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A votre attention

Dans ce projet, pour des raisons d’ordres techniques, nous n’avons pas
suivi l’ordre des questions posées
...
Nous nous
sommes également permis d’aller plus loin à cause de l’envergure de ce projet
...
Le code est le même sous Matlab et
s’exécute de la même manière
...
Vous pouvez donc
tout tester avec Matlab
...


2

3

SOMMAIRE
I-

Introduction

II- Résolution numérique
II
...
2- Méthode de Runge-Kutta
a-Présentation de l’algorithme utilisé
b-Représentation des solutions x(t), y(t), z(t) en
fonction des différentes valeurs de r
c-Représentation des solutions dans l’espace (x, y, z)
III- Etude des solutions en fonction des valeurs de r
IV- Conclusion

4

I-INTRODUCTION
La résolution numérique des équations différentielles est un domaine de
l’analyse numérique où il existe moultes applications
...
Le présent projet porte sur la
résolution numérique de systèmes d’équations différentielles non linéaires à
conditions initiales
...

En effet, Lorenz (1917-2008), météorologue à l’Institut de Technologie
du Massachusetts en Californie, proposa en 1963 une modélisation très
simplifiée régissant les rouleaux de convections dans l'atmosphère dans le but
d'améliorer les prévisions météorologiques à long terme
...

Conditions initiales :

 x(t  0)  0
...
001
 z (t  0)  0
...


5

II- Résolution Numérique
II
...
Etant utilisée principalement pour résoudre une seule équation
différentielle à condition initiale, nous avons adapté l’algorithme d’Euler à notre
problème pour pouvoir résoudre le système précédent
...
01;
t_h=[0
...
001;
x1(k,m)=0;
end
end
for k = 1:1
for m = 1:2000
x2(1,1)=0
...
001;
x3(k,m)=0;
end
end
for n=1:2000
x1(1,n+1) = x1(1,n)+ (10*h)*(x2(1,n)-x1(1,n));
x2(1,n+1) = x2(1,n)+ h*(((-1)*x1(1,n))*(x3(1,n)-r)-x2(1,n));
x3(1,n+1) = x3(1,n)+ h*((x1(1,n)*x2(1,n)) -((8/3)*x3(1,n)));
end
subplot(2,2,1),plot(t_h,x1 ,t_h,x2 ,t_h,x3),grid,legend('x(t),y(t),z(t)
r=…')

6

subplot(2,2,2), plot(t_h,x1),grid ,legend('x(t) r=
...
')
subplot(2,2,4), plot(t_h,x3 ),grid,legend('z(t) r=
...
01 pour un
nombre d’itération n=2000
...
Il va falloir en modifier la valeur dans l’algorithme à
chaque fois que besoin y est
...
Une légende est mise dans le coin
supérieur droit de chaque courbe indiquant la solution tracée, et la valeur de r
correspondante
...


Solution r=5

7

Solution r=24

Solution r=30

8

Solution r=180

c-Représentation des solutions dans l’espace (x, y, z)
Dans cette section vous trouverez la représentation dans l’espace (x,y,z)
de la solution du système
...
Pour avoir ces courbes il suffit de remplacer les quatre
dernières lignes de l’algorithme par celles-ci
plot3(x1, x2 , x3),grid
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

9

Solution r=5

Solution r=24

10

Solution r=30

Solution r=180

Le logiciel utilisé ici n’affiche rien quand r prend la valeur 180
...
Le résultat ci-dessus est obtenu grâce à
Matlab qui manifestement est plus avancé
...
1- Méthode de Runge Kutta

a-Présentation de l’algorithme utilisé
Pour des raisons de précisions, nous utilisons l’algorithme de Runge Kutta
d’ordre 4 appliqué aux systèmes d’équations à conditions initiales
...
Dans l’optique d’avoir un meilleur confort et un algorithme
optimal, nous avons écrit trois fonctions qui sont appelées dans le script cidessous
...
01;
t_h= [0
...
001;
X1(l, m) =0;
end
end
for l = 1:1
for m = 1:2000
X2(1,1)=0
...
001;
X3(l, m) =0;
end
end
for l=1:3
for m=1:4
k(l,m)=0;
end
12

end
x1=0
...
001;
x3=0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,1) , x3+0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,1) , x3+0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,1) , x3+0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,2) , x3+0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,2) , x3+0
...
5*h , x1+0
...
5*k(2,2) , x3+0
...
Ci-dessous vous avez leur
implémentation
...

Ensuite copiez le script ci-dessus dans l’éditeur, enregistrez puis exécutez
...


b-Représentation des solutions x(t), y(t), z(t) en fonction des
différentes valeurs de r
Les légendes sont les mêmes que celles énoncées précédemment dans
cette même section du projet correspondant à l’algorithme d’Euler
...
C’est également en vertu de cette précision
de l’algorithme de Runge Kutta que, on obtient un modèle précis des solutions
dans l’espace (x, y, z) en 3d pour r=180
...


16

c-Représentation des solutions dans l’espace (x, y, z)
Pour avoir les courbes suivantes, il faut remplacer les quatre dernières
lignes du script (celles commençant par subplot) par celles-ci :
plot3(X1,X2,X3),grid
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

Solution r=5

Solution r=24

17

Solution r=30

Solution r=180

18

III- Etude des solutions en fonction des valeurs de r
Les équations admettent trois points critiques, qui correspondent à un
état d’équilibre entre les différents phénomènes physiques qui gouvernent le
comportement du système
...

A = (0, 0,0) ; B= ( b *( r  1) , b *( r  1) , r-1) ; C = (- b *( r  1) ,- b *( r  1) ,r-1)
...
Il converge vers un point critique tout en
oscillant autour de l’autre
...


19

* Pour r=24

Ici, le système est aussi hors du chaos transitoire, en ce sens qu’il
oscille autour d’un point critique, et converge vers l’autre point
...

* Pour r=30

Ici aussi le système est stable, mais il y a plus d’oscillations au d’un point
critique
...
Il est impossible de prévoir à l’avance l’alternance des oscillations
...

D’un point de vue plus général, on retient que plus les valeurs de r sont
grandes, plus le système est chaotique, et il est impossible de prévoir
l’alternance des oscillations
...
En effet, en faisant varier celles-ci,
on observe un comportement complètement différent
...
C’est pourquoi cet attracteur est qualifié
d’étrange
...
C’est le cas des attracteurs
étranges de Lorenz qui constituent une modélisation des phénomènes
météorologiques
...

21

BIBLIOGRAPHIE
1
...
Analyse numérique pour ingénieurs
...
POLY : TA 335 F67 1995
...
HOUNGAN, T
...


22



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