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---

ALGEBRE DE BOOLE ET FONCTION LOGIQUE
Algèbre de Boole (algèbre binaire)
En 1854, Georges Boole propose une algèbre qui manipule des propositions vrais ou fausse en utilisant
des opérateurs dites logiques
...
Et ainsi l'algèbre a été utilisée pour
l'étude des systèmes binaires (numériques): Possédant deux états s’excluant mutuellement (totalement
différents)
...
Il y a deux conventions pour associés ces deux états logiques aux signaux électriques manipulés
dans les système numériques: la logique positive et la logique négative
...
, 5v ); et le "0 logique" correspond au potentiel Bas (la masse)
...

En général on a :
Logique positive:
5v "1"
0v

1 logique –––>5v
0 logique –––>0v

"0"

Logique négative:
5v "0"
0v

1 logique –––>0v
0 logique –––>5v

"1"

Variable logique : est une variable pouvant prendre comme valeur des états logiques
...
)
Exemples:
Etat VRAI
Le moteur tourne : M=1
L’interrupteur est enclenché : i=1
La température est supérieure à 20 °C : t20=1
Il y a quelqu’un devant la porte : a=1
La porte est fermée : P=1

Etat FAUX
Le moteur ne tourne pas : M=0
L’interrupteurs n’est pas enclenché : i=0
La température n’est pas supérieure à 20 °C : t20=0
Il n’y a personne devant la porte : a=0
La porte n’est pas fermée : P=0

Opérations logiques de base :
- 2 lois de composition interne :
Somme logique (OU, OR, Réunion) s = a + b = a v b
Produit logique (ET, AND, intersection) s = a
...

-2- Opération logique NON-OU (NOR) = NOT OR) est obtenue par la négation de l'opération OU
...
B+A
...
Elle se définie par : AB= AB =A
...
B

Fonction logique : D'une manière générale une fonction logique à n variables F(a,b,c,d,
...
, F = a
...
,tableau 1)
NOTE: Une fonction logique à N variables sera représentée par une table à 2N lignes
...
Elles constituent les blocs élémentaires des circuits numériques

Symboles Normalisés des Portes Logiques :
On trouve deux types de symboles (tableau 2) :
- l’une faisant l’objet de la norme NFC 03 108 de juillet 1970 ;
- l’autre de la norme MIL STD 083, plus spécialement utilisée pour les représentations des réalisations
en circuits intégrés
...
(b + c)
H = (xy)
...
(b + c))
a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

F
0
1
1
1
0
0
0
0

Tableau 2: Récapitulatif des fonctions logiques élémentaires, leurs tables de vérité et symboles
...


Les propriétés des fonctions logiques de base
N°
de
variable

propriétés de la
omplémentation
NOT

Propriétés du
produit logique
AND

a
...
1=a
a
...
a  0

aa
1 variable

2 variables
3 variables

Propriétés de la
somme logique OR

1+a=1
0+a=a
a+a=a
a  a 1

a
...
a
a+a
...
b  a  b
a
...
c = a
...
c) = (a
...
c
(a + b)
...
c+b
...
(a+b)=a; a
...
b
a+b+c =a+(b+c)=(a+b)+c
(a
...
(b+c)

Observation

Involution
Elément absorbant
Elément neutre
Idempotence
Complémentarité
Commutativité
Absorption
Associativité
Distributivité
Théorème de consencus

Propriété des fonctions logiques dérivées
NAND et NOR (Théorèmes de De Morgan)
 De Morgan a exprimé deux théorèmes qui peuvent se résumer sous la forme suivante :
a
...
c
...
 a  b  c  d 
...
 a
...
c
...

 Les théorèmes de De Morgan sont utilisées pour exprimer les opérateurs de base: ET, OU et NON
exclusivement à l’aide d’opérateurs NOR seuls ou NAND seuls
...
Donc a l’aide de ce théorème toute fonction logique peut
s’écrire qu’avec des NAND (resp
...
Elle
vaut 1 si le nombre de variable à 1 est impaire
 Une fonction XOR fournit un comparateur d'inégalité
...

Avec n variables, on construit 2n mintermes, c’est-à-dire autant que de combinaisons possibles des
valeurs que peut prendre ces n variables binaires
...



Un maxterme de n variables est la somme logique de ces dernières (complémentées ou non)
...

Exemple : pour 2 variables a et b, voici les 4 maxtermes : a  b, a  b, a  b, a  b , tableau 3
...
b
m1= a
...
b
m3= a
...
Pour une expression donnée cette forme est unique
...
y
...
y
...
y
...



La seconde forme canonique d’une expression booléenne est composée d’un produit de maxtermes
exclusivement
...

Exemple : f ( x , y, z)  ( x  y  z)
...
M2
5
Remarque : Le produit de tous les maxtermes de n variables vaut toujours 0 puisqu’il existe toujours
un maxterme de n variables valant 0
...


 Si la fonction n’est pas sous forme canonique, i
...
une des variables (au moins) ne figure pas dans un
des termes alors la fonction est sous une forme simplifiée
...

Exemple:
F=m1+m2+m3+m6
a b c F
m0 0 0 0 0
F= a
...
c  a
...
c  a
...
c  a
...
c
m1 0 0 1 1
m2 0 1 0 1
m3 0 1 1 1
m4 1 0 0 0
m5 1 0 1 0
m6 1 1 0 1
m7 1 1 1 0



Pour trouver une expression sous la deuxième forme canonique d'une fonction définit par sa table de
vérité :
- on obtient en première étape la 1er forme canonique du complément de la fonction logique en
faisant le la somme logique des mintermes valant 0;
- ensuite inverser ce complément et appliquer le théorème de De Morgan pour avoir la deuxième
forme canonique de la fonction
...
b
...
b
...
b
...
b
...
b
...
b
...
b
...
b
...
(a  b  c)
...
(a  b  c)

Simplification des fonctions binaires
Pour fabriquer un système numérique à moindre coût, rapide, fiable, peu consommateur on cherche la forme
minimale de la fonction logique qui correspond au circuit qu'on désir concevoir c-à-d on cherche le nombre
minimal de monômes(mintermes ou maxtermes) et le nombre minimal de variables par monôme
...

Remarques:
 Il y a possibilité de plusieurs formes minimales, mais elles sont des formes équivalentes (c-à-d elles
possèdent la même forme canonique)
...

 La prise en compte de contraintes technologiques peut imposer une complexification d’écriture de
l’expression
...

1
...
On dit que deux monômes sont adjacents si 1 seule
variable qui change
Les règles de simplification qu'on peut utiliser sont :
1 : Deux mintermes adjacents –––––> Il reste l’intersection commune exple: a
...
c  a
...
c  a
...
(c  c)  a
...
(a  b  c)  (a  b)(c  c)  a  b
2 : On ajoute des termes neutres ou déjà existant (idempotence)
3 : on applique les règles et les propriétés de l'algèbre de Boole comme : le théorème du consensus
a
...
x+a
...
x+b
...

Exemple:

Méthode algébrique toujours possible mais démarche intuitive qui dépend de
l’habileté et de l’expérience
...
2
...
On utilise pour cela un tableau de
Karnaugh contenant la même information qu'une table de vérité qui est disposée de telle manière que deux
monômes logiquement adjacents soit aussi adjacents géométriquement: le passage d'une colonne à la
suivante, ou d'une ligne à la suivante, se fait on ne changeant qu'une seule variable
...

La figure 1, donne des exemples de tableau de Karnaugh pour les fonctions à 2, 3, 4 et 5 variables
...
Description du tableau de Karnaugh

II
...
La procédure de simplification par la méthode de Karnaugh:
La méthode de simplification de Karnaugh consiste à appliquer les étapes suivantes:
 Transposer la table de vérité dans un tableau de Karnaugh;
 Réaliser les groupements possibles de 1, 2, 4, 8, 16, …
...
Il
faut avoir le minimum de groupement et chaque groupement rassemblant le maximum de case en 1
...

 la somme logique de ces termes ainsi obtenues forme l'expression de la fonction simplifiée
Remarques:
 On cesse d’effectuer les groupements lorsque tous les "1" appartiennent au moins à l’un d’eux
...

 Si une combinaison d’entrée ne peut pas se présenter ou si pour cette combinaison la valeur de la fonction
n’est pas importante, on dit que la fonction n’est pas définie en ce point et on l'appelle fonction
incomplètement définie
...

Ce point peut être remplacé par 1 ou 0 en fonction des besoins de simplification
...
b  a
...
(b  c)

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1
bc

11

10

1

1

0

1

1

0

11

10

11

10

1

1

0

0

1

1

00

01

0

1

0

0

a

10

01

01

0

1

0

1

1

1

bc

00

01

0

1

1

A

a

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

bc

00

01

0

1

1

0

a

B

La fonction simplifiée est
f = c  a
...
Systèmes de Numération:
I
...
Définition de Base
n

Dans un système de numération de base B, un nombre N est représenté sous la forme:

N   a i
...
a0)B
Les systèmes de numération les plus répandus sont les systèmes de numération décimal, octal
hexadécimal et binaire, tableau 1
...

Système de
Système de
Système de
Système de numération
numération
Numération
Numération
Hexadécimal
décimal
Binaire
Octal
Base (B)

10

2

8

Les symboles (ai)

0,1,……
...
)
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0A
0B
0C
0D
0E
0F
10
11
12
13
14

I
...
Conversion d'un système de numération (SN) de base B au SN décimal:
Il suffit d'utiliser la formule de définition précédemment donnée:
(an an-1 …
...
Bn+an-1
...
+a0
...

Exemple:
(101011)2 = 1
...
24+1
...
22+1
...
20 = (43)10
(57)8 = 5
...
80 =(47)10
(24FC)16 = 2
...
162+15
...
160= (9468)10
16

Partie A (logique Combinatoire)

I
...
Conversion du SN binaire au SN de base B = 2k , k>1 et inversement:
La règle générale de cette conversion est de faire des groupements de k bits en partant de la droite, puis
convertir ces groupement au système de base B= 2k
...

Exemple:
1)
( 5 1 7 4 )8

–––> ( ? )2

k=3

( 101 001 111 100 )2
2)

( F 3 D C

)16

––––> ( ? )2 k=4

( 1111 0011 1101 1100 )2
I
...
La conversion de l'hexadécimal à l'octal et inversement:
Dans ce cas, on fait recours à 2 conversions :
Hexadécimal <––––> Binaire , Binaire <–––––> Octal
Exemple:
1)
( 247 )8 ––––> ( ? )16
( 247 )8 = (010 100 111)2 = (0 1010 0111)2 = (0A7)16 = (A7)16
2)
( B2F )16 ––––> ( ? )8
(B2F)16 = (1011 0010 1111)2 = (101 100 101 111)2 = (5457)8
I
...
Conversion du SN décimal au SN binaire:
I
...
a- Par retranchement de poids binaire:
Le principe de cette conversion est de retrancher le poids binaire le plus grand et inférieur au
nombre à convertir puis reprendre l'opération de retranchement sur le résultat obtenu jusqu'à ce qu'on
obtient un zéro
...

Les poids binaire à retranchés sont:
………
...

128 64
32
16
8
4
2
1
Exemple:
(76)10 –––> ( ? )2
76 est compris entre 128 et 64
76-64=12,
12-8=4,
………
...
5
...
Le nombre en binaire correspond aux restes des divisions
...

34 2
Exemple:
14 17 2
LSB
0 1 8
2
04 2
(34)10 = (100010)2

0 2

2
01 2
MSB
10

II
...
1 Pourquoi le système de numération binaire dans les systèmes numériques?
Les systèmes de numération décimal, octal et hexadécimal sont difficiles à adapter aux mécanisme
numériques
...
Par contre, il est très facile d'imaginer des
systèmes électroniques simples et précis qui fonctionnent seulement avec 2 niveaux de tension
...

Comme la plupart des systèmes numériques traitent aussi bien les nombres négatives que les
nombres positifs, il faut adopter une certaine convention pour représenter toutes les nombres que se soit
positifs ou négatifs
...
2
...

II
...
Représentation signe-grandeur :
0 1 1 0 0 1 0 0 = (100)10
Dans cette représentation, on ajoute un bit de signe à la représentation
binaire de la valeur absolu du nombre
...

Si MSB=0 –––––> le nombre est >0
1 1 1 0 0 1 0 0 = (-100)10
Si MSB=1 –––––> le nombre est <0
Exemple
Tableau 2
Nombre binaire
Décimal
Avec n bits on peut représenté que les nombres appartenant à la
Signe
valeur
plage des nombres suivante: -(2n-1-1) , +(2n-1-1)
...

0
10
+2
Voir dans le tableau 2 ci contre les nombres binaires de 3 bits en
0
01
+1
représentation signe-grandeur avec leurs équivalent décimal
...

II
...
Représentation complément à 1 (complément restreint ):
 Arithmétiquement, on appelle complément à 1 d'un nombre binaire A le nombre A tel que :
A+A=2n -1 …………
...

II
...
Représentation complément à 2 (complément vrai ):
On appelle complément à 2 d'un nombre binaire A le nombre A tel que :
A+A=2n …………
...

Avec n bits, la plage de représentation des nombres binaires signés en complément à 2 est -2n-1 à 2n-1-1,
tableau 3(n=3)
...


Remarquer que jusqu'à maintenant on a traité que les différentes mode de représentation binaire des
nombres entier signé ou non
...

II
...

II
...
a- Représentation binaire des nombres en virgule fixe:
Un nombre fractionnaire en virgule fixe possède 2 parties : partie entière et partie fractionnaire
...

Exemple: 01101010,=106 ;
0110,1010=6,625;
011010,10=25,5;
01,101010=1,65625
II
...
b- Représentation binaire des nombres en virgule flottante:
La représentation en virgule fixe permet de représenter des nombres appartenant à une certaine plage et
avec la même précision/ Mais cette représentation ne permet pas de manipuler des nombres très petits ou
très grands
...

Signe mantisse

Exposant

b1 b0

Mantisse

Le bit de signe mantisse est 1 pour mantisse négatif et 0 pour mantisse positif
La mantisse vaut toujours 1,xxxx et on ne stocke que xxxx sur b22…
...
2-127)
1 10000011 11000000000000000000000 = -1,75
...
20 = 1

Tableau 4:
Signe
0
0
0
0
0

Nombre binaire
Décimal
Partie
Partie
entière
fractionnaire
111
11
+7,75
111
10
+7,50
111
01
+7,25
111
00
+7,00
110
11
+6,75

0
0
1
1

000
000
111
111

01
00
11
10

0,25
0,00
-0
...
5

1
1

000
000

01
00

Exemple de représentation en virgule fixe
sur 6 bits dont 4 bits pour la partie entière
...
23+1
...
21+1
...
2-1+1
...
75

-7,75
-8

II
...
c- Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre en SN décimal au SN
binaire
Pour la cconversion en binaire de la partie
fractionnaire on procède la méthode de (0,45)10 –––––> ( ? )2
multiplication successif
...
)2
résultat de multiplication est entier (sans partie 0,2 * 2 = 0,4
0
fractionnaire) ou selon la précision spécifiée
...


...

20

Partie A (logique Combinatoire)

III
...
Certains codes permettent de détecter les erreurs, et les
corriger et de lever un doute sur un résultat présumé faux
...
Quant aux autres ont des propriétés arithmétiques qui
permettent de faciliter des calculs
...
1
...
Exemple: ( 3 1 8 )10
( 0011 0001 1000 )BCD
Le code DCB est un code principalement utilisé dans la fonction d'affichage
...
2
...

3 3 3 +
L'intérêt de ce code réside dans le fait que la complémentation à 9
9 4 11
(N+C(N)=9) des nombres représentés dans ce code revient à une
simple inversion des bits
...

III
...
Code 'p' parmi 'n':
Ce code représente la correspondance à chaque chiffre décimal, 'n' bits dont 'p' soit à '1' et 'n-p' bit
à '0'
...

Le code 2 parmi 5 est le plus utilisé dans les centraux téléphoniques
...

III
...
Code Aïken:
Ce code utilise les 5 premières et les 5 dernieres combinaisons de binaire pure
...
5
...


Tableau 5:
Code binaire
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

Décimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Code Gray
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
0 0 1 0
0 1 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
1 0 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0

Remarquer du tableau ci-contre qu'entre le dernier nombre
15 =1000 et le premier nombre 0=0000 il y a un seule bit
qui change donc en appliquant la définition de ce code le
nombre 15 est suivi par 0 et la séquence se répète; d'où la
qualification code cyclique
...
Les Codes pondérés et non-pondérés:
Lorsque les positions des bits des nombres codés ne sont affectées d'aucun poids le code est dit un code
non-pondéré et dans le cas contraire c'est un code pondéré
...
Le code Gray, code XS3 et code Aïken sont des codes non-pondérés
...
Le code 'p' parmi 'n' est un code non-pondéré en réalité mais
on peut trouvé des poids a affecté aux bits mais ils ne sont pas valable pour toutes les combinaisons,
tableau6
...
La fonction de blocage;
2
...
Les fonctions de codage, de décodage et de transcodage;
4
...
Les fonctions arithmétiques
...
La Fonction de Blocage:

Circuit de

Entrée

Sortie
Le circuit associé à cette fonction autorise le passage d'un signal logique
blocage
logique
d'entrée logique jusqu'à la sortie, en utilisant un signal de commande
...

Exemple : Soit à concevoir un circuit qui autorise le passage d'un signal logique ai ai
(?)
Xi
jusqu'à la sortie Xi quand les entrées de commande B et C sont toutes les deux à 1
...

ai

B

C

Xi

0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1

0
0
0
0
0
0
0
1

Circuit de blocage

D'où Xi = ai
...
C

ai

Xi

B C

Dans le cas générale si on dispose d'une information A = an-1 ……
...
X1 X0
...
La fonction d'aiguillage de l'information (multiplexage) et de
démultiplexage:
II
...
Multiplexage:
Dans ce cas on dispose de deux informations ou plus à l’entrée du circuit et une seul sortie vers laquelle
on communique l’information qui nous intéresse
...
Elle est commandée par des entrées de sélection appelées aussi entrées d’adresse et une
entrée de validation qui permet d’inhiber globalement le fonctionnement du circuit
...

A

La famille TTL offre plusieurs modèles de multiplexeurs ( MUX ): B
2n informations
74150 – MUX 16 à 1
au maximum
74151 – MUX 8 à 1
F
74153 – 2 MUX 4 à 1
74157 – 4 MUX 2 à 1

Circuit de
multiplexage

Sortie
logique

Entrées de sélection
Entrées de
ou d’adresse (n bits)
validation
schéma général d’un circuit de multiplexage

23

Partie A ( Logique combinatoire)

Exemple: 74151 est un MUX 8 à 1
Description du circuit :

Le constructeur indique généralement le fonctionnement de
son circuit par une table de fonctionnement

Entrée de
Validation

Inputs
Outputs
E S2 S1 S0 Y Y
H X X X L H
L L L L I0 I 0

E

Les entrées
d'information

I0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7

Y
_
Y

Sorties

L

L

H

L

I2

I2

L

H

H

I3

I3

H

L

L

I4

I4

H

L

H

I5

I5

H

H

L

I6

I6

L
I2

I1

L
I1

I1

L

I0

H

L

Entrée
d'adresse

L

L

S2 S1 S0

L

L

74151

H

H

H

I7

I7

I3

I4

I5

I6

H = High Level
L = Low Level
X = Don't care

I7
I3
I2
I1
I0
Y
Y
E
GND

S2
S1
S0
E

1

9

2

10

3

11

4

74151

12

5

13

6

14

7

15

8

16

Vcc
I4
I5
I6
I7
S0
S1
S2

Le circuit intégré du
74151

Schéma logique du MUX 74151

Y Y

L'expression logique de la sortie du MUX 74151 peut être facilement déduite de la table de
fonctionnement comme suit :
Y = E
...
S2
...
S0 + I6
...
S1
...
S2
...
S0 +I4
...
S1
...
S2
...
S0 +I2
...
S1
...
S2
...
S0 +I0
...
S1
...

24

Partie A ( Logique combinatoire)
A
0

B
0

C
0

F
1

0

0

1

0

0

1

0

1

Premièrement, on place les variables sur les lignes d'adresses du MUX (donc pour ce
MUX le nombre de lignes d'adresses = au nombre de variables de la fonction à 1
1
réaliser)
...
(1)
1
Et d'après la principe du MUX on a :
F = E (I7 ABC + I6 ABC + I5 ABC + I4 ABC + I3 ABC + I2 ABC + I1 ABC + I0 ABC) …
...

Donc le circuit qui réalise la fonction F à base du MUX à 3 entrées d'adresse est :

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

Exemple de réalisation d'une fonction logique par un MUX:
Soit à réaliser la fonction logique définit par la table de vérité ci-contre:

0

0
E
I0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7

Devoir 1: Trouvez comment cascader deux MUX 74151 à 8 entrées pour avoir
un MUX à 16 entrées
...

Parmi les CIs des multiplexeurs (DEMUX) existants on trouve :
74139
2 x DEMUX
2  4 (16 PINS)
74138
1 x DEMUX
3  8 (16 PINS)
74154
1 x DEMUX
4  16 (24 PINS)
Exemple : DEMUX 74138
Description du circuit :

Entrée
d'adresse

Circuit de
demultiplexage

2n Sorties

Entrées de sélection
ou d’adresse (n bits)

La table de fonctionnement du DEMUX 74LS138:

Sorties

G1
X
X
L
H
H
H
H
H
H
H
H

G2A
X
H
X
L
L
L
L
L
L
L
L

G2B
H
X
X
L
L
L
L
L
L
L
L

S2
X
X
X
L
L
L
L
H
H
H
H

S1
X
X
X
L
L
H
H
L
L
H
H

S0
X
X
X
L
H
L
H
L
H
L
H

Y0
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H

H = High Level
L = Low Level
X = Don't care

Devoir 2:

F

S2 S1 S0

II
...
Pour constituer des
démultiplexeurs d'ordre supérieur on peut être amené à cascader des
démultiplexeurs
...


DEMUX
1à 8
#4

III
...
1
...
Il code en binaire l'indice de
l'entrée activée
...
Par
contre, si plusieurs entrées sont actives simultanément le résultat pourra ne pas avoir de signification
...
Pour ce type de circuit si plusieurs lignes d'entrée
sont actives simultanément, le résultat correspond à la ligne d'entrée d'indice le plus élevé
...
Codeur Octal-Binaire 74148 :
La table de fonctionnement du codeur Octal-Binaire 74148
Description du circuit :

Entrée de
Validation

EI
E0

Entrées

I0
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7

CS

Sorties de
Validation

74148
Y0
Y1
Y2

Sorties

EI
H
L
L
L
L
L
L
L
L

I0
X
L
X
X
X
X
X
X
X

I1
X
H
L
X
X
X
X
X
X

I2
X
H
H
L
X
X
X
X
X

I3
X
H
H
H
L
X
X
X
X

I4
X
H
H
H
H
L
X
X
X

I5
X
H
H
H
H
H
L
X
X

H = High Level
L = Low Level
X = Don't care

Note:

Devoir 3:

Déduire le schéma logique de ce codeur

I6
X
H
H
H
H
H
H
L
X

I7
X
H
H
H
H
H
H
H
L

I4
I5
I6
I7
EI
Y2
Y1
GND

Y2 Y1
H H
H H
H H
H L
H L
L H
L H
L L
L L

Y0 Gs Eo
H H H
H H L
L L H
H L H
L L H
H L H
L L H
H L H
L L H

1
2
3
4

Vcc
10 Eo
11 Gs
12 Y
I3
9

74 148

5

13

6

14

7
8

I2
I1
15 I0
16 Y0

Le circuit intégré du
74LS148

26

Partie A ( Logique combinatoire)

2
...
2
...
Les entrées forment se qu'on appelle adresse car elles expriment en binaire le numéro décimal de
la sortie active
...
C'est
pourquoi les circuits intégrés des démultiplexeurs sont les même que ceux des décodeurs
...

Exemple : Décodeur DCB-Décimal 74 42 (ou décodeur 1 parmi 10 )
:
La table de fonctionnement du codeur Decimal-BCD 7442

Description du circuit

Entrées

A0
A1
A2
A3

7442

Y0
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9

Sorties

A3
L
L
L
L
L
L
L
L
H
H

A2
L
L
L
L
H
H
H
H
L
L

A1
L
L
H
H
L
L
H
H
L
L

H = High Level
L = Low Level
X = Don't care

A0
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H

Y0
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H

Y1
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H

Y2
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H

Y3
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H

Y4
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H

Y5
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H

Y6
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H

Y7
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H

Y8
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H

Y9
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L

27

Partie A ( Logique combinatoire)

Devoir 5:

Déduire le schéma logique de ce

Applications des décodeurs:
Les décodeurs sont largement utilisés dans
- l'adressage des cellules mémoires dans les ordinateurs;
- le démultiplexage et la conversion série-parallèle;

Y0
Y1
Y2
DECODEUR Y3
Y4
Y5
Y6
GND

1

9

2

10

3

11

4

74 42

12

5

13

6

14

7

15

8

16

Vcc
A0
A1
A2
A3
Y9
Y8
Y7

Le circuit intégré du
7442

Entrée de donnée

Démultiplexeur
Y0
Y1
n entrées
d'adresse

Sorties

Décodeur
Y2n

-

réalisation des fonctions logiques :
soit a réaliser les fonctions logiques
F1 = A B C  A B C
et
F2 = A B C  A B C
On associe aux lignes d'adresse du décodeur les variables de la fonction à réaliser
...

S0

B
C

A BC

S4 =

A BC

S1 =

A BC

S5 =

A BC

F1 = A B C  A B C = S0 + S3

A BC

S6 =

F2 = A B C  A B C = S7 + S4

S3 =

A BC

A BC
S7 = A B C

1

2

S0 =

S2 =

2

S1

0

S7

A

22

B

21

C

20

Decodeur 1 parmi 8

A

22

S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7

F1

F2

III
...
Le transcodage
Le transcodeur est tout circuit de conversion de code, à p entrées et à k sorties, différents des précédants
...
Il faut les
réaliser en poursuivant la démarche suivante:
28

Partie A ( Logique combinatoire)

-

écrire la table de vérité de l'opération de transcodage;
simplification des fonctions (ou sorties) par exemple à l'aide du tableau de Karnaugh;

- déduire le logigramme selon les portes logiques disponibles
...
La Fonction de Comparaison :
C'est connu que l'opération de comparaison se fait sur deux quantités
...
S'ils
se trouvent dans des endroits distants on utilise une procédure de comparaison à base de générateur et
contrôleur de parité
...
1
...

Généralement la sortie du circuit de comparaison donne trois fonctions : l’une notée “E” indiquant
l’égalité, une autre “S” indiquant que A est supérieur à B, et la dernier “I” indiquant que A est inférieur à
B
...

Description du circuit 7485:
A

A0
A1
A2
A3

B

B0
B1
B2
B3

7485
E
I
S

E' I' S'
Entrées en
cascade

La table de fonctionnement du comparateur 7485
Comparaison des chiffres binaires de A et B
A3, B3
A2,B2
A1,B1
A0,B0
A3 > B3
X
X
X
A3 < B3
X
X
X
A3 = B3
A2 > B2
X
X
A3 = B3
A2 < B2
X
X

Entrées en cascade
E'
I'
S'
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X

E
B
B
B
B

Sorties
I
B
H
B
H

S
H
B
H
B

A3 = B3
A3 = B3
A3 = B3
A3 = B3

A2 = B2
A2 = B2
A2 = B2
A2 = B2

A1 > B1
A1 < B1
A1 = B1
A1 = B1

X
X
A0 > B0
A0 < B0

X
X
X
X

X
X
X
X

X
X
X
X

B
B
B
B

B
H
B
H

H
B
H
B

A3 = B3
A3 = B3
A3 = B3

A2 = B2
A2 = B2
A2 = B2

A1 = B1
A1 = B1
A1 = B1

A0 = B0
A0 = B0
A0 = B0

B
B
H

B
H
B

H
B
B

B
B
H

B
H
B

H
B
B

H = High Level
L = Low Level
X = Don't care

A3 1
I' 2
E' 3
S' 4

9
10
11

74 85

12

S 5

Devoir 7:

Déduire le schéma logique d'un comparateur
de deux chiffres binaires
...


13

E 6

14

I 7
GND 8

15
16

Le circuit intégré du
74LS85

Vcc
B3
A2
B2
A1
B1
A0
B0

29

Partie A ( Logique combinatoire)

IV
...
1 Extension des comparateurs:
Pour obtenir un comparateur de 8 bits ou plus on procède au cascade des comparateurs de 4 bits 74 85
...
Pour pallier ce problème on utilise des comparateurs qui fonctionnent séparément et leurs
résultats est combinés par la suite
...
2
...

Pour voir si l'information reçue coïncide avec l'information émise, on ne peut pas procéder avec la
méthode de comparaison précédante
...
Ces redondances consistent en des
bits supplémentaires élaborés conformément à une règle connue à la fois par l’émetteur et le récepteur du
message
...
La figure ci-dessous illustre le principe d’un Système de transmission des données muni
d'un générateur et d'un contrôleur de parité
...

Remarquons cependant que type de contrôle élémentaire ne permet de détecter qu'un nombre impair de
bits en erreur dans un mot
...
Pour ce faire il
faut utiliser des codes autocorrecteurs, qui détectent et corrigent les erreurs de transmission et ils
nécessitent plusieurs bits supplémentaires
...

En cas de détection d'une erreur, impossible de la corriger
...


V
...
1
...


Le circuit logique qui réalise cette fonction est appelé un demi additionneur
...
1
...

Sa table de vérité est:
ai
0
0
1
1

bi
0
1
0
1

ri
0
0
0
1

si
0
1
1
0

si = a i bi  a i b i =aibi
ri = ai
...
1
...
Additionneur complet
ai
Les additionneurs complets (FA : Full Adder) sont des circuits qui
bi
permettent l’addition de deux chiffres binaires (ai et bi) et une retenue
ri-1
précédante ri-1
...
bi + ai
...
ri-1 = ai
...
ri-1= r'i + r"i
0
0
0
0
1
1
1
1

0
0
1
1
0
0
1
1

0
1
0
1
0
1
0
1

0
0
0
1
0
1
1
1

si
FA
ri

0
1
1
0
1
0
0
1

31

Partie A ( Logique combinatoire)
ai
SA
bi

r'i

ri

s'i

ri-1

SA

r"i
si
s"i

V
...
3
...
Voir l’exemple ci-contre, où les nombres à
additionner sont A=a3a2a1a0 et B=b3b2b1b0
...
1
...
1
...
L'inconvénient de cet
additionneur est le temps nécessaire à la réalisation de l'addition
...


V
...
3
...
Pour cela
on détermine pour chaque étage les quantités Pi et Gi suivantes:
Pi= ai  bi (propagation d'une retenue)
Gi = ai
...

- soit tous les étages inférieurs ont propagé la retenue entrante dans l'additionneur (Pi-1=Pi-2 =
...

a3 b 3
a2 b 2
a1 b 1
a0 b 0
Donc ri= Gi-1 + Pi-1
...
Pi-2
...
+ Pi-1
...
Pi-3
...
r0
r1 = G0 + P0
...
G0 + P1
...
r0
G
...

G
...

G
...

G
...

r3 = G2 + P2
...
P1
...
P1
...
r0
r4 = G3 + P3
...
P2
...
P2
...
G0 +
P2
P1 G 1
G3
G2
P 0 G0
P3
P3
...
P1
...
r0
C
...
U
...
Son circuit intégré est 74LS182
...
2
...
b i = (aibi)
...
ai

ai
bi

si
ri

Ce circuit est un demi-soustracteur
...

En utilisant l’algorithme de l’exercice 3 du TD N°4, réaliser un circuit de comparaison de deux nombres
écrits en complément à 2 (a2a1a0) et (b2b1b0)
...


Exercice 2: (Fonction arithmétique : Circuit additionneur/soustracteur)
On veut réaliser un additionneur/soustracteur de deux nombres
binaires ecrit sur 2 bits A=A1A0 et B=B1B0 commandé par un bit

Ai

C (=0 pour la soustraction et =1 pour l’addition)
...


r’
ai
bi

r
Additionneur

R

S’
S

C

Exercice 3: (Fonction arithmétique : Addition en DCB)
On effectue l'addition de deux chiffres décimal (A et B) et une retenue antérieur (Rn-1) dans la représentation
DCB
...

Montrer à l'aide de trois exemples qu'il suffit d'ajouter 6 à la somme obtenue et de regarder s'il y a ou s'il n'y
a pas de retenue pour conclure
...
Ce
dernier circuit (de correction) teste les sorties de ce premier additionneur et valide ou interdit l'addition +6
par le deuxième additionneur

---