Search for notes by fellow students, in your own course and all over the country.
Browse our notes for titles which look like what you need, you can preview any of the notes via a sample of the contents. After you're happy these are the notes you're after simply pop them into your shopping cart.
Document Preview
Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above
Université Ibn Tofail
Faculté des Sciences
Département de
Physique
Kénitra
Filière : Sciences Mathématiques Appliquées
Module : Physique 6
Semestre 4
Auteur :
Pr
...
Arriver à la séance du cours en ayant compris le contenu du précédent
...
2 - Comment travailler les T
...
D
...
Passer au tableau, chaque fois que l’occasion se présente
...
3 – Pour mieux préparer les examens écrits, il est vivement conseillé de :
Résoudre ou essayer de résoudre les problèmes des examens des années
précédentes pour apprécier la difficulté
...
Pr : M
...
II – 1 Définition
II – 2 composantes d’un torseur
II – 3 Equiprojectivité du champ de moments d’un torseur – Invariant scalaire d’un
torseur
II – 4 Invariant vectoriel d’un torseur
II – 5 Axe central d’un torseur
II – 6 Opérations sur les torseurs
II – 7 Torseurs particuliers
II – 8 Décomposition d’un Torseur
II – 9 Exemples de torseurs
Champs de vecteurs et torseurs
Pr : M
...
I – 1 Définition
...
H:
P
E
H (P)
est l’espace affine (espace des points) de dimension 3
...
Ce champ de vecteurs H est uniforme si : H (P) H (Po ) quelque soit le point P
...
£ (v ) v
...
d
...
£ ( v ) v
...
Définition 3 : Un champ de vecteurs H équiprojectif est un champ de vecteurs affine tel que : Pour
PQ H(P) PQ H(Q)
C
...
Les projections orthogonales des vecteurs H(P) et H(Q) sur la droite (PQ) sont égales et de
tout couple de points (P, Q) on a :
même sens
...
AHD
Page 2
Propriété :
Un champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement (vice versa)
...
Soit H un champ de vecteur antisymétrique c
...
H (Q) H (P) £ (PQ ) et
l’application
£
est antisymétrique
...
[ H(Q) H (P)] PQ
...
£ (PQ ) 0 Car l’application L est
antisymétrique
...
H (Q) PQ
...
Soit H un champ de vecteur équiprojectif c
...
H champ de vecteur affine et pour tout
couple de points (P, Q) on a : PQ
...
H (P) PQ
...
Soit O un point quelconque
OQ OP
...
H(Q) - H(O)
OQ OP
...
[ H(P) H(O) ] 0 et OQ
...
[ H(P) - H(O) ] - OP
...
£ ( OP) - OP
...
£ ( OP) OP
...
I - 3 Champ de vecteurs antisymétrique dans R3
...
d
...
A tout champ de vecteurs antisymétrique ou équiprojectif H de l’espace vectoriel de dimension 3,
correspond un vecteur R et un seul appelé vecteur du champ antisymétrique H tel que, Pour tout
Champs de vecteurs et torseurs
Pr : M
...
£ ( PQ) R Λ PQ c
...
V E , £ ( V ) R Λ V
Démonstration :
Dans la base ( i , j , k ) orthonormée directe, la représentation analytique de l’application linéaire
antisymétrique £ est une matrice carrée
...
On a :
12
11
£ ( i ) L i 21 22
31 32
13 1
23 0 11 i 21 j 31 k
33 0
De même
12
11
£ ( j ) L j 21 22
31 32
13 0
23 1 12 i 22 j 32 k
33 0
12
11
£ ( k ) L k 21 22
31 32
13 0
23 0 13 i 23 j 33 k
33 1
Pour le couple de vecteurs
( i , i ) on a :
i
...
£ ( i ) Car l’application Linéaire £ est antisymétrique 11 - 11 11 0
De même pour les couples ( j , j ) et ( k , k ) , on obtient
Pour le couple ( i , j ) on a : i
...
Pour le couple ( k , i ) on a : k
...
£ ( j ) - j
...
£ ( j ) 23 - 32
£ ( i ) - i
...
AHD
Page 4
0
Donc la matrice L s’écrit : L 12
13
13
23 elle est antisymétrique
...
0
£ (V) L V 12
13
i
Et R V r1
v1
13
23
0
12
0
23
j
r2
v2
k
r3
v3
12 v 2 13 v 3
v1
v 2 - 12 v1 23 v 3
v
- 13 v1 23 v 2
3
r2 v 3 - r3 v 2
r3 v1 - r1 v 3
r1 v 2 - r2 v1
r1 32
Comme £ ( V ) R Λ V quelque soit le vecteur V alors r2 13
r
21
3
D’où l’existence et l’unicité du vecteur de champ R
...
II – 1
...
On le note T P
R , M (P)
ou T
P
R
...
(Ils sont
appelés aussi coordonnées vectorielles du torseur en P)
...
M(P) le moment du torseur T au point P (ou champ de moments)
La connaissance du vecteur R et du champ de vecteur s M en un point Q détermine entièrement le
champ M en tout point P par la relation fondamentale du champ de moment :
M (P) M (Q) R Λ QP
Champs de vecteurs et torseurs
Pr : M
...
Dans un repère R (O, i , j , k ) d’origine O, orthonormé direct, les composantes des vecteurs R et
M(O) sont les six composantes du torseur [T]
...
On a M (P) M (Q) R Λ QP
On établit : QP M (P) QP M(Q)
Autrement dit, le champ de moments d’un torseur [ T] est équiprojectif
...
I R M (P)
II – 4 Invariant vectoriel d’un torseur
...
Soient P et Q deux points de l’axe (), on a : M (P) M (Q) R Λ QP
M (P)
...
u Δ ( R Λ QP )
...
u 0 car (R QP ) u
M (P)
...
u Δ
Ceci traduit l’equiprojectivité du champ de vecteurs M
...
AHD
Page 6
La quantité M (P)
...
u Δ qui est le moment du
torseur [T] par rapport à l’axe ()
Le vecteur M (A)
...
On appelle invariant vectoriel absolu le vecteur J
II – 5 Axe central d’un torseur
...
M (A)
...
d
...
Δ P ξ / M(P) λ R , λ Δ P ξ / R Λ M (P) 0
II – 6 Opérations sur les torseurs
L’ensemble des torseurs définis sur un espace (D), forme un espace vectoriel de dimension 6
...
T1 T2
R1 R 2
P tel que
M1 (P) M 2 (P)
Propriété :
Deux torseurs T1 et T2 sont égaux si, et seulement si, il existe trois points non alignés P1, P2 et P3
en lesquels leurs moments sont égaux
...
T T1 T2
Champs de vecteurs et torseurs
T R R1 R 2 ,
Pr : M
...
Il est noté T 0 , 0
...
On appelle produit scalaire de deux torseurs T1 et T2 (appelé aussi comoment de deux torseurs
T1 et T2 ) le scalaire noté : T1
...
M 2 (P) R 2
...
T2 est indépendant du point P choisi
...
On a M1 (P) M1 (Q) R 1 Λ QP et M 2 (P) M 2 (Q) R 2 Λ QP
T1
...
M 2 (P) R 2
...
M 2 (Q) R 2 QP R 2
...
M 2 (Q) R 2
...
( R 2 Λ QP ) R 2
...
T2 R 1
...
M1 (Q)
Car R1
...
( R1 QP) 0
Remarque :
On peut écrire :
T1 R1 , M1 (P) T1 X1 , Y1 , Z1 , L1 , M1 , N1
Et T2 R 2 , M 2 (P) T2 X 2 , Y2 , Z 2 , L 2 , M 2 , N 2
D’où T1
...
AHD
Page 8
II – 7 Torseurs particuliers
a) Glisseur
Par définition un torseur [T] de résultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant
scalaire est nul
...
Dans ce cas, on a : P , M (P) R AP
L’ensemble le plus simple associé à ce torseur est constitué d’un vecteur unique qui passe par Le
point A et dont le support est parallèle à R
...
Axe du glisseur Δ P ξ/ M(P) 0
b) Torseur-couple
Un torseur [T] non nul est un torseur-couple si et seulement si, sa résultante est nulle
...
i) Sa résultante générale R 0
ii) Son moment M est uniforme
Champs de vecteurs et torseurs
Pr : M
...
C) Torseur quelconque
Un torseur [T] est quelconque si et seulement si, son invariant scalaire n’est pas nul
...
T A R , M(A) de coordonnées au point A, comme la
On peut toujours décomposer un torseur
somme d’un glisseur et d’un couple
...
Cette décomposition est
unique
...
Définition :
Soit (A, W ) un vecteur lié de sommet A et de vecteur W et soit M A le champ antisymétrique
associé à ce vecteur lié
...
Plus exactement le torseur TA W , M A (P) est un glisseur
...
AHD
Page 10
b) Torseur associé à un ensemble fini de vecteurs liés
Par définition, le torseur associé à un ensemble de N vecteurs liés (A i , Wi ) où i = 1, 2 , …
...
Le moment de ce torseur au point P est : M (P)
N
i 1
Et sa résultante générale est R
N
W A P
i
i
W
i 1
i
Si on prend un autre point O, on a
N
N
N
M (P) Wi (A i O OP) Wi A i O Wi OP M(O) R OP
i 1
i 1
i 1
En particulier, si R 0 , il vient M (P) M (O)
...
Champs de vecteurs et torseurs
Pr : M
...
d
...
II – 1 Contact ponctuel
...
II – 3 Exercice d’application
Cinématique du solide
Pr : M
...
C
...
la distance entre deux points du
solide reste invariable au cours du temps
...
d
...
I – 2 Degré de liberté (d
...
l) d’un solide
Le solide S sera étudié par rapport à un repère fixe R o ( O, xo
, yo , zo )
...
d
...
Suivre le
solide S dans son mouvement par rapport à un repère RO est donc équivalent à l’étude du mouvement
du repère RS par rapport à RO
...
d
...
AHD
Page 13
Les trois Coordonnées (x, y, z) d’un point lié au solide S dans RO (ce point est généralement
confondu avec le centre de gravité G)
...
On dit que dans le mouvement le plus général, un solide
possède six degré de liberté (n
...
d
...
l = 6)
...
La norme du vecteur AP reste constante au cours du temps
2
c
...
( AP) cte
...
d OP - OA R 0
( AP) 2 0 AP
...
V(P/R o ) - V(A/R o ) 0 AP
...
V(A/R o )
Donc
Cette relation montre que le champ des vecteurs vitesses est équiprojectif donc antisymétrique
...
Ω(S/R o ) est le vecteur du champ des vitesses du solide
...
(il dépend du
mouvement du solide)
...
Le champ des vecteurs vitesses d’un solide S définit un torseur que l’on appelle torseur cinématique
ou torseur vitesse noté TV
Ω (S/R o ) , V (A S/R o )
...
Ω(S/R o ) est la résultante générale du torseur [Tv] et V(A S/R o ) son moment au point A
...
Cinématique du solide
Pr : M
...
I – 5 Mouvements particuliers
a) Mouvement de translation d’un solide S par rapport au repère Ro
Si le vecteur rotation instantanée du solide est nul, Ω(S/R o ) 0 , Le torseur cinématique [TV] se
réduit à un torseur-couple [C] et le mouvement du solide S par rapport au repère Ro est un mouvement
de translation
...
d
...
Le mouvement de translation est rectiligne si la vitesse W garde une direction fixe et il est
rectiligne uniforme si la vitesse W cte (module constant et direction fixe)
...
b) Mouvement de rotation d’un solide S autour d’un axe (fixe) passant par l’un de ses
points
Si la vitesse V(A/R o ) 0 , Le torseur cinématique [TV] se réduit à un glisseur [G] et le mouvement du
solide, par rapport au repère Ro , est un mouvement de rotation autour de l’axe
A, Ω(S/R o ) ] qui
est l’axe du glisseur [G]
...
AHD
Page 15
Remarque :
L’invariant scalaire I Ω (S/R o )
...
V(P S/R o ) V(A S/R o ) Ω (S/R o ) Λ AP C
...
décomposition en un couple et un glisseur
colinéaires
...
Le calcul direct
de cette dérivée nécessite la connaissance des composantes du vecteur V dans la base ( x o , y o , z o )
associé au repère RO
...
On a alors :
dV
dV
Ω (R 1 /R o ) Λ V
dt
R O dt R I
Relation de Bour
Où Ω(R 1 /R o ) est le vecteur vitesse de rotation instantanée du repère R1 par rapport au repère Ro
...
d
...
AHD
Page 16
dx1
dy1
dz1
Ω (R 1/R o ) Λ x1 ;
Ω (R 1/R o ) Λ y1 et
Ω (R 1/R o ) Λ z1
dt
dt
dt
R O
R O
R O
Il vient
dV
x x1 y y1 z z1 x Ω (R 1/R o ) Λ x1 y Ω(R1/R o ) Λ y1 z Ω(R1/R o ) Λ z1
dt
R
o
dV
x x1 y y1 z z1 Ω (R1/R o ) Λ x x1 y y1 z z1
dt
R
o
dV
dV
Ω (R 1/ R o ) ΛV
dt
dt
R
R
o
1
Remarques :
Si le repère R1 est en mouvement de translation par rapport au repère Ro alors :
dV
dV
Ω (R 1/R o ) 0 et
dt dt
R
R I
o
Si le vecteur V est fixe par rapport au repère R1, alors :
dV
dV
0 et
Ω (R 1 /R o ) Λ V
dt
dt
RI
RO
dV
Les vecteurs V et
dt sont orthogonaux
...
Ω (R 2 /R o ) et Ω (R 2 /R 1 ) sont les vecteurs rotation instantanées du repère R2 par rapport
aux repères Ro et R1 respectivement
...
AHD
Page 17
d AB
dt R O
d AB
dt
R1
Ω (R 2 /R o ) Λ AB
Ω (R 2 /R 1 ) Λ AB
d AB
Ω (R 1 /R o ) Λ AB
dt
R O dt R I
Ω (R 2 /R o ) Λ AB Ω (R 2 /R 1 ) Λ AB Ω (R 1 /R o ) Λ AB
d AB
Comme
Ω (R 2 /R o ) Ω (R 2 /R 1 ) Ω (R 1 /R o )
Ce résultat peut être généralisé à N repères
...
Le référentiel R1 est en mouvement quelconque par rapport au référentiel Ro
...
D’après la relation de Chasles : OP OO1 O1P
En dérivant par rapport au temps dans le référentiel R o ( O, x o , y o , z o ) , on obtient
Cinématique du solide
Pr : M
...
La
vitesse d’entraînement s’écrit aussi V
e/R o
V(P R 1 /R o ) appelée aussi vitesse du point
coïncidant c
...
la vitesse du point P, considéré fixe dans le référentiel R1, par rapport au référentiel
Ro
...
AHD
R
o
Page 19
Comme
d
d
V(P/R 1 ) V(P/R 1 ) Ω (R 1/R o ) Λ V(P/R 1 ) (formule de Bour)
dt
R O dt
RI
d
V(P/R 1 ) γ((P/R 1 ) Ω (R 1/R o ) Λ V(P/R 1 )
dt
RO
d
d
V
V(O1/R o ) Ω (R 1/R o ) ΛO1P
e/R o
dt
dt
Ro
RO
dO P
d
d
V(O1/R o ) Ω (R 1 /R o ) ΛO1P Ω (R 1/R o ) Λ 1
dt
dt
R O dt
R o
R
o
dO P
dO P
Or 1 1 Ω (R 1/R o ) Λ O1P V(P/R 1 ) Ω (R 1 /R o ) Λ O1P
dt
R O dt R I
d
d
V
γ(O1 /R o ) Ω (R 1 /R o ) Λ O1P
dt e/R o R O
dt
RO
Ω (R 1/R o ) Λ V(P/R 1 ) Ω (R 1/R o ) ΛO1P
d
d
V
γ(O1 /R o ) Ω (R 1 /R o ) Λ O1P Ω (R 1/R o ) ΛV(P/R 1 )
dt e/R o R O
dt
RO
Ω (R 1 /R o ) Λ Ω (R 1 /R o ) ΛO1P
d
D' où γ(P/R o ) γ(P/R 1 ) 2Ω (R 1/R o ) ΛV(P/R 1 ) γ(O1/R o ) Ω (R 1 /R o ) Λ O1P
dt
RO
Ω (R 1 /R o ) Λ Ω (R 1 /R o ) ΛO1P
On en déduit la loi de composition des accélérations :
γ (P/R o ) γ (P/R 1 ) γ C γ
e/R o
Avec
d
: Accélération absolue du point P
...
dt
R1
* γ C 2 Ω (R 1 /R o ) Λ V(P/R 1 ) : Accélération de Coriolis ou accélération complémentaire
...
AHD
Page 20
Cette accélération disparaît si Ω (R 1/R o ) 0 c
...
si R1 est en mouvement de translation par rapport
à Ro ou si la vitesse V(P/R 1 ) 0 c
...
si le point P est en équilibre dans R1 (équilibre relatif)
...
γ
Accélération
γ
d
γ (O1/R o ) Ω (R 1 /R o ) Λ O1P Ω (R 1/R o ) Λ Ω (R 1 /R o ) ΛO1P :
e/R o
dt
RO
e/R o
d’entraînement
...
d
...
Remarque : On vérifie que :
1
d
γ e/R Ve/R - γ C
o
o R
2
dt
o
1
d
γ (P/R 1 ) V(P/R 1 ) - γ C
dt
R 2
o
I – 7 Angles d’Euler
On définit trois paramètres angulaires, appelés angles d’Euler, pour une rotation d’un solide (S)
autour d’un point fixe O
...
On veut étudier le mouvement du solide (S) par rapport au repère R o ( O, x o , y o , z o )
...
C
...
lorsqu’on tourne le solide (S) autour du point O pour
l’amener à une position quelconque
...
Représentation spatiale :
La rotation d’Euler peut être représentée directement dans l’espace faisant apparaître les trois angles
en même temps
...
est amené à un repère intermédiaire R 1 ( O, u , v , z o )
...
Cinématique du solide
Pr : M
...
Cette
R 1 ( O, u , v , z o ) au repère R 2 ( O, u , w , z)
...
Le vecteur rotation instantanée correspondant est Ω (R 2 /R 1 )
La rotation propre :
Enfin, on fait tourner le repère
R 2 ( O, u , w , z)
dθ
zo
dt
( O, z ) pour l’amener en
( u , x)
...
Cette rotation est d’angle
appelé angle de rotation propre
...
AHD
Page 22
Le vecteur rotation instantanée correspondant est Ω (R S /R 2 )
d
z
dt
Conclusion : Expression de Ω (S/R o ) Ω (R S /R o )
Le vecteur rotation instantanée du solide S par rapport au repère fixe R o ( O, x o , y o , z o ) est :
Ω (S/R o ) Ω (R S /R o ) Ω (R S /R 2 ) Ω (R 2 /R 1 ) Ω (R 1 /R o )
dφ dθ dψ
Ω (S/R o )
z
u
zo
dt
dt
dt
Remarque :
Le vecteur rotation instantanée
( S / Ro )
du solide S par rapport au repère Ro , peut être exprimé
dans n‘importe quelle base
...
En effet , c’est dans cette base que son
( O, z) est souvent axe de symétrie de révolution du solide S
...
AHD
Page 23
dθ dψ
d dψ
Ω(S/Ro )
u
sin θ w
cos θ z
dt
dt
dt
dt
qui s'écrit Ω (S/Ro ) θ u sin θ w ψ cos θ z
C
...
Ω (S/Ro )
(u , w, z )
θ
sin θ
cos θ
II - Cinématique des solides en contact
II – 1 Contact ponctuel
...
Remarque :
Au point de contact, il faut distinguer les trois points confondus suivants :
i) Le point géométrique du contact I c
...
le temps t , S1 S2 I
...
iii) Le point matériel I2 du solide S2 et qui coïncide avec I à l’instant considéré
...
Cinématique du solide
Pr : M
...
V(I S1/S2 )
...
Expression explicite de la vitesse de glissement V(I S1/S2 ) :
Si A est un point du solide S1 dont on connait la vitesse
...
AHD
Page 25
V (I S1/S2 ) V (A S1/S 2 ) Ω (S1/S 2 ) Λ AI
c) Mouvement sans glissement :
Si la vitesse de glissement V(I S1/S2 ) 0 quelque soit le temps t, alors on dit que le
mouvement du solide S1 par rapport au solide S2 se fait sans glissement
...
d) Remarques utiles :
En pratique, il faut éviter de calculer la vitesse de glissement Vg (S1 /S2 ) à l’aide de la
relation () : Vg (S1/S 2 ) V(I S1 /S 2 ) V(I/S 2 ) - V(I/S1 )
...
Si on connait la vitesse
d’un point A lié au solide S1 par rapport au solide S2, on écrit :
Vg (S1/S 2 ) V (I S1/S 2 ) V (A S1/S 2 ) Ω (S1/S2 ) Λ AI
D’après la formule de distribution du champ des vitesses
...
d
V (I S1/S2 )
dt
L’accélération au point de contact I : γ (I S1/S 2 )
Car c’est une accélération d’entraînement
...
II - 2 – 2 Les vecteurs rotations instantanées de roulement et de pivotement
Le vecteur rotation instantanée ( S1 / S 2 ) se décompose en un vecteur rotation porté par le plan
tangent (), noté Ω t (S1 /S2 ) et appelé vecteur rotation instantanée de roulement, et en un vecteur
rotation perpendiculaire au plan tangent (), noté Ω n (S1 /S 2 ) et appelé vecteur rotation instantanée
de pivotement
...
AHD
Page 26
Le vecteur rotation instantanée s’écrit alors :
Ω (S1 /S 2 ) Ω t (S1 /S2 ) Ω n (S1 /S 2 )
C
...
la rotation est une composition d’un roulement de vitesse Ω t (S1 /S2 ) et d’un pivotement de
vitesse Ω n (S1 /S 2 )
...
Ces conditions agissent comme
contraintes sur les six degrés de libertés ( x G , y G , z G , ψ, θ, ) du solide
...
AHD
Page 27
Chapitre III
Cinétique du solide
I – Répartition des masses
...
VI – 3 Détermination du moment cinétique d’un solide (S) en un point solide (S)
...
VII – Le torseur dynamique
VII – 1 Définition
VII – 2 Relation entre moment dynamique et moment cinétique d’un solide
...
AHD
Page 28
Pour comprendre l’origine du mouvement d’un système, il faut préalablement s’intéresser à
des grandeurs physiques qui caractérisent le mouvement du système dans son ensemble
...
Il est donc nécessaire d’introduire des concepts qui associent mouvement des
solides et masse des solides
...
L’introduction de la masse dans la cinématique avec les vitesses et les accélérations permet de
calculer respectivement le torseur cinétique et le torseur dynamique
...
I – Répartition des masses
...
Dans le cadre de la
mécanique newtonienne, la masse se conserve dans le temps et elle possède la propriété d’additivité
...
A chaque point P du système (D),
on associe une fonction scalaire (P), appelé masse spécifique ou densité, et définie de la
façon suivante :
Etant donné une mesure élémentaire d (entourant le point P) de la répartition D, de masse
dm
hypothèse mécanique des milieux continus
...
AHD
Page 29
i-
S i l a répartition des masses est v o l u m i q u e ( D = V , v o l u m e )
...
S i l a répartition des masses est s u r f a c i q u e ( D = S , s u r f a c e r é g u l i è r e )
...
S
S
S i l a répartition des masses est l i n é i q u e ( D = L , c o u r b e r é g u l i è r e )
...
c) Cas particulier important
...
Pour la répartition volumique : La masse totale M = V
Pour la répartition surfacique : La masse totale M = S
Pour la répartition linéique : La masse totale M = L
I – 2 Centre d’inertie (centre de masse) d’un système matériel
...
PN portant respectivement les
masses m1, m2,……
...
i 1
i
i
Où G est le barycentre des points Pi affectés des coefficients mi
...
AHD
Page 30
b) Système continu (cas d’un solide)
Définition :
On appelle centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système matériel continu (D), le point G
défini par la relation vectorielle :
GP dm (P) 0
D
Ce qui traduit point d’équi-répartition des masses
...
dm (P) est la masse de la mesure élémentaire d de (D) contenant le point P
...
1
OP ρ (P) dμ
...
AHD
Page 31
Répartition linéique : OG
1
L
L OP d
d) Remarques
Le centre d’inertie possède la propriété d’associativité : le centre d’inertie d’un système S
constitué de deux solides S1 et S2 (S= S1US2) de masse m1 et m2 et de centres d’inertie G1 et
G2 est défini par :
OG
m1 OG1 m 2 OG 2
m1 m 2
Un système (S ) possède un élément de symétrie matérielle (point, droite, plan)
si la distribution de masse en tout point P est gale à celle en P’ point symétrique de
P par rapport à cet élément de symétrie
...
Si un système matériel possède des éléments de symétrie matérielle, son
centre d’inertie est nécessairement situé sur ces éléments de symétrie
...
Exemple la boule B(O,R)
...
Exemple : demi- boule et cône (l’axe Oz est axe de
symétrie de révolution)
...
Exemple : S = (boule U cône)
...
par symétrie, xG yG 0
...
AHD
Page 32
zG
ρ dτ
ρ z dτ
dτ
z dτ
h
z π r dz
π r dz
2
0
h
2
0
On a : r z tg
Donc
zG
h
0
h
0
z 3 dz
z 2 dz
3
3
h c
...
OG h z
4
4
II – Matrice d’inertie
Soit R o ( O, xo , yo , zo ) un repère orthonormé fixe par rapport auquel on se propose d’exprimer
les éléments cinétiques du solide S ayant le point fixe O
...
C) B - (A
...
Ω(S/R ) OP dm
o
Soient x, y, et z les composantes du vecteur OP dans un système d’axe (pas forcément lié à
Ro)
...
x
p
OP y et Ω (S/R o ) q
z
r
Calculons les composantes du moment cinétique (Lox , Loy et Loz ) dans ce même système d’axe
...
AHD
Page 33
Lox x 2 y 2 z 2 p dm xp yq zr x dm
Soit Lox
( y
2
x y dm q - x z dm r
z 2 ) dm p -
Composante Loy
Loy x 2 y 2 z 2 q dm xp yq zr y dm
Soit Loy -
x y dm p x
2
y z dm r
z 2 dm q -
Composante Loz
Loz x 2 y 2 z 2 r dm
Soit Loz -
xp yq zr z dm
x z dm p - y z dm q x
On pose :
x
x
2
y 2 dm r
dm
dm
I xx y 2 z 2 dm
I yy
I zz
2
z2
2
y2
I xy x y dm
I yz y z dm
I xz x z dm
On obtient :
Lox I xx p - I xy q - I xz r
Loy I xy p - I yy q - I yz r
Loz I xz p - I yz q I zz r
Sous forme matricielle, on peut écrire :
Cinétique du solide
Lo (S/Ro ) II o (S) Ω (S/Ro )
Pr : M
...
Où la matrice
I xx
II o (S) -I xy
-I
xz
-I xy
I yy
-I yz
-I xz
-I yz
I zz
appelée matrice d’inertie (ou tenseur d’inertie)
...
AHD
Page 35
NB
...
Remarques importantes :
Les moments d’inertie sont toujours positifs et les produits d’inertie peuvent être positifs,
négatifs ou nuls
...
Elles sont indépendantes du temps dans un
repère lié au solide
...
La matrice IIG(S) est appelée matrice principale d’inertie
...
On peut définir le moment d’inertie du solide au point O :
2
I O PS x 2 y 2 z 2 dm PS OP dm
IO est indépendant du choix de la base
...
I oxy z 2 dm
: Moment d’inertie du solide par rapport au plan (O,
x, y)
...
Cinétique du solide
Pr : M
...
On a les relations :
I O I oxy I oyz I oxz
I xx I oxz I oxy
I yy I oyz I oxy
I zz I oyz I oxz
III – Moment d’inertie à partir de la matrice d’inertie
On veut calculer le moment d’inertie du solide S par rapport à un axe ( passant par le point O à
partir de la matrice d’inertie
...
u
...
II o(S) Ω (S/Ro )
Dans le cas particulier d’une rotation autour de l’axe () ;
Ω (S/Ro ) u
u
...
II o(S) u Ω
et u
...
PS OPΛV (P/Ro ) dm u , OP, V(P/Ro ) dm
produit mixte
Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des trois vecteurs
...
Lo (S/Ro ) PS (u OP)
...
AHD
Page 37
V(P/Ro ) V(O/Ro ) Ω (S/Ro ) Λ OP Ω (S/Ro ) Λ OP car O point du solide fixe
dans Ro
...
Lo (S/Ro ) PS (u Λ OP )
...
Lo (S/Ro ) PS (u Λ O P )
...
Lo (S/Ro ) ( u Λ OP )2 Ω dm
u
...
Lo (S/Ro ) Ω r 2 dm
On sait que :
I r 2 dm moment d' inertie du solide par rapport à l' axe () passant par le point O
u
...
II o (S) u Ω Ω I Δ
I Δ u
...
IV – axes principaux d’inertie
u est un vecteur propre de la matrice d’inertie IIo (S) si II o (S) u λ u
Le scalaire est la valeur propre associé au vecteur propre u
...
Le vecteur propre u détermine une direction propre
...
Les racines 1, 2 et 3 sont les
valeurs propres de la matrice d’inertie IIo(S) et les vecteurs propres
Cinétique du solide
Pr : M
...
Les vecteurs propres unitaires
( u1 , u 2 , u3 ) déterminent
les trois directions
propres
...
Calcul des moments d’inertie par rapport aux axes principaux d’inertie (A
...
I)
Le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe principal d’inertie de vecteur unitaire
u1 est :
I1 u1
...
1 u1 1 u1
...
II o (S) u 2 2
I 3 u3
...
Etude de l’équation caractéristique
...
En effet :
La symétrie du tenseur d’inertie montre
ui
...
II o (S) ui ui
...
i ui ( j - i ) ( ui
...
u j
1 si i j
Donc
( u1 , u 2 , u3 ) est
une base orthonormée
...
II o (S) u j ui
...
u j )
si i j alors I ii i
si i j alors I ij O
Dans la base ( u1 , u 2
, u3 )
orthonormée, la matrice d’inertie s’écrit :
A 0 0
II o (S) 0 B 0 et R(O, u1 , u 2 , u3 ) repère principal d' inertie (R
...
I)
0 0 C
2ème Cas : (1 = 2 3)
Cinétique du solide
Pr : M
...
0 0 C
3ème Cas : Trois valeurs propres égales (1 =2 =3)
A 0 0
Dans ce cas la matrice d’inertie s’écrit : II o (S) 0 A 0 Symétrie sphérique
...
Soit P un point du solide de coordonnées (x, y, z) dans le repère R et de coordonnées (X, Y, Z) dans le
repère RG
...
OG a x b y c z
D’après la relation de Chasles
x aX
OP OG GP y b Y
z cZ
Le moment d’inertie du solide S par rapport à l’axe (O, z )
I zz
PS
x
2
y 2 dm
Cinétique du solide
P S
X a
2
Y b 2 dm
Pr : M
...
I I G M d 2
On généralise :
Où d est la distance entre les deux axes parallèles et G
Et G = l’axe parallèle à et passant par le centre d’inertie G
...
AHD
Page 41
Les moments d' inertie :
I xx I XX M (b 2 c 2 )
I xy I XY M ab
I yy I YY M (a 2 c 2 )
I xz I XZ M ac
I zz I ZZ M (a 2 b 2 )
I xx
II o (S) -I xy
-I xz
Les produits d' inertie :
I yz I YZ M bc
-I xz
-I yz
I zz
-I xy
I yy
-I yz
I XX M b 2 c 2
II o (S) I XY M ab
I XZ M ac
I XY
II o (S) -I XY
-I
XZ
-I XY
I YY
-I YZ
I XY M ab
I YY M a 2 c 2
I XZ M ac
I YZ M bc
I ZZ M a 2 b 2
I YZ M bc
-I XZ
-I YZ M
I ZZ
b2 c2
ab
ac
ab
a c
bc
2
2
ac
bc
a2 b2
II O (S) II G (S) II o G, M ( S ) Théorème de Koenig pour la matrice d’inertie
b2 c2
Avec II o G, M ( S ) M ab
ac
ab
a c2
bc
2
ac
bc et OG a x b y c z
a2 b2
II o G, M ( S ) est la matrice d' inertie en O du centre de masse G affecté de la masse totale M
du solide
...
B
...
Cinétique du solide
Pr : M
...
TC (S/Ro )
P(SRo ) , L(S/Ro )
a) Le vecteur quantité de mouvement
P(S/Ro )
/ Expression de P(S/Ro )
P (S/Ro ) PS V(P/Ro ) dm
Où V(P/Ro ) est la vitesse du point matériel P du solide
...
b) Le moment cinétique L(S/Ro )
/ Expression de L(S/Ro )
Le moment cinétique (moment des quantités de mouvement) d’un solide en mouvement par
rapport au repère Ro calculé en un point A quelconque du solide (S) s’écrit :
LA (S/Ro ) PS AP Λ V (P/Ro ) dm
Cinétique du solide
Pr : M
...
Etant
donné deux points quelconques A et B on a :
LA (S/Ro ) LB (S/Ro ) P (S/Ro ) Λ BA
LA (S/Ro ) LB (S/Ro ) M V(G/Ro ) Λ BA
Cette formule dans laquelle A et B sont deux points quelconques permet de calculer le moment
cinétique d’un solide S par rapport à un repère Ro, en tout points si on le connait en un point donné
...
L A (S/Ro )
AP Λ V(P/Ro ) dm
PS
V(P S/Ro ) V(A S/Ro ) Ω (S/Ro) Λ AP
L A(S/Ro )
APΛ V(A S/Ro ) Ω (S/Ro )Λ AP dm
PS
L A(S/Ro )
APΛV(A S/Ro ) dm
APΛ Ω (S/Ro )Λ AP dm
PS
AP Λ V(A S/Ro ) dm
PS
Car
AP dm
P S
PS
Or
Et
PS
PS
P S
AP dm ΛV(A S/Ro ) M AG ΛV(A S/Ro )
AG GP dm
P S
AG dm M AG
APΛ Ω (S/Ro ) Λ AP dm II A ( S ) Ω (S/Ro )
Car cette relation II O ( S ) u
PS
OP Λ u ΛOP dm est prise comme définition
de II O (tenseur d' inertie)
...
AHD
Page 44
Cas particuliers
...
On passe par le centre d’inertie G du
solide (S)
...
VI – 4 Repère barycentrique RG
Soit RG le repère barycentrique (ou repère de Koenig) associé à un repère R et à un solide S de masse
M, c
...
le repère dont l’origine coïncide avec le centre d’inertie G de (S) et dont les axes sont
constamment parallèles aux axes du repère R
...
Cinétique du solide
Pr : M
...
Le moment cinétique au point A du solide (S) par rapport à Ro est égal au moment cinétique du solide
dans son mouvement autour du centre d’inertie G, augmenté du terme MV(G/R o ) Λ GA
...
TD (S/Ro )
S (SRo ) , D (S/Ro )
a) Le vecteur résultante dynamique
La résultante dynamique totale du solide (S) par rapport à Ro est défini par :
S (S/Ro )
PS
(P S/Ro ) dm
Où (P S/Ro ) est le vecteur accélération du point P du solide
...
AHD
Page 46
D’après la définition du centre de masse : OG
1
M
PS OP dm
En dérivant par rapport au temps, on obtient :
1
1
V (G / Ro )
V ( P / Ro ) dm (G / Ro )
PS
M
M
Ainsi ( P / Ro ) dm M (G/R o )
PS ( P / Ro ) dm
P S
S(S/R o ) M (G/R o )
La résultante dynamique S (S/R o )
du solide S dans son mouvement par rapport au repère Ro est
égale à la quantité d’accélération, par rapport à Ro, du centre d’inertie G de (S) affecté de la masse
totale M du solide
...
d
...
b) Le moment dynamique
Le moment dynamique en un point quelconque A du solide (S) par rapport au repère Ro, la quantité :
DA (S/Ro ) PS AP (P S/Ro ) dm
Etant donné deux points quelconques A et B on a :
D A (S/Ro ) DB (S/Ro ) S (S/Ro ) Λ BA
D A (S/Ro ) DB (S/Ro ) M (G/Ro ) Λ BA
Cinétique du solide
Pr : M
...
VII – 2 Relation entre moment dynamique et moment cinétique d’un solide
Soit A un point quelconque du solide
...
d
d
L A (S/Ro )
AP V(P/Ro ) dm
dt
P S
Ro
dt
Ro
d
d
L A (S/Ro )
AP V(P/Ro ) dm
dt
PS dt
Ro
Ro
d AP
d
V(P/Ro ) dm
L A (S/Ro )
AP (P/Ro ) dm
dt
P S
PS dt
Ro
R
o
d AP
d
Comme
dt dt OP - OA
Ro
R
V ( P / Ro ) V ( A / Ro )
O
Où O est l’origine du repère Ro
...
AHD
Page 48
2ème Cas : Si le point A est fixe par rapport à Ro alors V ( A S / Ro ) 0
d
LA (S/Ro ) DA (S / Ro )
dt
Ro
Résumé :
Si le point A est fixe ou confondu avec le centre d’inertie G alors :
d
L A (S/Ro )
D A ( S / Ro )
dt
Ro
TD ( S / Ro ) sont les dérivés par
rapport au temps des éléments de réduction du torseur cinétique TC ( S / Ro ) :
Dans ce cas les éléments de réduction du torseur dynamique
d
d
S(S/Ro ) P(S/R ) et D A ( S / Ro ) L A(S/Ro )
o
dt
dt
Ro
Ro
C
...
au point A
TD (A, S/Ro )
d
dt
TC (A, S/Ro )
VII – 3 Théorème de Koenig pour le moment dynamique
Soit RG le repère barycentrique associé à un repère Ro et à un solide (S) de masse M
...
AHD
Page 49
D A (S/Ro )
AP ( P / RG ) (G / Ro ) dm
P S
D A (S/Ro )
AP ( P / RG ) dm
AP (G / Ro ) dm
P S
P S
D A (S/Ro ) D A (S/RG )
AP dm (G / Ro )
P S
D A (S/Ro ) D A (S/RG ) M AG Λ (G / Ro )
D’où
D A (S/Ro ) D A (S/RG ) AG Λ M (G / Ro )
C’est le théorème de Koenig pour le moment dynamique
VIII - Energie cinétique
V III – 1 définition
L’énergie cinétique EC(S/Ro) à l’instant t d’un solide (S) en mouvement dans un repère Ro, est une
quantité scalaire positive définie par la relation intégrale suivante :
EC(S/Ro )
1
V(P/Ro )
2 PS
2
dm
1
2
PS V (P/Ro ) dm
2
Remarques
Comme la vitesse, l’énergie cinétique dépend du repère considéré
...
L’énergie cinétique EC(S/Ro) d’un solide (S) de masse M en mouvement dans un repère Ro peut être
exprimée en termes du champ de
vitesse
V(A S/R o )
et du champ de
moment
cinétique L A (S/R o )
...
L A (S/Ro ) M V (G/Ro )
...
V (P/Ro ) dm
PS
Cinétique du solide
Pr : M
...
V (P/Ro ) V (A/Ro ) Ω (S/Ro ) Λ AP où A est un point du solide
...
V(P/Ro ) dm
Ω (S/R ) Λ AP
...
V(P/R ) dm
Le produit mixte V(P/R )
...
AP V(P/R )
2 E (S/R ) V(A/R ) V(P/R ) dm
Ω (S/R )
...
PS
o
AP ΛV(P/Ro ) dm
Or
PS
V(P/Ro ) dm M V(G/Ro ) d' après la définition de centre de masse G
Et
PS
AP Λ V(P/Ro ) dm L A (S/Ro ) d' après la définition du moment cinétique
D' où 2 EC (S/Ro ) Ω (S/Ro )
...
V(A/Ro )
Cas particuliers importants
Deux cas particuliers importants peuvent être déduits de la dernière relation :
1er Cas : Si le point A du solide est fixe par rapport à Ro alors V ( A / Ro ) 0
2 EC (S/Ro ) Ω (S/Ro )
...
II A (S) Ω (S/Ro )
2ème Cas : Si le point A est confondu avec le centre d’inertie G du solide ( A G ) L’expression de
l’énergie cinétique devient :
2 EC (S/Ro ) Ω (S/Ro )
...
II G(S) Ω (S/Ro ) M V 2(G/Ro )
C’est le théorème de Koenig pour l’énergie cinétique
...
AHD
Page 51
Cette relation s’écrit aussi :
EC (S/Ro ) EC (S/RG )
1
MV 2(G/Ro ) théorème de Koenig pour E C ( S / Ro )
2
2 EC (S/Ro ) 2 EC (S/RG ) M V 2(G/Ro )
Démonstration
LG (S/Ro )
LG (S/Ro )
LG (S/Ro )
PS
GP V(P/Ro ) dm
PS
GP V (P/RG ) V (G / Ro ) dm
PS
GP V(P/RG ) dm
LG (S/Ro ) LG (S/RG )
P S
P S
GP V (G/Ro ) dm
GP dm V(G/Ro )
LG (S/Ro ) LG(S/RG )
Remarques
1) EC (S/Ro )
1
1
Ω (S/Ro )
...
LG ( S / Ro )
2
La décomposition de l’énergie cinétique reflète aussi le fait que le mouvement du solide par
rapport à Ro, est une composition d’un mouvement de translation du point G affecté de la masse totale
M et d’un mouvement de rotation autour du centre G
...
L A ( S / Ro ) M V(G/Ro )
...
Cinétique du solide
Pr : M
...
2 EC (S/Ro )
TV (A, S/Ro )
...
TC (G, S/Ro )
3) Si le solide (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe () de vecteur unitaire u
...
LG ( S / Ro ) M V 2(G/Ro )
2
2
1
1
EC (S/Ro ) Ω (S/Ro )
...
II G (S) (S/Ro ) Ω u
...
II G (S) u Ω 2 I Δ
Où I Δ u
...
EC (S/Ro )
Cinétique du solide
1
1
I Δ Ω 2 M V 2(G/Ro )
2
2
Pr : M
...
II - La loi fondamentale de la dynamique
III - Les théorèmes généraux
...
III - 2 Théorème du moment dynamique
...
VI - Puissance et travail
...
VI - 2 Puissance d’efforts s’exerçant sur un solide (S)
...
VII - 1 Théorème de l’énergie cinétique pour un solide (S)
VII - 2 Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides (∑)
VIII - Energie potentielle
IX - Intégrales premières
IX - 1 Intégrale première de l’énergie
IX - 2 Intégrale première du moment cinétique
Dynamique du solide
Pr : M
...
La loi fondamentale exprime la relation entre les éléments cinétiques et dynamiques d’un
système matériel () et les forces s’exerçant sur lui
...
I - Les efforts extérieurs
Ils
TFext
sont
définis
par
un
champ
de
vecteurs
auquel
on
associe
un
torseur
appelé torseur des forces extérieures (ou torseur force extérieure)
Fext , M Fext
exercées sur le système ()
...
Remarque :
On fera une distinction dans les efforts extérieurs entre les forces à distance (forces dérivant
d’une fonction énergie) qui sont toujours des données du problème et les forces de contact (ou de
liaison) qui sont des inconnues du problème posé
...
Pi (i=1, 2, ……
...
A cet ensemble de force Fi s’exerçant sur les points Pi , on associe le torseur force
TFext défini
par :
Sa résultante générale : Fext
Fi
n
i 1
Son moment en un point A : M A ( Fext )
i 1
APi Fi
...
Si la résultante générale est nulle ( Fext 0) le torseur force TFext
Si Ci (Couple concentré) est le couple exercé sur Pi alors
Dynamique du solide
Pr : M
...
n
C Ci
...
d
...
Le torseur force TFext
correspondant est défini par :
f dm
Sa résultante générale : Fext
Son moment en un point A : M A ( Fext ) AP f dm
...
L’exemple le plus simple est celui des forces de pesanteur qui s’exercent sur un système
matériel () de masse M et de centre d’inertie G
...
est le torseur force correspondant à ces forces, sa résultante générale est :
Fext f ( P) dm g z o dm g z o dm M g z o
Et son moment en G est :
M G ( Fext ) GP f dm GP ( g zo ) dm
GP dm ( gz ) 0
o
GP dm 0 c' est la définition du centre de masse G
...
Dynamique du solide
Pr : M
...
TD ( A, S / Ro )
S , DA (S / Ro ) est le torseur dynamique de ce système (S) par rapport au
référentiel Ro au point A
...
M A Fext
Enoncé du principe fondamental de la dynamique :
Il existe un référentiel d’espace Ro , dit référentiel galiléen, et une chronologie absolue dans
lesquels le torseur dynamique [TD] du système (S) par rapport au référentiel Ro est égal au
torseur des efforts extérieurs [TFext] appliqués sur ce système (S)
...
On obtient ainsi deux égalités vectorielles qui
constituent les théorèmes généraux de la mécanique du solide
...
M (G/R o ) Fext
On constate ici l’importance de la mécanique du point matériel
...
Ce théorème décrit les mouvements de translation du système (S) par rapport au référentiel
galiléen Ro
...
AHD
Page 57
III - 2 Théorème du moment dynamique
L’égalité en un point arbitraire A du moment M A (Fext ) , des efforts extérieurs exercés sur le système
matériel (S) et du moment dynamique D A (S/R o ) de ce système par rapport au référentiel galiléen Ro
constitue le théorème du moment dynamique
...
Ce point A
sera choisi de façon à avoir un calcul simple du moment dynamique ou de façon à annuler le moment
d’une force qu’on ne désire pas déterminer
...
2) Si le point A est confondu avec la centre d’inertie G alors
d
L G (S/R o ) M G (Fext )
dt
Ro
3) Le théorème du moment cinétique en un point A mobile dans Ro V(A/R o ) 0 s’écrit :
d
L A (S/Ro )
M A (Fext ) M V (G/Ro ) V(A/Ro )
dt
Ro
En effet, on a vu dans le chapitre précédent, la relation entre le moment cinétique et le moment
dynamique :
d
L A (S/Ro )
D A ( S / Ro ) M V(G/Ro ) V(A/Ro )
dt
Ro
Dynamique du solide
Pr : M
...
Autre démonstration
O est l’origine du repère Ro, on a : L A (S/Ro ) Lo (S/Ro ) M V (G/Ro ) Λ OA
d
d
L A (S/Ro )
LO (S/Ro ) M (G/Ro ) OA M V(G/Ro ) V(A/Ro )
dt
Ro dt
Ro
M O (Fext ) S (S/R o ) Λ OA M V(G/R o ) Λ V(A/R o )
d
L A (S/Ro )
M A (Fext ) M V(G/R o ) Λ V(A/R o )
dt
Ro
car M o (Fext ) S (S/R o ) Λ OA M A (Fext )
4) Si le solide (S) est en mouvement par rapport à autre solide (So)
...
Il convient d’appliquer le théorème du
moment cinétique en I qui est mobile afin d’éliminer les réactions de contact
...
Etant donné un système
S S1 S2 formé de deux éléments matériels S1 et S2, en contact mais sans
partie commune, en mouvement dans le repère galiléen Ro
...
AHD
Page 59
Démonstration :
Si on note TF12 TF (S1 S2 ) le torseur des efforts exercés par S1 sur S2 et par
TF21 TF (S2 S1 ) le torseur des efforts exercés par S2 sur S1 alors :
TF1 TF21 représente le torseur des efforts extérieurs exercés sur (S )
...
1
2
Où [TF1] est le torseur des efforts extérieurs exercés par le milieu extérieur à (S) sur (S1) et [TF2] est le
torseur des efforts extérieurs exercés par le milieu extérieur à (S) sur (S2)
...
Puisque (S1) et (S2) n’ont pas de partie commune, le torseur dynamique de
S S1 S2 par rapport à
Ro est [TD1+ TD2]
...
d
...
Soit P un point du solide, on a la loi de composition des accélérations :
Dynamique du solide
Pr : M
...
Le théorème du moment dynamique en un point A quelconque par rapport à Ro galiléen
s’écrit :
D A (S/Ro ) M A Fext
Or D A (S/Ro )
AP (P/Ro ) dm et γ (P/Ro ) γ (P/R1 ) γC γe
P S
D A (S/Ro )
AP (P/R1 ) dm
AP C dm
AP e dm M A (Fext )
P S
P S
P S
AP (P/R1 ) dm M A (Fext ) -
AP C dm
AP e dm
P S
P S
En posant M ie
AP Λ γe dm
P S
P S
et M ic -
AP C dm
P S
Le théorème du moment dynamique dans le repère non galiléen R1 s’écrit :
D A (S/R1 ) M A Fext M ie M ic
On appellera torseur des efforts d’inertie d’entraînement,
TFie
, associé à la distribution
Fie M γ (P R1 /Ro )
AP ( P R1 / Ro ) dm
...
AHD
Page 61
, associé à
On appellera torseur des efforts d’inertie complémentaires (ou de Coriolis), TFic
la distribution massique d’efforts C - 2 Ω (R1 /Ro ) Λ V (P/R1 ) , le torseur de résultante
générale Fic M C 2 M Ω (R1 /Ro ) Λ V(P/R1 ) et
dont
le
moment,
en
un
point
quelconque A, est M ic AP C dm
...
VI - Puissance et travail
VI - 1 Cas d’un système matériel ()
a) Cas de forces concentrées
On considère un système de points matériels Pi de vitesses V(Pi /R o )
...
Par définition, on appelle puissance développée par la force Fi le produit scalaire
Pi (Fi ) Fi
...
V (Pi /Ro )
...
V (P/Ro ) dm
;
f (P) ,
la puissance de ces efforts est donnée par :
dF f dm est la force élémentaire
...
Soit A un point du solide (S)
...
AHD
Page 62
Et par conséquent la puissance des efforts s’exerçant sur le solide est :
P
PS f (P)
...
V(A S/Ro ) Ω (S/Ro) Λ AP dm
P V(A S/Ro )
...
P S
AP Λ f (P) dm
Le torseur des efforts s’exerçant sur le solide (S) est défini par ses éléments de réduction au point A :
TF ( A, S / Ro )
Avec F
S
F , M A (F )
f (P) dm et M A ( F ) AP Λ f (P) dm
S
P V(A S/Ro )
...
M A (F )
Par conséquent, dans le cas d’un solide (S), la puissance des efforts s’exerçant sur le solide (S) est
égale au produit scalaire (le comoment) du torseur vitesse (torseur cinématique)
TV (A, S/R o ) (S/Ro ) , V( A S/Ro ) du solide par le torseur des efforts (torseur force)
TF ( A, S / Ro)
F , M A ( F ) s’exerçant sur le solide (S)
...
TF (A, S/Ro) Ω (S/Ro ) , V(A S/Ro )
...
V (A S/Ro ) M A(F)
...
En effet,
B S , V (A S/Ro ) V (B S/Ro ) Ω (S/Ro) Λ BA
et M A ( F ) M B ( F ) F BA
La puissance des efforts s' exerçants sur le solide (S) est :
P(S/Ro ) F
...
Ω (S/Ro )
P(S/Ro ) F
...
Ω (S/Ro )
P(S/Ro ) F
...
Ω (S/Ro) Λ BA M B ( F )
...
Ω (S/Ro )
Dynamique du solide
Pr : M
...
Ω Λ BA F, Ω , BA Ω , BA, F Ω
...
F BA
D' où la puissancce P (S/Ro ) F
...
Ω (S/Ro )
b) Cas de forces concentrées
Soit la force concentrée F , dont le point d’application A est fixé sur le solide (S)
...
V(A S/Ro )
Exemple de force concentrée : La force de pesanteur
La densité massique d’effort est uniforme f (P) - g z o
...
Le moment en G est :
M G (F)
PS
GP Λ f (P) dm
GP Λ z o dm
PS
z o est la verticale ascendante
GP dm Λ gz o 0
PS
Ou bien F P Mg M G (P) GG Λ P 0
Le torseur associé à la force de pesanteur F P M g est un glisseur
...
V(G/R o ) Ω (S/R o )
...
V (G/R o )
...
Si M est sa valeur alors la puissance
P Ω(S/R o )
...
AHD
Page 64
d) Cas de forces dérivant d’une énergie potentielle
Considérons un système de forces donné, s’exerçant sur un solide (S), ne dépend que des
paramètres de position mais pas du temps
...
Les liaisons réalisées par contact sans frottement ou
sans glissement sont parfaites
...
Par définition, le travail développé par un ensemble de forces, F , entre deux instants t1 et t2,
par rapport à un repère Ro, est donné par :
t
t
W (F) Ro 2 dW (S/R o ) 2 P dt
t1
t1
VII - Théorème de l’énergie cinétique
VII - 1 Théorème de l’énergie cinétique pour un solide (S)
Enoncé
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique du solide (S) relativement à un repère galiléen
Ro, est égale à la puissance des efforts extérieurs subis par le solide relativement à ce même repère
...
TFext (A, S/R o )
...
AHD
Page 65
D’après le principe fondamental de la dynamique : TFext (S/R o ) TD (S/R o )
Pext (S/R o ) TV (A, S/R o )
...
S(S/R o ) , D A (S/R o )
Pext (S/R o ) S(S/R o )
...
Ω (S/R o )
Pext (S/R o )
PS
(P/R o )
...
PS
AP (P/R o ) dm
Or V (A S/R o ) V (P S/R o ) Ω (S/Ro) AP
Pext (S/R o ) (P/R o )
...
Ω (S/Ro) AP dm
PS
Ω (S/R o )
...
V (P/R o ) dm -
Pext (S/R o )
PS
o
o ) , Ω (S/Ro) , AP
(P/R o )
...
V(P/R o ) dm
PS
Ro
Pext (S/R o )
1 d
V(P/R o )
PS 2 dt
Pext (S/R o )
2 dm
En admettant la " régle de dérivation sous le signe somme" on a :
Pext (S/R o )
d
1
V(P/R o )
dt PS 2
Pext (S/R o )
d
2 dm dt 1 PS V 2 (P/R o ) dm
2
d
E C (P/R o )
dt
Remarques :
Dans le cas d’un solide (S), le torseur des efforts intérieurs est nul
...
Pint (S/R o ) 0
...
AHD
Page 66
efforts extérieurs exercés sur ce solide entre les instants t1 et t2 est égal à la variation de
l’énergie cinétique de (S) entre ces deux instants
...
VII - 2 Théorème de l’énergie cinétique pour un système de solides (∑)
On considère le cas d’un système de solides (∑) composé de deux solides (S1) et (S2) en mouvement
dans un repère galiléen Ro
...
Pour le système de solides (∑), la puissance des forces intérieures se réduit aux actions de contact
entre les solides (S1) et (S2) qui composent (∑)
...
d
...
a) )Puissance des inter-efforts (Pint)
Soient deux solides S1 et S2 en mouvement par rapport à Ro et soit le système matériel ∑=(S1)+(S2)
...
La
somme des torseurs TF12 TF21 0 d’après le principe de l’action et de la réaction
...
TV (S 2 /S1 )
Où
TV (S2 /S1 ) est le torseur vitesse (torseur cinématique) de S2 en mouvement par rapport à S1
...
Dynamique du solide
Pr : M
...
B
...
Un champ de force F , appliqué à un solide (S) dérive d’un potentiel Ep(S), appelé énergie potentielle
d’interaction, si F - grad Ep (S)
...
Pour
qu’un champ de force F dérive d’un potentiel scalaire Ep(S), il suffit qu’il soit rotationnel c
...
rot F 0
...
Les champs scalaires U(S) et Ep(S) sont définis à une constante additive prés
...
AHD
Page 68
P( F P ) TF G
...
V(G/R o ) Ω (S/R o )
...
V (G/R o )
dx dy
dz
dz d
d
P (P) m g z o
...
D’après le théorème de l’énergie
cinétique
d
E C (S/R o ) Pext (S/R o ) P (f
...
n
...
dt
f
...
c = forces non conservatives
f
...
c)
d Ep dU
d Ec d Ep
d
P(f
...
c) Ec Ep P (f
...
c)
dt
dt
dt
dt
dt
Dans le cas très important où la puissance des forces non conservatives est nulle alors
d
Ec Ep 0 Ec (S/Ro) Ep (S) constante
dt
Cette équation, traduisant la conservation de l’énergie mécanique du solide (S) (somme de l’énergie
cinétique et de l’énergie potentielle), est appelée intégrale première de l’énergie
...
u 0 u
...
AHD
Page 69
Si le vecteur unitaire u est galiléen ( u appartient au repère galiléen Ro), on peut écrire
d
L o (S/R o )
...
u constante
Cette équation est une intégrale première du mouvement
...
Si le vecteur unitaire u n’est pas galiléen ( u appartient à un repère non galiléen R)
d
d
L o (S/R o ) L o (S/R o ) (R/R o ) L O (S/R o ) d’après la relation de Bour
dt
Ro dt
R
d
u
...
dt
Ro
Donc
d
dt
d
L o (S/R o ) u
...
u R u , (R/R o ) , L o (S/R o ) 0
Remarque importante : Cas d’un solide possédant un axe de symétrie de révolution
Dans le cas particulier où
uz
n’est pas galiléen et le solide (S) possède une symétrie de révolution
autour de l’axe (OZ ) de vecteur untaire z , on a alors : L o (S/R o )
...
Pr : M
...
Lo (S/Ro ) Λ z
On a : Lo(S/Ro ) II o(S) Ω (S/Ro )
A 0 0
Avec II o(S) 0 A 0 et R 2 (O, u, w, z) repère de résal
0 0 C
R2
A 0 0
Lo (S/Ro ) II o (S) Ω (S/Ro ) 0 A 0
0 0 C
R2
θ
sin θ
cos
θ
L o (S/R o ) A θ u A sin θ w C ( cos θ ) z z A sin θ u - A θ w
θ
et Ω (S/R o )
...
- A θ A θ sin θ - A θ sin θ 0
0
θ
z , (R/R o ) , Lo (S/R o ) (R/R o ) , L o (S/R o ) , z 0
Lo (S/R o )
...
z constante
Pr : M
...
AHD
Série n°1 : Champ de vecteurs - Torseurs
Question de cours
Montrer que tout champ de vecteurs antisymétrique est équiprojectif et réciproquement
...
1
Résoudre l’équation vectorielle U X V où U et V sont deux vecteurs non nuls
...
2
E est l’espace vectoriel réel à 3 dimensions associé à l’espace affine repéré par le
repère R (O, i , j , k )
...
Déterminer son axe central
...
3*
Démontrer que deux torseurs [T1] et [T2] sont égaux si, et seulement si, il existe trois points non
alignés P1, P2 et P3 en lesquels leurs moments sont égaux
...
4
Le repère R (O, i , j , k ) est orthonormé et orienté dans le sens habituel
...
On donne les trois vecteurs liés suivants :
R1 a i b j
R2 j
R3 c i
D’origine A (1, 0, 0)
D’origine B (1, 1, 0)
D’origine C (0, 0, 1)
Et on leur associe respectivement les glisseurs [G1], [G2] et [G3]
...
2) On note T [ R , U (P) ] Le torseur [T] = [G1] + [G2] + [G3]
a) Déterminer U (P) où P est un point de coordonnées (x, y, z)
Exercices
Pr : M
...
c) Lorsque [T] n’est ni un couple, ni le torseur nul, écrire deus équations définissant son axe
central
...
5
Considérons, dans un repère cartésien R (O, X, Y, Z) de base ( i , j , k ) , le système de trois vecteurs
liés définis par :
V1 a i b j k
V2 2b i 2a j 3 k
V3 - 8 i j c k
D’origine
A1 (1, 0, 0)
D’origine
A2 (0, 1, 0)
D’origine
A3 (0, 0, 1)
Pour quelles valeurs de a, b et c le système de ces trois vecteurs liés est équivalent à un couple ?
Déterminer alors son moment
...
AHD
Page 73
Série n°2 : Cinématique
Question de cours
...
Exercice
...
1) Un disque de centre D lié à une tige OD (OD contenue dans le plan du disque)
...
b) La liaison entre le disque et la tige permet au disque d’effectuer une rotation autour de
l’axe ( D, z )
...
Le système est
mobile autour du point O
...
2
On considère une sphère( S) homogène, de masse m, de rayon R, de centre G, se déplaçant sur le plan
horizontal fixe
(O, x o , y o ) d’un
repère fixe orthonormé direct R o ( O, x o , y o , z o )
...
I est le point de contact entre la sphère
(S) et le plan fixe (O, x o , y o )
...
1) Paramétrer la sphère et donner le nombre de degré de liberté
...
3) a) Traduire le non pivotement de (S) par rapport à RO
...
4) Calculer les vitesses des différents points de contact : Point de la sphère IS ; point du
plan matériel I (O, x o , y o ) et point géométrique I*E
...
Exercice
...
1
...
Le point A est fixe sur l’axe ( O, z o ) ; à la distance R de O
...
On
(O, u ) l’axe déterminé par le vecteur OI * ; (O, v ) l’axe tel que le trièdre
( O, u , v , z o ) soit direct, et (B, y ) et (B, z ) deux axes orthogonaux liés au disque et situés dans
son plan
...
On note ( x o , u ) θ , mesuré autour de z o et
appelle
Exercices
Pr : M
...
2
...
1) Déterminer le nombre de paramètres nécessaires pour décrire le mouvement du système
2) Calculer les vecteurs rotations instantanées (R 1 R o ) , (R R 1 ) et (R R o )
...
V (I / R o ) ,
4) Ecrire la condition de roulement sans glissement en I et l’intégrer en supposant que a = 2R,
θ ω cste , et que pour t = 0 on a θ 0 et 0
...
Fig
...
2
Exercices
Pr : M
...
1) Montrer que le moment cinétique est un champ de vecteurs antisymétrique
...
Exercice
...
b) Demi-boule de centre O et de rayon R
...
d) Cône plein
e) Cône plein surmonté d’une demi-boule
...
2
Déterminer la matrice d’inertie en O relativement au repère R ( O, x, y, z ) d’un quart de disque de
rayon R
...
Exercice
...
b) Cylindre plein (C) de centre d’inertie G, de rayon R et de hauteur h
...
d) Boule (B) de centre d’inertie G et de rayon R
...
f) Cône (C) plein de sommet O, de hauteur h et de rayon de base R
...
Exercice
...
1)
...
On désigne par R o ( O, x o , y o , z o ) le référentiel
du laboratoire et par R ( O, x, y, z ) un référentiel lié à la tige OA
...
2) Calculer les éléments cinétiques du système en O
...
AHD
Page 76
Exercice
...
2)
...
Le repère R ( O, x, y, z ) est lié au solide S
...
2) Calculer la matrice d’inertie en O du solide S en appliquant le théorème de Koenig
...
3) Calculer le moment cinétique en O du solide S
...
5) Calculer le moment cinétique en G du solide S
...
Fig
...
2
Exercices
Pr : M
...
6 (Devoir)
Soit le solide S un cerceau homogène, de section négligeable, de masse m, de centre G et de rayon a
(fig
...
On se propose d’étudier le mouvement de S par rapport au repère fixe R o ( O, x o , y o , z o )
...
On appelle R ( G, x, y, z ) le repère orthonormé direct lié au solide S
...
On suppose dans tout le problème que le solide S reste en contact avec le plan
horizontal (O, x o , y o ) au point I
...
Le solide S est repéré par les
angles d’Euler habituels , et
...
1) Déterminer le vecteur rotation instantanée (S/R o )
...
2)
3)
4)
5)
Déterminer les éléments de réduction en I du torseur cinétique
...
Calculer l’énergie cinétique du solide par rapport à R0
Calculer la matrice d’inertie du solide au point G
...
3
Exercices
Pr : M
...
3) a) Ecrire l’énoncé du théorème de l’énergie cinétique
...
Problème
...
1) et d’axe ( O, z) , a une base de rayon R et
de centre H tel que OH (R/2) z
...
Le sommet O de (S) est maintenu fixe dans le repère galiléen fixe orthonormé
R o ( O, x o , y o , z o ) au moyen d’un bâti convenable
...
La matrice d’inertie en O dans R1 du cône est diagonale est s’écrit IIG (S) = (A,A,C)
...
Soit B le point définit par OB R z o , le point A est attiré par B suivant la
force F k AB (K constante positive)
...
1
Exercices
Pr : M
...
Les résultats seront exprimés dans la base ( u , w , z)
...
2) Calculer le moment cinétique en O du cône (S) par rapport à Ro
3) Déterminer l’énergie cinétique du cône (S) par rapport Ro
4) a) Faire l’analyse des forces s’exerçant sur le cône (S)
...
c) Calculer la puissance développée par ces efforts
...
b) A partir du théorème du moment cinétique, appliqué au cône (S) en O, trouver deux
intégrales premières
...
6) Déterminer la réaction du bâti R
...
Problème
...
On désigne par a le rayon de cette base et H son centre
...
2), A et C ses moments principaux d’inertie en G [C
moment d’inertie relatif à ( G , z ) ]
...
d
...
z o 0 ]
...
On repère la position de S dans Ro par les angles d’Euler habituels , , et par les coordonnées
x
et
y
dans
Ro
de
la
projection
orthogonale
de
G
sur
()
...
Exercices
Pr : M
...
2
A) Cinématique et cinétique
...
2) Calculer les vitesses V ( G/R o ) , V ( H/R o ) et V ( I S /R o )
...
4) Calculer l’énergie cinétique du solide par rapport au repère R o ( O, x o , y o , z o )
...
Les actions extérieures exercées sur S sont :
* Le champ de pesanteur uniforme et constant d’accélération g - g z o
...
* L’action d’un dispositif non précisé, définie par un glisseur dont le support passe par G et
de vecteur F - k OG (k constante positive donnée)
...
2) En appliquant le théorème du moment cinétique au point G, montrer que
L G (S/R o )
...
z cte C 2
...
3) Par application du théorème de l’énergie cinétique, donner une troisième équation du
mouvement sous forme d’intégrale première
...
AHD
Page 81
Problème
...
Le
solide S est de révolution autour de l’axe ( O , z ) et est soumis à la liaison suivante : Le point O de S
est fixe et l’axe ( O , z ) est assujetti à rester dans le plan (O, y o , z o )
...
On note
R ( O , x o , v , z ) le repère déduit de Ro par la rotation d’angle autour de l’axe ( O , x o ) , A et C
sont les moments principaux d’inertie du solide en O [C moment d’inertie relatif à l’axe ( O , z ) ] et
donc que de deux angles d’Euler
OG d
...
G centre d’inertie de S tel que
Fig
...
a) La vitesse du centre d’inertie G
...
c) L’énergie cinétique du solide
...
3) Calculer la puissance du poids et en déduire une intégrale première (1) provenant du théorème
de l’énergie cinétique
...
C θ Ω cos(θ θ o )
Montrer directement que l’équation (1) est toujours valable, puis en écrivant le théorème du
moment cinétique en O, retrouver à nouveau l’équation (1)
...
AHD
Page 82
Problème
...
4)
...
4
Initialement la barre est au repos et fait un angle θ0 avec le mur
...
La matrice d’inertie de la barre au
point G dans R1 est donnée par :
A 0 0
II G (S) 0 B 0
0 0 C
R1
R o ( O, x o , y o , z o ) repère fixe et R 1 ( A, x1 , y1 , z1 ) repère lié à la barre tel que z o z1
...
2) Calculer les moments d’inertie A, B et C
...
4) En utilisant les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique, établir les
trois équations scalaires du mouvement de la barre
...
6) Trouver l’expression de θ
2
en utilisant le théorème de la conservation de l’énergie
mécanique totale
...
AHD
Page 83