Search for notes by fellow students, in your own course and all over the country.
Browse our notes for titles which look like what you need, you can preview any of the notes via a sample of the contents. After you're happy these are the notes you're after simply pop them into your shopping cart.
Document Preview
Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above
اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ
-Iاﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ
1- ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ vو uﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و Aو Bو Cﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ u = ABو
...
C
اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ vو uﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء هﻮ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ AB ⋅ ACﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ u ⋅ v
ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ
ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻤﺪد إﻟﻰ اﻟﻔﻀﺎء
2- ﻧﺘﺎﺋﺞ
ﻟﺘﻜﻦ vو uﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و Aو Bو Cﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
ﺣﻴﺚ u = ABو
...
V
ﺗﻜﻮن vو uﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
0 = u ⋅v
ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 0 ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3V
ﺗﻤﺮﻳﻦ
اﻟﻤﻜﻌﺐ ABCDEFGHاﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ a
أﺣﺴﺐ AE
...
AGو AG
...
) (i ; j ;kأﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء 3V
ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) (i ; j ;kﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) (O ; i ; j ; kﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت iو jو k
ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ
...
م ) (O ; i ; j ; k
إذا آﺎﻧﺖ
)
u x; y; zو ) ' v ( x'; y'; zﻓﺎن
(
' u ⋅ v = xx '+ yy '+ zz
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) u( x; y; zﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
...
م ) (o;i ; j ;kﻓﺎن 2 u = x 2 + y 2 + z
*- اذا آﺎﻧﺖ ) A ( x A ; y A ; z Aو ) B ( xB ; yB ; z Bﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
...
MA = k
ﻟﺘﻜﻦ ) u ( a;b;cﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) A ( x A ; y A ; z Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
ﻧﻌﺘﺒﺮ ) M ( x; y; z
0 = u
...
⇔ ax + by + cz + d
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ ) u ( a;b;cﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ u
...
MA
-IIIﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
1- ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
أ- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ
ﻟﻴﻜﻦ )1 (Dو )2 (Dﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 uو 2 uﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
0 = 2 ( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u
ب- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ ) (Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 uو 2 uو ) (Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 3 u
3 u2 ⊥ uو
3 ( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u
2
ج- ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت
* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uاﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dاﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ) (Pﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )
...
) (O ; i ; j ; k
ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ)0 2 ;1-( Aو اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pاﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
)1;1−;1( uو )1;1;2(v
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
...
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ ) (Pو )' (Pﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و uو vﻣﺘﺠﻬﺘــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
) (P')⊥(Pاذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن u ⊥v
2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ
...
bﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ) (Pﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) u(a;b;cﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ax + by + cz + d
* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ax + by + cz + dﺣﻴﺚ ) 0;0;0 ( ≠ ) ( a; b ; cهﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ) (Pﻓﻲ
اﻟﻔﻀﺎء
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﺑﺤﻴﺚ ) u(a;b;cﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ
ﻧﻌﺘﺒﺮ
1-
2-
3-
4-
0=1+ x+y-2z
0=1+(P) : 2x-y+3z
(D):
0=2- x-y+z
ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ uﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) (Pوﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ
...
ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ' Aواﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )(D
ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( Aو اﻟﻤﻮازي ﻟـ )(P
3
3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى
1- ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ
اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
...
ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1( Aو )1-;1;3( Bو ) (Pاﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0= 2x-3y+2zو ) (Dاﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ
x = 3t
ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ
∈ x = − 2 − 3t t
z = 2 + 4t
1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) (Qاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aواﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )(D
ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´ (Qاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو Bواﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )(P
2- أﺣﺴﺐ )) d(A;(Pو ))d(A;(D
3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´ (Qاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Bو اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )(P
ﺗﻤﺮﻳﻦ2
ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
...
o;i ; j ;k
ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) S(Ω;rاﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ) Ω(a;b;cو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ r
2(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r
هﻲ
ﻣﻼﺣﻈﺎت و اﺻﻄﻼﺣﺎت
* إذا آﺎن Aو Bﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ ) S(Ω;rﺣﻴﺚ Ωﻣﻨﺘﺼﻒ ] [A;Bﻓﺎن ] [A;Bﻗﻄﺮا ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ
* ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻠﻜﺔ وﺣﻴﺪة أﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ ] [A;Bﻣﺮآﺰهﺎ Ωﻣﻨﺘﺼﻒ ] [A;Bو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ r =½ AB
* ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) S(Ω;rﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ 0= x²+y²+z² +αx+βy+γz+δﺣﻴﺚ αو βو γوδ
أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
...
E={Ωﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ Ωو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم
²a²+b²+c²-d = r
*- اذا آﺎن 0> a²+b²+c²-dﻓﺎن ) E=S(Ω;rﺣﻴﺚ
ﻣﺒﺮهﻨﺔ
aو bو cو dأﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(x;y;zاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0= x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+dﻓﻠﻜﺔ
إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن 0≥ a²+b²+c²-d
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ Eﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(x;y;zاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5+x²+y²+z²+4x-2y -6z
ﺑﻴﻦ إن Eﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة
ﺣﻴﺚ )1-;0;2( Aو )1-;1;1-(B
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 61=²2MA²+3MB
– IIﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮى و ﻓﻠﻜﺔ
ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) S(Ω;rو اﻟﻤﺴﺘﻮى )(P
1-
ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء Eﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ ) S(Ω;rو اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pو اﻟﻨﻘﻄﺔ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Ωﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )(P
ﻧﻀﻊ d ( Ω; ( P ) ) = HΩ = d
r
d
d=r
5
d≺r
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ ) (Pﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و Sﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ Ωو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ rو Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Ωﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى)(P
ﻳﻜﻮن ﺗﻘﺎﻃﻊ ) (Pو : S
* داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ Hو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ) ) r 2 − d 2 ( Ω; ( Pاذا آﺎن d(Ω;(P))< r
* ﻧﻘﻄﺔ اذا آﺎن d(Ω;(P))= rﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل ) (Pﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ Sﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ H
* اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ اذا آﺎن d(Ω;(P))>r
2- ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻤﺎس ﻟﻔﻠﻜﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ ﻧﻘﻄﻬﺎ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )S(Ω;r
ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ Sﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aاذا آﺎن ) (Pﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) (ΩAﻓﻲ A
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )S(Ω;r
) ∀M∈(P
0 = ΩA ⋅ AM
⇔
) (Pﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ ) S(Ω;rﻓﻲ A
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )
(
، O ; i ; j ; kﻧﻌﺘﺒﺮ1 Sاﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ
0=3- x²+y²+z²-4x+2y-2zو 2 Sاﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ 2 Ωو ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ 2 , و ) (Pاﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي
و )´ (Pاﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1-
...
2- أدرس ﺗﻘﺎﻃﻊ )´ (Pو 2
...
(P
ﺗﻤﺮﻳﻦ5
ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=1+x+y+z
و اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Qذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-2x-2y
و ) (Sﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(x;y;zاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ0=11+x²+y²+z²-2x+4y+6z
1- ﺑﻴﻦ أن ) (Sﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻣﺮآﺰهﺎ و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ
2- ﺗﺄآﺪ أن ) (Pﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ
3- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dاﻟﻤﺎر ﻣﻦ )2;1;0( Aو اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )(P
4- ﺗﺤﻘﻖ أن ) ( P ) ⊥ ( Qو أﻋﻂ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )´(Dﺗﻘﺎﻃﻊ ) (Pو)(Q
ﺗﻤﺮﻳﻦ6
ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )4;3;2-(A
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=51+ (S) x+2y-2zﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(x;y;zاﻟﺘﻴﺘﺤﻘﻖ
0=62- x²+y²+z²-2x+6y+10zو ) (Cاﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ
1-
2-
3-
4-
ﺑﻴﻦ أن ) (Sﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة
ﺑﻴﻦ أن ) (Pو ) (Sﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة آﺒﺮى )' (Cو ﺣﺪدهﺎ
ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻦ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) (Sو اﻟﻤﻮازﻳﻴﻦ ﻟـ )(P
أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ )' (Sاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aاﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )(C
7
0 = 8 − x2 + y 2 − 2 x
0= z
اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ
І־ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء
1- ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻔﻀﺎء Eإﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
) (O ; i ; j ; k
ﻟﺘﻜﻦ Iو Јو Kﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ OI = i
»
رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ )
(
OK = k
OJ = j
O ; i ; j ; kهﻮ رﺟﻞ ﺧﻴﺎﻟﻲ رأﺳﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ Kﻗﺪﻣﺎﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ Oو ﻳﻨﻈﺮ
إﻟﻰ I
,اﻟﻨﻘﻄﺔ Jإﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ» رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « أو ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎرﻩ
...
ﻟﺘﻜﻦ Iو Јو Kﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ OI = i
(O ; j ; i ; kﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ
)
(O ; j ; k ; iﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
)
(O ; i ; j ; − kﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ
ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 1
**
A; AB; AD ; AE
; B; BC ; BA; BF
)
) ( E ; EA ; EF ; EH
)
(
,
(
OJ = j
OK = k
) ( A ; AD ; AB ; AE
ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺒﺎﺷﺮان
ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﻳﻦ
2- اﻷﺳﺮة اﻟﻤﺒﺎﺷﺮة
ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء 3 , Vاذا وﺟﻬﻨﺎ ﺟﻤﻴﻊ أﺳﺎﺳﺎﺗﻪ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻧﻘﻮل إن اﻷﺳﺎس اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ( i ; j ; kﻣﺒﺎﺷﺮ ادا آﺎن
) ( o; i ; j ; kم
...
م ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )(P
)
ﻟﺪﻳﻨﺎ
(
)
(
O ; i ; j ; kﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء E
8
ﻳﻜﻮن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ )
اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) (O ; i ; j ; kﻣﺒﺎﺷﺮا
(
O ; i ; jﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) (Pﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮا اذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ
* ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮ ى ) (Pﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ
...
u ∧ v = o
* إذا آﺎﻧﺘﺎ uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ
u ∧ vهﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ :
* إذا آﺎﻧﺘﺎ uو vﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن
u ∧ vﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ uو v
) ( u ; v ; u ∧ vأﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ
...
ﻧﺤﺴﺐ u ∧ vﻋﻠﻤﺎ أن [ θ ∈ ]0;π
ﺗﻤﺮﻳﻦ
(u; v ) = θ
5− = u ⋅ v
2= v
5= u
2- ﺧﺎﺻﻴﺎت
أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ
إذا آﺎﻧﺖ Aو Bو Cﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﺎن اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ AB ∧ ACﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )
...
AC
...
أﺣﺴﺐ
( i + 2k ) ∧ j
i ∧3j
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻟﺘﻜﻦ ; a ∧ b = c ∧ d
( i + j − 2k ) ∧ k
) ( 2i − j ) ∧ ( 3i + 4 j
a∧c =b ∧d
ﺑﻴﻦ إن a − dو b − cﻣﺴﻨﻘﻴﻤﻴﺘﺎن
3- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻓﻲ م
...
u
π
2
(
AM ∧ u = HM ∧ u = HM
...
ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dهﻲ
AM ∧ u
u
= )) d ( M ; ( D
ﺗﻤﺮﻳﻦ
)1-;2;3(A
∈t
x = 2−t
( D ) : y = 2t
z = 1+ t
? = ) ) d ( A; ( D
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;2;1(Aو )3;1;2-( Bو ) (Dاﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي
0 = 3 − x − 2y + z
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ
0 = 1 − 2 x + 3 y − z
1- ﺣﺪد OA ∧ OBﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )(OAB
2- ﺣﺪد ))d(A;(D
3- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )(Sاﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ Aو ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )(D
11