Search for notes by fellow students, in your own course and all over the country.

Browse our notes for titles which look like what you need, you can preview any of the notes via a sample of the contents. After you're happy these are the notes you're after simply pop them into your shopping cart.

My Basket

You have nothing in your shopping cart yet.

Title: الجداء السلمي في الفضاء و تطبيقاته
Description: jamal el khalladi

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above


‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ‬
‫‪-I‬اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ‬
‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪
...
C‬‬
‫اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء هﻮ اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ‪ AB ⋅ AC‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ‪u ⋅ v‬‬

‫ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ‬
‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻤﺪد إﻟﻰ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫2- ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء، و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ u = AB‬و ‪
...
V‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ v‬و ‪ u‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫0 = ‪u ⋅v‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 0 ﻋﻤﻮدﻳﺔ ﻋﻠﻰ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء 3‪V‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫اﻟﻤﻜﻌﺐ ‪ ABCDEFGH‬اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪a‬‬
‫أﺣﺴﺐ ‪ AE
...
AG‬و ‪AG
...

‫) ‪ (i ; j ;k‬أﺳﺎ س ﻟﻠﻔﻀﺎء 3‪V‬‬

‫ﻳﻜﻮن اﻷﺳﺎس ) ‪ (i ; j ;k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ( إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ i‬و ‪ j‬و ‪k‬‬
‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ
...
م ) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ‬

‫)‬

‫‪u x; y; z‬و ) '‪ v ( x'; y'; z‬ﻓﺎن‬
‫(‬

‫' ‪u ⋅ v = xx '+ yy '+ zz‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎﻧﺖ ) ‪ u( x; y; z‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
...
م ) ‪ (o;i ; j ;k‬ﻓﺎن 2 ‪u = x 2 + y 2 + z‬‬
‫*- اذا آﺎﻧﺖ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
...
MA = k‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪M ( x; y; z‬‬

‫0 = ‪u
...
⇔ ax + by + cz + d‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a;b;c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎ ء ﺑﺤﻴﺚ ‪ u
...
MA‬‬
‫‪ -III‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫1- ﺗﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫أ- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )1‪ (D‬و )2‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤــﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫0 = 2 ‪( D1 ) ⊥ ( D 2 ) ⇔ u 1 ⋅ u‬‬

‫ب- ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ 1 ‪ u‬و 2 ‪ u‬و )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ 3 ‪u‬‬
‫3‪ u2 ⊥ u‬و‬

‫3 ‪( D ) ⊥ ( P ) ⇔ u1 ⊥ u‬‬
‫2‬

‫ج- ﻣﻼﺣﻈﺎت واﺻﻄﻼﺣﺎت‬
‫* اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪
...
) ‪(O ; i ; j ; k‬‬
‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)0 2 ;1-(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫)1;1−;1(‪ u‬و )1;1;2(‪v‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
...


‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬و )'‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘــﻴﻦ ﻣﻨﻈﻤﻴﺘﻴﻦ ﻟﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫) ‪ (P')⊥(P‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪u ⊥v‬‬

‫2- ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫‪
...
b‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺤﺪد ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫* آﻞ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ax + by + cz + d‬‬
‫* آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع 0 = ‪ ax + by + cz + d‬ﺣﻴﺚ ) 0;0;0 ( ≠ ) ‪ ( a; b ; c‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﻲ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪ u(a;b;c‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫1-‬
‫2-‬
‫3-‬
‫4-‬

‫0=1+‪ x+y-2z‬‬
‫0=1+‪(P) : 2x-y+3z‬‬
‫‪(D): ‬‬
‫0=2-‪ x-y+z‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (P‬وﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﻪ
...

‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( '‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(D‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ)3;0;2( ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪(P‬‬

‫3‬

‫3- ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬
‫1- ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ
...

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;1-;1(‪ A‬و )1-;1;3(‪ B‬و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ 2x-3y+2z‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬
‫‪ x = 3t‬‬
‫‪‬‬
‫ﺑﺎرا ﻣﺘﺮﻳﺎ ﺑـ‬
‫∈ ‪ x = − 2 − 3t t‬‬
‫‪ z = 2 + 4t‬‬
‫‪‬‬
‫1- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫2- أﺣﺴﺐ ))‪ d(A;(P‬و ))‪d(A;(D‬‬
‫3- ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )´´‪ (Q‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ2‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
...
o;i ; j ;k‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω(a;b;c‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r‬‬
‫2‪(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r‬‬
‫هﻲ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت و اﺻﻄﻼﺣﺎت‬
‫* إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬ﻓﺎن ]‪ [A;B‬ﻗﻄﺮا ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬
‫* ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻠﻜﺔ وﺣﻴﺪة أﺣﺪ أﻗﻄﺎرهﺎ ]‪ [A;B‬ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [A;B‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪r =½ AB‬‬
‫* ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ 0=‪ x²+y²+z² +αx+βy+γz+δ‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬و ‪ γ‬و‪δ‬‬
‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ
...
E={Ω‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم‬
‫²‪a²+b²+c²-d = r‬‬
‫*- اذا آﺎن 0> ‪ a²+b²+c²-d‬ﻓﺎن )‪ E=S(Ω;r‬ﺣﻴﺚ‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ‬
‫ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=‪ x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d‬ﻓﻠﻜﺔ‬
‫إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن 0≥ ‪a²+b²+c²-d‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5+‪x²+y²+z²+4x-2y -6z‬‬
‫ﺑﻴﻦ إن ‪ E‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﺣﻴﺚ )1-;0;2(‪ A‬و )1-;1;1-(‪B‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ 61=²‪2MA²+3MB‬‬
‫‪ – II‬ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺴﺘﻮى و ﻓﻠﻜﺔ‬
‫ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫1-‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ E‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪ S(Ω;r‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬
‫ﻧﻀﻊ ‪d ( Ω; ( P ) ) = HΩ = d‬‬
‫‪r‬‬

‫‪d‬‬

‫‪d=r‬‬

‫5‬

‫‪d≺r‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ r‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ Ω‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى)‪(P‬‬
‫ﻳﻜﻮن ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و ‪: S‬‬
‫* داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ H‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ) ) ‪ r 2 − d 2 ( Ω; ( P‬اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))< r‬‬

‫* ﻧﻘﻄﺔ اذا آﺎن ‪ d(Ω;(P))= r‬ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻧﻘﻮل )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬
‫* اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ اذا آﺎن ‪d(Ω;(P))>r‬‬
‫2- ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻤﺎس ﻟﻔﻠﻜﺔ ﻓﻲ أﺣﺪ ﻧﻘﻄﻬﺎ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬اذا آﺎن )‪ (P‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (ΩA‬ﻓﻲ ‪A‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻠﻜﺔ )‪S(Ω;r‬‬
‫) ‪∀M∈(P‬‬
‫0 = ‪ΩA ⋅ AM‬‬
‫⇔‬
‫)‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ )‪ S(Ω;r‬ﻓﻲ ‪A‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ )‬

‫(‬

‫‪ ، O ; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ1‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬

‫0=3-‪ x²+y²+z²-4x+2y-2z‬و 2‪ S‬اﻟﻔﻠﻜﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ 2‪ Ω‬و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ 2 , و )‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي‬
‫و )´‪ (P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 0=1-‪
...

‫2- أدرس ﺗﻘﺎﻃﻊ )´‪ (P‬و 2‪
...
(P‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ5‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=1+‪x+y+z‬‬
‫و اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (Q‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=5-‪2x-2y‬‬
‫و )‪ (S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ0=11+‪x²+y²+z²-2x+4y+6z‬‬
‫1- ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻣﺮآﺰهﺎ و ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬
‫2- ﺗﺄآﺪ أن )‪ (P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬
‫3- ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ )2;1;0(‪ A‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(P‬‬
‫4- ﺗﺤﻘﻖ أن ) ‪ ( P ) ⊥ ( Q‬و أﻋﻂ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )´‪(D‬ﺗﻘﺎﻃﻊ )‪ (P‬و)‪(Q‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ6‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )4;3;2-(‪A‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 0=51+‪ (S) x+2y-2z‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ )‪ M(x;y;z‬اﻟﺘﻴﺘﺤﻘﻖ‬
‫0=62-‪ x²+y²+z²-2x+6y+10z‬و )‪ (C‬اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ‬
‫1-‬
‫2-‬
‫3-‬

‫4-‬

‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫ﺑﻴﻦ أن )‪ (P‬و )‪ (S‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة آﺒﺮى )'‪ (C‬و ﺣﺪدهﺎ‬
‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻦ اﻟﻤﻤﺎﺳﻴﻦ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪ (S‬و اﻟﻤﻮازﻳﻴﻦ ﻟـ )‪(P‬‬
‫أآﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻔﻠﻜﺔ )'‪ (S‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﺪاﺋﺮة )‪(C‬‬

‫7‬

‫0 = 8 − ‪ x2 + y 2 − 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫0= ‪z‬‬

‫اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ‬
‫‪І‬־ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫1- ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻮﺟﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻔﻀﺎء ‪ E‬إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬

‫) ‪(O ; i ; j ; k‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬
‫»‬

‫رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ )‬

‫(‬

‫‪OK = k‬‬

‫‪OJ = j‬‬

‫‪ O ; i ; j ; k‬هﻮ رﺟﻞ ﺧﻴﺎﻟﻲ رأﺳﻪ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻗﺪﻣﺎﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬و ﻳﻨﻈﺮ‬

‫إﻟﻰ ‪I‬‬
‫,اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬إﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ» رﺟﻞ أﻣﺒﻴﺮ « أو ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎرﻩ
...
ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و‪ Ј‬و‪ K‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪OI = i‬‬

‫‪ (O ; j ; i ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪ (O ; j ; k ; i‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪ (O ; i ; j ; − k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 1‬
‫**‬
‫‪A; AB; AD ; AE‬‬
‫‪; B; BC ; BA; BF‬‬

‫)‬
‫) ‪( E ; EA ; EF ; EH‬‬

‫)‬

‫(‬

‫,‬

‫(‬

‫‪OJ = j‬‬

‫‪OK = k‬‬

‫) ‪( A ; AD ; AB ; AE‬‬

‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺒﺎﺷﺮان‬
‫ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺎﺷﺮﻳﻦ‬

‫2- اﻷﺳﺮة اﻟﻤﺒﺎﺷﺮة‬
‫ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻮﺟﻴﻪ اﻟﻔﻀﺎء 3‪ , V‬اذا وﺟﻬﻨﺎ ﺟﻤﻴﻊ أﺳﺎﺳﺎﺗﻪ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺳﺎس اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ( i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮ ادا آﺎن‬

‫) ‪ ( o; i ; j ; k‬م
...
م ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(P‬‬

‫)‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ O ; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪E‬‬
‫8‬

‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ )‬
‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪ (O ; i ; j ; k‬ﻣﺒﺎﺷﺮا‬

‫(‬

‫‪ O ; i ; j‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺒﺎﺷﺮا اذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬

‫* ﻳﺘﻢ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻣﺴﺘﻮ ى )‪ (P‬ﺑﺘﻮﺟﻴﻪ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻴﻪ
...
u ∧ v = o‬‬
‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬
‫‪ u ∧ v‬هﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ :‬
‫* إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن‬
‫‪ u ∧ v‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬
‫‬‫ ) ‪ ( u ; v ; u ∧ v‬أﺳﺎس ﻣﺒﺎﺷﺮ
...


‫ﻧﺤﺴﺐ ‪ u ∧ v‬ﻋﻠﻤﺎ أن [ ‪θ ∈ ]0;π‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪(u; v ) = θ‬‬

‫5− = ‪u ⋅ v‬‬

‫2= ‪v‬‬

‫5= ‪u‬‬

‫2- ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
‫أ- ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪A‬و‪ B‬و‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﺎن اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ AB ∧ AC‬ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪
...
AC
...


‫أﺣﺴﺐ‬

‫‪( i + 2k ) ∧ j‬‬

‫‪i ∧3j‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪; a ∧ b = c ∧ d‬‬

‫‪( i + j − 2k ) ∧ k‬‬

‫) ‪( 2i − j ) ∧ ( 3i + 4 j‬‬

‫‪a∧c =b ∧d‬‬

‫ﺑﻴﻦ إن ‪ a − d‬و ‪ b − c‬ﻣﺴﻨﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫3- اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻓﻲ م
...
u‬‬

‫‪π‬‬
‫2‬

‫(‬

‫‪AM ∧ u = HM ∧ u = HM
...

‫ﻣﺴﺎﻓﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬هﻲ‬

‫‪AM ∧ u‬‬
‫‪u‬‬

‫= )) ‪d ( M ; ( D‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫)1-;2;3(‪A‬‬

‫∈‪t‬‬

‫‪ x = 2−t‬‬
‫‪‬‬
‫‪( D ) :  y = 2t‬‬
‫‪ z = 1+ t‬‬
‫‪‬‬

‫? = ) ) ‪d ( A; ( D‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ﻧﻌﺘﺒﺮ )1;2;1(‪A‬و )3;1;2-(‪ B‬و )‪ (D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي‬
‫0 = 3 − ‪ x − 2y + z‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬
‫‪‬‬
‫0 = 1 − ‪2 x + 3 y − z‬‬
‫1- ﺣﺪد ‪ OA ∧ OB‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪(OAB‬‬
‫2- ﺣﺪد ))‪d(A;(D‬‬
‫3- أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )‪(S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A‬و ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪(D‬‬

‫11‬


Title: الجداء السلمي في الفضاء و تطبيقاته
Description: jamal el khalladi