Notesale: Turn your study into money

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---

2e partie
Chapitre 1

> Loi de probabilité


...

168

A
B
A

Événements « A et B », « A ou B », A

C
A

Exemples résolus

D
B
A

Chapitre 3

Événement et probabilité d’un événement

Exercices d’apprentissage

> Variables aléatoires


...

177


...
On tire une boule au hasard,
on note sa couleur et on la remet dans l’urne
...
Quelle est la fréquence d’apparition d’une boule bleue, d’une
boule rouge, d’une boule verte ?
b) Calculer ces fréquences pour quatre autres échantillons de 50 tirages
...

d) Quelle loi de probabilité théorique est associée à cette expérience ?

ᕢ Simulation
a) On pourrait effectivement tirer 50 fois une boule avec remise à chaque fois, ce qui est une opération longue et fastidieuse
...

Il faut trouver une façon de tirer les nombres aléatoires donnés par le tableur pour que la répartition
( 10, 10, 30 ) ou encore ( 1, 1, 3 ) soit respectée
...

Par suite, 5*ALEA() fournira un nombre réel aléatoire compris entre 0 et 5, 5 exclus
...

On pourra donc faire correspondre à la sortie du nombre 0 le tirage d’une boule bleue, à celui du
nombre 1 le tirage d’une boule rouge, et à ceux des nombres 2, 3, 4 celui d’une boule verte
...

On sélectionne ensuite la cellule A2 de façon à faire apparaître une petite croix en bas à droite de
cette cellule et on étend la sélection de façon à couvrir la zone A2 : E11
...
SI
...
SI(A2:E11;0) avant de valider
...
SI(A2:E11;1) avant de valider
...

Pour avoir la fréquence, on écrira dans la cellule I2 = H2 ⁄ 50 et il suffira d’étendre cette sélection
aux cellules I3 et I4
...


Séquence 4 – MA02

163

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b) Il suffit de sélectionner les cellules A1:I11, de copier cette sélection, de sélectionner ensuite le
cadre A13:I13 et de coller la sélection précédente
...
Il suffit alors de recommencer 3 fois cette opération
...

Il n’est pas étonnant – c’est ce que nous avons appelé en première « la loi des grands nombres » –
que la distribution des fréquences se rapproche de cette répartition
...

Bleue
Probabilité

Rouge

Verte

0,2

0,2

0,6

ᕣ Aspect théorique
Définition
Exemple

Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues e 1, e 2,
...

– Lancer d’une pièce de monnaie
...

– Lancer d’un dé à jouer
...

Simuler une expérience, c’est utiliser un procédé technique adapté à la situation envisagée et qui doit
rendre compte des conditions de l’expérience
...
, e r
...

n
Pour chacune des issues possibles, on calcule la fréquence : f 1, f 2,
...


164

Séquence 4 – MA02

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Propriétés
– Une fréquence est comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ f i ≤ 1
...
+ f r = 1
...
, f r }
...


er

f1

f2

f3


...

Les fluctuations de fréquences sont d’autant moins fortes que n est plus grand
...


B

Loi de probabilité sur un ensemble

Définitions

Ω = { ω 1, ω 2,
...
On l’appelle aussi
univers associé à cette expérience aléatoire
...
+ p n = 1
...

Définir une loi de probabilité, c’est modéliser l’expérience aléatoire
...


Exemple

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, on s’intéresse à sa couleur
...
On retient la loi de probabilité définie
dans le tableau ci-dessous
...
Le lien
entre les distributions de fréquences obtenues lors de ces simulations et les probabilités est éclairé
par la loi des grands nombres qui s’énonce de la façon suivante :
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions de fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient
grand
...
, ω n de l’expérience sont des nombres réels et qu’une loi de
probabilité est définie sur Ω
...
+ p n ω n

i=1

Séquence 4 – MA02

165

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– La variance de la loi de probabilité est le nombre V défini par :
n

V =

n

⎛
⎞
2
2
2
pi ( ωi – μ ) 2 = ⎜
p i × ω i2⎟ – μ 2 = p 1 ω 1 + p 2 ω 2 +
...


Exemples résolus

Premier
exemple

Énoncé
Un sac contient 5 jetons qui portent les lettres A, B, C, D et E
...
On note les lettres
obtenues ;
a) à l’aide d’un tableau, représenter l’ensemble Ω de tous les résultats
...


Solution
a) Un résultat peut être représenté mathématiquement par un couple ( x ; y ) où x représente la lettre du premier jeton tiré et y celle du second jeton
...

2ème
lettre

A

B

C

D

E

A

( A, A )

( A, B )

( A, C )

( A, D )

( A, E )

B

( B, A )

( B, B )

( B, C )

( B, D )

( B, E )

C

( C, A )

( C, B )

( C, C )

( C, D )

( C, E )

D

( D, A )

( D, B )

( D, C )

( D, D )

( D, E )

E

( E, A )

( E, B )

( E, C )

( E, D )

( E, E )

1ère
lettre

Second
exemple résolu

b) On peut considérer, les tirages étant réalisés au hasard, que chaque résultat a 1 chance sur 25
d’être obtenu
...

25

Énoncé
On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6
...

Face

1

2

3

4

5

6

probabilité

1
---12

a

1
-4

1
---12

1
-3

1
---12

a) Déterminer a
...


Solution
On doit avoir : p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1 , on en déduit
1
2
1
1
3
1
4
p 2 = 1 – ⎛ ---- + ---- + ---- + ---- + ---- ⎞ = ---- = --
...

12
12
12
12
12
12
3
12
11 2
3
1
4
1
1
2
188 121
V = ⎛ ---- × 1 + ---- × 2 2 + ---- × 3 2 + ---- × 4 2 + ---- × 5 2 + ---- × 6 2⎞ – ⎛ ---- ⎞ = ------- – ------⎝ 12
⎠ ⎝ 3⎠
12
12
12
12
12
12
9
20
V = ----
...

9

̈ Ces résultats peuvent être vérifiées à la calculatrice ; (bien sûr, avec la majorité des modèles nous
trouverons des résultats approchés)
...

D’une façon plus générale, si l’on considère la loi de probabilité définie par :
Valeurs

ω1

ω2

Probabilité

a1
---N

ωn

a2
---N


...
+ a n = N , on
pourrait démontrer en utilisant les formules définissant les différents paramètres statistiques, que
cette loi de probabilité a même moyenne, variance et écart-type que la série statistique :
Valeurs

ω1

ω2

effectifs

a1

ωn

a2


...

Donnons la démarche permettant d’obtenir les différents paramètres statistiques sur une TI 83 plus
...

STAT EDIT enter permet de rentrer les valeurs dans L 1 et les effectifs dans L 2
...

En appuyant sur enter, on obtient de nombreux paramètres dont la moyenne x et l’écart-type σ x
...
, ω n } est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire
...

Si A = { ω 2, ω 3 } , on dit que ω 2 et ω 3 réalisent A
...

Une loi de probabilité est définie sur l’ensemble Ω
...
On la note P ( A )
...
P ( Ω ) = 1 et Ω est appelé événement certain
...

L’univers Ω est défini par : Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
...

1
On peut donc écrire A = { 2, 4, 6 }
...

6
1 1 1
1
On en déduit P ( A ) = -- + -- + -- = --
...

1
Si l’univers Ω est composé de n résultats, chaque événement élémentaire a donc pour probabilité --
...

n
nombres de cas favorables à A
On dit aussi : P ( A ) = --------------------------------------------------------------------
...

– L’événement (A ou B), noté A ∪ B , est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé
...


Propriétés
– Si A et B sont deux événements tels que A ∩ B = ∅ , les événements A et B sont dits incompatibles et l’on a : P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
...

– Pour tout événement A, P ( A ) = 1 – P ( A )
...


168

Séquence 4 – MA02

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A
B
B

A

A∩B = ∅

A∩B≠∅

A et B sont incompatibles

C

A ∩ B désigne les résultats de la zone hachurée

Exemples résolus

Premier
exemple

Énoncé
Dans un groupe de 40 personnes, 20 s’intéressent au sport, 16 à la musique et 6 s’intéressent au
sport et à la musique
...

ᕡ Calculer

la probabilité qu’elle s’intéresse au sport ou à la musique
...


Solution
ᕡ Soit S l’événement « La personne s’intéresse au sport » et M l’événement « la personne s’intéresse
à la musique »
...


nombres de cas favorables à S
20
1
On a donc P ( S ) = -------------------------------------------------------------------- = ---- = --
...

40
5
On recherche P ( S ∪ M )
...

S ∩ M désigne l’événement : « La personne s’intéresse au sport et à la musique »
...

40
20
1 2 3
3
Donc P ( S ∪ M ) = -- + -- – ---- = --
...
Elles réalisent donc l’événement contraire de S ∪ M , soit S ∪ M
...

4
4

Énoncé

Second
exemple

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite
...


note A l’événement « obtenir au moins une fois pile »
...

En déduire la probabilité de l’événement A
...


À cette expérience on peut associer l’univers des résultats possibles :
Ω = { PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF }
...

1
La probabilité de l’événement élémentaire ( FFF ) est donc : P ( FFF ) = --
...

8
7
Par suite P ( A ) = 1 – P ( A ) = --
...
Le disque de rayon 10 cm définit la zone A, la couronne noire la zone B, et la couronne blanche extérieure la
zone C
...

Définir sur Ω = { A, B, C } une loi de probabilité pour modéliser cette expérience
...
Les résultats sont consignés
dans le tableau ci-dessous
...

On lance le dé une fois
...


170

Séquence 4 – MA02

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Exercice ᕣ

Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4 indiscernables au toucher
...
On note leur numéro
...


est la probabilité de chaque issue ?

Dans un exercice de lecture sur ordinateur, les quatre mots de la phrase : « Claire aime les voyages »
sont affichés en désordre à l’écran
...

Calculer la probabilité pour que l’affichage proposé par l’ordinateur :
ᕡ commence
ᕢ contienne

Exercice ᕥ

par le mot « Claire »

les deux mots « les » et « voyages » successivement et dans cet ordre
...

ᕡ Calculer

la probabilité de chacun des événements suivants :

A : « la carte est un cœur » ;
B : « la carte est un roi »
...


Un nombre de cinq chiffres est composé uniquement des chiffres 1 et 2
...

ᕡ Combien
ᕢ On

y a-t-il de tels nombres ?

choisit l’un de ces nombres au hasard
...

ᕡ Voici un diagramme : Ω est l’ensemble de toutes les vis, A celui des vis ayant le défaut (a), B celui
des vis ayant le défaut (b)
...

A
B

A

200

B

Indiquer les nombres dans les trois autres parties de Ω
...

ᕢ On

choisit une vis au hasard dans ce lot
...
Définir une variable aléatoire X sur Ω consiste à associer un nombre réel à chaque résultat
...

Dans l’exemple 2 du chapitre 2, nous avons vu que l’univers associé à cette expérience était :
Ω = { PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF }
...
La fonction X qui à chaque issue associe le gain (positif ou négatif) est une variable
aléatoire sur Ω
...

Nous pouvons la visualiser à l’aide du schéma suivant :

B

Loi de probabilité

Exemple

Reprenons l’exemple précédent et cherchons, par exemple, la probabilité de l’événement « gagner
1 € », événement que l’on note ( X = 1 )
...
Or P ( A ) = --
...

8
Le tableau suivant représente ce qu’on appelle la loi de probabilité de X
...

Ω′ = { x 1, x 2,
...

Lorsqu’on associe à chaque valeur x i la probabilité de l’événement ( X = x i ) , on admet que l’on définit ainsi une loi de probabilité sur Ω′
...

On la présente souvent sous la forme du tableau :
xi

x1

x2


...


pm

m

Remarques

̈–

D’après la définition d’une loi de probabilité, on a donc

∑

P ( X = xi ) = 1
...

Sur Ω′ , elle ne l’est plus
...

On obtient donc :
l’espérance de la loi variable aléatoire X est le nombre noté E ( X ) défini par :
n

∑

E(X) =

p i x i = p 1 x 1 + p 2 x 2 +
...
+ p n x n – E ( X ) 2

et l’écart-type σ ( X ) =

Calculs sur
notre exemple

V(X)
...

1
3
3
1
24
V ( X ) = ( – 3 ) 2 × -- + ( – 1 ) 2 × ⎛ --⎞ + 1 2 × -- + 3 2 × -- – 0 2 = ---- = 3
...


Énoncé
On lance deux dés équilibrés, l’un rouge et l’autre noir
...

On considère la fonction S définie Ω, qui à tout couple ( x ; y ) associe x + y
...

Séquence 4 – MA02

173

© Cned – Académie en ligne

ᕢ Présenter Ω sous
ᕣ Définir

forme de tableau en indiquant les images de chacun des couples par S
...
Quelle est la somme la plus probable ?

ᕤ Calculer
ᕥ Donner

l’espérance E ( S ) et l’écart-type σ ( S )
...


Solution
ᕡ

Ω′ = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 }
...

utilisons sur Ω une loi équirépartie, donc chacun des résultats d’une case du tableau ci-des1
sus a pour probabilité ----
...

si

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P ( S = si )

1
---36

2
---36

3
---36

4
---36

5
---36

6
---36

5
---36

4
---36

3
---36

2
---36

1
---36

On vérifie que

∑ P ( S = si )

= 1
...

ᕤ

1
2
1
E ( S ) = ---- × 2 + ---- × 3 +
...

36
36
36

1
2
1
35
V ( S ) = E ( S 2 ) – ( E ( S ) ) 2 = ---- × 2 2 + ---- × 3 2 +
...

6

ᕥ Nous allons simuler cette expérience avec une TI-83 Plus mais nous pourrions écrire des programmes analogues avec d’autres calculatrices
...


174

Séquence 4 – MA02

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Remarques sur
le programme
précédent

̈ L’instruction

Input (lire) se trouve dans le menu PRGM suivi de I/O
...


̈ L’instruction

For (qui débute une boucle) se trouve dans le menu PRGM CTL
...

̈ L’instruction

End (fin de boucle) se trouve dans le menu PRGM CTL
...


Les trois premiers écrans donnent simplement le programme : la liste L1 contient les résultats possibles pour la somme des deux dés (1 a été gardé par souci de simplicité mais bien évidemment sa fréquence sera toujours égale à 0) ; la liste L2 contient les effectifs et L3 les fréquences d’apparition
...


Les 3 écrans suivants donnent les résultats issus de l’exécution de ce programme avec N = 1 000
...


Séquence 4 – MA02

175

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C

Exercices d’apprentissage

Exercice ᕡ

Voici un tableau donnant la loi de probabilité d’une variable aléatoire Y
...


E ( Y ) et σ ( Y )
...

Un des billets rapporte un lot de 500 euros, deux billets un lot de 150 euros et cinq billets un lot de
100 euros
...

G est la variable aléatoire définie sur Ω égale au gain algébrique procuré par le billet
...


ᕣ Calculer

Exercice ᕣ

l’espérance mathématique de G
...
Pour chaque question, il
choisit une réponse parmi les trois qui lui sont proposées ; une seule de ces trois réponses est exacte
...


a) Calculer la probabilité de l’événement ( X = 3 )
...

Calculer la probabilité qu’il soit reçu
...

À chaque résultat on associe 1 lorsque la suite des 10 lancers contient au moins trois résultats successifs identiques et 0 sinon
...

ᕡ Simuler

l’expérience aléatoire
...


Une enquête statistique a montré que parmi les élèves d’un lycée ( E ) , 50 % s’intéressent à la musique ( M ) , 45 % à la lecture ( L ) , 60 % au sport ( S )
...

On interroge un élève pris au hasard et on note F l’événement « il ne s’intéresse à aucun de ces trois
pôles »
...

P ( M ∪ L ∪ S )
...


La fermeture de sécurité d’un cartable est assurée par la composition d’un code de trois chiffres,
obtenu en faisant tourner trois molettes portant les chiffres de 0 à 9
...

On note A, B et C les événements suivants :
A : « le code est bon »
B : « le code est formé de trois chiffres distincts »
C : « Le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement »
Déterminer P ( A ) , P ( B ) , P ( C )
...
Cet ascenseur dessert cinq étages
...
Une issue est représentée par une suite de trois numéros d’étage
...
Calculer la probabilité de l’événement
A : « toutes les personnes descendent au même étage »
...


Déterminer la probabilité de B
...
Un scarabée se déplace sur les arêtes de ce tétraèdre, et uniquement
sur les arêtes
...

ᕡÀ

l’aide d’un arbre, écrire les trajets possibles d’une durée de trois minutes
...


a) Déterminer la loi de probabilité de X
...


Exercice ᕦ

L’erreur du chevalier de Méré
...
Le
chevalier de Méré constatait qu’en pratique on gagnait plus souvent avec 11 qu’avec 12
...

Donc la probabilité de marquer 11 points est égale à celle d’en marquer 12
...
Or, si l’on
veut distinguer des issues équiprobables, il faut distinguer les dés
...


ᕢ Vérifier

qu’il y a vingt-sept façons d’obtenir 11 et vingt-cinq d’obtenir 12
...


Le chevalier de Méré, homme de lettres et philosophe, vécut de 1607 à 1684
...
Il se
trouve que son intérêt pour ces questions, ainsi que les discussions qu’il eût avec Pascal, en font un
précurseur essentiel des probabilités
...


Les 10 chiffres se succédant peuvent représenter 10 lancers de pièce
...

Les chiffres compris entre 5 et 9, 9 compris, simulent face
...


Exercice ᕣ

Pour déterminer le nombre de cas favorables à B, vous pouvez ébaucher l’arbre des possibilités ou raisonner sur le nombre de façons de choisir le premier chiffre du code, puis le second, le premier ayant
été choisi et enfin le troisième, le deuxième ayant été choisi
...


Exercice ᕤ

ᕣ Penser

Exercice ᕦ

ᕢ Remarquer

à utiliser l’événement contraire
...
■

Séquence 4 – MA02

179

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