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1

INTRODUCTION

L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et
int´egral
...
On commence par y ´etablir les propri´et´es alg´ebriques, g´eom´etriques
et topologiques de l’espace euclidien `a n dimensions, l’espace Rn
...
On y analyse enfin les transformations diff´erentiables
des espaces euclidiens, les fonctions Rn → Rm , avec en particulier une
d´emonstration du th´eor`eme des fonctions inverses et une de celui des fonctions implicites
...
, xn ), avec
ou sans contrainte sur les variables x1 , x2 ,
...

L’´etudiant est r´eput´e ˆetre familier avec le calcul diff´erentiel des fonctions
d’une variable, les fonctions R → R
...

a) Le crit`ere de Cauchy
...


b) Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass
...

c) La propri´et´e des valeurs extrˆemes
...

d) Le th´eor`eme des accroissements finis
...

e) Le th´eor`eme de Taylor
...

3

f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!

f ) Les fonctions convexes
...
Elle satisfait alors
les in´egalit´es
f (x3 ) ≤

x3 − x1
x2 − x3
f (x1 ) +
f (x2 )
x2 − x1
x2 − x1

quelques soient a < x1 < x3 < x2 < b et
f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
quelques soient x, x0 ∈ (a, b)
...


1
...

1
...

n→+∞
2
2
n→+∞

2
...

3
...


4

x
e

2

L’ESPACE EUCLIDIEN
Un point x de l’espace euclidien `a n dimensions Rn est un n-tuplet :
x = (x1 , x2 ,
...


L’addition et la multiplication scalaire y sont d´efinies par
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ,
...
, λ xn )
respectivement
...
, 1,
...
Pour utiliser l’´ecriture matricielle, il sera
quelquefois commode d’identifier le point x avec son vecteur position, l’´el´ement
de Rn×1 (la matrice n × 1, le vecteur colonne) dont les entr´ees sont les
nombres xj
...
xn )
...
)

2
...
Un ensemble E ⊆ Rn est un ensemble convexe s’il contient toute
combinaison convexe de ses points
...

5

La droite passant par a, b ∈ Rn (a 6= b) est l’ensemble des combinaisons
affines de a et b :
x = (1 − λ)a + λb = a + λ(b − a),

λ ∈ R
...

b1 − a1
b2 − a2
bn − an
Le segment [a, b] est l’ensemble des combinaisons convexes de a et b
x = (1 − λ)a + λb,

0 ≤ λ ≤ 1
...

Soient x0 , x1 , x2 ,
...
, xm − x0
soient lin´eairement ind´ependants
...
, xm ]
de sommets x0 , x1 , x2 ,
...
C’est un ensemble convexe
...
Lorsque
m = 3, on obtient un t´
etra`
edre dont les faces sont les triangles [x0 , x1 , x2 ],
[x0 , x1 , x3 ], [x0 , x2 , x3 ] et [x1 , x2 , x3 ] et les arˆ
etes sont les cˆot´es [x0 , x1 ],
[x0 , x2 ], [x0 , x3 ], [x1 , x2 ], [x1 , x3 ] et [x2 , x3 ] de ces triangles
...

Un pav´
e (un parall´el´epip`ede rectangle) P est d´efini par n in´egalit´es
strictes ou larges :
P = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × · · · × (an , bn )
(dans R, [a, b] d´esigne un intervalle ferm´e, ]a, b[, un intervalle ouvert et (a, b),
un intervalle quelconque)
...
1 – Un t´etra`edre dans R3
Lorsque n = 2, il est possible d´efinir un produit x y qui prolonge `a R2 la
(1)
(2)
structure de corps qui existe sur R
...

Il suffit de d´efinir
(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

e1 e1 = e1 , e1 e2 = e2 e1 = e2 , e2 e2 = −e1

et de postuler la distributivit´e de ce produit sur l’addition et sa commutativit´e avec la multiplication scalaire ; on obtient :
(2)

(2)

x y = (x1 y1 − x2 y2 ) e1 + (x1 y2 + x2 y1 ) e2
...

2
+ x2
x1 + x22 2

(2)

Puisque (e2 )2 = −1, ce corps ne peut pas ˆetre ordonn´e
...

Le produit pr´ec´edent ne peut pas ˆetre prolong´e `a R3
...
Identifions x1 e1 + x2 e2 ∈ R2 avec x1 e1 + x2 e2 ∈ R3 et
posons
(3) (3)
(3)
(3)
(3)
e2 e3 = u 1 e1 + u 2 e2 + u 3 e3
...


2
...

j

j=1

Avec ces notations, l’in´
egalit´
e de Cauchy-Schwarz s’´ecrit
|x · y| ≤ kxkkyk
avec ´egalit´e si et seulement si les vecteurs x et y sont lin´eairement d´ependants
et l’in´
egalit´
e du triangle devient
kx + yk ≤ kxk + kyk
avec ´egalit´e pr´ecis´ement lorsque les vecteurs x et y sont des multiples positifs
l’un de l’autre
...


8

La boule ouverte de centre x0 et de rayon r > 0 est d´efinie par une
in´egalit´e stricte
B(x0 , r) = {x | kx − x0 k < r}
et la sph`
ere de mˆemes centre et rayon est
S(x0 , r) = {x | kx − x0 k = r}
...

Observons que l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz est ´equivalente `a


|x · y|
kyk = sup
| x 6= 0 = sup{|x · y| | kxk = 1}
...

kxk



a1,1
 a2,1

A=
...


···
···

a1,2
a2,2

...


···
···

am,1 am,2


a1,n
a2,n 

m×n

...

am,n

est sa matrice relativement aux bases canoniques, c’est-`a-dire si
(m)

ai,j = ei

(n)

· A(ej )

donc


n
n
X
X
(n)
(n)
A(x) = A 
xj e  =
xj A(e )
j

j

j=1

=

n
X
j=1

xj

m
X

j=1

(m)

ai,j ei

=

m
X

i=1

on a
kAk∞



n
X


i=1



j=1

v
uX
n
um X
t
≤
a2i,j = kAk
...

j=1

i=1 j=1

j=1

i=1 j=1

On a donc
kA(x)k ≤ kAk∞ kxk ≤ kAk kxk
...
(Dans ce cours, nous n’utilisons que la base canonique
et nous identifions, quand cela est commode, la transformation lin´eaire avec
sa matrice)
...

Si la matrice A de l’op´erateur lin´eaire A : Rn → Rn est diagonale,


a1,1 0 · · ·
0
 0 a2,2 · · ·
0 


A=
...


...


...

0
0 · · · an,n
on a

v
uX
u n 2
a
kAk = t

j,j

j=1

et
kAk∞ = sup{|aj,j | | 1 ≤ j ≤ n}
...
Alors
1
...
kL + Mk∞ ≤ kLk∞ + kMk∞ ;
3
...


10

D´emonstration
...
On a
kλ Lk∞ = sup{kλ L(x)k | kxk = 1} = sup{|λ| kL(x)k | kxk = 1}
= |λ| sup{kL(x)k | kxk = 1} = |λ| kLk∞
...
On a
kL + Mk∞ = sup{kL(x) + M(x)k | kxk = 1} ≤ sup{kL(x)k + kM(x)k | kxk = 1}
≤ sup{kL(x)k | kxk = 1} + sup{kM(x)k | kxk = 1} = kLk∞ + kMk∞
...
On a
kN ◦ Lk∞ = sup{kN(L(x))k | kxk = 1} ≤ sup{kNk∞ kL(x)k | kxk = 1}
= kNk∞ sup{kL(x)k | kxk = 1} = kNk∞ kLk∞
...
Q
...
D
...

kxk kyk

On a donc 0 ≤ ∠(x, y) ≤ π, l’une de ces in´egalit´es ne devenant une ´egalit´e
que si les vecteurs x et y sont lin´eairement d´ependants
...

Exemple
...

Il induit deux demi-espaces ouverts
H+ = {x | n · (x − a) > 0}
et
H− = {x | n · (x − a) < 0}
...

11

On a
x × y · x = x × y · y = 0
...


x3


x2
x1  
x3
x1  
x
x1   0
x3

x2

x1

x2

x1

Fig
...
3

Propri´
et´
es topologiques

La distance entre x et y est kx − yk
...

Un ensemble E ⊆ Rn est ouvert si `a chaque point x0 ∈ E correspond
r > 0 tel que
B(x0 , r) ⊆ E
...

12

Une boule ouverte B(a, R) est ouverte : si x0 ∈ B(a, R), soit kx0 − ak =
ρ < R
...


Exemple
...
Si x0 ∈ H+ , soit n · (x0 − a) = δ > 0
...


Toute r´eunion, toute intersection finie d’ensembles ouverts est encore un
ensemble ouvert
...

Dans R, les ensembles ouverts sont pr´ecis´ement les ensembles qui peuvent
s’´ecrire comme une r´eunion finie ou d´enombrable d’intervalles ouverts disjoints
...

Exemple
...

Exemple
...
Si x0 ∈
/ P , il faut que, par exemple, on ait x0,1 − b1 = δ > 0
...

13

Il faut remarquer qu’un ensemble n’est pas n´ecessairement ouvert ou
ferm´e et que, `a l’oppos´e, l’espace Rn tout entier est `a la fois ouvert et ferm´e
...

Exemple
...

Un ensemble E ⊆ Rn est compact s’il est ferm´e et born´e
...

Un pav´e ferm´e est compact
...


k→+∞

Les in´egalit´es
sup{|xk,j − aj | | 1 ≤ j ≤ n} ≤ kxk − ak ≤

n
X

|xk,j − aj |

j=1

montrent que
lim xk = a

k→+∞

si et seulement si
lim xk,j = aj pour 1 ≤ j ≤ n
...


Et, corollaire imm´ediat, toute s´erie normalement convergente, c’est-`adire telle que
+∞
X
kxk k < +∞,
k=0

est convergente :
 M

M
 X

X


xk  ≤
kxk k
...
Alors E est ferm´e si et seulement si la limite
de toute suite convergente {xk }k∈N de points de E est dans E
...

La condition est n´ecessaire
...

k→+∞

Si a appartenait `a l’ensemble ouvert E c , on pourrait trouver r > 0 tel que
B(a, r) ⊆ E c
...

Donc a ∈ E
...
Supposons que E n’est pas ferm´e
...
Soit donc
xk ∈ E ∩ B(a, 1/k) pour tout k ∈ N
...
C
...
F
...

Exemple
...

Une boule ferm´
ee
B(x0 , r) = {x | kx − x0 k ≤ r}
et une sph`ere
S(x0 , r) = {x | kx − x0 k = r}
sont des ensembles ferm´es
...

Th´
eor`
eme 3 Soit E ⊆ Rn
...

15

D´emonstration
...
Supposons que E est compact
...
On peut donc de la suite
donn´ee extraire une suite partielle telle que les premi`eres coordonn´ees xk,1
des points qui la composent admettent une limite a1
...
Ainsi de suite
...
, an )
...

La condition est suffisante
...
E est born´e
...
C
...
F
...

Exemple
...
, xm ]
est compact
...
Les points
λk = (λk,0 , λk,1 ,
...
+ λm = 1}
de Rm+1
...

j→+∞

16

Alors
y=

m
X

λi xi ∈ P

i=0

et
kykj − yk ≤

m
X

|λkj ,i − λi | kxi k

i=0

donc
y = lim ykj
...
C’est donc le plus
grand ensemble ouvert contenu dans E
...
C’est donc le plus petit ensemble ferm´e
qui contienne E
...


Th´
eor`
eme 4 Un point x appartient `
a E si et seulement si il est la limite
d’une suite de points de E
...

La condition est n´ecessaire
...
Les
boules B(x, 1/k) contenant donc chacune au moins un point de E, x est la
limite d’une suite de points de E
...
Si x est la limite d’une suite de points de
E et F est un ensemble ferm´e contenant E, x est la limite d’une suite de
points de F et, cet ensemble ´etant ferm´e, x ∈ F
...

C
...
F
...


17

2
...

1
...
, xm ] sont ses coordonn´
ees barycentriques et le barycentre du poly`edre est le point dont toutes les
coordonn´ees barycentriques sont ´egales
...
, xm −x0 lin´eairement ind´ependants)
...

2
...

En d´eduire qu’une fonction f : R → R est convexe si et seulement si
son ´
epigraphe,
Ef = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 ≥ f (x1 )},
est convexe
...
Soient
kxk1 =

n
X

|xj |

j=1

et
B1 (a, r) = {x | kx − ak1 < r}
...

– Montrer que
lim kxk − xk = 0 ⇔ lim kxk − xk1 = 0
...


18

4
...

5
...

Utiliser l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour d´eterminer la distance
entre le point x0 et l’hyperplan H d’´equation n · (x − a) = 0 ainsi
que le point xm ∈ H o`
u elle est atteinte
...
Soit L : R → R un op´erateur lin´eaire inversible
...

kxk

7
...

0
sin φ
cos φ
Calculer kAk∞ et kAk
...
Soient λ ∈ R, A, B ∈ Rm×n et C ∈ Rp×m
...

–
kA + Bk ≤ kAk + kBk
...

9
...
Montrer que
–
√
kAk∞ ≤ kAk ≤ m × n kAk∞
...

k→+∞

k→+∞

19

10
...

– Toute intersection d’ensembles convexes est convexe
...
Mˆemes questions en rempla¸cant « convexe » par « ouvert », par « ferm´e »,
par « born´e », par « compact »
...
Montrer que le pav´e [0, 1[n ⊆ Rn n’est ni ferm´e, ni ouvert
...
D´eterminer l’int´erieur de chacun des ensembles suivants : la boule {x |
kx − ak < 1}, l’hyperplan {x | n · (x − a) = 0} et le pav´e [0, 1[n
...
D´eterminer l’adh´erence de chacun des ensembles suivants : la boule
{x | kx − ak ≤ 1}, le demi-espace {x | n · (x − a) > 0} et le pav´e [0, 1[n
...
D´eterminer la fronti`ere de chacun des ensembles suivants : la boule
point´ee {x | 0 < kx − ak < 1}, l’hyperplan {x | n · (x − a) = 0}, Qn et
le cˆone positif ferm´e {x | xj ≥ 0 , 1 ≤ j ≤ n}
...
Vrai ou faux ?
◦

–E=E
◦

–E=E
◦

– E = E ∪ ∂E
...
On consid`ere la suite des points xk de R2 d´efinie par
xk+1,1 =

√

xk,1 xk,2 , xk+1,2 =

xk,1 + xk,2

...

18
...

19
...
Montrer que la s´erie
+∞
X

Ak

k=0

converge si kAk < 1 et calculer sa somme
...
On consid`ere une suite d´ecroissante d’ensembles compacts non vides :
E1 ⊇ E2 ⊇ E3 ⊇ · · ·
Montrer que l’intersection
\

Ek

k≥1

est non vide

---