Notesale: Turn your study into money

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Chapitre 1 : l’intérêt simple
1°) Définition et formules
a) Le prêt d’un capital constitue un service dont la
rémunération est l’intérêt
...
Un prêt est ainsi un placement pour le
prêteur
...

c) Formules de base : le montant de l’intérêt simple est
proportionnel au capital placé ou prêté, au taux et à
la durée de placement ou de prêt
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

1

Si on désigne par :
I : le montant de l’intérêt
...

T : le taux d’intérêt
...


R
...
la
...
est
...
année
100

I 

CNT
quand
...
durée
...
en
...
la
...
est
...
trimestre
400

CNT
I 
quand
...
durée
...
en
...
la
...
est
...
jours
36000

R
...

b) Dans le décompte d’une durée entre deux dates de la
forme j/m/N et j’/m’/N’, on compte le nombre exacte de
jours de chaque mois, la date initiale (jour du dépôt)
exclue et la date finale (jour du retrait) incluse
...


R
...
000 dirhams placé à 2,95 % du 13
janvier 2008 au 28 mai de la même
année
...
000 dirhams placé à 2,95 % du 13
janvier 2008 au 13 mai de la même
année
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

5

5°) Valeur actuelle et valeur acquise
La valeur acquise d’un capital est ce
même capital augmenté de l’intérêt qu’il a
produit pendant une durée N
...


R
...
L’intérêt globale produit par
ces capitaux est:
1

2

1

k

2

1

k

2

k

C T N  C T N 
...
000

R
...
000

R
...
 C k T m N k

(2)

8

Les équations (1) et (2) donnent:

i k

T

m



C T N
i 1
i k

C N
i 1

R
...
Il représente une dette à payer
...


La valeur nominale: le montant de la dette
...

La négociation d’un effet est l’opération de vente de cet effet à une date
avant l’échéance
...

L’escompte commerciale d’un effet consiste à payer au bénéficiaire de
l’effet, la valeur escomptée de l’effet contre sa valeur nominal avant
l’échéance
...


R
...

Si on désigne par :
E : le montant de l’escompte
...

T : le taux d’escompte
...

Ve: la valeur escomptée ou valeur actuelle de l’effet
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

11

E

V
R
...
000
V n  E
12

3°) L’agio
L’agio est l’intérêt total prélevé et il
comprend l’escompte, les commissions et la
TVA
...

La TVA est appliquée sur l’escompte et sur
certaines commissions
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

13

4°) La valeur nette d’escompte
C’est la somme réellement remise au
propriétaire de l’effet
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

14

5°) Le taux réel d’escompte
La TVA et les divers commissions augmentent le
montant prélevé par la banque et par voie de
conséquence le taux le supporté par le bénéficiaire
de l’effet
...
36000
Tr 
N
Vn
R
...

Cette date est la date d’équivalence, à intérêt simple cette date est unique
...

T : le taux d’escompte
...


V1

V NT
1

1

36000

V 2 

V NT
2

2

36000

N2 – N1 = Nombre de jours séparent les deux échéances

R
...

C’est le cas par exemple de l’entreprise qui,pour des
problèmes de trésorerie, sait qu’elle ne pourra pas honoré
son engagement le jour de l’échéance convenu
...

Le jour de remplacement tient lieu de date d’équivalence
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

17

7°) Échéance commune (équivalence de plusieurs effets)
Définition
L’échéance commune consiste à poser l’équivalence d’un effet avec un groupe
d’effets
...
Vk et ayant respectivement à courir N1,
N2…
...
Soit un effet de valeur nominale V et ayant N jours à courir
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

18

Applications
Les deux applications les plus courantes de
l’échéance commune sont:
Le remplacement de plusieurs effets par
un seul
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

19

a) Remplacement de plusieurs effets par un
seul
...
Quel est au taux de 6 % la valeur
nominale de l’effet de remplacement
payable dans 60 jours
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

20

V

N

VN

VNT

7800

53

413400

2480400

15000

24

360000

2160000

8950

67

599650

3597900

12000

44

528000

3168000

13000

61

793000

4758000

56750

R
...


R
...
L’équation d’équivalence s’écrit le jour
de l’achat
...
Le taux étant de 13%
...

Calculer la valeur actuelle de la cinquième mensualité
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

23

8°) Échéance moyenne
Définition
L’échéance moyenne est le cas particulier de l’échéance
commune ou la valeur de l’effet unique est égale à la somme
de valeurs nominales des effets à remplacer
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

24

Remarque
L’échéance moyenne est indépendante du taux et
de la date d’équivalence
...

Exercice:
Quelle est l’échéance moyenne de trois effets de
1500, 1700 et 2000 dh, dont les échéances
respectives sont le 22 mai, le 13 juin et le 12 mai?

R
...

La capitalisation des intérêts et leur transformation
en capital au début de chaque période de calcul
engendre des intérêts composés
...

La capitalisation est dite respectivement annuelle,
semestrielle, trimestrielle ou mensuelle
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

26

2°) Formules des intérêts composés
...

i: Le taux correspondant à la période
...

Cn: La valeur acquise par C0 à la fin de la nème période
...
DAANOUN
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27

Période

Capital en début
de période

Intérêt perçu

Capital en fin de période

1

C0

C0 i

C0 + C0 i = C0( 1 + i ) = C1

2

C0( 1 + i )

C0( 1 + i )i

C0( 1 + i ) + C0( 1 + i )i =C0( 1 + i )2 = C2

3

C0( 1 + i )2

C0( 1 + i )2i

C0( 1 + i )2 + C0( 1 + i )2i = C0( 1 + i )3 = C3

………

………

………

C0( 1 + i )n-1

C0( 1 + i )n-1i

C0( 1 + i )n-1 + C0( 1 + i )n-1i = C0( 1 + i )n = Cn

………

n

R
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

29

2-1-2) La valeur actuelle
La valeur actuelle représente le capital C0
qu’il faut placé aujourd’hui à intérêts
composés au taux i pendant une durée n
pour obtenir un capital Cn à l’échéance
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

30

2-1-3) La capitalisation et l’actualisation
a)La capitalisation consiste à rechercher la
valeur acquise d’un capital après n périodes
...


R
...
En effet, un client place son argent à une date
donnée pour le retirer quelques années et quelques mois
après
...

Pour ce genre de situations deux solutions sont proposées
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

32

2-2-1) La solution rationnelle
Elle consiste, tout simplement, à appliqué l’intérêt
simple pour les courtes durées et l’intérêt composée
pour durées à moyen ou à long terme
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

33

2-2-2) La solution commerciale
Elle consiste à généraliser la formule des intérêts
composées du paragraphe (2-1-1) de la façon
suivante:

Cn+p/q = C0( 1 + i )(n+p/q)
Remarque: La solution commerciale est toujours
inférieur à la solution rationnelle
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

34

3°) Taux proportionnels et taux équivalents
3-1) Les taux proportionnels

Deux taux sont proportionnels lorsque leur rapport
est égale au rapport des périodes respectives sur
lesquelles ils sont définis
...
p ), alors:
In = k ip

R
...

Soient in le taux d’intérêt défini sur la période n et ip le taux
proportionnel pour une période k fois plus petite (n=k
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

36

4°) Équivalence de deux effets à intérêts composés
...
A intérêts composés la date d’équivalence est
quelconque (unique pour l’intérêt simple)
...

i : le taux d’escompte
...


V 1i 

n1

1

R
...


R
...

Équation d’équivalence
Soient k effets de valeur nominale V1,V2…
...
nk
...

À la date d’équivalence, l’équation d’équivalence s’écrit:

V

R
...

L’équation d’équivalence devient:

V

1i 

V

n





1
 V  i 
j k

j 1

_nj

j

j k

V
j 
1

R
...
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41

Chapitre 4 : Les annuités
1°) Valeur acquise d’une suite d’annuités constante
1-1) Définition
On appelle annuités des versements effectués de façon
périodique
...
On parle alors d’annuités, de
semestrialités, de trimestrialités et de mensualités
...

b)Rembourser un emprunt
...


R
...

1-2-1) Valeur acquise au moment du dernier versement
C’est la somme des valeurs acquises par chaque annuité
au moment du dernier versement
...

n: Le nombre de versement
...

Vn: Valeur acquise au moment du dernier versement
...


R
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

44

D’où la somme des n valeurs acquises Vn:
Vn=a+a ( 1+ i )+a ( 1+ i )2+…
...
+ ( 1+ i )n-3+ ( 1+ i )n-2+ ( 1+ i )n-1]
Ce qui donne, en utilisant la somme des n premiers termes d’une suite
géométrique de raison (1+i) et de premier terme 1:

1i 1
a
n

Vn

R
...

Pour cela, on suppose d’abord que V0 a été accordé une
période avant le premier versement:
A la date n, c’est-à-dire lors du versement de la dernière
annuité, on a:

 i 
1
 a

n

Vn

V

R
...
DAANOUN
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1

1i 

n

i

47

Chapitre 5: Amortissement des emprunts indivis
1°) Définitions
Un emprunt est un contrat par lequel une ou plusieurs
personnes met à la disposition d’une (voir plusieurs)
personne une somme que celle-ci s’engage à rembourser
selon les clauses du contrat
...
C’est
le cas, par exemple, de prêts aux particuliers accordés par
les organismes de crédit ou banques
...
L’amortissement est donc l’annuité
diminuée des intérêts
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

48

2°) Tableau d’amortissement
C’est un tableau composé de six colonnes:
La première comprend le rang de l’annuité
...

La troisième comprend les intérêts donnés par application
du taux d’intérêt sur le capital restant dû
...

La cinquième donne l’annuité à verser à la fin de chaque
période
La sixième comprend le capital dû en fin de période
(CDFP)
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

49

Période

CDDP
Cp-1

Intérêt de
la période
Ip = Cp
...
i

m1

a1=C
...
i

m2

a2=C1
...
i

mp

ap=Cp-1
...
i

mn

an=Cn-1
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

C
50

3°) Amortissement par annuités constantes
Dans ce cas nous avons:
a1=a2=a3=…
...
an
3-1) Relation entre les amortissements
D’après le tableau d’amortissement, nous avons:
ap=Cp-1
...
i+ mp+1 avec ap=ap+1
d’où Cp-1
...
i+ mp+1 or Cp= Cp-1-mp
d’où Cp-1
...
i- mp
...
i, on obtient
mp+1=mp (1+i) (1)

R
...
Ce qui nous permet d’écrire
l’expression de l’amortissement de la pème période mp en
fonction de m1
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

52

3-2) Relation entre capital emprunté et amortissement
La somme des amortissements est égale au capital emprunté, soit
C= m1+ m2+ m3+…
...
+m1 (1+i)n-1
Soit:

1i 1 (3)
Cm
n

1

R
...
+m1 (1+i)p-1) soit

1i 

p

Cp= C- m1

R
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

55

3-4) Dette amortie (remboursée) après paiement de la p ème annuité
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

1  i 
i

p

1

1  i   1 (7)
C
n
1  i  1
p

56

4°) Amortissement constant
Dans ce cas le tableau d’amortissement est beaucoup plus
simple
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

57

De plus on obtient une relation entre les annuités de la
façon suivante:
ap=Cp-1
...
i+ m d’où
ap+1-ap=Cp
...
i or Cp=Cp-1 – m d’où
ap+1-ap=Cp-1
...
i-Cp-1
...
i soit

ap+1-ap=-m
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

58

Exemple:
Un emprunt de 1
...
000 dh, amortissable
en 5 échéances annuelles
...

Amortissement constant
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

59

Tableau d’amortissement
Échéance

1

CDDP

Intérêt

1
...
000 100
...
000

300
...
000

2

800
...
000

200
...
000 600
...
000

60
...
000

260
...
000

4

400
...
000

200
...
000 200
...
000

20
...
000

220
...
000
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

60

Chapitre 6: Amortissement des emprunts obligataire
1°) Principe
Dans le cas où le nominal de la dette est très élevé, les
emprunteurs se voient obligés de s’adresser à un grand
nombre de prêteurs
...

On a ainsi :

C=N
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

61

1-1) Caractéristiques d’une obligation
L’obligation est définie par:
Une valeur nominale V supérieur ou égale à 100 dirhams
...
Ce prix E est inférieur ou égal à V
...

Un prix de remboursement R supérieur au égal à la valeur nominal V
...
(R-V)
représente la prime de remboursement de l’obligation
...

Le coupon est l'intérêt produit par une obligation à la fin de chaque
période
...

Le nombre d’annuités n
...

R
...
L’annuité est composée des
coupons versés aux obligations encore vivantes et du
remboursement d’un certain nombre d’obligations
...

Par amortissements constants, le nombre d’obligation à
amortir à la fin de chaque période étant toujours le même
...
Dans ce cas, la
totalité des obligations est amorties à la fin de l’emprunt,
cependant les obligataires perçoivent un intérêt, à la fin de
chaque année, et pendant toute la durée de l’emprunt
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

63

2°) Emprunt à annuités constante
Établissant le tableau d’amortissement à partir d’un
exemple
...
Les modalités de cet
emprunt sont les suivantes:
Nombre d’obligation:
N=10
...
000 dh
Taux d’intérêt nominal: t=12 %
Valeur d’émission:
E=960 dh
Valeur de rachat:
R=1250 dh
Durée de l’emprunt:
n = 8 ans

R
...

Le montant
emprunté
9
...
000

R
...
000
...
250
...


R
...


R
...
309
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

68

2-4) Calcul des amortissements
Pour la ième période, désignons par Ak la valeur de
l’amortissement et par Ik celle de l’intérêt
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

69

A1 =

1109039,08

A2 =

1215506,83

A3 =

1332195,49

A4 =

1460086,25

A5 =

1600254,53

A6 =

1753878,97

A7 =

1922251,35

A8 =

2106787,48

R
...
On obtient:
Ai

Oi = Ai/R

A1=
A2=

1109039,08
1215506,83

887,231264
972,405465

A3=
A4=

1332195,49
1460086,25

1065,75639
1168,069

A5=
A6=

1600254,53
1753878,97

1280,20363
1403,10318

A7=
A8=

1922251,35
2106787,48

1537,80108
1685,42998

R
...

Il faut donc arrondir toutes les valeurs trouvées à l’entier le
plus proche
...

On obtient le nombre total d’obligations à une obligation
près par défaut ou par excès
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

72

Dans notre cas on obtient:
Oi = Ai/R
887,231264
972,405465
1065,75639
1168,069
1280,20363
1403,10318
1537,80108
1685,42998
9999,99999
R
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

Ai
1108750
1215000
1332500
1460000
1600000
1753750
1922500
2107500
12500000
74

Ce qui va se répercuter sur la valeur des annuités
...

b) Pour la même raison les nombres d’obligations ne sont
plus en progression géométrique
...
xls

R
...
DAANOUN
MATHEMATIQUES

76



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