Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика

Комбинаторика

Нека А е мнпжествп сп n различни елементи
...

Брпјпт на сите варијации сп ппвтпруваое пд n елементи се пресметува на следнипт начин:
Vnk  n k

Варијации без ппвтпруваое:
Секпја варијација пд n елементи, класа k вп кпја сите елементи се различни се нарекува
варијација без ппвтпруваое пд n елементи класа k
...

Пермутации без ппвтпруваое:
Секпја варијација без ппвтпруваое пд n елементи класа n, се нарекува пермутација без
ппвтпруваое пд n елементи
...
Секпј различен расппред каде a1 се ппјавува n1
пати, a2 се ппјавува n2 пати, … aK се ппјавува nK пати
...
, nk ) 

n!
n1!n2 !
...
 nk  n

Кпмбинации без ппвтпруваое:
Секпе ппдмнпжествп на A сп k различни елементи се нарекува кпмбинација без
ппвтпруваое пд n- елементи класа k
k
Cn 

n!
k!(n  k )!

Вп една кпмбинација расппредпт на елементите не е важен
...
Кплку трпцифрени брпеви мпже да се пбразуваат пд цифрите 1,2,
...

a) V93 

9!
 504
(9  3)!

3
3
б) V9  9  729

2
...
Картиците дпбрп се мешаат, а
пптпа пд нив се извлекуваат 4 и се ппдредуваат пп редпт на извлекуваое
...
кај
кпи на ппследната ппзиција стпи 2,4,6 или 8
...
Истп се дпбива и
(8  3)!
акп на ппследната ппзиција стпи 4, 6 или 8
...
Од шпил сп 52 карти треба да се изберат 3
...
:
а) Сите три карти се сп иста вреднпст
...

в) Две карти се сп иста вреднпст, а третата е 1
...
Нп за избираое на вреднпста пд 13
3
1
1
мпжни ппстпјат C13 начини
...
Уие биле пценети сп
пценките 7,8,9 и 10
...

б) Студентпт А дпбил ппвиспка пценка пд студентпт В (А и В се фиксни студенти пд
четвприцата) и ппвтпрнп сите се пценети сп различна пценка
...

Решение:
а) Расппредпт на пценките е важен
...
Упа мпже да се направи на C 4 начини
...
Останатите две
пценки се расппредуваат на пстанатите двајца студенти на P2  2! 2 начини
...

5
...
Сппред пресметката на тренерпт билп пптребнп да се ппбедат 2 натпревари и
еден да се пдигра нерешенп, за да се пбезбеди минималнипт брпј ппени за ппстанпк вп
лигата
...
За тпа ппстпјат
следните мпжнпсти
победи

нерешени

порази

2

1

3

1

4

1

Расппредпт на елементите е важен
...

P6 (2,1,3)  P6 (1,4,1) 

6!
6!

 90
2!1!3! 2!4!1!

6
...
Секпј расппред на знаменцата претставува
пдреден сигнал
...
На еден турнир се пдиграни 45 партии шах
...
Кплку учесници ималп на турнирпт?

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика
Решение:
Бидејќи секпј шахист пдиграл сп секпгп пп една партија, тука станува збпр за
кпмбинации
...


Set of elementary events
...


Problem 1
...
Describe the set of elementary events
and the following random events:
А: an even number is observed,
B: a number divisible by 3 is observed,
С: a number smaller than 5 is observed
...
6
...
One box contains 4 pieces of paper, numerated with the numbers 1,2,3 and 4
...
Find
the set of elementary events and the following events:

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика
А- The paper with number 2 is drawn
...

С- The paper with number 2 is drawn second
...
The mapping
, where R is the set of
real numbers is called probability, if the following 3 axioms are satisfied:
P1: P(A)≥0, for any АF
P2: P()=1
n

n

i 1

i 1

P3: AiF, i=1,2,…,n, AiAj= for i≠j  P( Ai )   P( Ai )

Properties: 1
...
A  F ,0  P( A)  1

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика
3
...
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)

Problem 1
...
Find the probability of
event АВ, if:
а)
P( A)  0
...
5
P( A  B)  0
...
5  0
...
75  0
...
Determine P(АBC)
...
Prove that P( A1 A2  A2 A1 )  P( A1 )  P( A2 )  2P( A1 A2 )
...
e
...
If А is a random event (in the given experiment), which consists of m
n
m | A|
elementary events, then the probability of the event A is calculated with a P( A)  
n ||

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика

Problem 1
...

Solution:
={E1,E2,E3,E4,E5,E6}
А={E2,E4,E6}

P( A) 

| A| 3 1
 
|| 6 2

Probability 2
...
A customer choses one bulb
at random
...

Solution: We define the event A: the chosen bulb is functional
...
One box consists of 2 white and 3 black balls
...
Find the probability that the chosen balls are with a different color
...
Then
1 1
C 2 C3 3  2
P( A) 

 0
...
Find the probability that, when 2 dice are thrown, the sum of the observed numbers
will be 10
...

||= V62  36

A={(4,6),(5,5),(6,4)}, |A|=3  P( A) 

3
1

36 12

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика
Problem 5
...
40 of them speak English, 30 know Russian and
15 speak both languages
...
Find the probability of the
following random events:
B: The employee speaks only Russian
...

D: The employee speaks at least one of the two languages
...

Solution: We define the following events:
R: The employee speaks Russian
...

From the conditions in the exercise we have
P( A) 

40
30
15
 0
...
3 , P( AR ) 
 0
...
3  0
...
15
P(C )  P( A \ AR )  P( A)  P( AR )  0
...
15  0
...
4  0
...
15  0
...
55  0
...
An investor has the possibility to invest in 3 out of 5 recommended stocks
...
If the investor choses 3 stocks at
random, what is the probability that he chooses the profitable stocks
...

В: the investor will chose one of the two profitable stocks
...
Two ships will arrive in the same port
...
When the ship A arrives in the
port, it will stay docked for one hour for unloading
...
The port is small, so the two ships can not be docked at the time
...

Solution:
х- time of arrival of ship A
у- time of arrival of ship B

We need to describe the event – one of the ships waits to enter the port, while the other ship is
docked in the port
...

S={(x,y)| 0y и x-y < 2 ) }
We represent Ω and Т graphically and we will determine their area:

Аудитприски вежби – Верпјатнпст и статистика
y

25

S
20

y

x 1

15

y

x 2

10

5

1
2

5

10

15

20

25

x

m()  24  24  576
 23  23 22  22 
m( S )  24  24  

  69
...
12
...
Find the probability that the sum of two randomly chosen positive numbers smaller
than 1 will be smaller than 1, and that their product will be less than 2/9
...
5

y

1 x

2

y

9x

1
...
5

1 3

S
0
...
5

2 3

1
...
5

x

0
...

9

We solve the system


1
2

x  y  1  y  1  x

y  1 x
 x1  3 , y1  3




 xy  2   x(1  x)  2   2
2
1


9 x  9 x  2  0  x 2  , y 2 
9
9



3
3



Now, for the area of the region S we obtain:
1
3



2
3



1



2
1 2
m( S )  (1  x)dx 
dx  (1  x)dx   ln 2
9x
3 9
0

P( S ) 

1
3

m( S ) 1 2
  ln 2
m() 3 9

2
3



---

Title: Probability and Statistics - Exercise 1
Description: Exercise examples in Probability and Statistics - For computer scientists - Exercise 1

Buy These NotesPreview