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Maths 4

1
1
...

•• Les nombres x et y s’appellent respectivement partie réelle et partie imaginaire
de z
...

•• On désigne par C l’ensemble des nombres complexes :
C = {z = x + iy, x ∈ R, y ∈ R}
...

– Soient z et w deux nombres complexes
...

2
2i
•• z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z = z
...

•• On appelle module de z = x + iy, le nombre réel positif, noté r =| z |, définit
par
p
√
r =| z |=| x + iy |= zz = x2 + y 2
...
1
...


•• θ est appelé argument de z, noté arg(z) de plus θ = arctan( xy ) ou encore an a
les relations suivantes :

cos θ = xr ,
sin θ = yr ,
et par conséquent tout nombre complexe s’écrit sous la forme polaire (trigonométrique ou exponentielle) :
z = reiθ , f orme exponentielle du nombre complexe z,
1

Université de Bejaia, Dpt GM

Maths 4

Résumé - Nombres complexes

ou
z = r(cos θ + i sin θ), f orme trigonomtrique du nombre complexe z,
de plus
z = x + iy dite f orme algbrique de z
...
2
...

On a r =| z |= 2 et
(
cos θ = xr = √12 ,
π
⇒ θ = arg(z) =
...

4
4

• Formule de De Moivre :
si z = reiθ = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors z n = rn einθ = rn (cos(nθ) + i sin(nθ))
...
3
...
, (n − 1)
...
4
...

3
3
Ainsi les racines cubiques de 1 sont
k = 0 ⇒ z0 = cos(0) + i sin(0) = 1,
√
3
2π
2π
−1
k = 1 ⇒ z1 = cos( ) + i sin( ) =
+i
,
3
3
2
√2
4π
4π
1
3
k = 2 ⇒ z2 = cos( ) + i sin( ) = − − i

...
La distance entre M et M0 est
donnée par
p
| z − z0 |= (x − x0 )2 + (y − y0 )2
...
Cercle : Un cercle de centre z0 et de rayon r > 0 est l’ensemble de points
donné par
C(z0 , 0) = {z ∈ C, | z − z0 |= r}
...

•• 2
...

•• 3
...

•• 4
...


1
...
Soient z = 1 + 2i et w = 3 − i, représenter les nombres suivants sous la forme x +
iy :
(a) 2z + 5w, (b) iz + 3w, (c) z3 + (w2 )
...
Écrire sous forme polaire chacun des nombres complexes suivants :
√
(a) i, (b) 2 − 2i, (c) − 1 + i 3, (d) − i
...
Trouver les parties réelles et imaginaires de chacun des nombres complexes suivants :
√
√
2 + 5i
(a)
, (b) ( 3 + i)6 , (c) (1 + i 3)6

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