Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

Rappels et compléments mathématiques
I
...
1 Champ scalaire
Un champ scalaire est une fonction à plusieurs variables qui, à chaque point M
de l’espace fait correspondre un scalaire f(x,y,z)
...

I
...

- Ligne de champ : Une ligne de champ est une courbe tangente au champ
vectoriel
...

- Champ uniforme : C’est un champ où tout les vecteurs ont le même module,
même direction et même sens
...

- Champ radial : C’est un champ dans lequel les vecteurs passent par un point
fixe O
...


II
...
1 Opérateur nabla ∇
Définition : L’opérateur nabla est un opérateur de dérivation
...
1
...

r
- Scalaire : ∇f = grad f , appelé gradient de f c’est un vecteur :
r
∂f r ∂f r ∂f r
En coordonnées cartésiennes : ∇f = grad f =
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
on a aussi :

,

df = grad f
...
V = div V , appelé divergence de V , c’est un scalaire
...
V = div V = x + y + z
∂x
∂y
∂z
r r
r
r
▪ ∇ ∧ V = rot V , appelé rotationnel de V , c’est un vecteur
...
Intégration
III
...
d l =

∫ E
...
cos θ

AB

r
W
(
F
)=
Exemple d’application : Travail d’une force :
A −>B

∫

r r
F
...
2 Flux d’un vecteur à travers une surface
r

Considérons un élément de surface dS traversé par un champ E
...
dS = E
...
dS = E
...
cos α

∫∫
S

∫∫
S

r
n

Remarque : Orientation d’une surface

S

- Si la surface S est fermée, elle est orientée de l’intérieur
vers l’extérieur
...


C

+

III
...
dS u
...
cos θ
surface dS est donnée par : dΩ =
=
=
r²
r²
r²

u
n

IV Théorèmes fondamentaux
IV
...
On montre que :

∫

r r
E
...
dS

S

IV
...
On montre que :

∫∫

S fermée

r r
E
...
dv

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

1ère Partie

ELECTROSTATIQUE

Chapitre I

LOI DE COULOMB

Electrostatique : Etude des interactions électriques des particules
chargées immobiles ("statiques")
I
...
1 Constitution de la matière
•

matière ---> atomes

•

atomes ---> noyaux, électrons

Electrons
Protons

1 atome Æ Z électrons + noyau

•

1 noyau --> ( Z protons + A – Z neutrons)

Masse

-e = - 1,6 10-19 C

9,1 10-31 kg

+e = + 1,6 10-19 C 1,672 10-27 kg

Neutrons

•

charge

0

1,675 10-27 kg

I
...


•

à l'échelle macroscopique, la "charge électrique" portée par un corps
correspond à un défaut ou un excès d'électrons
...


•

Toute charge Q est un multiple entier de la charge de l’eléctron : Q = ± n
...
Lorsque une charge électrique est crée, elle ne peut pas se
déplacer (bois, verre, papier …)
...
Les e- libres permettent le déplacement de cette charge
...
Les gaz ionisés
sont conducteurs
...
Répartition des charges : différentes distributions de charges
II
...

II
...


charge totale sur le fil :

∫

∫

dq = λ
...
dl , si λ = cte alors Q = λ
...


charge totale sur la surface :

∫

∫

dq = σ
...
ds , si σ = cte

alors

Q = σ
...
La Charge totale dans le volume V

∫

∫

dq = ρdv → Q = dq = ρ
...
V

III
...
109 SI

r
r
F21 = - F12 , si q1 et q2 de même signes

Æ répulsion,

si q1 et q2 de signes contraire Æ attraction
Remarques: - Unités : F en Newton, q1 et q2 en Coulomb, r en mètre,
- la loi de Coulomb est valable pour r > 10-12m,
- q1 et q2 immobiles, sinon apparition des forces électromagnétiques
...
10-11SI,
r²

1 e²
F
=
e
- Force électrostatique :
4πε 0 r ²
Fe
1
e²
=
, e = 1,610 −19 C , m e = 9,1
...
10 42 → Fe = 4
...

- Force électrostatique exécrée par un ensemble de charges sur une charge q
(Principe de superposition) :
Un ensemble de charges q1 , q2, q3 … qn exercent sur une charge q des forces :

r
Fi =

1 q qi
4 πε0 ri 2

r
ui

la résultante des forces exercées sur q sera :

r nr
F = ∑ Fi =
i =1

q

n

∑

4 πε0 i =1

r
u
r2 i

qi
i

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

1ère partie

Chapitre II

Champ électrostatique dans le vide

I
...


II
...
1 Champ crée par une charge ponctuelle

r

r
E
...
Elle est soumise
à une force F :

A
q

r
r
1 q r
1 qq' r
E=
u
u = q' E
d’où :
champ crée en M par q
4πε0 r ²
4πε 0 r ²
r
r
q < 0 E dirigé vers q, q > 0 E s’éloigne de q
r
si r Æ ∞ , E Æ 0, si r Æ 0, la charge n’est plus considérer ponctuelle
...
2 Champ crée par plusieurs charges ponctuelles
r
Chaque charge qi placée en Ai, crée en M un champ E i :
avec ri = AiM
...
Champ électrostatique crée par une distribution de charges
Pour calculer le champ crée par une distribution de charges, on se ramène au
calcul du champ crée par des charges ponctuelles en considérant des charges
élémentaires dq
...
1 Cas d’une distribution de charges linéïque

r
dE =

Un élément de longueur dl en A porte
la charge dq = λ
...
dq crée en M un champ :

Le champ crée en M par toutes les charges du fil sera :

III
...
dl r
u
r²
r
λ
...
3 Cas d’une distribution de charges volumique
De même, dans ce cas le champ crée par toutes
les charges répartis dans le volume V, sera :
Remarque :
•
o

r
Méthodologie de calcul de E :

r
E =

1

4πε0

∫∫∫

v

ρ×dv
r2

décomposer la distribution en éléments de distribution ponctuels"
...

r
r
E = ∫ dE

est défini par ses 3 composantes qu'il faut calculer séparément
...


r
u

IV
...

Equation des lignes de champ : si dl est un élément d’une ligne de champ, on a :

r r
r r
r
d l // E → E ∧ d l = 0 , cette équation permet d’obtenir les lignes de champ
...


V
...
1 Flux du champ électrique
...
Par

définition le flux élémentaire est donné par :

r
dφ = E
...
ndS
•

A travers la surface entière S :

r
r
φ = ∫∫ E
...
2 Flux du champ E créé par une charge ponctuelle
V
...
1 à travers un élément de surface

r r rr
dφ = E
...
ndS = E × dS × cos θ

dφ =

q
4 πε 0

dS×cos θ
r²

dS×cosθ
Par définition,
est l’angle solide dΩ sous lequel, depuis le point O, on
r²
voit la surface dS
...


dφ = −

r
- Si n est orienté en sens inverse, nous aurions

q
dΩ
4πε0

V
...
2 Flux du champ E à travers une surface fermée
•

Cas ou la charge q est à l’intérieur à la surface
r

Comme la surface est fermée, n est orienté vers l’extérieur, et le flux
r
de E crée par la charge q placé en O est un flux sortant
...
Le même angle solide
d Ω de sommet O, découpe sur S deux
éléments de surface dS et dS' , dont les
normales, toutes deux orientées vers
l'extérieur de la surface fermée S, sont

q

4πε0

Ω

S

Ω est l’angle solide, sous lequel de O, on voit la surface S
...
Donc, au total, le flux de
à travers S est nul
...
Les charges qext, situées à l’extérieur de S, créent un champ électrostatique
dont le flux à travers S est nul
...

ε0

D’une manière générale, on écrit :

Application du théorème de Gauss

φ =

∫∫

S fermée

r
E

r ∑qint
r
E
...
Pour cela Il faut :
- déterminer la symétrie de la distribution de charge,
- choisir une surface fermée,
- calculer le flux à travers la surface fermée,
r
- appliquer le théorème de Gauss et en déduire le champ E
...
3 Expression locale du théorème de Gauss

Pour une distribution volumique de charge contenue dans un volume V, et ayant
une densité volumique ρ le théorème de Gauss devient :

r
r r
r
φ( E ) = ∫∫
E
...
dv

r
r r
q int
∑
devient
φ(E) = ∫∫
E
...
Symétries de distributions de charges : Règles de symétrie
Symétrie plane Une distribution est symétrique par rapport à un plan P, si pour
deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge
vérifie : ρ ( M )

= ρ( M ' )
...


Antisymétrie plane Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan P, si
pour deux points M et M’ symétriques par rapport à P, la densité de charge
vérifie : ρ( M )

= − ρ( M ' )
...


Invariance par translation Si la distribution de charge est
invariante dans toute
r
translation parallèle à Oz alors le champ électrostatique E ne dépend pas de z (il
dépend des autres coordonnées)
...
L’axe Oz est un
rotation θ autour de Oz alors le champ
axe de symétrie
(axe de révolution)
...
E est porté par l’axe de symétrie
...


r
E
En coordonnées cylindriques
(ρ,θ,z) le champ électrostatique
est parallèle à
r
r
r
e ρ ne dépend que de ρ : E = E(ρ)e ρ

Symétrie sphérique
La distribution de charges a symétrie sphérique est invariante par rotation autour
de tous les axes passant par un point O de la distribution : O est alors un centre
de symétrie
...

Exemples d’application du théorème de Gauss
r

Exemple 1: Calcul de E créé par une sphère chargée, en un point M
...

- Choix de la surface de Gauss : On choisit la surface

O

S

R

r

d’une sphère de centre O et de rayon r = OM
...
dS = ∫∫ E
...
S = E
...

4
π
r
²
=
- Théorème de Gauss :
ε0
1er cas : r < R

∑ qi

4
= ρ
...
r r
→ E=
er
3ε 0

E

r

ρR
3ε

r
4
Q r
3
ème
q

...


r

Exemple 2: Calcul de E créé par une couche de charges comprise entre
deux sphères concentriques
...

- Surface de Gauss : On choisit
la surface S de la sphère de
r
centre O et de rayon r = OM
...
dS = ∫∫ E
...
S = E
...
4πr ² =
- Théorème de Gauss :
1er cas : r < R1
2

ème

∑ qi
ε0

r r
∑q = 0 → E = 0
i

4
3
cas : r > R2 ∑q i = ρ
...
π ( r 3
i
3

ρ(R 2 3 R 1 3 ) r
Q r
e =
er
4 πε 0 r ² r
3ε 0 r ²

r ρ( r 3 R 1 3 ) r
R1 ) → E =
er
3ε 0 r ²
3

r
en R1 et en R2 il y’a continuité du champ E
...


R
1

Exemple 3: Calcul de
Exemple 4: Calcul de
Exemple 5: Calcul de

R
2

r
E créé par une sphère chargée en surface
...

r
E créé par un plan chargé de dimensions infinies
...
R
...
Circulation du champ électrostatique
I
...
d l où
B

r
d l désigne le déplacement élémentaire le long de la

courbe Γ
...
2 Conservation de la circulation du champ électrostatique
La circulation élémentaire d’un champ

r r
E
...
dr
q
1
e r
...
d r =
B

Γ est donc :

q
1 1
( − )
4πε 0 rA rB

Cette circulation ne dépend pas du chemin Γ pour aller de A à B : la circulation se
conserve lorsque nous passons d’un chemin Γ à un chemin Γ ’ reliant les points
A et B : la circulation du champ est conservative
...
Potentiel crée par une charge ponctuelle
une charge ponctuelle qi placé en O, crée à la distance r le potentiel scalaire V
donné par :

•

V =

q
4πε 0 r

+ cte

C'est un champ scalaire
...
dl

Remarques :
Le potentiel V est défini à une constante près
...
d que l’action des charges tend vers
zéro lorsque r tend vers l’infini
...

V croît des charges - aux charges + (sens de croissance de V opposé à

o
o
o
o

)

Les surfaces de potentiel constant sont appelées équipotentielles
V est un scalaire exprimé en Volt (V)
r
r
De la relation E = −gradV on peut calculer E connaissant V : on a

- En coordonnées cartésiennes :

E x = − ∂∂Vx ,

E y = − ∂∂Vy ,

- En coordonnées cylindriques :

E r = − ∂∂Vr , Eθ = − 1r

∂V
∂ϑ

E z = − ∂∂Vz

, E z = − ∂∂Vz

Les champs et les potentiels électriques ont été exprimés dans le
cas où les charges sont dans le vide
...
109 SI , ε 0 est la permittivité du vide
...


III
...
qn
est la somme des potentiels crée par chacune des charges au point M :

V =

1

4πε 0

∑ε

qi
i

+ cte

i

IV
...
dl
r

∑

qi
ri

:

pour un fil chargé Æ

V=

1
4πε 0

∫

λ
...
ds
pour une surface chargée Æ
r

V=

ρ
...
ds
r

ρ
...

r

V
...
1 surfaces équipotentielles
C’est l’ensemble des points M pour lesquels : V(x,y,z) = cte
V
...


r
Considérons deux point M et M’ d’une surface équipotentielle : on a, MM' = d l
et dV = 0 (potentiel constant)
...
d l et E = −gradV

r r
donc E
...


Conclusion : les lignes de champ sont normales aux surfaces équipotentielles
...

- Lignes de champs : elles sont normales aux
surfaces équipotentielles
Æ ce sont les rayons des sphères centrées sur la

q>0

Surfaces
équipotentielles

charge q
...
Travail de la force électrostatique

r
r
F
=
q

...
d l = qE
...
gradV
...
Energie potentielle d’interaction électrostatique
VII
...
E = −gradWp , et puisque E = -gradV on en déduit : Wp = q
...

Ainsi pour une charge q1 placé en M1 sous l’action du potentiel V2(M1) créé par
une autre charge q2, l’énergie électrostatique est :

E e = q 1
...
V1 (M 2 ) = (q 1
...
V1 )
4πε 0 r
4πε 0 r
2

VII
...
Pour l’ensemble des
charges, l’énergie électrostatique sera : E e

=

1
∑ q i Vi
2 i

VII
...
V
...
V
...
V
...


Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

Dipôle électrostatique

1ère partie

Chapitre IV
I
...

Moment dipolaire :

r
r
C’est le vecteur : p = q
...

Dans SI, p s’exprime en C
...
Cette unité étant très grande on utilise le debye(D) :

1D = 13
...
m
Exemple de dipôle : molécule polaire : H2O
II
...

On suppose r >> a=AB, O étant le milieu de AB
...
OM cos θ = r ² +

a²
− a
...
cos θ
4

a
a²
soit : BM = r
...
1 + cos θ +
r
4r ²
D’où :

1
1
−
−
q ⎡⎢⎛ a
a² ⎞ 2 ⎛ a
a ² ⎞ 2 ⎤⎥
V=
⎜1 − cos θ +
⎟ − ⎜1 + cos θ +
⎟
4πε 0 r ⎢⎝
r
4r ² ⎠
r
4r ² ⎠ ⎥
⎝
⎦
⎣

r >> a d’où a/r << 1, on peut utiliser le développement limité au 1er ordre de la
forme (1+x)n ou (1-x)n :
On obtient :

V=

q ⎡⎛
a
a
⎞ ⎛
⎞⎤
1
+
cos
θ
−
1
−
cos
θ
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
4πε 0 r ⎢⎣⎝ 2r
⎠ ⎝ 2r
⎠⎦

rr
q
...
cos θ
p
...
Ce plan est une
surface équipotentielle
...
Champ électrostatique créé par un dipôle
Comme V ne dépend que de r et de θ, seules les composantes Er et Eθ de

r
r
r
E
=
−
gra
d
V , donc :
E seront non nulles
...
cosθ
3
∂r
4πε 0 r
⎪
r ⎪
E ⎨Eϑ =− 1r ∂∂Vθ = 4pπε
...

r²
r

r
r
Æ pour M éloigné, E et V créés par le dipôle seront négligeable / à E et V créés
par des charges situées à proximité du dipôle
...
Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle
IV
...
On a :

⎧E
⎧ dr
r⎪
r
r⎪ r
r
r r r
dr E
E
et
d
l
gents
E
,
d
l
,
tan
→
^ d l = 0, donc : rdθ
...
E θ = 0 → = r dθ
E⎨
⎨
r Eθ
⎪E
⎪rdθ
⎩
⎩ θ

soit :

dr
cos θ
=2
dθ → Lnr = 2
...
sin ²θ
r
sin θ

IV
...
Soit :
V=

p
...


Surface

V
...
1 Energie interne du dipôle

Ligne de
champ

C’est l’énergie contenu dans le dipôle, c’est à dire dans les deux charges – q et
+q situées à la distance a l’une de l’autre
...

Supposons – q en A et amenons +q de l’infini à B
...
d l = −

q²
( −dr ) ,
4πε 0 r ²

car r décroit Æ dl<0 et dT < 0

dT correspond à la variation de l’énergie interne du dipôle
...
dl = ∫ 4πε 0

dr
r²

∞

= 4πε−q0² a = W f −Wi <0

V
...
On a : T = q ( Vfinal - Vinitial )
- pour (-q) on a : T∞ → A = (− q

)(VA − 0 ) =

− qVA

- pour (+q) on a : T∞ → B = (+ q

)(VB − 0 ) =

+ qVB

donc : W = q
...
VA = q ( VB – VA)
Or :

r
dV = gradV
...
d l

B
r r B
r r
VA − VB = − dV = E
...
dl
...
cos α
...
cos α
...
AB
B

B

∫

∫

A

D’où :

A

∫

∫

A

Wdipôle = q (VB − VA

A

) = −q
...
AB = −pr
...
3 Mouvement du dipôle dans un champ E uniforme
E

Le dipôle est soumis à un couple de forces :

FB

Même intensité, directions différentes
A
-q

et sens opposés
...


B
+q

FA

)

r r
r
r
r r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
(
Γ = OA^ FA + OB^ FB = OA^ −q
...
E = OB −OA ^ q
...
E = q
...
E
...

Application : Matérialisation des lignes de champ : les particules qui sont des
dipôles (par exemple les grains de semoule), plongé dans E, s’orientent en
dessinant les lignes de champ
...
R
...
Définitions
I
...

I
...


II
...
Appliquons le théorème de

r

Gauss en un point M du conducteur : divE =

ρ
,
ε0

r r
puisque E = 0 → ρ = 0

Donc la charge du conducteur ne peut être que surfacique, avec une densité σ
...
Champ au voisinage d’un conducteur en équilibre
III
...

M un point très près de la surface du conducteur
...


Appliquons le théorème de Gauss :

∫∫

r r
r
r
r
E
...
dS = φS1 ( E ) = E
...
S

S

1

ε0

ε0

r σr
→E= n
ε0

Théorème
de Coulomb

n étant le vecteur unitaire normal à la surface
...
2 Pouvoir des pointes
L’expérience montre que la densité de charge σ varie en sens inverse du rayon
de courbure R de la surface du conducteur
...

Il est donc impossible de conserver la charge d’un conducteur muni de pointes
...


III
...

Cherchons la force dF appliquée à la charge dq portée par dS :

dF = E1
...
dS,

E1 champ crée par Q- σdS

E2 : champ crée par σ dS : puisque dS est circulaire le champ crée par un disque
circulaire en un point très voisin de la surface est : E2 = σ/2
...
dS = σ²/2ε0
...
dS r
dF =

...
Capacité d’un conducteur en équilibre
Lorsqu’un conducteur en équilibre est seul dans l’espace, sa charge est
proportionnelle à son potentiel
...


c=

Q
V

La capacité C caractérise le conducteur, elle dépend de la forme et des
dimensions géométrique du conducteur
...

Q est réparti sur la surface avec une densité constante σ
...

Calculons V au centre de la sphère :

V =

1

4πε 0

∫∫

σ
...
dS =

Q
4πε 0 R

→C =

Q
V

= 4πε 0 R

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

1ère partie

Influence électrostatique

Chapitre VI

et condensateurs

I
...
1 Influence subie par un conducteur isolé
r

r

B un conducteur isolé ne porte aucune charge : Q = 0, V = 0, E = 0
...

•

action de A sur B => B influencé par A : des charges - apparaissent sur la
partie de B proche de A et des charges + sur la partie la plus éloignée
...

Conclusion : le phénomène d’influence ne modifie pas la charge totale d’un
conducteur isolé, mais modifie uniquement la répartition de cette charge sur sa
surface et donc son potentiel
...


I
...


Lorsqu’on approche de B le corps A chargé positivement, il apparaît que des
charges – sur B, alors qu’il y’a déplacement des charges + vers la terre (c
...

A

B

V=0

Conclusion : Dans ce cas, le phénomène d’influence ne modifie pas le potentiel
du conducteur, mais modifie sa charge totale et la répartition de cette charge
...
3 L'influence totale
...
On a le phénomène suivant :
- Il apparaît, par influence totale, une charge Q' = - Q sur
la surface intérieure de B
...
On distingue 3 cas :
1èr cas : B isolé et initialement neutre
...


II
...
Vn ; et portant les
charges Q1, Q2,…
...
On montre que les charges Q1, Q2,…
...
C1nVn

,

Q2 = C21V2+ C22V2 +…
...


Qn = Cn1V1+ Cn2V2 +…
...

Remarque : La capacité Cii du conducteur i en présence des autres conducteurs
est différente de sa capacité Ci lorsqu’il est seul
...
Les condensateurs
III
...
Les deux
conducteurs sont appelés armatures du
condensateur
...

Soient V1 et V2 les potentiels respectifs des
des armatures interne et externe
...

V1 − V2

Représentation symbolique :

III
...
dS , on calcul
S

V1 − V2 = ∫

C = V1 Q−V2

2

1

r r
E
...

Entre les armatures E est uniforme :

r
E=

σ
ε0

r
n,

Calculons la circulation de E :

∫

A2

A1

r r V2
E
...
e = V1 − V2 → E = V1 −eV2
V1

D’autre part une portion du conducteur de surface S porte la charge Q = σ
...
Se

Pour
augmenter C il faut remplacer le vide par de la matière, c'est-à-dire ε0 par
ε0 εr
...
d
...
3 Groupements de condensateurs
Un condensateur est caractérisé par sa capacité et la d
...
p qu’il peut supporter
...
d
...

•

Dans ce groupement tous les condensateurs
portent la même charge Q,

•

La d
...
p entre A et B est la somme des Vi :
VA - VB = V1 + V2 + V3

•

Le Condensateur équivalent aura la même
charge Q sous la d
...
p V de l'ensemble en
série
...
d
...


→

1
1
1
1
=
+
+
C e C1 C 2 C 3
1
1
=∑
Ce
i Ci

- Groupement en parallèle
...
d
...

•

Le Condensateur équivalent aura la charge
Q = Q1 + Q2 + Q3 sous la d
...
p V
...
V = Q1 + Q 2 + Q3 = C1
...
V + C 3
...
V

→

C = C1 + C 2 + C 3

Pour un groupement en parallèle de n condensateurs, la capacité du
n

condensateur équivalent sera : C = ∑ C i
i =1

III
...
L’expérience montre que l’utilisation de l’isolant permet d’augmenter la
capacité du condensateur :C = εr C0 ,
ou C est la capacité du condensateur avec un isolant entre les armatures, et C0
sa capacité lorsqu’il n’ y a rien entre les armatures « du vide »,
εr sans unité, est la permittivité relative de l’isolant ou constante diélectrique, elle
ne dépend que de la nature de l’isolant
...

Exemples : Valeurs de εr pour quelques isolants :
Verres : εr de 4 à 7,

mica : εr = 8,

air : εr = 1,00058

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

1ère partie

Energie électrostatique

Chapitre VII
I
...


II
...
Energie d’un système de charges ponctuelles
Chacune des charges est soumise à l’action du champ électrostatique créé
par les autres charges
...
V2 =

q 1
...
r12

- q1 en A1, q2 en A2, on amène q3 de l’infini à A3 : En A3 le potentiel sera :

V3 =

q1
q2
q 1
...
q 3
+
q

...
q j
1
1
W
=
=
∑
∑
∑ q i
...


IV
...
V
...
V
...
V
...
Energie d’un système de conducteurs chargés en équilibre
électrostatique
Cas d’un seul conducteur
La charge portée par un conducteur est surfacique, caractérisée par sa densité

1
∫∫ σ
...
ds , et puisque la surface est équipotentielles, toutes les
2 S
1
1
charges sont au même potentiel V , donc : W = V
...
On a : W =

Or Q = C
...
V = C
...
Vi
i
Chaque conducteur porte l’énergie :
2

Pour n conducteurs l’énergie totale sera : W =

1
∑ Q i
...
Energie d’un condensateur chargé
L’énergie d’un condensateur dont les charges des armatures sont
respectivement +Q et –Q et sont aux potentiels V1 et V2, à pour expressions :

W=

1
1
1 Q²
Q
...
(V1 − V2 )² =
2
2
2 C

Localisation de l’énergie électrostatique
L’énergie électrostatique provient de la force électrostatique donc du champ
électrostatique
...

Exemple : condensateur plan
Dans ce cas on a : E =

V1 − V2
e

L’énergie est localisée entre les armatures c
...
e

Puisque C =

ε 0S
,
e

W=

ε E²
ε E²
1
1 ε 0S
C(V1 − V2 )² =
E ²e² = 0 S e = 0 v
2
2 e
2
2

On définit la densité d’énergie par :

dW ε 0 E ²
=
dτ
2

A partir de la densité d’énergie on peut calculer l’énergie W par :

∫∫∫

1
W=
ε 0 E ² dτ
2
espace

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

2ème Partie

Chapitre I

ELECTROCINETIQUE
Courant électrique – Loi d’Ohm

Electrocinétique : Etude des déplacements des charges
électriques libres dans un conducteur
...
Définitions
I
...


I
...
d
...
la d
...
p crée un champ E
...
E ,

...
v ,

λ coefficient de frottement
...
E
λ
- En un point M et à l’instant t, on définit le vecteur densité de courant par :

r
r ρ
...
v =

...

λ

I
...


I
...
dV = ρ
...
dS
...
v

→

dq
dt

dq = j
...
dt

dq
= j
...
dS

S

Unités
- L’intensité de courant s’exprime en Ampère : (A),
- La densité de courant j =

dI
s’exprime alors en A
...

dS

II
...

On désigne cette constante par R et on l’appelle résistance électrique
...
l = R
...
j
...
S

r
r
Ainsi, sous forme vectorielle, la loi d’Ohm s’écrit : j = γ
...
S

γ est la conductivité du conducteur
...
L’inverse de la conductivité est appelé résistivité ρ =

1
γ

On a : ρ =

→

ρ=

R
...

γ

ρ
...
Elle mesure
l’opposition du conducteur au déplacement des charges électriques ; c’est
pourquoi on l’appelle résistance
...

Unité : Dans le SI , la résistance s’exprime en Ohms Ω
...


III
...
1 Association en série
Considérons

2

conducteurs

ohmiques

de

résistance R1 et R2 montés en série dans un
circuit

électrique

parcouru

par

R1

R2

un

courant d’intensité I
...
I

VA − VC = (VA − VB ) + (VB − VC ) = (R 1 + R 2 )
...
2 Association en parallèle
Considérons les 2 conducteurs montés en parallèle : ils seront soumis à la même
d
...
p
...
I

D’autre part au nœud A on a : I = I1 + I 2

→

VA − VB VA − VB VA − VB
=
+
R
R1
R2

1
1
1
=
+
R R1 R 2

On en déduit :

Dans le cas de n résistances montées en parallèle, la résistance équivalente
s’écrit :

1
=
R

∑R
n

i =1

1
i

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof
...
Tadili

Etude des dipôles

2ème Partie

Chapitre 2

Energie électrique et puissance

I
...
si

VA > VB , l’énergie de AB augmente Æ le dipôle joue le rôle de récepteur,


...
I
t

II
...
1 Définition
Un générateur est un dipôle qui transforme une forme d’énergie (chimique,
mécanique, lumineuse) en énergie électrique
...

II
...
Dans ce cas la d
...
p aux
bornes du générateur correspond à la circulation du champ électromoteur produit

r r
V
−
V
=
−
E
par le générateur : p
N
∫ m
...
e
...


b) Générateur fermé sur un circuit
En régime permanent, à l’intérieur du générateur les charges ont une vitesse
r
V = cte Æ apparition de forces de frottement Æ apparition d’une résistance qui
caractérise ce frottement : c’est la résistance interne du générateur notée r
...

Loi d’Ohm pour un générateur :

Vp − VN = e − r I

r I chute ohmique de tension à l’intérieur du générateur
...
3 Interprétation énergétique
- Energie cédée par le générateur au circuit extérieur :
Wc = q
...
t (E – r I) = E
...
t – r I²
...
I
...
t chaleur perdue par effet joule dans le générateur
...
I − r
...
I
...
I²
...
I
= 1−
=
Wt
E
...
t
E

II
...
Pour le
générateur c’est une droite affine
...
5 Générateur de tension et générateur de courant
Dans le cas d’un générateur linéaire, l’équation de la caractéristique
peut être mise sous l’une des deux formes :
U = Uo − r I

I = Io − g U

ou

On appelle générateur de tension idéal un générateur pouvant
maintenir à ses bornes une ddp indépendante de l’intensité débitée i :
cela impose r=0 et U=e
...

Un générateur réel peut être schématisé de deux façons :
Générateur de tension

-

I
e

r

Générateur de courant

+

-

Io

I

+

g
...
Le rotor
porte un bobinage de fil et tourne dans le champ magnétique crée par
le stator
...


Piles électrochimiques par exemple la pile Daniell : réaction d’oxydo
réduction entre les couples Cu/Cu++ et Zn/Zn++
...
Eclairée par la lumière solaire,
chaque photon d’énergie hν (supérieur au gap Eg du semi-conducteur)
crée une paire électron trou
...

III
...
1 Définition
Un récepteur est un dipôle qui transforme l’énergie électrique qu’il reçoit en une
autre forme d’énergie (chimique, mécanique …)
...

III
...


U
I
e

U = E’ + r’ I

Vp − VN = E ' + r ' I

E’ force contre électromotrice du récepteur
- Energie électrique reçue par le récepteur :
Wr = q
...
t (E’ + r’ I) = E’
...
t + r’ I²
...
I
...
I + r '
...
I
...
I
...
I ²
...
I

I

Exemples de récepteurs :
Moteurs : même principe que la dynamo mais utilisée en sens inverse : les spires
du rotor, branchées sur un générateur extérieur, sont parcouru par I et se trouvent
dans le champ magnétique crée par le stator, elles seront soumises à des forces
(de Laplace) qui font tourner le rotor
...
Le champ crée à l’intérieur de l’électrolyte permet la
décomposition des composés ioniques
...
Loi d’Ohm généralisée
Elle s’applique à une portion AB d’un circuit électrique sans dérivation, et
contenant des générateurs, des récepteurs et des résistances
...


V
...

La loi de Pouillet c’est la loi d’Ohm appliquée à un circuit fermé sans dérivation : A
devient confondu avec B Æ
- Dans

∑E

∑E = I ∑R

avec les conventions suivantes :

une f c e m est toujours négative,

- Une f e m est affectée du signe de la borne par laquelle on sort du
générateur quand on circule dans le sens du courant
...
e
...
c
...
m E’i sont comptés négativement
...
Applications
VI
...
2 Utilisations du rhéostat
Le rhéostat est une résistance variable qui permet de faire varier soit le
courant soit la tension selon son branchement dans le circuit
...
3 Mesure de la fem d’un générateur à l’aide d’un voltmètre
Le voltmètre a une résistance Rv
...

VII
...
Ce phénomène s’appelle effet Joule
...
I
...
I²
...
R
...


décharge d’un condensateur

Etude de la charge d’un condensateur

Considérons un dipôle RC (constitué par une résistance R et un condensateur de
capacité C) relié à un générateur de f
...
m
...

Initialement le condensateur n’est pas chargé : q(t=0)=0
Quelle est la charge du condensateur à l’instant t
pendant qu’il se charge ?

I
...
i(t ) = R
...


dq
,
dt

q( t )
C

dq q( t )
+
= E , c’est une équation différentielle du 1èr ordre avec
dt
C

second membre
...
C (1 − e

−

1
t
RC

)
...
2 Intensité du courant et tension aux bornes du condensateur
- L’intensité du courant pendant la charge du condensateur est : i( t ) =
1
−
t
q( t )
RC
- La tension aux bornes du condensateur est : U C =
= E (1 − e )
C

dq E − RC1 t
= e ,
dt

---