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Document créé le 15 mai 2014

Lien vers les solutions des exercices

Lien vers le cours de ce chapitre

Chapitre 20
Intégration
20
...
1
...

Exercice 20
...
2 (**)
√
Montrer que x → x est uniformément continue sur R+ (on demande deux méthodes)
...
1
...

Donner un contre-exemple quand on ne suppose plus que f et g sont bornés
...
1
...

x→−∞

x→+∞

Montrer que f est uniformément continue sur R
...
1
...

On suppose ∃ k > 0, ∀ x, y ∈ [a, b] (avec x = y), |f (y) − f (x)| < k|y 3 − x3 |
...
Montrer que f est uniformément continue sur [a, b]
...
Montrer que ϕ : x → f (x) − kx3 est strictement monotone sur [a, b]
...
On suppose que pour tout x de [a, b], ka3 f (x) kb3
...

Exercice 20
...
6 (** )
Soient f et g deux applications continues sur le segment [a, b], à valeurs réelles
...

x∈[a,b]

Montrer que l’application M est lipschitzienne sur R
...
2 Sommes de Riemann

Chapitre 20 : Intégration

Exercice 20
...
7 (***)
On se donne un réel α de ]0, 1[
...

Exercice 20
...
8 (***)
Soit f : R → R, uniformément continue
...
2

a|x| + b
...
2
...


Exercice 20
...
2 (*)
k=pn

Calculer la limite quand n tend vers +∞, de Sn =
k=n

1
k

(avec p ∈ N∗ )
...
2
...

n→+∞
n n k=1
Exercice 20
...
4 (**)
n−1

√

Calculer lim Sn , avec Sn =
n→+∞

k=0

1

...
2
...
2
...


)

Calculer lim Sn , avec Sn =
n→+∞

1 (2n)!
n n!

1/n


...
2
...

nx+1

Exercice 20
...
8 (**)
Soit f une application continue sur [0, 1], strictement positive
...


mathprepa
...
3 Propriétés de l’intégrale

Chapitre 20 : Intégration

Exercice 20
...
9 (***)

f (0)

=0
Soit f : [0, a] → [0, b], continue strictement croissante, avec 

...

f (a) = b
a
b
1
...
(utiliser des sommes de Riemann
...
Montrer que : ∀ u ∈ [0, a], ∀ v ∈ [0, b] , uv

0

v

f (x) dx +

0

g(x) dx
...
2
...
Montrer que lim
(−1)k f
= 0
...
2
...

1
n→+∞ n

n−1

Montrer que lim

f
k=0

k
k+1
g
=
n
n

1
0

f (x)g(x) dx
...
2
...

n2 + kn

Exercice 20
...
13 (***)
Soit f une application de classe C3 sur [a, b], et n ∈ N∗
...

[a,b]

n−1

b−a
k
f
, et on définit de même Sn (f ) et Sn (f )
...
Montrer que
2n
6n2
24n3
a
b
b−a
(b − a)2
1
2
...
3

Propriétés de l’intégrale

Exercice 20
...
1 (*)
√
1
1
1
Montrer que Sn ∼ 2 n, avec Sn = 1 + √ + √ + · · · + √
...
3
...

b
b 1
Pour toute application f de E, on pose I(f ) = f (x) dx
dx
...
Montrer que pour toute f dans E, I(f ) (b − a)2
...
Montrer plus précisément que {I(f ), f ∈ E} = [(b − a)2 , +∞[
...
fr

Page 3

20
...
3
...


f (x) dx =
a

a

Montrer que f garde un signe constant sur [a, b]
...
3
...

b
(b − a)2 b 2
f (x) dx
...
3
...

x

Exercice 20
...
6 (**)
Soit f une application continue et positive sur [a, b]
...


a

Exercice 20
...
7 (**)
Soit f : [a, b] → R, continue par morceaux
...


Montrer que lim

λ→+∞

a

Indication : commencer par supposer que f est la fonction caractéristique d’un sous-segment de [a, b],
puis qu’elle est en escaliers
...
3
...

b
2 b
Prouver lim
f (x)| sin λx| dx =
f (x) dx
...

Exercice 20
...
9 (**)
Soit f une application continue sur [0, 1]
...


Exercice 20
...
10 (**)
Soit f une applicationde classe C1 sur [0, 1], telle que f (1) = 0
...
)

mathprepa
...
4 Intégrales fonctions de leurs bornes

20
...
4
...

ln t
ln x

Exercice 20
...
2 (*)
x

Montrer que

e

ln ln t dt ∼ x ln ln x au voisinage de +∞
...
4
...
4
...


)
sin t
b
dt = ln (avec 0 < a < b)
...
4
...

t

mathprepa

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