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´matiques
Cours de Mathe
´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Sommaire
Limites, continuit´
e, fonctions usuelles
Sommaire
I
Fonctions num´
eriques, g´
en´
eralit´
es
...
1
Op´erations sur F(I,R)
...
2
Relation d’ordre sur F(I,R)
...
3
Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees
...
4
Extremums absolus (ou globaux)
...
5
Applications monotones
...
6
Applications paires ou impaires
...
7
Applications p´eriodiques
...
8
Axes et centres de sym´etrie
...
II
...
II
...
II
...
II
...
II
...
II
...
III Comparaisons locales
...
1 D´efinitions
...
2 Propri´et´es des relations f=o(g) et f=O(g)
...
3 Propri´et´es des ´equivalents
...
4 Quelques conseils
...
5 Comparaisons usuelles
...
IV
...
IV
...
IV
...
IV
...
IV
...
IV
...
V
Quelques fonctions usuelles
...
1
Fonctions circulaires r´eciproques
...
2
Fonctions logarithmes et exponentielles
...
3
Fonctions hyperboliques
...
4
Trigonom´etrie hyperbolique
...
...
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...
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...
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klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
1
Fonctions num´
eriques, g´
en´
eralit´
es
Op´
erations sur F(I,R)
Dans l’´etude des fonctions num´eriques, on rencontre des applications f `a valeurs r´eelles, d´efinies
sur une partie D de IR appel´ee domaine de d´efinition de f
...
Par exemple, le domaine de d´efinition de l’application tangente est la r´eunion des intervalles
Ik =] − π2 + kπ, π2 + kπ[, pour tout entier relatif k
...
) doit cependant s’effectuer
intervalle par intervalle
...
On note F(I, IR), ou IRI , l’ensemble des applications f : I → IR
...
Soient f et g deux ´el´ements de F(I, IR)
...
– L’oppos´ee d’une application f est l’application −f d´efinie par : ∀ x ∈ I, (−f )(x) = −f (x)
...
– Une application f est inversible pour le produit ⇔ elle ne prend pas la valeur 0
...
f
f
f (x)
Soit α un r´eel
...
La notation αf d´esigne l’application d´efinie par : ∀ x ∈ I, (αf )(x) = αf (x)
...
I
...
On d´efinit ainsi une relation d’ordre partiel sur F(I, IR)
...
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Tous droits de l’auteur des œuvres r´
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´matiques
Cours de Mathe
´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
D´
efinition
Soient f et g dans F(I, IR)
...
– inf(f, g) = f ⇔ f ≤ g ⇔ sup(f, g) = g
...
sup(f, g) est le plus petit des majorants (la borne sup´erieure) de la paire {f, g}
...
On peut donc g´en´eraliser et d´efinir les applications inf(f1 , f2 ,
...
, fn )
...
On d´efinit les applications |f |, f + et f − de la fa¸con suivante :
– ∀ x ∈ I, |f |(x) = |f (x)|
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
1
f + = (|f | + f )
f = f+ − f−
2
– On v´erifie les ´egalit´es :
et on en en d´eduit
|f | = f + + f −
f − = 1 (|f | − f )
2
1
sup(f, g) = (f + g + |f − g|)
2
– Plus g´en´eralement : ∀ (f, g) ∈ F(I, IR),
1
inf(f, g) = (f + g − |f − g|)
2
– Une d´efinition ´equivalente de f
I
...
On dit que f est major´ee s’il existe un r´eel β tel que : ∀ x ∈ I, f (x) ≤ β
...
On note alors supI f , ou supx∈I f (x) la borne sup´erieure de l’ensemble image f (I)
...
D´
efinition
Soit f un ´el´ement de F(I, IR)
...
Cela revient `a dire que f (I) = {f (x), x ∈ I} est une partie minor´ee de IR
...
On dit que cette quantit´e est la borne inf´erieure de f sur l’intervalle I
...
On dit que f est born´ee si f est major´ee et minor´ee
...
D´
efinition
Soit f un ´el´ement de F(I, IR)
...
On dit que f est major´ee (resp
...
born´ee) sur J si la restriction de f `a J est
major´ee (resp
...
born´ee)
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
– f est born´ee ⇔ |f | est major´ee
...
I
I
I
Si f et g sont minor´ees, alors f + g est minor´ee et inf (f + g) ≥ inf f + inf g
...
minor´ee) ⇔ −f minor´ee (resp
...
On a alors : inf (−f ) = − sup f , et sup(−f ) = − inf f
...
Si f est major´ee alors αf est major´ee et sup(αf ) = α sup f
...
I
I
– Si f et g sont born´ees, alors : ∀ (α, β) ∈ IR2 , αf + βg est born´ee
...
4
Extremums absolus (ou globaux)
D´
efinition
Soit f une application d´efinie sur l’intervalle I, `a valeurs dans IR
...
On dit que f pr´esente un maximum absolu (ou global ) en a si : ∀ x ∈ I, f (x) ≤ f (a)
...
Dans l’un ou l’autre cas, on dit que f pr´esente un extr´emum absolu en a
...
I
On exprime cela en disant que la borne inf´erieure de f sur I est atteinte en a
...
I
I
– De mˆeme, f a un minimum absolu en a ⇔ f est minor´ee sur I et f (a) = inf f
...
I
D´
efinition (Maximum local)
Soit f appartenant `a F(I, IR)
...
On dit que f pr´esente un maximum local en a si :
∃ ε > 0, ∀ x ∈ I ∩ [a − ε, a + ε], f (x) ≤ f (a)
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
Soit a un ´el´ement de I
...
Remarques
– Un minimum ou un maximum local est aussi appel´e un extr´emum local
...
La r´eciproque est fausse
...
5
Applications monotones
D´
efinition
Soit f une application d´efinie sur l’intervalle I, `a valeurs r´eelles
...
d´ecroissante si : ∀ (x, y) ∈ I 2 , x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)
...
strictement d´ecroissante si : ∀ (x, y) ∈ I 2 , x < y ⇒ f (x) > f (y)
...
strictement monotone si f est strictement croissante ou strictement d´ecroissante
...
– Pour exprimer qu’une application f n’est pas monotone, on peut ´ecrire :
∃ (x, y, z) ∈ IR3 tq : z ∈ [x, y] mais f (z) ∈
/ [f (x), f (y)]
...
Dire que f n’est pas strictement monotone signifie qu’il
existe un segment [a, b] inclus dans I (avec a < b) sur lequel f garde une valeur constante
...
Si f et g ont mˆeme monotonie, alors f + g est monotone de mˆeme monotonie
...
Proposition (Produits d’applications monotones)
Soient f et g deux applications monotones de I dans IR
...
Si f et g sont positives d´ecroissantes, f g est positive d´ecroissante
...
Si f et g sont n´egatives d´ecroissantes, f g est positive croissante
...
Si f est positive d´ecroissante et g n´egative croissante, f g est n´egative croissante
...
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A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
– Soit f une application monotone de I dans IR
...
Si α ≤ 0, αf et f sont de monotonies contraires
...
Proposition (Inverse d’une application monotone)
Soit f une application monotone de I dans IR
...
1
Alors est monotone sur I, de monotonie contraire `a celle de f
...
Soit f une application de I dans IR, telle que f (I) soit inclus dans J
...
L’application g ◦ f est donc d´efinie sur I
...
– Si f et g sont de monotonies contraires, alors g ◦ f est d´ecroissante
...
I
...
On suppose que l’ensemble D est sym´etrique par rapport `a 0 (x ∈ D ⇔ −x ∈ D)
...
D´
efinition
On dit que f est paire si : ∀ x ∈ D, f (−x) = f (x)
...
Proposition (Parties paire et impaire d’une application)
Soit f une application de D dans IR
...
1
1
p et i sont d´efinies par : ∀ x ∈ D, p(x) = (f (x) + f (−x)) et i(x) = (f (x) − f (−x))
2
2
On dit que p est la partie paire de f et que i en est la partie impaire
...
1
1
Soient les applications ch et sh d´efinies sur IR par ch(x) = (ex +e−x ) et sh(x) = (ex −e−x )
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´matiques
Cours de Mathe
´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
Proposition (Op´erations entre applications paires ou impaires
Soient f et g deux fonctions de I dans IR, paires ou impaires
...
Si elles sont de parit´es contraires, f g est impaire
...
f
– Soit (α, β) ∈ IR2 : Si f, g sont paires (resp
...
impaire)
...
– Si f est paire, alors h ◦ f est paire (quelque soit l’application h)
...
I
...
Soit T un r´eel strictement positif
...
Si f et g sont T -p´eriodiques, alors αf + βg et f g sont T -p´eriodiques
...
f
Si f est T -p´eriodique, alors pour toute application g, g ◦ f est T -p´eriodique
...
Cette plus petite p´eriode n’existe pas toujours
...
– Soit f une application T1 -p´eriodique, et g une application T2 -p´eriodique
...
Alors f + g et f g sont encore p´eriodiques
...
4
2
2
T
– Si f est T -p´eriodique, alors l’application g : x 7→ f (αx + β) est
-p´eriodique
...
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A
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Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
8
Axes et centres de sym´
etrie
Proposition (Parit´e, imparit´e et sym´etrie)
Soit f une application f `a valeurs r´eelles, d´efinie sur une partie D de IR
...
– L’application f est paire ⇔ son graphe Γ est sym´etrique par rapport `a l’axe Oy
...
Proposition (Axes de sym´etrie)
Soit f : D → IR, le domaine D ´etant sym´etrique par rapport au r´eel a
...
⇔ Pour tout h tel que a ± h appartienne `a D, f (a + h) = f (a − h)
...
Proposition (Centres de sym´etrie)
Soit f : D → IR, le domaine D ´etant sym´etrique par rapport au r´eel a
...
⇔ Pour tout h tel que a ± h appartienne `a D, f (a + h) − b = b − f (a − h)
...
Proposition (P´eriodicit´e)
Soit f : D → IR, le domaine D ´etant tel que : x ∈ D ⇔ x + T ∈ D (T > 0 donn´e)
...
Proposition (Graphe de la bijection r´eciproque)
Soit f une application bijective de D sur f (D)
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie II : Limites des fonctions num´eriques
II
II
...
D´
efinition
Soit I un intervalle de IR, d’int´erieur non vide
...
Soit P un pr´edicat (une propri´et´e) de la variable r´eelle x, d´efini sur I
...
On dit que P est vraie au voisinage de a si l’une des situations suivantes est r´ealis´ee :
– a est r´eel et ∃ δ > 0 tel que : ∀ x ∈ I∩]a − δ, a + δ[, P(x) est vraie
...
– a = −∞ et ∃ M ∈ IR tel que : ∀ x < M, P(x) est vraie
...
En effet si a est int´erieur `a I, alors pour tout δ assez petit, ]a − δ, a + δ[⊂ I
...
II
...
Soit a un r´eel, ´el´ement ou extr´emit´e de I
...
On dit que ` est limite de f en a si :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − `| ≤ ε
...
On dit que −∞ est limite de f en a si :
∀ M ∈ IR, ∃ δ > 0 tel que (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ f (x) ≤ M
...
Si a ∈ I et donc si f est d´efinie en a, la seule limite possible de f en a est le r´eel f (a)
...
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A
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Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
On suppose que I =]α, +∞[, ou I = [α, +∞[, ou I = IR
...
On dit que ` est limite de f en +∞ si :
∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≥ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε
...
On dit que −∞ est limite de f en +∞ si :
∀ M ∈ IR, ∃ A ∈ IR tel que x ≥ A ⇒ f (x) ≤ M
...
On suppose que I =] − ∞, α[, ou I =] − ∞, α], ou I = IR
...
On dit que ` est limite de f en −∞ si :
∀ ε > 0, ∃ A ∈ IR tel que x ≤ A ⇒ |f (x) − `| ≤ ε
...
On dit que −∞ est limite de f en −∞ si :
∀ M ∈ IR, ∃ A ∈ IR tel que x ≤ A ⇒ f (x) ≤ M
...
Si un tel ´el´ement ` existe, alors il est unique
...
f (x) → `
On note lim f (x) = `, ou lim f = ` ou
x→a
x→a
a
Remarque
Il se peut qu’une application ne poss`ede pas de limite en un point
...
L’application x 7→ E[x] n’a pas de limite en 0
...
x→a
x→a
Si a est un r´eel, lim f (x) = ` ⇔ lim f (a + h) = `
...
Soit a un ´el´ement de IR (´el´ement de I ou extr´emit´e de I)
...
lim f (x) = ` ⇔ pour toute suite (un ) de I tendant vers a, lim f (un ) = `
...
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A
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individuelle et priv´
ee sont interdites
...
Quand x tend vers a, on dit que f (x) tend vers ` par valeurs sup´erieures (resp
...
f (x) ≤ `)
...
lim f (x) = `− )
...
3
x→a
Limite `
a gauche ou `
a droite
D´
efinition (Limite `a gauche)
On suppose que a est r´eel et est int´erieur `a l’intervalle I
...
Soit g la restriction de f `a l’intervalle J = I∩] − ∞, a[
...
On dit que f admet ` pour limite en a `a gauche si g admet ` pour limite en a
...
lim f (x) = `
⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, (a − δ ≤ x < a) ⇒ |f (x) − `| ≤ ε
x→a−
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀ M ∈ IR, ∃ δ > 0, (a − δ ≤ x < a) ⇒ f (x) ≥ M
x→a−
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ M ∈ IR, ∃ δ > 0, (a − δ ≤ x < a) ⇒ f (x) ≤ M
−
x→a
D´
efinition (Limite `a droite)
On suppose que a est r´eel et est int´erieur `a l’intervalle I
...
Soit g la restriction de f `a l’intervalle J = I∩ ] a, +∞[
...
On dit que f admet ` pour limite en a `a droite si g admet ` pour limite en a
...
lim f (x) = `
⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, (a < x ≤ a + δ) ⇒ |f (x) − `| ≤ ε
x→a+
lim f (x) = +∞ ⇔ ∀ M ∈ IR, ∃ δ > 0, (a < x ≤ a + δ) ⇒ f (x) ≥ M
x→a+
lim f (x) = −∞ ⇔ ∀ M ∈ IR, ∃ δ > 0, (a < x ≤ a + δ) ⇒ f (x) ≤ M
+
x→a
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Limites, continuite
Partie II : Limites des fonctions num´eriques
Remarque
La limite de f en a, `a gauche ou `a droite, si elle existe, est unique
...
II
...
x→a
x→a
0
Alors lim (f + g)(x) = ` + ` (si ` + ` 0 n’est pas une forme ind´etermin´ee ∞ − ∞
...
)
x→a
Cas particulier
Si λ est un r´eel non nul, alors lim λf (x) = λ`
...
x→a
1
1
=
...
Si ` = ±∞, alors lim
x→a f (x)
Si ` ∈ IR∗ , alors lim
1
= +∞
...
x→a f (x)
Si ` = 0 et si, au voisinage de a, f (x) > 0, alors lim
x→a
Proposition (Composition des limites)
On suppose que l’application g ◦ f est d´efinie au voisinage de a
...
x→a
II
...
x→a
x→a
La r´eciproque est fausse, mais : lim f (x) = 0 ⇔ lim |f |(x) = 0
...
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...
A
...
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individuelle et priv´
ee sont interdites
...
|`|
Si f admet en a une limite r´eelle non nulle ` , alors au voisinage de a : |f (x)| ≥
...
2
Plus pr´ecis´ement :
Si ` < 0, alors, au voisinage de a, f (x) < ` < 0
...
|f (x)|
|`|
Proposition
On suppose que lim f (x) = ` et lim g(x) = ` 0 (avec ` ∈ IR et ` 0 ∈ IR)
...
En particulier, si λ est un nombre r´eel :
– Si f (x) ≤ λ au voisinage de a, alors ` ≤ λ
...
Remarque
Si f (x) < g(x) au voisinage de a, alors on peut seulement affirmer que ` ≤ ` 0
...
Proposition (Principe des gendarmes)
On suppose que lim f (x) = lim g(x) = ` (avec ` ∈ IR
...
x→a
Cas particuliers
– Si |f (x)| ≤ g(x) au voisinage de a et si lim g(x) = 0, alors lim f (x) = 0
...
x→a
x→a
Si lim f (x) = +∞, alors lim g(x) = +∞
...
x→a
x→a
Proposition
On suppose que lim f (x) = ` et lim g(x) = ` 0 (avec ` ∈ IR et ` 0 ∈ IR)
...
En particulier, si λ est un nombre r´eel :
– Si ` < λ , alors on a l’in´egalit´e f (x) < λ au voisinage de a
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Limites, continuite
Partie II : Limites des fonctions num´eriques
Proposition (Limite aux bornes, pour une application monotone)
Soit f une application monotone de ]a, b[ dans IR (a < b, a ∈ IR, b ∈ IR)
...
Plus pr´ecis´ement :
– Supposons f croissante
...
Si elle est minor´ee, ` est un r´eel, sinon ` = −∞
...
Si elle est minor´ee, ` 0 est un r´eel, sinon ` 0 = −∞
...
Proposition (Limite en un point int´erieur, pour une application monotone)
Soit f une application monotone de ]a, b[ dans IR (a < b, a ∈ IR, b ∈ IR)
...
L’application f admet en c une limite `a gauche et une limite `a droite, toutes deux finies
...
x→c−
x→c+
– Si f est d´ecroissante : lim f (x) ≥ f (c) ≥ lim f (x)
...
6
x→c+
Formes ind´
etermin´
ees
On suppose que lim f (x) = ` et lim g(x) = ` 0 (avec ` ∈ IR et ` 0 ∈ IR)
...
0 × ∞ si on veut calculer la limite en a de f g et si ` = 0, ` 0 = ±∞
...
0
g
∞
f
si on veut calculer la limite en a de et si ` = ±∞ et ` 0 = ±∞
...
∞0 si ` = +∞ et ` 0 = 0
...
Toutes ces formes ind´etermin´ees peuvent se ramener `a ∞ − ∞ ou `a 0 × ∞
...
Dans une forme ind´etermin´ee, tous les r´esultats sont possibles
...
Comme on dit, il faut lever la forme ind´etermin´ee
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
On d´esigne par a un ´el´ement ou une extr´emit´e de I (a ∈ IR)
...
1
D´
efinitions
D´
efinition (Fonction domin´ee par une autre)
Soient f , g deux applications de I dans IR
...
On note alors f = O(g), ou ´eventuellement f = Oa (g)
...
On dit que f est n´egligeable devant g au voisinage du point a (ou en a) si :
Pour tout ε > 0, l’in´egalit´e |f (x)| ≤ ε|g(x)| est vraie au voisinage de a
...
D´
efinition (Fonction ´equivalente `a une autre)
On dit que f est ´equivalente `a g au voisinage de a (ou en a) si :
L’application f − g est n´egligeable devant g au voisinage de a
...
D´
efinitions ´
equivalentes
On suppose que g ne s’annule pas au voisinage de a (sauf ´eventuellement en a)
...
g
f
f est n´egligeable devant g au voisinage de a ⇔ tend vers 0 en a
...
g
Remarques
– f ∼ g d´efinit une relation d’´equivalence sur l’ensemble des applications de I dans IR
...
– Dans les notations f = o(g), f = O(g) et f ∼ g, le point a n’apparait pas en g´en´eral
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie III : Comparaisons locales
III
...
Proposition (Fonctions domin´ees par 1 ou n´egligeables devant 1)
f = O(1) ⇔ f est born´ee au voisinage de a
...
Proposition (Propri´et´es de transitivit´e)
Si f = o(g), alors f = O(g)
...
Si f = o(g) et g = O(h), ou si f = O(g) et g = o(h), alors f = o(h)
...
Si f = o(h) et g = o(h), alors f + g = o(h), et pour tout r´eel α, αf = o(h)
...
Si f = o(h) et g = O(k), alors f g = o(hk)
...
III
...
Proposition (Propri´et´es de transitivit´e)
Si f ∼ g et g = O(k), alors f = O(k)
...
Si f ∼ g et si g ∼ h, alors f ∼ h
...
Proposition (Conservation de la limite)
Si f ∼ g, et si lim g(x) = `, alors lim f (x) = ` (` ∈ IR)
...
x→a
x→a
Proposition (Equivalences dans un produit)
Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors f1 g1 ∼ f2 g2
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
f1
f2
Si f1 ∼ f2 et g1 ∼ g2 , alors
∼
...
Dans un tel produit (ou quotient), on peut remplacer tout
ou partie des fonctions par un ´equivalent : l’expression obtenue est ´equivalente `a l’expression
initiale (en particulier, la limite ´eventuelle en a est la mˆeme)
...
En particulier, ∼
...
Cependant : si f ∼ h et g = o(f ), alors f + g ∼ h
...
G´en´eralisation : si f2 , f3 ,
...
Proposition (Changement de variable)
Soit ϕ une application de J dans I, qui tend vers a quand x tend vers b dans J
...
Si f est n´egligeable devant g en a, f ◦ ϕ est n´egligeable devant g ◦ ϕ en b
...
Remarque
C’est surtout cette derni`ere propri´et´e qui est utilis´ee
...
Toujours grˆace `a sin x ∼ x en 0, on trouve : sin x1 ∼ x1 en ±∞
...
III
...
Les outils essentiels sont les ´equivalents classiques (voir plus loin) et la possibilit´e qu’on a de
remplacer les facteurs d’un produit (d’un quotient) par des ´equivalents
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
La seule propri´et´e concernant les ´equivalents et les sommes peut s’´ecrire : g = o(f ) ⇒ f + g ∼ f
...
2
2
Ecrire par exemple cos(x) ∼ 1 − x2 (en 0) n’est pas faux mais dangereux si on utilise − x2
...
2
Pour cet exemple, la solution est sans doute d’´ecrire : 1 − cos(x) ∼ x2
...
x→a
Mais si ` = 0, on n’´ecrira pas f (x) ∼ 0 !
En effet, seule la fonction nulle au voisinage de a est elle-mˆeme ´equivalente `a 0 en a
...
C’est faux si f et g tendent vers 1
...
Exemples : x et x2 en 0, ou encore x et x + 1 en +∞
...
5
Comparaisons usuelles
Proposition (Exponentielles, puissances et logarithmes)
Soient α, β et γ des r´eels strictement positifs
...
+∞
−∞
+∞
0+
Autrement dit :
xβ = o(eαx ) en +∞
eαx = o(|x|−β ) en −∞
...
Proposition (Equivalents classiques)
Si f est d´erivable en 0 et v´erifie f (0) = 0 et f 0 (0) = 1, alors f (x) ∼ x en 0
...
2
Toujours `a l’origine : (1 + x)m − 1 ∼ mx, et 1 − cos(x) ∼ x2
...
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Limites, continuite
Partie III : Comparaisons locales
Proposition (Polynˆomes et fractions rationnelles)
Soit P (x) = am xm + am+1 xm+1 + · · · + an−1 xn−1 + an xn un polynˆome (an 6= 0, am 6= 0)
...
Au voisinage de ±∞, P (x) ∼ an xn (monˆome de plus haut degr´e)
...
Q(x)
Au voisinage de 0, f (x) est ´equivalente au quotient des monˆomes de plus bas degr´e
...
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Limites, continuite
Partie IV : Continuit´e
IV
IV
...
On dit que f est continue en a si la limite de f en a existe
...
Autrement dit : f est continue en a ⇔ lim f (x) = f (a)
x→a
⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que (x ∈ I et |x − a| ≤ δ) ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε
...
Soit a un ´el´ement de I, qui ne soit pas l’extr´emit´e gauche de I
...
Cela ´equivaut `a dire que : lim f (x) = f (a) ou encore :
x→a−
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que (a − δ ≤ x ≤ a) ⇒ |f (x) − f (a)| ≤ ε
...
Soit a un ´el´ement de I qui n’est pas l’extr´emit´e droite de I
...
On dit que f est continue `a droite en a si g est continue en a
...
Remarque
Soit a un point int´erieur `a l’intervalle I
...
f est continue en a ⇔f est continue `a droite et a` gauche en a
...
Soit a un point de I
...
Si a est int´erieur `a I, si f est discontinue en a, mais si les limites `a gauche et `a droite en a
existent et sont finies, on dit que f pr´esente en a une discontinuit´e de premi`ere esp`ece
...
Soit a un r´eel, extr´emit´e de I mais n’appartenant pas `a I
...
a
Cela signifie que g d´efinie sur I ∪ {a} par g(x) = f (x) si x ∈ I et g(a) = ` est continue en
a
...
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Limites, continuite
Partie IV : Continuit´e
IV
...
Soit a un ´el´ement de I
...
Si f est continue en a et si f (a) 6= 0, alors f1 est continue en a
...
Proposition (Caract´erisation s´equentielle de la continuit´e)
Soit f un ´el´ement de F(I, IR)
...
f est continue en a si et seulement si, pour toute suite (un ) de I convergeant vers a, la suite
de terme g´en´eral f (un ) converge vers f (a)
...
De mˆeme si le r´eel a est une extr´emit´e de I (n’appartenant pas `a I), si la suite (un ) converge
vers a, mais si la suite de terme g´en´eral f (un ) n’a pas de limite (ou si sa limite est infinie),
on peut dire que f n’est pas prolongeable par continuit´e au point a
...
3
Continuit´
e sur un intervalle
D´
efinition
Soit f un ´el´ement de F(I, IR)
...
On note C(I, IR) (ou C(I)) l’ensemble des applications continues sur I, `a valeurs r´eelles
...
Il en est de mˆeme des applications x 7→ x et x 7→ |x|
...
Pour tous scalaires α et β, αf + βg est continue sur I
...
f
Si g ne s’annule pas sur I, g1 et g sont continues sur I
...
Une application rationnelle (quotient de deux applications polynˆomiales) est continue sur
chaque intervalle de son domaine de d´efinition
...
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...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
– Soient f ∈ C(I, IR), g ∈ C(J, IR), avec f (I) ⊂ J
...
– Si f est continue sur I, alors les applications |f |, f + et f − sont continues sur I
...
– Si f est continue sur I, alors la restriction de f `a tout intervalle J ⊂ I est continue sur J
...
Le plus souvent, la fonction `a ´etudier est en effet un cocktail de fonctions continues classiques
et les propri´et´es pr´ec´edentes permettent de conclure
...
Th´
eor`
eme (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
Soit f une application continue sur l’intervalle I
...
Soit y un r´eel compris entre f (a) et f (b)
...
Proposition (´enonc´e ´equivalent au TVI)
Soit f une application continue sur l’intervalle I, `a valeurs r´eelles
...
Proposition
Soit f une application continue sur l’intervalle I, `a valeurs r´eelles
...
Alors il existe c dans I, compris entre a et b, tel que f (c) = 0
...
Alors f ([a, b]) est un segment [m, M ]
...
Il existe x1 dans [a, b] tel que f (x1 ) = M = max{f (x), a ≤ x ≤ b}
...
klubprepa
...
A
...
Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´
ee sont interdites
...
4
Th´
eor`
eme de la bijection r´
eciproque
Th´
eor`
eme
Soit f un ´el´ement de F(I, IR)
...
Alors f r´ealise une bijection de I sur l’intervalle image J = f (I)
...
Remarques
– Les courbes repr´esentatives de f et de f −1 sont sym´etriques l’une de l’autre dans la sym´etrie
par rapport `a la droite y = x, parall`element `a la droite y = −x (si le rep`ere est orthonorm´e,
il s’agit de la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite y = x)
...
Le th´eor`eme de la bijection r´eciproque assure l’unicit´e de cette solution
...
Mais si f est strictement
monotone, le caract`ere ouvert, semi-ouvert, ou ferm´e de I est conserv´e
...
La bijection r´eciproque est x 7→ ln(x)
...
– L’application x 7→ sin(x) r´ealise une bijection de [− π2 , π2 ] sur [−1, 1]
...
– L’application x 7→ cos(x) r´ealise une bijection de [0, π] sur [−1, 1]
...
– L’application x 7→ tan(x) r´ealise une bijection de ] −
La bijection r´eciproque est not´ee x 7→ arctan(x) (arc
IV
...
tangente de x)
...
On dit que f est uniform´ement continue sur I si :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que : ∀ (x, y) ∈ I × I, |x − y| ≤ δ ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ ε
...
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie IV : Continuit´e
Il revient au mˆeme de trouver deux suites (xn ) et (yn ) de I telles que lim (yn − xn ) = 0 mais
n→∞
telles que lim (f (yn ) − f (xn )) 6= 0
...
Dans cette d´efinition, le r´eel δ d´epend de ε et du point a
...
En particulier : si f est uniform´ement continue sur l’intervalle
( I, f est continue sur I
...
f (x) = sin(x2 ) sur IR
...
Th´
eor`
eme (Th´eor`eme de Heine)
Soit f une application continue sur un segment [a, b] (a, b deux r´eels, a ≤ b)
...
IV
...
Soit λ un r´eel strictement positif
...
Remarques et propri´
et´
es
– Dire que f est λ-lipschitzienne sur I, c’est dire que les taux d’accroissement de f sur I (entre
deux points quelconques) sont major´es en valeur absolue par λ
...
√
La r´eciproque est fausse comme le montre l’exemple de x 7→ x sur le segment [0, 1]
...
– Si f est λ-lipschitzienne sur I, avec λ < 1, on dit que f est contractante sur I
...
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie IV : Continuit´e
Op´
erations entre applications lipschitziennes
– Si f est λ-lipschitzienne sur [a, b] et sur [b, c], alors f est λ-lipschitzienne sur [a, c]
...
– Si f est λ-lipschitzienne sur I, alors αf est |α|λ-lipschitzienne sur I
...
– Si f est λ-lipschitzienne sur I, si g est µ-lipschitzienne sur J, et si f (I) ⊂ J, alors l’application
g ◦ f est λµ-lipschitzienne sur I
...
En particulier, cela
n’a aucun sens de dire que f est uniform´ement continue ou lipschitzienne en un point !
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie V : Quelques fonctions usuelles
V
V
...
La bijection r´eciproque est not´ee x 7→ arcsin x (fonction “arc sinus”)
...
Elle est continue, strictement croissante, et impaire
...
Pour tout x de [− π2 , π2 ], arcsin(sin x) = x (attention au domaine !)
√
Pour tout x de [−1, 1], cos(arcsin x) = 1 − x2
...
1 − x2
1
– D´eriv´ee : pour tout x de ] − 1, 1[, arcsin0 x = √
...
klubprepa
...
A
...
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individuelle et priv´
ee sont interdites
...
La bijection r´eciproque est not´ee x 7→ arccos x (fonction “arc cosinus”)
...
Elle est continue et strictement d´ecroissante
...
Pour tout x de [0, π], arccos(cos x) = x (attention au domaine !)
√
Pour tout x de [−1, 1], sin(arccos x) = 1 − x2
...
x
– Pour tout x de [−1, 1], arccos(−x) + arccos x = π
...
– D´eriv´ee : pour tout x de ] − 1, 1[, arccos0 x = − √
1
...
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...
A
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individuelle et priv´
ee sont interdites
...
La bijection r´eciproque est not´ee x 7→ arctan x (fonction “arc tangente”)
...
Elle est continue, strictement croissante, et impaire
...
Pour tout x de ] − π2 , π2 [, arctan(tan x) = x (attention au domaine !)
...
1 + x2
x
Pour tout x de IR, sin(arctan x) = √
...
1 + x2
– Courbe repr´esentative :
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie V : Quelques fonctions usuelles
V
...
Autrement dit : ∀x > 0, ln x =
t
...
– Cette application est strictement croissante et ind´efiniment d´erivable sur IR+∗
...
Plus g´en´eralement, pour α ∈ IR et x > 0, on a : ln xα = α ln x
...
On note e l’unique r´eel strictement positif tel que ln e = 1
...
718281828
...
)
Pour tout x > 0, on a l’in´egalit´e ln x ≤ x − 1 (avec ´egalit´e⇔ x = 1
...
klubprepa
...
A
...
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individuelle et priv´
ee sont interdites
...
En particulier, pour tout x 6= 0, on a : ln x2 = 2 ln |x|
...
– Soit f une application d´erivable sur un intervalle I, `a valeurs dans IR∗
...
– Soient f1 , f2 ,
...
Soient α1 , α2 ,
...
fnαn
...
g
f1
f2
fn
– La d´eriv´ee logarithmique peut donc ˆetre un moyen commode de calculer la d´eriv´ee d’une
application qui s’exprime essentiellement `a l’aide de quotients, de produits, de puissances
...
x
1
1
Pour tout x de IR − {−2, 0}, on a : ln f (x) = ln |x(x + 2)| +
...
Ainsi f 0 =
f
...
=
D´
efinition (fonction exponentielle)
On sait que l’application x 7→ ln x est une bijection de IR+∗ sur IR
...
Propri´
et´
es
– L’application x 7→ exp x est une bijection
de IR sur IR+∗ , continue et strictement croissante
...
Plus g´en´eralement, x 7→ exp x est ind´efiniment d´erivable sur IR et : ∀ n ∈ IN, exp(n) = exp
...
exp y
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie V : Quelques fonctions usuelles
– L’application x 7→ exp x est convexe sur IR (sa d´eriv´e seconde est exp x > 0
...
)
exp x
lim exp x = 0+ lim exp x = +∞
lim x = +∞
−∞
+∞
+∞
exp x−1
lim x exp x = 0 lim
=1
– Limites usuelles :
x
−∞
0
expβ x
∀ α, β > 0
lim |x|α expβ x = 0 lim
= +∞
−∞
+∞
xα
– Notation x 7→ ex :
Pour tout n de IN, on a exp(n) = exp(1)n = en
...
On d´ecide d’´etendre encore cette d´efinition en posant : ∀ x ∈ IR, ex = exp x
...
Toutes les propri´et´es de
la fonction exponentielle peuvent alors se r´e´ecrire en utilisant cette notation
...
L’application x 7→ ax est appel´ee fonction exponentielle de base a
...
On appelle fonction puissance d’exposant α l’application
d´efinie sur IR+∗ par x 7→ xα = exp(α ln x)
...
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...
A
...
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...
L’application x 7→ exp x = ex est donc l’application exponentielle de base e
...
– Pour tout r´eel a > 0, l’application x 7→ ax est d´efinie et continue sur IR
...
strictement croissante si a > 1
– L’application x 7→ ax est strictement d´ecroissante si 0 < a < 1
constante ´egale `a 1 si a = 1
– Si a 6= 1, l’application x 7→ ax r´ealise une bijection de IR sur IR+∗
...
La bijection r´eciproque est x 7→ loga x =
ln a
ln x
et elle
Ainsi la fonction logarithme de base 10 est d´efinie sur IR+∗ par log10 x = log x =
ln
10
est la bijection r´eciproque de l’application x 7→ 10x
...
Les courbes repr´esentatives de x 7→ ax et
x
x 7→ a1 sont donc sym´etriques l’une de l’autre par rapport `a l’axe des ordonn´ees
...
– La d´eriv´ee de x 7→ xα est x 7→ αxα−1
...
klubprepa
...
A
...
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ee sont interdites
...
En (0, 0), la courbe pr´esente alors une tangente horizontale si α > 1 et verticale si 0 < α < 1
...
– Le placement des diff´erentes courbes (
est le suivant :
Si 0 < x < 1 alors xα > xβ
2
∀ x > 0, ∀ (α, β) ∈ IR , avec α < β :
Si x > 1 alors xα < xβ
– Courbes repr´esentatives :
Propri´
et´
es fonctionnelles et limites usuelles
1
ax
ax+y = ax ay a−x = x
ax−y = y
a
Pour tous x, y de IR, pour tout a, b de IR+∗ , on a :
aax
x
a
(ax )y = axy ax bx = (ab)x
=
bx
b
– Limites usuelles :
0 si a > 1
+∞ si a > 1
x
x
lim a =
lim a =
x→−∞
+∞ si 0 < a < 1 x→+∞
0 si 0 < a < 1
ax
α x
∀ α > 0, ∀ a > 1
lim |x| a = 0
lim α = +∞
x→−∞
x→+∞ x
x
a
lim
lim xα ax = 0
∀ α > 0, ∀ a ∈]0, 1[
α = +∞
x→−∞ |x|
x→+∞
– Propri´et´es fonctionnelles :
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...
´matiques
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´, fonctions usuelles
Limites, continuite
Partie V : Quelques fonctions usuelles
V
...
Pour tout x de IR, on a sh0 x = chx et ch0 x = shx
...
L’application x 7→ chx est paire, et l’application x 7→ shx est impaire
...
2
Toujours au voisinage de 0, on a : chx − 1 ∼ x2
...
x
x
Les deux courbes y = chx et y = shx sont asymptotes `a y = e2 (avec shx < e2 < chx
...
klubprepa
...
A
...
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...
D´
efinition (application x 7→ thx)
Pour tout x de IR, on pose thx =
shx
(fonction “tangente hyperbolique”)
chx
Propri´
et´
es
– L’application x 7→ thx est impaire
...
x→+∞
Au voisinage de 0, on a : thx ∼ x (la droite y = x est tangente d’inflexion
...
ch2 x
ex − e−x
e2x − 1
1 − e−2x
=
=
...
– Pour tout x de IR, on a : thx =
– Courbe repr´esentative :
V
...
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...
A
...
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...
p−q
p+q
chx chy = 12 ( ch(x + y) + ch(x − y))
chp + chq = 2 ch 2 ch 2
1
shx shy = 2 ( ch(x + y) − ch(x − y))
chp − chq = 2 sh p+q sh p−q
2
2
1
shx chy = 2 ( sh(x + y) + sh(x − y))
p+q
p−q
shp + shq = 2 sh 2 ch 2
1
2
(1
+
ch2x)
ch
x
=
2
p−q
p+q
2
shp − shq = 2 sh 2 ch 2
1
sh x = 2 ( ch2x − 1)
– Changement de variable t = th x2 :
– Changement de variable u = ex :
– Lin´earisation
...
2
2
On d´eveloppe (formule du binˆome), on groupe les termes ´equidistants des extr´emit´es, et on
r´eutilise les d´efinitions pour retrouver des ch(px) et/ou des sh(px)
...
∀ x ∈ IR, ∀ n ∈ IN, ( chx + shx)n = (ex )n = enx = chnx + shnx
On peut ainsi exprimer ch(nx), sh(nx) en fonction de puissances de chx et/ou de shx
...
La partie paire (resp
...
sh(nx))
...
de shx)
il convient de remplacer les puissances paires de shx (resp
...
de (1 + sh2 x)) puis de d´evelopper
...
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...
A
...
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...
Les formules de la trigonom´etrie hyperbolique peuvent ˆetre retrouv´ees `a partir de celles de
la trigonom´etrie circulaire, avec : cos(ix) = chx, sin(ix) = i shx, tan(ix) = i thx
...
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...
A
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