, 3
...
4
...
3
...
3

31

Repr´sentation de BLACK
e

La courbe de Black repr´sente |T (jω)|dB en fonction du d´phasage ϕ
...
Dans les feuilles jointes ` ce cours, vous
e
a
trouverez les courbes de Black pour les syst`mes du premier et second ordre
...
3
...
3
...
5
˚
−63
...
4
...
3
...
4
...

e
e
e
a

´
´
`
CHAPITRE 4
...
4 est trac´ pour z = 0, 3
...

-90
20
!=!R
1/2z
0

Q(en dB)

-20

!">0

!=!n

Gain (db)

-40

-60

-80

!">#

-100
-360

-270

-180
Phase (deg)

-90

0

Fig
...
4: Lieu de Black d’un syst`me du second ordre
e

4
...
3

Remarques pratiques

Laisser la fonction de transfert factoris´e !
e
Aussi bien dans la repr´sentation de Bode que celle de Black, le trac´
e
e
passe par le calcul du gain en dB et du d´phasage de T (jω)
...


4
...
LIEU DE NYQUIST

33

Remarque sur la fonction arctangente
La fonction tangente n’est pas bijective
...
En fait, le r´sultat est ` 2kπ pr`s
...
Le d´phasage devrait donc ˆtre n´gatif
...

e
˚
Par exemple, la fonction de transfert
T (p) =

1
p3

est d’ordre 3
...

e
Pour s’en persuader, on suit le conseil donn´ pr´c´demment, et on factorise
e e e
T (p) :
1
1
1
T (p) =
p
p
p
Chacun de ces facteurs est un int´grateur pur qui pr´sente un d´phasage
e
e
e
constant de −90
...

˚
e
˚

4
...

e
On obtient une courbe param´trique en fonction de ω (voir figure 4
...

e

-0
...
5

0

axe des réels
0
...
5

0

1

!
|T(j")|

-2

Fig
...
5: Lieu de Nyquist

34

´
´
`
CHAPITRE 4
...
4
...
On peut montrer que cette courbe est un
a
cercle
...

K/2

0

axe des réels

K/2

Axe des imaginaires

0

Fig
...
6: Lieu de Nyquist d’un syst`me du premier ordre
e

4
...
2

Syst`me du second ordre
e

Les lieux des syst`mes du second ordre ne pr´sentent pas de particularie
e
t´s
...

e
e
La figure 4
...

ee
e
0

-0
...
5

0

axe des réels
0
...
5

-2

Fig
...
7: Lieu de Nyquist d’un syst`me du second ordre
e

Chapitre 5

Syst`mes boucl´s
e
e
5
...
1
...
La commande (ce qui est appliqu´ au syst`me) est ´labor´e en
e
e
e
e
fonction de la consigne (ce que l’on veut) et de la sortie, ce qui peut se
repr´senter par la figure 5
...

e

entrée = consigne

Elaboration de
la commande

command
e

Système

sortie

Fig
...
1: Principe du feedback
En g´n´ral, l’´laboration de la commande est bas´e sur
e e
e
e
– un capteur pour mesurer la sortie
– un comparateur entre la consigne et la sortie
– un correcteur qui ´labore la commande en fonction de la comparaison
e
pr´c´dente, ce qui peut se repr´senter par la figure 5
...

e e
e

consigne +
-

Correcteur

commande

Système

sortie

capteur

Fig
...
2: Le correcteur est g´n´ralement plac´ en amont du syst`me
e e
e
e
Chaque boˆ est repr´sent´e par une fonction de transfert
...
SYSTEMES BOUCLES

36

nous allons ´tudier les syst`mes boucl´s dans leur g´n´ralit´
...
3)
...
5
...
1
...
La repr´sentation de ce syst`me est identique
e
e
a
` 5
...

Pour trouver la fonction de transfert H(p) de l’ensemble, il faut former
S(p)
E(p)
...
ε(p) = D(E(p) − S(p)) ⇒

5
...
3

D(p)
S(p)
= H(p) =
E(p)
1 + D(p)

Cas du retour non unitaire

Dans ce cas, R(p) = 1, ce qui donne :
S(p)
D(p)
= H(p) =
E(p)
1 + R(p)
...
R(p)
Par convention ´galement, on notera H(p) la Fonction de Transfert en
e
Boucle Ferm´e (FTBF)
...

1 + T (p) R(p)

Cette relation montre qu’un retour non unitaire est ´quivalent a un
e
`
retour unitaire suivi (en cascade) d’une fonction de transfert 1/R(p)
...

Nous allons voir, dans ce chapitre, l’influence d’un retour unitaire
pour les syst`mes que nous connaissons
...
2
...
1
...

τ
1 + T (p)
1 + K 1 + 1+K p
1+τ p

K
τ
avec K = 1+K et τ = 1+K On en conclut qu’un premier ordre en
BO reste un premier ordre en BF dont les caract´ristiques (gain et
e
constante de temps) sont divis´es par 1 + K
...
Si K >> 1, le gain K tend vers
1 et sa constante de temps est fortement diminu´e
...
1
...

1 + T (p)
1+K 1+

1
2z
p
ωn (1+K)

+

p2
2
ωn (1+K)

=

K
1+

2z
p
ωn

+

p2
2
ωn

√
K
z
avec K = 1+K et z = √1+K et ωn = ωn 1 + K
...
Il est important de noter que le syst`me est toujours un
e
deuxi`me ordre
...


5
...
SYSTEMES BOUCLES

38

L’abaque de Black (r´seau de courbes) permet d’avoir le lieu de
e
Black d’un syst`me en BF ` partir de son lieu de Black en BO, sans
e
a
avoir ` calculer l’expression analytique de la fonction de transfert en
a
BF
...
L’intersection du lieu en BO avec le r´seau
e
e
de courbes donne les coordonn´es d’un point ` mˆme pulsation de la
e
a e
courbe de Black en BF
...
G(p) avec K
e
e
e
le gain r´glable)
...
Le lieu de Black est
aussi souvent utilis´ pour savoir comment r`gler le gain K pour avoir
e
e
telle ou telle propri´t´ en BF
...
La
e
ee
translation n´cessaire donne le gain a afficher pour avoir la propri´t´
e
`
ee
d´sir´e
...
3
5
...
1

Structures complexes : alg`bre des sch´mae
e
blocs
Simplification de ces syst`mes
e

Un syst`me est parfois d´crit par un ensemble de fonctions de transe
e
fert interconnect´es par des comparateurs, des points de d´rivation, des
e
e
retours
...
3
...

e
`
Exemple : Un syst`me est d´crit dans la figure 5
...
On cherche la fonction de tansfert
´quivalente ` l’ensemble
...
5
...
Les ´quations
e
e
reliant ces variables sont :
A = E − R2 S
B = A + R1 C
C = G1 G4 B
S = (G2 + G3 )C
S=
S=

S = (G2 + G3 )G1 G4 B
B(1 − R1 G1 G4 ) = A

(G2 + G3 )G1 G4 A
(1 − R1 G1 G4 )

(G2 + G3 )G1 G4 E
1 − R1 G1 G4 + (G2 + G3 )G1 G4 R2

– On peut pr´f´rer la m´thode par simplifications successives qui
ee
e
g´n`re moins de calculs et donc moins d’erreurs, mais qui n´cessite
e e
e
de disposer de la feuille en annexe
...
5 est ´quivalent ` la figure 5
...
On
e
e
a
en d´duit alors directement la fonction de transfert :
e
S=

(G2 + G3 )G1 G4 E
1 − R1 G1 G4 + (G2 + G3 )G1 G4 R2

`
´
CHAPITRE 5
...
5
...
3
...
Donner les fonctions de transfert
e
d’un tel syst`me consiste a ´crire chacune des sorties en fonction de
e
` e
toutes les entr´es
...
On somme
e
e
ensuite pour chaque sortie les fonctions de transfert ainsi trouv´es
...
6, on remarque deux
e
e
entr´es E et U et une sortie S
...
5
...
U (p)
1 + G1 G2

Calculons S en fonction de E (on pose U = 0) :
Se (p) =

G1 G2

...
U (p) +

...
1

Position des pˆles et des z´ros d’un syst`me
o
e
e
en BO dans le plan complexe

On repr´sente par le symbole × les pˆles d’un syst`me
...

e
On repr´sente par des ◦ les z´ros d’un syst`me
...

e
6
...
1

Syst`mes du premier ordre
e
T (p) =

K
1 + τp

Ce syst`me a un pˆle : −1/τ
...

e

Im
Re
-1/!

6
...
2

Syst`me du second ordre
e

Si z > 1, il y a deux pˆles r´els
...

o
e
o
41

ˆ
`
´
42 CHAPITRE 6
...

o
Si z < 1, il y a deux pˆles complexes conjugu´s (voir figure 6
...
On
o
e
retrouve la valeur de ϕ :
√
1 − z2
tan ϕ =
z

p1

"n

Im

!

Re

z
...
6
...
1
...
2

Principe du lieu d’Evans

Soit un syst`me en BF a retour unitaire tel que la fonction de transe
`
fert en BO soit :
K
...
Ce syst`me est
e
e
e
´quivalent ` une fonction de transfert H(p) :
e
a
H(p) =

T (p)
K
...
N (p)

´ ´
6
...
PROPRIETE ET CONSTRUCTION

43

Les pˆles de ce syst`me en BF v´rifient l’´quation caract´ristique
o
e
e
e
e
suivante :
D(p) + K
...
1)
Si le facteur K est une variable r´glable de notre syst`me, la position
e
e
des pˆles en BF va varier en fonction de K
...
1 trac´ dans le
o
e e
e
e
plan complexe quand on fait varier K de 0 ` l’infini
...
Exemple : Si l’un des pˆles est a partie r´elle positive, le
e
o
`
e
syst`me est instable
...
3
6
...
1

Propri´t´ et construction
e e
Sym´trie par rapport ` l’axe des r´els
e
a
e

Quelque soit la valeur de K, les pˆles complexes vont toujours par
o
paires conjugu´es
...
3
...
C’est
o
e
o
l’ordre du syst`me
...
3
...
1 devient D(p) = 0
...

6
...
4

Points d’arriv´e
e

Pour K → ∞, l’´quation 6
...
On retrouve les
e
z´ros de la fonction de transfert en BO
...

e
o
6
...
5

Branches infinies

Les branches qui ne vont pas vers un point d’arriv´e partent ` l’ine
a
fini
...
POLES D’UN SYSTEME BOUCLE - LIEU D’EVANS

– Point de concours des asymptotes sur l’axe des r´els a pour abse
cisse :
pˆles − z´ros
o
e
n−m
6
...
6

Position du lieu appartenant ` l’axe des r´els
a
e

Un point M de l’axe des r´els appartient au lieu si et seulement si
e
le nombre de pˆles et de z´ros r´els situ´s a droite de M est impair
...
2
e

Im
Re

Fig
...
2: portion de l’axe des r´els appartenant au lieu
e

6
...
7

Points de branchements

Ce sont les points o` le lieu quitte ou rejoint l’axe des r´els
...
Pour trouver ces points, il y a deux m´thodes possibles :
o
e
1
...

e
e
2
...
3
...

dx

Intersection avec l’axe des imaginaires

Si le lieu coupe l’axe des imaginaires, c’est que pour certaines valeurs
de K, la fonction de transfert en BF a des pˆles imaginaires purs
...
1 pour trouver la
e
e
valeur de y et de K
...
3
...
3
...
La tangente
e
au d´part d’un pˆle complexe est donn´ par :
e
o
e
αi −

θd = π +

βj

La tangente au point d’arriv´e sur un z´ro complexe est donn´ par :
e
e
e
βj −

θα = π +

#i
pi

!d
"j

αi

Im

zj

Re

Fig
...
3: Construction d’une tangente ` un point de d´part ou d’arriv´e
a
e
e

6
...
10

Construction d´taill´e du lieu
e
e

Dans certains cas, en posant p = x + jy et en reportant dans
l’´quation caract´ristique, on peut faire apparaˆ des portions du lieu
...
POLES D’UN SYSTEME BOUCLE - LIEU D’EVANS

Chapitre 7

Etude de quelques syst`mes
e
particuliers
7
...
L’´quation diff´rentielle est donc :
e e
e
e
ds
= K
...
dτ + s(0)

s(t) = K
...
1
...
E(p) =

K
...
E0
...
u(t)

c’est donc une rampe de pente K
...
On pouvait le pr´voir puisque
e
l’int´grale d’un ´chelon est bien une rampe
...
ETUDE DE QUELQUES SYSTEMES PARTICULIERS

7
...
2

R´ponse ` une rampe
e
a

Si l’entr´e est une rampe, c’est ` dire E(p) =
e
a
S(p) = T (p)
...
a
p3

⇒

s(t) =

a
,
p2

la sortie s’´crit :
e

K
...
t2

...

7
...
3

R´ponse fr´quentielle
e
e

En ´tudiant les variations en module et en phase de T (jω), on
e
calcule le gain :
|T (jω)|dB = 20
...
log(ω)
Sur un diagramme de Bode, c’est une droite de pente -20dB par d´cade
e
de ω qui coupe l’axe des abscisse pour ω = K
...
Sur un diagramme de Black, le lieu est la droite
˚
d’´quation angle = −90
e
˚

7
...
Dans ce paragraphe, nous n’´tudions que le retard luie
mˆme
...
La sortie est donc
u
e
l’entr´e simplement retard´e de r secondes
...
p
E(p)
7
...
1

retard faible

Lorsque le retard est petit par rapport aux autres constantes de
temps du syst`me, on peut approcher ce retard par un premier ordre :
e
T (p) = e−r
...
2
...
p

(r

)

cas g´n´ral - r´ponse fr´quentielle
e e
e
e

Le gain d’un syst`me ` retard est 1 (0dB), quelle que soit la fr´quence
e a
e
de l’entr´e
...

e
e

`
´
7
...
PREMIER ORDRE A NUMERATEUR NON CONSTANT

7
...
(1 + ηp)
T (p) =
1 + τp
7
...
1

R´ponse ` l’´chelon
e
a e

S(p) = T (p)
...
K
...
E0
...
e− τ
τ

Le trac´ de cette sortie pour K = E0 = 1 est donn´e en figure 7
...

e
e
Step Response
1

Amplitude

0
...
6
n=1, tau=2

0
...
2
0

0

2

4

6

8

10

12

8

10

12

Time (sec)

Step Response
1
...
4
1
...
2
1
...
7
...
ETUDE DE QUELQUES SYSTEMES PARTICULIERS

7
...
2

R´ponse fr´quentielle
e
e

On ´tudie le module et la phase de :
e
T (jω) =

K
...
2 repr´sente deux diagrammes de bode avec K = 1 : dans
e
le cas o` η < τ a gauche et η > τ a droite
...
7
...
1
8
...
1

D´finition - condition g´n´rale de stabilit´
e
e e
e
D´finition
e

Un syst`me est stable si et seulement si ` tout signal born´ en entr´e,
e
a
e
e
correspond un signal born´ en sortie
...

8
...
2

Condition sur la fonction de transfert

Un syst`me est d´fini par sa fonction de transfert
e
e
T (p) =

k(p − z1 ) · · · (p − zm )
− p1 ) · · · (p − pn−α )

pα (p

Sa r´ponse ` l’´chelon est de la forme :
e
a e
s(t) = A1 + A2 t + · · · + Aα+1 tα + B1 ep1 t + · · · + Bn−α epn−α t
Pour que s(t) tende vers une valeur finie, il faut que :
– le polynˆme soit de degr´ 0 (terme constant) donc que α = 0
...

51

52

´
`
CHAPITRE 8
...
Pour faire un lien entre la r´ponse indie
e
e
cielle d’un syst`me et les valeurs des pˆles, le fichier Sysquake polee
o
senp
...
polytech
...
fr/ trace cette
ee
r´ponse pour les syst`mes du premier ou second ordre, avec des pˆles
e
e
o
r´els ou complexes
...
2

Condition de stabilit´ d’un syst`me boucl´
e
e
e
!(p)

E(p)
+
-

D(p)
R(p)

S(p)

"

E(p)

H(p)

S(p)

Fig
...
1: Syst`me boucl´
e
e

La fonction de transfert ´quivalente ` un syst`me boucl´ comme
e
a
e
e
repr´sent´ en figure 8
...
R(p)
1 + T (p)

Comme nous venons de le voir la stabilit´ de cette fonction de transfert
e
est fonction de ses pˆles donc des racines de son d´nominateur (1 +
o
e
T (p))
...

a
e
e
Remarques :
– si la partie r´elle d’un des pˆles de la fonction de transfert en BF
e
o
(donc des racines de 1 + T (p)) est nulle on parlera de limite de
stabilit´ (r´ponse en oscillations entretenues)
...
3
...

e

8
...
(1 − 2p)
p(1 + p)

Ce syst`me est de type 1 donc instable en boucle ouverte
...
(1 − 2p)
=
1 + T (p)
p(1 + p) + K(1 − 2p)

La stabilit´ en boucle ferm´e d´pend des pˆles de H(p) qui sont les
e
e e
o
solutions de l’´quation :
e
p(1 + p) + K(1 − 2p) = 0
p2 + (1 − 2K)p + K = 0
– Pour K = 0, 2, les racines de l’´quation seront −0, 3 ± 0, 33j a
e
`
parties r´elles n´gatives donc le syst`me sera stable en BF
...

e
e
– La limite de stabilit´ sera obtenue pour des solutions de l’´quation
e
e
a parties r´elles nulles donc pour K = 0, 5
...

e
e
e

8
...
Mais pour des polynˆmes de
e
e
o
degr´ sup´rieur a 2, la r´solution devient difficile
...

o

´
`
CHAPITRE 8
...
4
...
pn + bn−1
...
p + b0 = 0
8
...
2

tableau de Routh

On forme le tableau suivant
bn
bn−1
cn−2
dn−3

bn−2 bn−4
bn−3 bn−5
cn−4 · · ·
··· ···

avec
cn−2 =

bn−1
...
bn−3
,
bn−1
dn−3 =

cn−4 =

bn−1
...
bn−5
,
bn−1

cn−2
...
cn−4
,
cn−2

···

Ce tableau est a former jusqu’` ce que l’on ait n lignes
...
4
...
S’il y a c chane
gements de signes dans la premi`re colonne, l’´quation caract´ristique
e
e
e
a c racines ` parties r´elles positives (et le syst`me est instable)
a
e
e
8
...
4

exercices

Pour les ´quations caract´ristiques suivantes, retrouvez si le syst`me
e
e
e
est stable
...
1 + T (p) = p4 + 2p3 + 8p2 + 4p + 3 = 0 (stable)
2
...
1 + T (p) = p2 + (1 − 2K)p + K = 0 (stable si K < 0
...
5
...
4
...

e
ea
e
Pour poursuivre l’´tude (le tableau) on ´crit ` la place de la ligne
e
e
a
concern´e les coefficients obtenus en d´rivant le polynˆme auxiliaire
e
e
o
dont les coefficients sont les termes de la derni`re ligne non nulle
...

o
e
e
Si le premier terme d’une ligne est nul mais que le reste de la ligne
comporte des termes non nuls, on continue en rempla¸ant ce nombre
c
par un > 0 petit pour ´viter la division par 0
...
5

Evaluation de la stabilit´ en r´gime sinuso¨
e
e
ıdal

Quand on ne connaˆ pas la fonction de transfert de la boucle ouıt
verte, on ne peut pas pr´voir la stabilit´ de la boucle ferm´e en calcue
e
e
lant les pˆles de la fonction de transfert en BF
...

e
8
...
1

D´finition du point critique
e

Supposons que pour une pulsation ω, on ait T (jω) = −1 c’est a dire
`
module 1, d´phasage de -180
...
On serait donc en limite de stabilit´
...
5
...
STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS

Crit`re du revers dans le plan de Black
e

Un syst`me lin´aire boucl´ est stable si en d´crivant la courbe de
e
e
e
e
Black de la fonction de transfert en BO dans le sens des pulsations
croissantes, on laisse le point critique sur sa droite
...
5
...

a
8
...
4

R`gle du revers dans le plan de Bode
e

Soit ω0 la pulsation pour laquelle la courbe de gain coupe l’axe 0dB
et ωc la pulsation pour laquelle la courbe des phase passe par -180
...


8
...

On chiffre le degr´ de stabilit´ d’un syst`me lin´aire au moyen de la
e
e
e
e
marge de gain et la marge de phase
...
La
e
e
marge de phase est le d´phasage suppl´mentaire qui permet d’atteindre
e
e
le point critique
...
La figure 8
...
9 dB et une marge
de phase de 78 (` droite)
...
Il est
e
e
instable
...
7
...
25 dB

0 dB

0
...
25 dB

!1 dB

3 dB
6 dB

10
Open!Loop Gain (dB)

30

1 dB

0
...
0253
Phase (deg): !102
Frequency (rad/sec): 0
...
9
Phase (deg): !180
Frequency (rad/sec): 1

!20
!40

!1 dB

3 dB

10

!40 dB

!12 dB
!20 dB

!30
!50
!60
!270

!40

!60 dB
!225

!180

!135

!90

!45

0

!40 dB

!270

!225

Open!Loop Phase (deg)

!180

!135

!90

!45

0

Open!Loop Phase (deg)

Fig
...
2: Lieu de Black d’un syst`me en limite de stabilit´ (gauche) et avec
e
e
des marges de stabilit´ (` droite)
e a

8
...

τ
Kτ
On cherche la valeur du gain K de la boucle ouverte pour que le
syst`me soit suffisamment stable en BF c’est a dire avec une marge de
e
`
phase de 45
...
τ = 2 ⇒

Arg(T (jω)) = −135
˚

z ≈ 0
...
STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS

Chapitre 9

Pr´cision des syst`mes
e
e
asservis
9
...

e
e e
On peut quantifier l’erreur entre la consigne et la sortie :
(t) = sd (t) − s(t)
Cette erreur sera significative de la pr´cision de l’asservissement :
e
– pendant le r´gime transitoire
...
On parlera de pr´cision
e
e
statique
...
2

Pr´cision dynamique
e

On se limite, dans ce cours au cas o` l’entr´e est un ´chelon et pour
u
e
e
les syst`mes stables
...

e
e
Si c’est long, on parlera d’une mauvaise pr´cision dynamique
...
Si c’est rapide et pas ou peu d’oscillations, on
e
parlera d’une bonne pr´cision dynamique
...
Ce temps de r´ponse est le temps a partir
e
`
e
`
duquel la sortie reste autour la valeur finale a 5% pr`s
...

e
59

60

´
`
CHAPITRE 9
...

Cas des r´ponses avec d´passement : Pour les second ordre par
e
e
exemple, ce temps peut se mesurer en tra¸ant deux lignes horizontales
c
(l’une ` 95%, l’autre a 105%) puis en cherchant a partir de quel moa
`
`
ment la courbe reste entre ces deux droites
...
ωn ) en fonction de l’amortissement z
...
L’abaque montre qu’un amortissement de
e
l’ordre de 0,7 est optimal pour le temps de r´ponse
...
3

Pr´cision statique
e

On s’int´resse cette fois ` la diff´rence, en r´gime permanent entre
e
a
e
e
la consigne et la sortie
...
(E(p) − S(p))
t→∞

p→0

ξ(p)=E(p)-S(p)
E(p)

S(p)
T(p)

+
-

Cette erreur d´pend de l’entr´e, du type et du gain de la fonction
e
e
de transfert en boucle ouverte T (p)
...
4
...
E(p)
K(1 +
...
(1 +
...
4

1

1

erreur statique nulle
0
...
9

1
...
8

0
...
7
0
...
7
0
...
8

0
...
5
entrée en échelon
type 0

0
...
6

entrée en échelon
type 1

0
...
3

0
...
4

0
...
2

0
...
1

0
...
5

1

1
...
5

3

0

0

0

0
...
5

2

2
...
5

1

1
...
5

3

3
...
7

erreur statique infinie (les courbes s’éloignent)

erreur statique (de trainage)
3
2
...
6
pas d’erreur statique

2
...
5

2

2

0
...
5

1
...
3
1

1

0
...
5

Rampe E(p) =

a
p2

∞

0

entrée en rampe
système de type 2

entrée en rampe
système de type 1
0
...
1

0

0
...
5

2

2
...
1

0
...
3

0
...
5

0
...
7

0

0
0

Tab
...
2: Erreurs statiques en fonction de l’entr´e, du type et du gain du
e
syst`me en BO
e

9
...
Ces perturbations ont une influence sur l’asserviso
sement
...
(Un bon
e
asservissement devrait faire en sorte que cette influence soit minime)
Dans l’exemple de la figure 9
...
9
...

e

0
...
5

2

2
...
PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS

Chapitre 10

Compensation des syst`mes
e
asservis
10
...
Il n’est pas possible d’augmenter ce gain de fa¸on trop importante : il peut d´grader la stabilit´ du
c
e
e
syst`me (il diminue la marge de gain - voire rendre le syst`me instable)
...

e
e
Le gain de la boucle ouverte a une action sur l’asservissement, on
parle d’un correcteur proportionnel
...
1)
...
Beaucoup de syst`mes peuvent ˆtre command´s par ces types de
e
e
e
e
correcteurs simples a mettre en oeuvre
...
En g´n´ral, on choi`
e e
e e
sira le gain qui permettra d’avoir un facteur de r´sonance de 2,3dB
e
(Q=1,3)
...
10
...
COMPENSATION DES SYSTEMES ASSERVIS

Ces correcteurs ne sont pas toujours possibles ou suffisant
...


10
...

e
e
e
e
Par exemple, avec un syst`me dont la fonction de transfert est G(p),
e
le correcteur C(p) qui permet d’avoir une fonction de transfert en BO
choisie de T (p) est :
T (p)
C(p) =
G(p)
L’approche choix de la fonction de transfert en boucle ferm´e H(p)
e
donnerait :
H(p) =

C(p)
...
G(p)

⇒

C(p) =

H(p)
(1 − H(p))
...
Cette propri´t´ se traduit
e e
e
ee
dans le fait que la fonction de transfert de C(p) doit avoir un
num´rateur de degr´ inf´rieur ` son d´nominateur et qu’il ne doit
e
e e
a
e
pas pr´senter de ”retard n´gatif”
e
e
– Le correcteur doit ˆtre stable
...

e
e
– Choisir une fonction de transfert en BO ou en BF r´alisable
...

e
– La r´alisation pratique d’un correcteur quelconque n’est pas toue
jours possible
...
3
...
3

Principes g´n´raux et proc´d´s typiques de
e e
e e
compensation

En dehors de l’approche math´matique vue pr´c´demment, les core
e e
recteurs se d´terminent souvent en utilisant le lieu de Black du syst`me
...
Ajouter
e
e
e
un correcteur dans la boucle ouverte c’est additionner son gain en dB
et son d´phasage au lieu du syst`me
...

e
La pr´cision est am´lior´e pour des syst`mes qui ont un gain auge
e e
e
ment´, notamment dans les basses fr´quences
...
Pour augmenter la marge de gain,
on peut diminuer le gain, particuli`rement pour les pulsations qui
e
donnent une phase proche de 180
...

La figure 10
...

lieu de Black en BO

point critique (0dB, -180°)
augmenter la précision

augmenter la marge de phase

augmenter la marge de gain

Fig
...
2: Actions possibles d’un correcteur sur le lieu de Black

Les correcteurs vont avoir 3 types d’actions possible :

`
CHAPITRE 10
...
Comme nous l’avons d´j` vu, cette
ea
action a un effet favorable pour la pr´cision et une effet n´faste `
e
e
a
la stabilit´
...
L’ajout d’int´grateur(s) dans la chaˆ directe influence
e
ıne
directement la pr´cision (voir chapitre pr´c´dent)
...

e
Action d´riv´e : La commande est proportionnelle ` la d´riv´e de
e e
a
e e
l’erreur
...
Elle augmente donc la marge de phase,
e
donc la stabilit´
e
Les actions d´riv´es et int´grales ne s’emploient jamais seules mais en
e e
e
combinaison avec l’action proportionnelle
...
polytech
...
fr/, dans la rubrique
automatique continue, deux types de simulateurs permettent de r´gler
e
a la souris les correcteurs d´crits ici sur un syst`me donn´
...
sq, corretard
...
sq qui s’ouvrent avec Sysquake (de
la soci´t´ Calerga) et de LabSA de Matthieu Lescieux, un ex´cutable
ee
e
fait avec LabView et qui permet de tester tous les correcteurs de ce
chapitre sur le syst`me de votre choix
...
4

Correcteur avance de phase

Leur fonction de transfert sont du type :
C(p) = Kr
...
τ p
1 + τp

τ > 0; a > 1

a est le facteur d’avance de phase et τ la constante de temps du correcteur
...
3
...
a

Ce correcteur a l’avantage d’avoir une phase positive dans une
gamme de fr´quences
...
4
...
10
...
&",'(,'01
...
&2'34
...
L’inconv´nient de ce correcteur est qu’il ajoute un gain pour les
e
hautes fr´quences
...

e
M´thode de r´glage : Comme on peut le voir sur la figure 10
...
S’il est mal r´gl´, ce
e

Fig
...
4: Lieu de Black d’un syst`me bien corrig´ par un correcteur avance
e
e
de phase

correcteur peut n’avoir aucun effet sur la stabilit´ du syst`me (voir
e
e
figure 10
...
6)
...
/*%))

)%*++'%,'-+)0)#1#$%')/')!&#(')

!#2')34)

`
CHAPITRE 10
...
&",'(,'01
...
&2'34
...
10
...
/*%))

)%*++'%,'-+)0)#1#$%')/')!&#(')

!#2')34)

Fig
...
6: Ce correcteur avance de phase d´t´riore la stabilit´
ee
e

10
...

τ > 0; b > 1
1 + b
...

Les lieux de Bode de ce type de correcteur pour diff´rentes valeurs
e
de b et pour τ = 1 et Kr = 1 sont donn´s dans la figure 10
...
La phase
e
n´gative maximale de ce correcteur est φM et se trouve a la pulsation
e
`
ωM donn´s par
e
φM

)
b−1
= arcsin −
;
b+1

!"#$%&'()%*++'%,'-+
...
b

)

!#2')34)

1
A cette pulsation, on a un gain de |C(jωM )| = √b
...

e e
b
Ce correcteur a l’avantage d’avoir une att´nuation en hautes fr´quences
e
e
pouvant am´liorer la marge de gain sans pour autant changer le gain
e
statique donc la pr´cision de l’asservissement
...
5
...
10
...
Le r´glage va donc consister a
e
e e
e
`
apporter l’att´nuation proche du point critique, en choisissant τ suffie
samment grand pour que la phase n´gative soit apport´e bien avant la
e
e
pulsation de r´sonance
...
8, on
e
e
choisira pour cela b en fonction de la marge de gain souhait´e et τ de
e
!"#$%&'()*&'"%++,"#,*+'-'+,#
...
1,'(
...
"4'r´sonance
fa¸on ` ce que le retard de phase soit avant la pulsation de e
c a
1
ωr en BF du syst`me non corrig´
...
10
...
9) voire la d´t´riorer (voir figure 10
...

ee

`
CHAPITRE 10
...
+('(,'/0
...
&1'23
...
/*%))

)%*++'%,'-+)0)+',#+/)/')!&#(')

!#1')2)

Fig
...
9: Ce correcteur ` retard de phase n’am´liore pas la stabilit´
a
e
e

Fig
...
10: Ce correcteur retard de phase d´t´riore la stabilit´
ee
e

10
...
La fonction de transfert d’un
e
correcteur PI est de la forme :
)

!"#$%&'()%*++'%,'-+
...
p

!#1')2)

= KR

1 + τi
...
p

KR est le gain du correcteur, τi est la constante de temps d’int´gration
...
L’inconv´nient de
e
e
ce correcteur est qu’il apporte une phase n´gative (de 90 ) en basses
e
˚
1
e
c
fr´quence (pour ω < τi )
...
On choisira :
1
<< ωR
τi
o` ωR est la pulsation de r´sonance
...
7
...
7

Correcteur Proportionnel Int´grateur et D´riv´
e
e e
(PID)

C’est le correcteur le plus connu et aussi le plus complet car il associe
les trois types de corrections qu’on a vu au d´but du chapitre
...
p)
τi
...
p)
Ti
...
p
p

Dans cette section, on utilisera la forme mixte de ce correcteur
...
7
...
τ2 = τ1
...
Il permet d’associer les int´rˆts
e
ee
de ces deux correcteurs
...
τ2

= ωR

o` ωR est la pulsation de r´sonance du syst`me
...
7
...

e
– Pour r´gler le gain proportionnel Kp , on commence par annuler
e
les actions int´grales et d´riv´es puis on choisit le gain de fa¸on
e
e e
c
a obtenir en boucle ferm´e des oscillations mais pas trop impor`
e
tantes
...
COMPENSATION DES SYSTEMES ASSERVIS

72

– Pour r´gler l’action int´grale, on laisse le gain trouv´ pr´c´demment
e
e
e e e
et on r`gle Ti de fa¸on a ce que l’erreur statique soit rapidement
e
c `
annul´e sans trop nuire ` la stabilit´ de l’asservissement
...

e

10
...
I
...
pour commander un processus a partir de mee
`
sures sur sa r´ponse indicielle
...
8
...
On devra mesurer la pente
e `
de la tangente au point d’inflexion a, la valeur finale M et le retard
r (voir figure 11
...
La tangente au point d’inflexion est assimil´e a la
e `
tangente a l’origine du syst`me du premier ordre sans retard
...

τ
6

5

4

reponse du systeme
point d’inflexion

3

tangente au pt d’inflexion
valeur finale
retard
2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

Fig
...
11: Identification pour Ziegler Nichols

Ziegler Nichols propose des r´glages de correcteur P, PI ou PID
e
pour avoir une r´ponse en boucle ferm´e satisfaisante
...
8
...
Un correcteur PID
e
a comme fonction de transfert :
C(p) = Kr
...
r
0,9Eo
a
...
r

Proportionnel
PI
PID

1
+ τd
...
p

=
=
=

τi

Eo
...
r
0,9Eo
...
r
1,2Eo
...
r

τd

3, 3r
2r

0, 5r

Tab
...
1: R´glage d’un correcteur P, PI ou PID selon Ziegler Nichols en
e
BO

Pour l’exemple utilis´ pour la figure 11
...
8
...
Le correcteur PID rend
`
le syst`me relativement stable et sans erreur statique
...
8
correcteur P
correcpeur PI
correcteur PID

1
...
4

Amplitude

1
...
8

0
...
4

0
...
10
...
8
...

e
a

74

`
CHAPITRE 10
...
On note le gain Ko qui a amen´ le syst`me en limite de
e
e
stabilit´ et la p´riode To des oscillations obtenues
...

e
Type de correcteur
Proportionnel
PI
PID

Gain Kr
0, 5
...
Ko
0, 6
...
To
0, 5
...
10
...


Chapitre 11

Identification des syst`mes
e
lin´aires
e
11
...
Ces ´quations th´oriques sont parfois difficiles ` ´crire car on
e
e
a e
n’a pas forc´ment toute la connaissance du syst`me n´cessaire : valeurs
e
e
e
num´riques, processus mis en jeu, non lin´arit´
...

e
e
Ce document pr´sente diff´rentes m´thodes pour obtenir un mod`le
e
e
e
e
sous forme de fonction de transfert ´quivalente en terme de r´ponse ` un
e
e
a
syst`me dont on ne sait pas mod´liser le comportement
...

e
`
e
Toutes les courbes de ce polycopi´ ont ´t´ obtenues avec Matlab
...
m) qui permet de les tracer et qui contient toutes
ces m´thodes programm´es est disponible sur le site web de l’automae
e
tique : http://auto
...
univ-tours
...


11
...
La m´thode
e
e e
e
e
consiste ` calculer les meilleurs param`tres en fonction de la forme de
a
e
la r´ponse r´elle
...
IDENTIFICATION DES SYSTEMES LINEAIRES

11
...
1

M´thode de Strejc
e

Le mod`le
e

Cette m´thode peut s’appliquer aux syst`mes dont la r´ponse indie
e
e
cielle ne pr´sente pas de d´passement
...
e−r
...
p)n
Les param`tres a identifier sont donc :
e
`
– le gain statique K,
– le retard r,
– la constante de temps τ
– et l’ordre n
...
1 repr´sente les r´ponses indicielles pour plusieurs jeux de
e
e
param`tres
...
9
0
...
7
0
...
5
0
...
3
0
...
1

ordre2, tau=2
0
0

5

10

15

Fig
...
1: R´ponses de mod`les de Strejc pour K = 1, r = 1
e
e

La m´thode
e

Pour identifier le syst`me, la m´thode peut se d´composer en :
e
e
e
– Le gain statique est mesur´ directement par la valeur finale de
e
la sortie
...
E0 o` E0 est l’amplitude de l’´chelon
u
e
d’entr´e
...
2
...
Voir figure 11
...

– Relever T1 et T2 en d´duire l’ordre n en utilisant le tableau 11
...

e
Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus
petite
...

e
`
τ
– D´terminer le retard r quand il existe ` partir de la diff´rence
e
a
e
entre la valeur de T1 mesur´e et celle donn´e par la colonne T1 du
e
e
T2
tableau
...
9
0
...
7
0
...
5
0
...
3
0
...
1
0

T2

T1
0

2

4

6

8

10

12

14

16

Fig
...
2: M´thode pour obtenir T1 et T2
e

n
1
2
3
4
5
6

T1
τ

T2
τ

T1
T2

0
0,28
0,8
1,42
2,10
2,81

1
2,72
3,7
4,46
5,12
5,70

0
0,1
0,22
0,32
0,41
0,49

Tab
...
1: Tableau pour estimer l’ordre, la constante de temps et le retard
du mod`le de Strejc
e

78

`
´
CHAPITRE 11
...
3 en trait plein
...

– La constante de temps τ est ´valu´e ` partir de T2 = 2, 72 au
e
e a
τ
tableau
...

– D’apr`s le tableau, T1 = 0, 28, ce qui donnerait une valeur de
e
τ
T1 = 0, 18
...
On peut en d´duire un
e
retard r = 0, 09
La m´thode identifie la r´ponse indicielle comme ´tant proche de celle
e
e
e
du syst`me suivant :
e
ˆ
T (p) =

5
...
5
4
3
...
5
reponse du systeme

2

point d’inflexion
tangente au pt d’inflexion

1
...
5
0

0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Fig
...
3: R´ponses du syst`me de d´part et du syst`me identifi´
e
e
e
e
e

La r´ponse de ce syst`me est trac´ dans la figure 11
...
On peut noter la grande ressemblance avec celle du syst`me de
e
e

11
...
IDENTIFICATION EN BOUCLE OUVERTE

79

d´part alors qu’on a identifi´ un deuxi`me ordre avec retard au lieu
e
e
e
d’un troisi`me ordre
...
2
...
Sa fonction de transfert est :
T (p) =

K
...
p
1 + τ
...
Les points communs C1 et C2 habituellement utilis´s correspondent respectivement a 28% et 40% de la
e
`
valeur finale
...
E0 = 0, 28 ⇒ t−r = 0, 328
τ
s(t)
– K
...

e
e
e e
Soient t1 et t2 les temps au bout desquels la r´ponse exp´rimentale ate
e
teint respectivement 28% et 40% de la valeur finale
...

Pour l’exemple pr´c´dent, la m´thode de Bro¨ donne le mod`le
e e
e
ıda
e
suivant :
5
...
4 donne les courbes de r´ponse du syst`me r´el et du
e
e
e
mod`le de Bro¨
e
ıda
...

e e

80

`
´
CHAPITRE 11
...
5
4
3
...
5
2
1
...
5
0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Time (sec)

Fig
...
4: Courbe r´elle approch´e par un mod`le de Bro¨
e
e
e
ıda

11
...
3

Processus int´grateur
e

Les syst`mes contenant un int´grateur ont une r´ponse indicielle
e
e
e
en rampe, en r´gime permanent
...
5)
...


25

20

15

10

5

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

Fig
...
5: Courbe r´elle approch´e par un int´grateur retard´
e
e
e
e

On identifie la r´ponse du syst`me r´el a la r´ponse d’un syst`me
e
e
e `
e
e
int´grateur pur avec retard c’est a dire avec la fonction de transfert
e
`

´
11
...
IDENTIFICATION EN BOUCLE FERMEE

81

suivante :

K
...
p
p
Les param`tres de ce syst`me sont donn´s par :
e
e
e
a
K=
r = t1
E0
T (p) =

o` E0 est l’amplitude de l’´chelon appliqu´ en entr´e
...
3

Identification en boucle ferm´e
e

Cette m´thode d’identification s’applique aux processus instables
e
en BO, d’ordre sup´rieur a 2 et s’appuie sur une ´tude fr´quentielle du
e
`
e
e
processus asservi
...
3
...
G(p)) est asservi
e
`
par une boucle de r´gulation munie d’un correcteur proportionnel de
e
gain Kr (voir figure 11
...

+

E(p)

Kr

S(p)

K
...
11
...
K
...
C’est ` dire que ce syst`me va osciller continˆment
e
a
e
u
tout seul
...
La pulsation de ces oscillations
de pompage ωo correspond ` la pulsation pour laquelle T (jωo ) = −1
...
K
...

e
e
K
...
p)n

⇒

T (jω) =

Kr
...
IDENTIFICATION DES SYSTEMES LINEAIRES

En BF, on cherche le pompage (obtenu pour Kr = Ko ) et on mesure
a partir de la p´riode des oscillations ω = ωo
...
K
2

n

1+ωo
...
arctan (ωo
...
La r´solution des ´quations donne l’ordre n par :
e
e
1
cos(π/n)

Ko
...
tan(π/n)
ωo

Mod`le de Bro¨
e
ıda

Le mod`le de Bro¨ est le suivant :
e
ıda
K
...
e−r
...
p

⇒

T (jω) =

Kr
...
e−jrω
1 + jωτ

Pour identifier ce mod`le, on doit d´terminer les param`tres K, τ et r
...
L’identification consiste `
e
a
r´soudre le syst`me
e
e
√Ko
...
τ 2

= 1

ϕ = −ωo
...
τ )=−π
Le gain statique K est d´termin´ par une r´ponse indicielle en BO ou
e
e
e
en BF
...
(Ko
...
K)2 − 1)
ωo



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