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Université M’
Hamed Bougara-Boumerdes
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Licence RO / S5
Année universitaire: 2015/2016
Matière: Formes quadratiques
1
...
On appelle réduction en carrés de Q
toute décomposition de la forme :
Q (X) =
2
1 l1
+
2
2 l2
2
n ln ;
+ :::: +
8i 2 f1; 2; :::; ng ;
i
2R
Où l1 ; l2 ; ::::; ln ; sont des formes linéaires sur E linéairement indépendantes et de plus :
X
X
aii x2 + 2
aij xi xj
8X = (x1 ; :::; xn ) 2 Rn ; Q (X) = Q (x1 ; :::; xn ) =
i
1 i n
1 i
Méthode de Gauss
Soit
Q (X) = Q (x1 ; :::; xn ) =
X
aii x2 + 2
i
1 i n
X
aij xi xj
1 i
une forme qudratique de Rn :
Première étape :
On commence par traiter les termes carrés
...
La forme quadratique s’
écrit alors :
Q (X) = ax2 + x1 B (x2 ; :::; xn ) + C (x2 ; :::; xn )
1
2
=
B (x2 ; :::; xn )2
B (x2 ; :::; xn )
+ C (x2 ; :::; xn )
a x1 +
2a
4a
par la f orme canonique d0un trin^me ax2 + bx + c = a x +
o
b 2
2a
b2 4ac
4a
On garde le premier terme carré et on itère la méthode sur les deux derniers termes qui ne sont composés que
des variables x2 ; :::; xn
...
Si non,
il
on passe à la suivante
...
1
Seconde étape :
lorsqu’ n’
il existe plus de térmes carrés, on considère les plus petits i; j pour lesquel aij 6= 0
...
La forme quadratique s’
écrit :
Q (X) = ax1 x2 + x1 B (x3 ; :::; xn ) + x2 C (x3 ; :::; xn ) + C (x3 ; :::; xn )
=
a x1 +
C (x3 ; :::; xn )
a
x2 +
B (x3 ; :::; xn )
a
B (x3 ; :::; xn ) C (x3 ; :::; xn )
+ D (x3 ; :::; xn )
a
On fait apparaitre deux termes carrés à partir du premiers terme en utilisant la formule générale :
AB =
1
(A + B)2
4
(A
B)2
Ceci donne :
a
4
Q (x1 ; :::; xn ) =
B (x3 ; :::; xn ) + C (x3 ; :::; xn )
a
a
B (x3 ; :::; xn ) C (x3 ; :::; xn )
x1 x2 +
4
a
B (x3 ; :::; xn ) C (x3 ; :::; xn )
+ D (x3 ; :::; xn )
a
2
x1 + x2 +
2
On itère la méthode avec les deux derniers termes qui présentent que des variables x3 ; :::; xn :
Exemple 2 (1 suite)
Q (x1 ; x2 ; x3 ) =
(x1
x2 )2 + 2x2 x3 = (x1
x2 )2 + 2x2 x3
=
(x1
x2 )2 +
2
(x2 + x3 )2
4
2
(x2
4
x3 )2
=
(x1
x2 )2 +
1
(x2 + x3 )2
2
1
(x2
2
x3 )2
Bases orthogonales
Soit Q (X) une forme quadratique dé…nie sur un espace vectoriel E Puisque la forme polaire associée à la forme
quadratique est symétrique alors Q possède au moins une base orthogonale B
...
Q est non dégénérée , n = p + q:
3
2
...
Q est dé…nie positive , p = n
Exercice 4
Soit la forme quadratique dé…nie sur R3 :
Q (x1 ; x2 ; x3 ) = x2 + 6x2 + 16x2
1
2
3
4x1 x2 + 6x1 x3
16x1 x3
4
...
Déterminer une base Q
orthogonale:
6
...
La forme Q est-elle dégénérée ?
Solution :
x2 + 6x2 + 16x2
1
2
3
Q (x1 ; x2 ; x3 ) =
= (x2
1
(x1 + (3x3
16x2 x3
2x2 )] + 6x2 + 16x2
2
3
2x2 ))2
= (x1
2x2 + 3x3 )2
2x2 + 3x3 )2 + 2x2 + 7x2
3
2
9x2 + 12x2 x3
3
=
(x1
2x2 + 3x3 )2 + (2x2
2
=
(x1
2x2 + 3x3 )2 + 2 (x2
=
(x1
2x2 + 3x3 )2 + 2 (x2
16x2 x3
2x2 )2 + 6x2 + 16x2
3
2
(3x3
= (x1
1
...
Pour déterminer une base Q orthogonale, on pose
8
8
< X = x1 2x2 + 3x3
< x1 = X + 2Y
Y = x2 x3
x2 = Y + Z
)
:
:
Z = x3
x3 = Z
0
16x2 x3
Z
orthogonale est dé…nie par sa matrice de passage P de la base B = fe1 ; e2 ; e3 g à la base
0
3
...
5