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Title: Volume of a 4D sphere
Description: Using integrals to find the formula of the volume of a 4-dimensional sphere.
Description: Using integrals to find the formula of the volume of a 4-dimensional sphere.
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Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
Nous avons appris que les formules pour la
de la fonction f, l'axe des abscisses et les
surface d’un disque en 2D et le volume d’une
droites d'abscisses a et b
...
Cercle en 2D
Alors, la surface indiquée en bleu (Fig
...
Cercle en 2D
correspondra à:
L’équation du cercle est:
Pour obtenir la surface du disque au complet, il
Nous allons exprimer
en fonction de
...
faut multiplier par 4
...
Interprétation de l’intégral [1]
est interprétée comme l’aire du
domaine délimité par la courbe représentative
1
Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
Nous allons choisir un disque avec une hauteur
infiniment petite:
...
Fig 4
...
Ainsi, le rayon de ce disque est:
Donc, nous obtenons la formule pour la surface
du disque:
...
, le rayon du disque est
, le rayon du disque est
...
2
Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
Quand n=4, l’équation de l’hypersphère est
De plus, le volume du disque est donnée par:
donnée par:
=
La somme de tous ces disques le long de l’axe
des
nous permettra d’obtenir le volume de
Nous allons choisir un “disque” sur l’axe
avec une hauteur infiniment petite:
toute la sphère :
...
L’intersection
de
ce
“disque”
avec
l’hypersphère donne une sphère ordinaire (en
3D) avec un rayon :
...
En 4D, le volume du “disque” est donné par le
volume d’une sphère en 3D, multiplié par une
hauteur infinitésimale :
=
Maintenant, nous pouvons calculer le volume
d’une
sphère
dans
une
espace
de
4
dimensions (4D)
...
Précédemment, nous avons obtenu:
3
Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Bogdan Pechounov
1) Pouvez-vous obtenir la formule pour le
volume d’une hypersphère dans un espace à
dimensions? Vous pouvez utiliser l’induction
mathématique
...
du
volume
lorsque le rayon est
pour
[2][3]
...
4
Quel est le volume d’une sphère en 4D?
Nous remarquons que quand
tend vers
l'infini, le volume de n-sphère tend vers zéro
...
wikipedia
...
gsfc
...
gov/universe/6Page89
...
wikipedia
...
Le volume d'une hypersphère en
fonction de n [2]
Title: Volume of a 4D sphere
Description: Using integrals to find the formula of the volume of a 4-dimensional sphere.
Description: Using integrals to find the formula of the volume of a 4-dimensional sphere.