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---

Calcul diérentiel
A
...
P
...

E
...
fr
Site Web : http://lesfari
...
Lesfari (Calcul Di
...
Lesfari (Calcul Di
...
Soit Ω un ouvert de E et soit f : Ω −→ F , une
application
...
Comme dim E = n et dim F = p, on se ramène par choix de
bases à des applications f : Ω ⊂ Rn −→ Rp
...


On écrit l = lim f (x)
...


Dénition 2 On dit que f est continue en a si x→af (x) = f (a)
...


Remarques 3 a) Pour prouver la continuité d'une fonction de plusieurs va-

riables en un point a de son domaine, on majore |f (x) − f (a)| par une expression mieux connue, tendant vers 0 avec ||x − a||
...

c) Quelques majorations utiles :
1
|xy| ≤ (x2 + y 2 )
...
1
a)

x2 + y 2 ,

|y| ≤

f (x, y) =

x2 + y 2 ,

1
x sin y , y = 0
0, y = 0

b)
f (x, y) =

x2 y
, (x, y)
x4 +y 2

f (x, y) =

x3 +y 3
, (x, y)
x2 +y 2

f (x, y) =

x4 y
, (x, y)
x6 +y 4

= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)

c)
= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)

d)
= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)

4

A
...
)

Réponse :
a) f est continue sur R2 sauf aux points (α, 0), α = 0
...

c) f est continue sur R2
...


Exercice 1
...


Exercice 1
...


2 Fonctions partielles, dérivée directionnelle, dérivées partielles
Soit a = (a1 ,
...
Notons
Ωi = {xi ∈ R : (a1 ,
...
, an ) ∈ Ω}, 1 ≤ i ≤ n

et considérons l'application suivante :
f i : Ωi −→ F,

Dénition 4 On dit que

xi −→ f (a1 ,
...
, an )
...


Proposition 5 Si f est continue en a, alors chaque f i est continue en ai
...


Soit a ∈ E , Ω un voisinage de a, f : Ω −→ F , et u ∈ E avec u = 0
...

∂a

Dénition 6 Si la limite

lim

5

A
...
)

Un cas particulier important de dérivée directionnelle est celui de dérivée
partielle
...
, 0, 1, 0,
...
, en ) de E
...
D'après la dénition
∂xi
des dérivées directionnelles, on a
f (a + λei ) − f (a)
∂f
(a) = lim
,
λ→0
∂xi
λ
λ=0
= lim

λ→0
λ=0

f (a1 ,
...
, an ) − f (a1 ,
...
, an )

...
, ai−1 , xi , ai+1 ,
...

∂f
En d'autres termes, pour calculer la dérivée partielle
(a), on xe toutes les
∂xi
variables, sauf la ième , et on dérive la fonction d'une variable ainsi obtenue
...

b) L'existence de toutes les dérivées directionnelles en un point n'implique
pas la continuité de la fonction en ce point
...


Dénition 8 On dit que

f est diérentiable en a s'il existe une application
linéaire L : E −→ F , telle que :
∀h ∈ E,

f (a + h) = f (a) + L(h) + ε(h),

ε(h)
= 0 (c-à-d
...
De façon équivalente (il sut de
h→0 ||h||
h=0

avec lim

poser x = a + h), s'il existe une application linéaire L : E −→ F , telle que :
f (x) = f (a) + L(x − a) + ε(x − a),

ε(x − a)
= 0
...
On la note df (a) ou dfa
...
Lesfari (Calcul Di
...


Proposition 9 Si

f est diérentiable au point a, alors f est continue en a
...


Remarque 10 Voyons ce qui se passe en dimension innie
...
des espaces vectoriels normés complets (ou des
espaces vectoriels normés quelconques)
...
Cette norme est dénie, pour tout
f ∈ L(E, F ) par
f

L(E,F )

= sup
0=x∈E

f (x) F

...
Si f : E −→ F est une application linéaire,
alors on a équivalence entre les trois propositions suivantes :
(i) f est continue en 0
...

(iii) f est uniformément continue
...

On montre que si f est diérentiable en a, alors f est dérivable suivant
tout vecteur u de E et
∂f
(a) = df (a)u,
∂u

pour chaque u de E
...


Proposition 11 Si f est diérentiable au point a, alors les dérivées partielles
∂f
(a) existent et on a
∂xi

n

df =
i=1

(La réciproque est fausse en général)
...

∂xi

7

A
...
)

Exercice 3
...


Remarque 12 La seule existence des dérivées partielles ne sut pas à assurer
la diérentiabilité
...


∂f
(1 ≤ i ≤ n) de f existent dans
∂xi
un voisinage de a et sont continues en a, alors f est diérentiable en a
...


Dénition 14 On dit que f est continûment diérentiable ou de classe C 1 sur
Ω lorsque les dérivées partielles

∂f
de f existent et sont continues sur Ω
...

Le théorème suivant (voir [6]) donne une condition susante sur les dérivées
partielles de la fonction f pour que celle-ci soit diérentiable en a
...
, ∂xn de la fonction f existe au point
a = (a1 ,
...

(ii) les n − 1 autres dérivées partielles existent dans un voisinage de a et
qu'en outre elles sont continues en a
...


Dans le cas particulier d'une fonction f (x, y) à deux variables la condition
susante de diérentiabilité de cette fonction consiste à utiliser la continuité
d'une des dérivées partielles mais pas les deux ! La continuité de toutes les
dérivées partielles intervient seulement pour montrer que f est de classe C 1
...

Notation (dans le cas de deux variables) :
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
,
h→0
∂x
h
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim

...
Lesfari (Calcul Di
...


Exemple 17 Etudions la diérentiabilité de la fonction dénie sur R2 par
f (x, y) =

xy 3
,
x4 +y 2

0,

(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)

9

A
...
)

(Surface de l'équation z = f (x, y))

La fonction f est diérentiable sur R2 \{(0, 0)} comme quotient de fonctions
diérentiables sur R2 \{(0, 0)} dont le dénominateur ne s'annule pas
...
On a
y 3 (y 2 − 3x4 )
∂f
(x, y) =
,
∂x
(x4 + y 2 )2

∂f
xy 2 (3x4 + y 2 )
(x, y) =
,
∂y
(x4 + y 2 )2

et
∂f
f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
= 0,
h→0
∂x
h
∂f
f (0, h) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
= 0
...
On a
∂f
(x4 + y 2 )1/4
...
3(x4 + y 2 )
(x, y) ≤
= 3(x4 + y 2 )1/4 ,
∂y
(x4 + y 2 )2

et

∂f
∂f
(x, y) = 0 =
(0, 0)
...
Par conséquent, f est diérentiable sur R2
...


10

A
...
)

Exemple 18 Etudions la diérentiabilité de la fonction dénie sur R2 par
f (x, y) =

y 2 sin x ,
y
0,

y=0
y=0

(Surface d'équation z = f (x, y))

La fonction f est diérentiable sur R2 \{(a, 0)}, a ∈ R, comme produit et
composée de fonctions diérentiables
...
En outre,

∂f
x
x
(x, y) = 2y sin − x cos ,
∂y
y
y
∂f
(x, y)
∂x

≤ |y|,

∂f
∂f
(x, y) = 0 =
(0, 0),
(x,y)→(0,0) ∂x
∂x
lim

ainsi ∂f est continue en (0, 0)
...

∂x
De même, la fonction f est diérentiable en (a, 0), a = 0 car ∂f et ∂f existent
∂x
∂y
au point (a, 0) ; ∂f (a, 0) = ∂f (a, 0) = 0, et ∂f est continue en (a, 0) ;
∂x
∂y
∂x
∂f
∂f
(x, y) = 0 =
(a, 0)
...
Finalement f est
∂y

11

A
...
)

diérentiable sur R2
...
2 Etudier la diérentiabilité des fonctions dénies sur R2 par
a)

x2 + y 2

f (x, y) =

b)
f (x, y) =

(x2 + y 2 )2 sin √

1
, (x, y)
x2 +y 2

= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

c)
4

f (x, y) =

4

xy x4 −y4 , (x, y) = (0, 0)
x +y
0, (x, y) = (0, 0)

Réponse :
a) f est diérentiable sur R2 sauf au point (0, 0)
...

c) f est diérentiable sur R2
...
3 Montrer que la fonction f de R2 dans R dénie par
f (x, y) =

|x|y 3
,
x2 + y 2

admet un prolongement continue à l'origine
...

Réponse : Il sut de poser f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)
...


12

A
...
)

Exercice 3
...


Exercice 3
...
On pose
f (x)−f (y)
,
x−y

g(x, y) =

f (x),

x=y
x=y

a) Etudier la continuité de g sur R2
...

b) oui
...
6 Etudier la continuité et la diérentiabilité de la fonction dénie
sur R2 par

f (x, y) =

1
1
sin x sin y sin x sin y , xy = 0
0, xy = 0

Réponse : f est continue et diérentiable en (x, y) ∈ R2 sauf peut-être en (x, y)
tels que : xy = 0
...
f n'est pas
1
diérentiable en (a, 0), (0, a) avec a ∈ {kπ : k ∈ Z} ∪ { kπ : k ∈ Z∗ }
...


Proposition 19 Soient
f, g : Ω ⊂ E −→ F,

h : Ω ⊂ E −→ R,

des fonctions diérentiables au point a ∈ Ω
...


f
est diérentiable en a et
h
(a) =

(df (a))h(a) − f (a)dh(a)

...
Lesfari (Calcul Di
...
Posons b = f (a) et soit ∆ un voisinage
de b et g : −→ G (G evn
...
q )
...
Alors g ◦ f est diérentiable en a et
d(g ◦ f )(a) = dg(b)
...


Exercice 3
...

On pose,

∀(x, y) ∈ R2 ,

g(x, y) = f (cos x2 , xy, f (y, y, y))
...
On exprimera les dérivées partielles de F en fonction de celles de
f
...

∂x3

Exercice 3
...


∂f
Réponse : En désignant par ∂xi (x1 , x2 , x3 ) la dérivée première par rapport à la
i-ème composante xi , on obtient

∂f
∂f
∂f
(a, b) = −2a sin a2
cos a2 , ab, f (a, b, a) + b
cos a2 , ab, f (a, b, a)
∂x
∂x1
∂x2
∂f
∂f
∂f
+
cos a2 , ab, f (a, b, a)
cos a2 , ab, f (a, b, a) +
cos a2 , ab, f (a, b, a)
∂x3
∂x1
∂x3

et
∂f
∂f
∂f
∂f
(a, b) = a
cos a2 , ab, f (a, b, a) +
cos a2 , ab, f (a, b, a)
(a, b, a)
...
Lesfari (Calcul Di
...
9 Soit

E un R-evn et Φ l'application x → x
...

a) Montrer que Φ n'est pas diérentiable en 0
...

i

x =
i=1

Montrer que Φ est C 1 sur F \ {0F } et préciser sa diérentielle
...
L'application Φ est-elle diérentiable ?
d) On considère l'espace
∞

a = (an ) ∈ R :
N

est absolument convergente ,

n=0

muni de la norme x =

∞

| xn |
...
10 Calculer la dérivée de
v(x)

g(x) =

f (x, t)dt,
u(x)

où f est continue et u, v sont de classe C 1
...
11 Soit
l'application :


...
Montrer que

Mn (n, K) −→ Mn (n, K),

A −→ Ap ,

p ∈ N∗ ,

est diérentiable en tout point
...

k=0

Exercice 3
...
trA + o(t2 ),

où I est la matrice unité et trA =

n

i=1

t→0

aii est la trace de la matrice associée

à l'opérateur A par rapport à une base quelconque
...


15

A
...
)

4 Matrice jacobienne
Considérons l'application f : Ω ⊂ E −→ F , x −→ y = f (x)
...
, xn ),
y2 = f2 (x1 ,
...


...


yp = fp (x1 ,
...

∂f

On suppose que les dérivées partielles i (a), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n, a ∈ Ω,
∂xj
existent
...


...


∂fp
(a)
∂xn


...


...


...








Si p = 1, Jf (a) se réduit à un vecteur de E ,
grad f =

∂f
∂f
(a),
...

Si n = p, le déterminant de la matrice Jf (a) s'appelle jacobien de f en a
et on écrit
det Jf (a) =

∂(f1 ,
...

∂(x1 ,
...
Jf (a)
...
D'où det Jg◦f (a) = 1,
et par conséquent
∂(f1 ,
...

∂(x1 ,
...
, xn )
∂(f1 ,
...


16

A
...
)

Proposition 23 (théorème des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert de

E et f : Ω −→ R une application, a ∈ Ω, h ∈ Rn tels que le segment [a, a+h] =
{a + th : 0 ≤ t ≤ 1} soit inclus dans Ω
...
Alors, il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que :
n

f (a + h) − f (a) =

hi
i=1

∂f
(a + θh),
∂xi

avec h = (h1 ,
...


Remarque 24 Le théorème des accroissements nis n'est plus vrai pour les
fonctions à valeurs vectorielles (en particulier à valeurs complexes)
...
On suppose que f est continue sur [a, a + h], diérentiable
sur ]a, a + h[ et que :
∃M, ∀x ∈]a, a + h[, df (x) ≤ M
...


Exercice 4
...
Supposons qu'il existe
M = sup{ df (x) ; x ∈ intΩ} < +∞

tel que : ∀x ∈ Ω, df (x) ≤ M
...


Exercice 4
...


a) Montrer que :

1

f (x + t(y − x))(y − x)dt
...


y−x
...


17

A
...
)

Exercice 4
...
On suppose qu'il existe f : Ω −→ F
et g : Ω −→ L(E, F ) telles que :
i) (fn ) converge simplement vers f sur Ω
...

1) Montrer que f ∈ C 1 (Ω, F ) et f = g
...

n→+∞

5 Dérivées partielles d'ordre supérieur
Soient a ∈ E , Ω un voisinage de a et f : Ω −→ F
...
Si ces dérivées partielles possèdent elles-mêmes des dérivées partielles,
on les appellent dérivées partielles secondes et on note
∂2f
∂
(a) =
∂xj ∂xi
∂xj

∂
∂xi

(a)
...
On dénit ainsi par récurrence les
dérivées partielles kèmes et la notion de fonction de classe C k
...


Exercice 5
...

Réponse : On montre que g ∈ C ∞ sur R et on en déduit que : f ∈ C ∞ sur
R2 \{(0, 0)} (composée et produit de fonctions de classe C ∞ )
...
Lesfari (Calcul Di
...


−h
= −1,
h→0 h

= lim

et
∂2f
∂
(0, 0) =
∂x∂y
∂x

∂f
∂y

(0, 0) = lim

h→0

∂f
(h, 0)
∂y

−
h

∂f
(0, 0)
∂y

h
= 1
...
On constate donc que même si les déri∂2f
∂2f
vées partielles ∂y∂x et ∂x∂y en un point existent, elles ne sont pas nécessairement
égales
...

2

2

Théorème 26 Si

∂ f
et ∂xj ∂xi existent dans un voisinage Ω d'un point
a = (a1 ,
...

∂xi ∂xj
∂xj ∂xi

19

A
...
)

Remarque 27 Ce théorème s'applique en particulier aux fonctions de classe

C 2 , cas de loin le plus important dans les applications
...
Signalons aussi que la formule ci-dessus d'interversion des
dérivées partielles, signie que la matrice hessienne de f est alors symétrique
en chaque point
...
que
d2 f (a)(u, v) = d2 f (a)(v, u),

∀u, v ∈ E

Plus généralement, si f : Ω ⊂ E −→ R est de classe C k sur l'ouvert Ω,
alors l'ordre dans lequel est calculée toute dérivée partielle d'ordre k est sans
importance : si σ est une permutation de {1, 2,
...
Il sut de raisonner par induction
...
(∂x1 )α1

avec α = (α1 ,
...

L'importance de ce théorème provient de son utilisation intensive en mathématiques, en physique, en chimie, dans les sciences de l'ingénieur ainsi que
de ses nombreuses applications dans d'autres domaines
...
Il
intervient par exemple dans la construction des formules fondamentales d'analyse vectorielle, des expressions des fonctions d'état en thermodynamique, dans
l'étude de l'équation des cordes vibrantes et équation des télégraphistes, dans
l'étude des ondes, dans l'obtention des relations de Maxwell, pour ne citer que
ces exemples marquants, il y en a évidemment beaucoup d'autres ! D'autre
part, pour la résolution d'exercices la contraposée de ce théorème permet par
l'absurde de montrer que certaines fonctions ne sont pas de classe C 2
...
Nous allons voir dans
le théorème ci-dessous qu'eectivement, ceci est possible (pour la preuve voir
[7])
...


20

A
...
)

Théorème 29 Soit f une fonction de deux variables à valeurs réelles, dénie

dans un voisinage Ω du point (a, b) ∈ R2
...

∂x
∂2f
(ii) ∂y∂x est continue sur Ω
...

∂y
∂2f
Alors ∂x∂y existe en (a, b) et on a
∂2f
∂2f
(a, b) =
(a, b)
...
Soit h ∈ Rn , tel que le segment [a, a + h], soit contenu dans Ω
...
Alors, il existe θ ∈]0, 1[ tel que :
n

∂f
1
(a)hi +
∂xi
2i

f (a + h) = f (a) +
+

i=1
n

1
r! i

1 ,
...
hir
∂xir
...
,ir+1

∂ r+1 f
(a + θh)hi1
...

∂xir+1
...


f :

Remarque 32 Le terme d'indice r du théorème précédent, c-à-d
...
,ir

se note souvent

1
r!

∂rf
(a)hi1
...
∂xi1
=1

∂
∂
h1
+ · · · + hn
∂x1
∂xn

n

f (a)
...

∂y 2

21

A
...
)

Exercice 6
...

Soient Ω ⊂ E , un ouvert, f : Ω −→ F et a ∈ Ω
...

Cela revient à dire que la fonction x −→ f (x+a) est n-tangente à P à l'origine
...
Dans le cas où f est n-fois diérentiable au point
a, la formule de Taylor, exprime précisément que f admet un développement
limité P à l'ordre n au point a
...
2 Soit GLn (n, K) l'ensemble des matrices n × n inversibles
...
Quelle est sa diérentielle ?
b)Montrer que l'application :
g : GLn (n, K) −→ K,

A −→ det A,

est de classe C 1 en tout point
...

b) ∀(A, B) ∈ GLn (n, K)2 , dg(A)(B) = det A
...


7 Théorème d'inversion locale
Considérons le système de n équations algébriques à n inconnues suivant :
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ,


...


...


D'une façon condensée, ce système s'écrit
n

aij xj = bi ,
j=1

1≤i≤n

22

A
...
)

ou encore sous forme matricielle, Ax = b, avec A = (aij ) une matrice n × n,
b = (bi ) une matrice n × 1 et x = (xj ) une matrice n × 1
...
, xn ) −→ (y1 ,
...
Cela revient à dire que l'application
A est bijective
...


...


fn (x1 , · · · , xn ) = bn ,

ou sous forme condensée f (x) = b ? A la place de A interviendra le jacobien
de f c-à-d
...


...


∂fn
(x0 )
∂xn


...


...


...





...

L'équation f (x) = b peut alors s'écrire
f (x) − f (x0 ) = b − b0 ,

ou encore
df (x0 )
...


Une approximation linéaire de l'équation proposée est donc fournie par
df (x0 )
...


Comme la fonction linéaire df (x0 ) : E −→ E , est représentée par la matrice
jacobienne
Jf (x0 ) =

∂fj
∂xi

,
1≤i,j≤n

23

A
...
)

on peut aussi écrire l'équation linéaire approchée sous la forme
Jf (x0 )
...


L'équation approchée possède donc pour chaque b une solution unique en x
si et seulement si la matrice jacobienne Jf (x0 ) est inversible et donc si et
seulement si le jacobien de f en x0 (c-à-d
...
Pourraiton espérer que l'équation f (x) = b, elle-même possède une solution unique
si c'est le cas de l'équation linéaire approchée (autrement dit si l'application
linéaire approchant f est inversible) ? Posée globalement, la question appelle
une réponse négative
...
Précisons cela
en examinant un exemple dans le cas n = 1
...


La matrice jacobienne de f en x0 se réduit au nombre réel ∂f (x0 ) qui n'est
∂x
pas nul (la tangente à la courbe en (x0 , b0 ) n'est pas horizontale)
...
De plus si l'équation f (x) = b
a une solution, celle-ci n'est pas nécessairement unique
...

(ii) positivement : si on considère les voisinages U (x0 ) de x0 et V (b0 ) de b0 ,
la fonction
f : U (x0 ) −→ V (b0 ),

est bijective
...
Lesfari (Calcul Di
...

C'est là un fait général comme le montre le théorème suivant :

Théorème 34 (d'inversion locale) : Soit Ω un ouvert de E et
f : Ω −→ E,

une fonction de classe C 1
...
Supposons que df (x0 ) soit
inversible (c-à-d
...
Alors, il existe un voisinage U (x0 ) de x0 et
un voisinage V (b0 ) de b0 tels que la restriction de f à U (x0 ) soit une bijection
de U (x0 ) sur V (b0 )
...
(Si f est de classe C k , k ∈ N∗ , alors f −1 est également de
classe C k )
...


Exercice 7
...
Soit x0 ∈ Ω, b0 = f (x0 )
...
Montrer que :
a) ∆ ⊂ Ω, ouvert=⇒ f ( ) ⊂ E , ouvert
...

c) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier même si Ω est connexe (un
phénomène qui ne peut se produire lorsque n = 1)
...
2 Soit

f : Ω ⊂ E −→ E , une fonction de classe C 1 sur l'ouvert
Ω et supposons que df (x) est un isomorphisme pour tout x ∈ Ω
...


Exercice 7
...

b) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier (même lorsque Ω est
connexe)
...


Exercice 7
...
Montrer que pour tout
voisinage ouvert W ⊂ U de x0 , f (W ) est un voisinage ouvert de f (x0 ), et f
est bijective de W sur f (W ) avec une réciproque de classe C 1 (C k si f l'est)
...


25

A
...
)

8 Théorème des fonctions implicites et théorème
du rang constant
Considérons une fonction
g : E × F −→ F,

(x, y) −→ g(x, y)

et soit l'équation
g(x, y) = 0,

x ∈ E,

y∈F

Le problème qui se pose est de déterminer y comme fonction de x (autrement
dit, trouver les y1 ,
...
, xn )
...


Théorème 37 (des fonctions implicites) : Soit Ω un ouvert de E × F et g :

Ω −→ F une fonction de classe C 1
...
Supposons que :
(i) g(a, b) = 0
...

∂yj
1≤i,j≤p
Montrer qu'il existe un voisinage U (a) de a dans E et un voisinage V (b) de
b dans F , avec U (a) × V (b) ⊂ Ω, tels qu'il existe une fonction unique f :
U (a) −→ V (b), avec
(i)' b = f (a)
...

Cette fonction f est de classe C 1
...


Exercice 8
...
, xn , y) = 0,

où g : Rn × R −→ R est de classe C 1 et soit (a, b) ∈ Rn × R avec g(a, b) = 0
∂g
et (a, b) = 0
...

∂g
∂xi
(a, b)
∂y

Indication : D'après le théorème des fonctions implicites, on a g(x, f (x)) = 0
et il sut d'appliquer la formule de dérivation des fonctions composées
...
Lesfari (Calcul Di
...
2 On considère deux surfaces d'équations :
x2 (y 2 + z 2 ) = 2,

et

(x − z)2 + y 2 = 1
...

Réponse : f1 (1) = 0 et f2 (1) = −2
...
3 On considère la courbe d'équation :
g(x, y) = y 2 − 2x3 − x2 = 0
...

√
a) au voisinage du point (1, 3) ?
b) au voisinage du point (0, 0) ?
Si oui, calculer la dérivée de f au point considéré
...


√

3
4


...
4 On suppose que les variables réelles x, y, z sont liées par la re-

lation f (x, y, z) = 0
...

∂y ∂z ∂x

Exercice 8
...


Cette surface peut-elle être représentée,
a) par une équation de la forme z = f (x, y) au voisinage du point (0, 1, 1) ?
b) par une équation de la forme y = h(x, z) au voisinage du point (0, 1, 1) ?
Si oui, calculer les dérivées premières de f et h au point considéré
...

b) Oui et on a

∂h
((0, 1))
∂x

= 2,

∂h
((0, 1))
∂z

=0

27

A
...
)

Exercice 8
...


1) Montrer que f dénit une bijection de U = {(x, y) ∈ R2 : x > y} sur
V = {(u, v) ∈ R2 : u + 2v 2 > 0}
...

∂h

∂h

4
...

∂x
∂y
4
...

∂x
∂y

(∗)

4
...

(i) Soit h1 une fonction de classe C 1 vériant l'égalité (*)
...

∂v

(ii) On admet que si une fonction H de classe C 1 de V dans R vérie
∂H
= 0 alors H ne dépend pas de la variable u
...

Réponse :
2) Oui
...

4
...

∂y

4
...

4
...


28

A
...
)

Exercice 8
...
Montrer que f est un diéomorphisme de Ω sur f (Ω) si
et seulement si le rang de f (c-à-d
...


Indication : Il sut d'utiliser le théorème d'inversion locale
...
Soient Ω un ouvert de E et f

: Ω −→ F
une application diérentiable de rang constant r
...

(ii) un voisinage ouvert V (b) de b = f (a) dans F, contenant f (U (a))
...

tels que l'on ait :
(h ◦ f ◦ g −1 )(x1 ,
...
, xr , 0,
...
, xn ) ∈ W
...


Si f et g sont homogènes de degré α, alors f + g est homogène de degré
α
...
Si f est homogène
g
de degré α et s ∈ R∗ , alors f s est homogène de degré αs
...


Proposition 40 Si f est diérentiable en x et homogène de degré α, alors on

a la formule d'Euler :

n

xk
k=1

∂f
(x) = αf (x)
...
1 Déterminer la fonction f : (R∗ )3 −→ R, (x, y, z) −→ f (x, y, z)
+
homogène de degré α en y , z , de degré β en z , x et de degré γ en x, y
...


29

A
...
)

Exercice 9
...


On suppose que f est bornée sur la boule unité de E
...

b) f est continue en tout point de E
...


Exercice 9
...
Vérier que C = {(x, y) ∈ R2 : y − x ≥ 0} est
√
un cône positif et que f : (x, y) → y − x est homogène (préciser son degré)
...

2

Exercice 9
...


Réponse : Les fonctions ϕ de classe C 1 satisfaisant à l'équation ci-dessus sont
ϕ : R −→ R,

t −→ ϕ(t) = ctβ ,

(c, β ∈ R)

10 Extremum et méthode des multiplicateurs de
Lagrange
Soient Ω un ouvert de E , f : Ω −→ R et a ∈ Ω
...
minimum)
local ou relatif s'il existe un voisinage V de a inclus dans Ω tel que :
∀x ∈ V,

f (x) ≤ f (a)

(resp
...


b) On dit que f possède en a un maximum (resp
...
f (x) ≥ f (a))
...


Proposition 42 (Condition nécessaire) : Si f est diérentiable en a et présente un extremum en a, alors df (a) = 0
...


30

A
...
)

Dénition 43 On appelle matrice hessienne (ou tout simplement hessienne)
de f en a, la matrice suivante :



H(f, a) = 



∂2f
(a)
∂x2
1
∂2f
(a)
∂x2 ∂x1


...


...


...


∂2f
(a)
∂xn ∂x2


...


...


...


∂2f
(a)
∂x2
n




=



∂2f
(a)
∂xj ∂xi


...
, hn ) ∈ E
...

Rappelons qu'une forme quadratique Q est dite
- dénie positive si ∀h ∈ E, h = 0, Q(h) > 0
...

- dénie négative si ∀h ∈ E, h = 0, Q(h) < 0
...

- indénie si ∃h, g ∈ E avec Q(h) > 0 et Q(g) < 0
...

1) Si d2 f (a) est une forme quadratique dénie positive, alors f possède un
minimum local au point a
...

3) Si la forme quadratique d2 f (a) est indénie, alors f n'a pas d'extremum
au point a
...
un maximum local) au
point a, alors d2 f (a) est semi-dénie positive (resp
...


Remarque 46 On démontre en algèbre qu'une forme quadratique Q associée

à une matrice symétrique H est dénie positive (resp
...
positives)
...

1) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement
positives, alors f possède un minimum local au point a
...
Lesfari (Calcul Di
...

3) S'il existe deux valeurs propres λ1 et λ2 de H(f, a) de signe contraire, f
ne possède ni maximum, ni minimum local au point a
...
De plus, toutes ses
valeurs propres sont strictement positives si et seulement si H(f, a) est dénie
positive
...


Exercice 10
...

2) Si f possède un maximum local au point a, toutes les valeurs propres de
la matrice hessienne H(f, a) sont négatives ou nulles
...
Soit a un point critique, c-à-d
...
Posons
r=

∂2f
(a),
∂x2

s=

La matrice hessienne
H=

a pour déterminant :

∂2f
(a),
∂x∂y
r s
s t

t=

∂2f
(a)
...


L'équation caractéristique est alors
det

λ − r −s
−s λ − t

= λ2 + (r + t)λ + (rt − s2 ) = 0
...
On n'a donc pas d'extremum en a
...
Si det H > 0, les deux racines sont de
même signe et f admet un extremum en a
...
En résumé, on a

32

A
...
)

Proposition 49 (Conditions susantes dans le cas de fonctions de deux variables) :
1) Si det H > 0 et r > 0, alors f admet un minimum local au point a
...

3) Si det H < 0, alors f n'admet pas d'extremum local au point a
...

Exercice 10
...


Réponse : grad f (x, y) = 0 ⇐⇒ (x, y) = (2, 1), (−2, −1), (1, 2), (−1, −2)
...


Exercice 10
...
sin y
...
De même, f possède un maximum aux points
(kπ + π , lπ + π ) avec k, l ∈ Z tels que : k + l est pair
...
Mais bien des cas,
on cherche à maximiser ou à minimiser une fonction, mais en tenant compte
de certaines contraintes : on parle dans ces cas d'extremums liés
...
On dit que f possède au point a un maximum local sous les
contraintes g(x) = 0 si
∃ε > 0, ∀x ∈ A = {x ∈ Ω : g(x) = 0}, ||x − a|| < ε =⇒ f (x) ≤ f (a)
...


Si f possède au point a un maximum ou un minimum local sous les contraintes
g(x) = 0, on dit que f possède au point a un extremum local sous les contraintes
g(x) = 0
...
Lesfari (Calcul Di
...
Supposons que f possède au point a un extremum sous les
contraintes g(x) = 0 et que la matrice jacobienne Jg (a) de g au point a soit
de rang p
...
, λp (appelées multiplicateurs de
Lagrange) telles que :
∂f
(a) =
∂x

p

λi
i=1

∂gi
(a)
...

∂x
∂x
i=1
ii) g(a) = 0
...
4 Chercher un extremum de la fonction :
f (x, y) = x2 + x2 ,
1
2

sous la contrainte : g(x1 , x2 ) = x2 − x2 − 1 = 0
...
On peut vérier
qu'il y correspond des minimums de f
...
5 Chercher les extremums de la fonction :
f (x, y, z) = x ln x + y ln y + z ln z,

sous la contrainte : x + y + z = a, (a > 0)
...

3 3 3

Exercice 10
...

Réponse : f n'admet pas de maximum mais possède un minimum égal à 3 au
point (0, 0, 0)
...
7 Soit f, g ∈ C 1 (R3 , R), S = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = 0}
...
Montrer
que si f admet un extremum sur S en a ∈ S, il existe λ ∈ R, tel que :
df (a) = λdg(a)
...
Lesfari (Calcul Di
...
8 Soit

A ∈ Mn (R) symétrique dénie positive et f ∈ Rn
...

2

a) Etudier la diérentiabilité de ϕ
...

c) Déterminer les extremums de ϕ
...
9 Soit n ∈ N∗
...
On dit que f est convexe sur Rn si :
∀(x, y) ∈ (Rn × Rn ), ∀ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
...
Montrer que g admet un minimum en x0
...

b) Montrer que pour tout (x, y) ∈ (Rn × Rn ), ϕx,y est de classe C 2 sur
R
...

par

c) Soient x ∈ Rn et Ax ∈ Mn (R), Ax = (aij )1≤i,j≤n , la matrice dénie
∀(i, j) ∈ [1, n]2 , aij =

∂2f
(x)
...
Montrer que les valeurs propres de Ax sont positives ou nulles
si et seulement si ∀y ∈ Rn , ψx (y), y ≥ 0
...

∂f
3) Soit x0 ∈ Rn
...

n

A
...
)

35

Références
[1] T
...
Apostol, Mathematical analysis : A modern approach to advanced
calculus, 1974, Addison-Wesley
...
Cartan, Cours de calcul diérentiel, 1997, Hermann
...
Godement, Analyse Mathématique II, Calcul diérentiel et intégral,
séries de Fourier, fonctions holomorphes, Springer, 2ème édition 2003
...
Hauchecorne, Les Contre-exemples en Mathématiques, Ellipses, 2ème
édition 2007
...
Dieudonné, Éléments d'analyse, Tome 1, Fondements de l'analyse moderne, Gauthier-Villars, 3ème édition 1979 - tirage 1990
...
: Fonctions diérentiables, Quadrature, Paris, No
...
45-47
(2012)
...
: Interversion des dérivées partielles, accepté pour publication,
à paraître dans Quadrature, Paris, EDP Sciences
...
Mawhin, Analyse
...

[9] L
...




---