Notesale: Turn your study into money

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---

1
Universit´e A
...
Int´egrales simples
2
...
Int´egrales triples
4
...
1

Introduction

Dans ces chapitres, nous pr´esentons dans un premier temps un bref rappel sur les int´egrales simples
...
Particuli`erement, nous focalisons sur le calcul pratique des
int´egrales doubles et triples, tr`es utiles dans plusieurs domaines d’application, a` savoir :
la physique, la m´ecanique, etc
...


1
...
L’int´egrale de f sur l’intervalle
[a, b] est donn´ee par
Z

b

f (x)dx = F (b) − F (a),
a

o`
u F est une primitive de f , i
...
, F 0 (x) = f (x) pour x ∈ [a, b]
...
2

R

f (x)dx = F (x)
...
Elle est positive si f ≥ 0

et n´egative si f ≤ 0
...
3

Primitives usuelles :

La connaissance des primitives des fonctions continues est importante dans le calcul
des int´egrales
...


–

R

cos(αx)dx =

–

R

sin(αx)dx = − α1 cos(αx) + Cte, α 6= 0
...


–

R

1
dx
1+x2

–

R

1
dx
a2 +x2

=

–

R

ax dx =

ax
ln(a)

1
...
4
...


= ln |x − a| + Cte, a ∈ R
...


= arctan(x) + Cte
...

+ Cte , a > 0 et a 6= 1
...
Alors l’int´egration par parties
est donn´ee comme suit :
x=b Z b
Z b

0
U 0 (x)V (x)dx
...
Calculer

Rπ
2

0

a

(x + 1) sin(x)dx
...
D’abord, nous posons U (x) = x + 1
et V 0 (x) = sin(x) ⇒ U 0 (x) = 1 et V (x) = − cos(x)
...

x=0

1
...
2

x=0

Int´
egration par changement de variable :

Si le calcul de

Rb
a

f (x)dx s’av`ere tr´es difficile, on peut utiliser l’int´egration par change-

ment de variable
...

Ce qui donne dx = h0 (t)dt, donc
Z b
Z
f (x)dx =
a

h−1 (b)

h−1 (a)

f (h(t))h0 (t)dt,

4
o`
u h−1 est la r´eciproque de h
...
Calculer

R2

1
dx
...
Donc
2

Z
1

1

dx =
x 1 + ln2 (x)

ln(2)

Z
0

ln(2)

1

= arctan(ln(2))
...
4
...
4
...
1

Int´
egration de type

R

α
dx, n
(x−a)n

∈ N∗ , α, a ∈ R :

L’int´egration de ce type de fraction rationnelle donne :

Z
 α (x − a)−n+1 + Cte, n 6= 1 ;
α
−n+1
dx
=
 ln |x − a| + Cte,
(x − a)n
n = 1
...
Calculer
Notons que

Z

3

2

R3

2
√
dx
...
4
...
2

2
√

...

= −2(x − 2)  =
2
(x − 2)
2− 2 3− 2
x=2

Int´
egration de type

R

αx+β
dx, α, β, b, c
x2 +bx+c

∈ R avec b2 − 4c > 0 :

Supposons que l’´equation x2 + bx + c = 0 admet deux racines r´eelles diff´erentes x1
et x2 (i
...
, ∆ = b2 − 4c > 0)
...
Par cons´equent,
l’´equation

αx+β
x2 +bx+c

peut se d´ecomposer en ´el´ements simples comme suit :
αx + β
A
B
=
+
,
+ bx + c
x − x1 x − x2

x2

o`
u A et B sont des constantes qu’il faut bien d´eterminer
...

2
x + bx + c
x − x1
x − x2
R 5 x+2
Exemple 4
...


5
Nous commen¸cons par d´ecomposer l’´equation

x+2
x2 −3x+2

en ´el´ements simples
...
Cela
donne par identification du fait que

x+2
x2 −3x+2

=

A
x−1

B
+ x−2
⇒ A = −3 et B = 4
...

2
64
3 x−1
3 x−2
3 x − 3x + 2
x=3
x=3

1
...
Calculer

R2
1

ln(x+1)
dx
x2

et

Re
1

cos(π ln x)dx, en utilisant l’int´egration par parties
...
En utilisant l’int´egration par changement de variables, calculer les deux int´egrales
Re x
R π sin(x)
suivantes 1 exe+1 dx et π2 1−cos(x)
dx
...
En d´ecomposant en ´el´ements simples, calculer 2 (x+2)(x−1)
2 dx et 3 (x+1)(x2 +2x−3) dx
...
Nous
pr´esentons d’abord le calcul pratique des int´egrales doubles sur un pav´e, par la suite
sur des parties d´eform´ees born´ees de R2
...


2
...
L’int´egrale double de f sur D est
donn´ee par :
Z Z
f (x, y)dxdy
...
2

RR
D

f (x, y)dxdy peut repr´esenter un volume ”alg´ebrique”
...

6

7
1
...

D

2
...

D

3
...

D

D

D

4
...
e
...
3

f (x, y)dxdy
...


2
...
1

Int´
egrale double sur un pav´
e (rectangle) :

Th´
eor`
eme de Fubini :
Soit f : R2 −→ R continue sur le pav´e (rectangle) D = [a, b] × [c, d]
...


c

a

(Dans ce cas, l’ordre d’int´
egration n’est pas forc´
e
...

Exemple 5
...


8
Comme l’ordre d’int´egration n’est pas important dans cette situation
...

x=1

Proposition 1
...
Cela nous permet d’´ecrire ce qui suit :
Z d
Z Z
Z b
f2 (y)dy
...
Calculer l’int´egrale :

π
et 0 ≤ y ≤ π4
...
Ce qui
donne :
π
2

Z

Z Z
sin(x) cos(y)dxdy =
D

2
...
2

Z
sin(x)dx ×

0

0

π
4

x= π
x= π √
 2
 4
2
cos(y)dy = − cos(x)
× sin(y)
=

...
Donc, la partie D
peut se pr´esenter sous l’une des formes suivantes :


Forme 1 (Type 1) : D = (x, y) ∈ R2 |1 ≤ a ≤ b et g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
...


Th´
eor`
eme de Fubini
Soit f : R2 −→ R continue sur D
...
Si D s’´ecrit sous la Forme 1 :
Z Z
Z
f (x, y)dxdy =
D

a

b

Z

g2 (x)

!
f (x, y)dy dx
...
Si D s’´ecrit sous la Forme 2 :
Z
Z Z
f (x, y)dxdy =

d

Z

!
f (x, y)dx dy
...

RR

Exemple 7
...

On peut remarquer facilement que le domaine D s’´ecrit sous la Forme 1
...

xydxdy =
dx =
2
2
6 12 x=0 12
x2
0 2
D
0
0
y=x2

2
...
3

Changement de variables :

Dans plusieurs situations le calcul de

RR
D

f (x, y)dxdy s’av`ere tr`es difficile
...
Dans ce cas, le changement de variables est
D
donn´e comme suit : (x, y) = h(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), o`
u h est une bijection et de classe
C 1 sur ∆ = h−1 (D)
...

Par la suite, nous pr´esentons deux exemples diff´erents qui montrent que le changement
de variables est tr`es important dans les deux situations suivantes : (1) lorsque la partie D
est d´elimit´ee par quatre droites et (2) lorsque le domaine D est d´elimit´ee par des formes
circulaires
...
3
...
1

Cas 1 : La partie D est d´
elimit´
ee par quatre droites :

Exemple 8
...

En utilisant le changement de variables suivant :
, u−v
)
...

2
− 12

Avec ce changement de variable, le nouveau domaine ∆ s’´ecrit alors :


∆ = (u, v) ∈ R2 | − 2 ≤ u ≤ 2 et − 1 ≤ v ≤ 1
...

8 −2
3
8 3
3
3
x=−2
2
...
3
...
Pour cela, on consid`ere les
variables suivantes : x = x(r, θ) = r cos(θ) et y = y(r, θ) = r sin(θ)
...

En utilisant les coordonn´ees polaires, la matrice Jacobienne s’´ecrit souvent :

 

∂x
∂x
cos(θ) −r sin(θ)
 ⇒ det(J) = r
...
Le calcul de

RR
D

√

1
dxdy,
x2 +y 2

en utilisant les coordonn´ees polaires, avec



D = (x, y) ∈ R2 |1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2
...
Finalement, on obtient
√

Z Z

Z

2
...

r=1

θ=0

Exercices sur les int´
egrales doubles

RR
RR
dxdy
1
...

D1 (x+y)2
D2



Avec D1 = (x, y) ∈ R2 |3 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 2 et D2 = (x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤

π
et 0 ≤ y ≤ 1
...
Calculer les int´egrales doubles suivantes :
(x+y) dxdy et
8xy+ x dxdy
...

3
...


D2





O`
u D1 = (x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x + y ≤ 2; −1 ≤ x − y ≤ 1 et D2 = (x, y) ∈ R2 | x ≥

0, y ≥ 0; 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9
...
En utilisant l’int´egrale double, calculer l’aire de D d´ecrit comme suit :


D = (x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0; y ≥ 0; x ≥ y et x2 + y 2 ≤ 1
...
Par la suite, nous pr´esentons le calcul pratique des
int´egrales triples
...


3
...
L’int´egrale triple de f sur la partie V est donn´ee par l’expression
suivante :
Z Z Z
f (x, y, z)dxdydz
...
2

Propri´
et´
es de l’int´
egrale triple

Soit V une partie born´ee de R3
...
Volume(V ) : Si f (x, y, z) = 1, alors
Z Z Z
V olume(V ) =

dxdydz
...
Positivit´
e : Si f (x, y, z) ≥ 0 pour (x, y, z) ∈ V , alors
Z Z Z
f (x, y, z)dxdydz ≥ 0
...
Lin´
earit´
e : Soient f et g deux fonctions `a trois variables int´egrables sur V et
λ, µ ∈ R, alors
Z Z Z
Z Z Z
(λf (x, y, z) + µg(x, y, z)) dxdydz = λ
f (x, y, z)dxdydz
V
V
Z Z Z
+µ
g(x, y, z)dxdydz
V

4
...
e
...

V

3
...


3
...
1

Int´
egrale triple sur un parall´
el´
epip`
ede : Th´
eor`
eme de Fubini

Soit f : R3 −→ R continue sur le parall´el´epip`ede V = [a, b] × [c, d] × [e, s], avec
a, b, c, d, e, s ∈ R
...

e

c

a

(Important : Ici l’ordre d’int´egration n’est pas forc´e
...


14
RRR

Exemple 10
...

Rappelons que l’ordre d’int´egration ici n’est pas important
...

2
2
2 x=0
0
0

V

1

Z
0

0

Proposition 2
...
e
...
Alors, on peut ´ecrire
Z
Z b
Z Z
f1 (x)dx ×
f (x, y, z)dxdydz =
V

Z
f2 (y)dy ×

s

f3 (z)dz
...
Calculer l’int´egrale I =

d

2

RRR
V

xex sin(y) cos(z)dxdydz, o`
u le domaine


π
π
V = (x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ et 0 ≤ z ≤

...
Cela nous permet d’´ecrire
!
!
Z 1

Z Z Z
Z π
Z π
4
4
x2
x2
xe sin(y) cos(z)dxdydz =
xe dx ×
sin(y)dy ×
cos(z)dz
V

0

0

0

x=1
y= π
y= π
 4
 4
1 x2 
=
e  × − cos(y)
× sin(z)
2
x=0
y=0
y=0
√ !√
√
1
2
2
(e − 1)(2 2 − 2)
=
(e − 1) 1 −
=

...
3
...

Donc, la partie V peut se pr´esenter sous l’une des formes suivantes :


Forme 1 – (Type 1) : V = (x, y, z) ∈ R3 |(x, y) ∈ D et g1 (x, y) ≤ z ≤ g2 (x, y) , avec
D est la projection orthogonale de V sur le plan (xOy)
...

Th´
eor`
eme de Fubini
Soit f : R3 −→ R continue sur V
...
Si V est de Type 1 (Forme 1),
Z Z Z
Z Z
f (x, y, z)dxdy =
V

Z

f (x, y, z)dz
D

dxdy
...
Si V est de Type 2 (Forme 2),
Z s Z Z
Z Z Z
f (x, y, z)dxdy =
e

V

!

g2 (x,y)


f (x, y, z)dxdy dz
...

Exemple 12
...

Dans cette situation, le calcul peut se faire de deux mani`eres diff´erentes : Soit en
utilisant la Forme 1 ou bien en utilisant la Forme 2
...
L’id´ee est d’´ecrire V sous cette forme :
V

=




(x, y, z) ∈ R3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 et x + y + z ≤ 1

=




(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x et 0 ≤ z ≤ 1 − x − y
...

Le calcul final donne le r´esultat suivant :
Z Z z=1−x−y
Z Z Z 1−x−y 

dxdy
dz dxdy =
z 
0
D
D
z=0
Z Z
(1 − x − y)dxdy
=
D

Z 1 Z 1−x
(1 − x − y)dy dx
=
0
0
y=1−x
Z 1
1 2 
(y − xy − y )
=
dx
2
0
y=0
Z 1
1
((1 − x) − x(1 − x) − (1 − x)2 )dx
=
2
0
x=1
1
1 3 1 2 1 
x − x + x =
...
On proc`ede de la mˆeme mani`ere que l’exemple pr´ec´edent, a`
savoir d’´ecrire V sous la forme 2
...

Finalement, on obtient le r´esultat suivant

Z 1 Z
Z 1 Z Z
dxdy dz =
0

Dz

0

Z

1−z

0
1

Z

1−z

=
=
=

1

Z

1−z





dy dx dz
!
dx dz

y=0


(1 − z − x)dx dz
0
0
x=1−z
Z 1
1 2 
x − zx − x 
dz
2 x=0
0
Z 1
(1 − z)2
dz
2
0
z=1
(1 − z)3 
1
−
=
...
4

Technique de changement de variables

Dans plusieurs situations le calcul de

RRR
V

f (x, y, z)dxdydz s’av`ere tr`es difficile
...
Dans le cas, le changement de variables
V
est donn´e comme suit : (x, y, z) = h(u, v, z) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), o`
u h est
une bijection et de classe C 1 sur ∆ = h−1 (V )
...

Maintenant, nous pr´esentons deux variantes de changement de variables qui sont tr`es
importantes, a` savoir, les coordonn´ees cylindriques et les coordonn´ees sph´eriques
...
4
...
Notons qu’un point M = (x, y, z) est caract´eris´e
p
par la r = x2 + y 2 , (r ≥ 0), l’angle θ = arctan( xy ) avec r 6= 0 (en g´en´eral 0 ≤ θ < 2π), en
projetant M sur le plan xOy, et par la hauteur z = z (z ∈ R)
...

 ∂r ∂θ ∂z  

∂z
∂z
∂z
0
0
1
∂r
∂θ
∂z

18
Par cons´equent, on a :
Z Z Z
Z Z Z
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos(θ), r sin(θ), z) |J|drdθdz
V
∆
Z Z Z
=
f (r cos(θ), r sin(θ), z) rdrdθdz,
∆

o`
u ∆ = h−1 (V )
...
Calculer l’int´egrale triple suivante :

V

zdxdydz, en utilisant les coor-

donn´ees cylindriques, o`
u


V = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ 1 − (x2 + y 2 )
...

Cela donne le r´esultat suivant
Z Z Z
Z 1 Z
zrdrdθdz =
∆

0

Z

!

1−r2

dz

Z
dr ×

0

2π

Z

1

dθ =
0

0

z=1−r2
θ=2π

r 2 
z 
dr × θ
2 z=0
θ=0

1

r(1 − r2 )2 dr
0
r=1

π
π
= − (1 − r2 )3  =
...
4
...

Notons qu’un point M = (x, y, z) est caract´eris´e par sa distance a` l’origine r =

p
x2 + y 2 + z 2

(r ≥ 0), sa longitude 0 ≤ θ < 2π et sa latitude − π2 ≤ ϕ ≤ π2
...


r cos(ϕ)

19
Le d´eterminant de cette matrice est donn´e par
det(J) = |J| = r2 cos(ϕ)
...

Exemple 14
...

En passant aux coordonn´ees sph´eriques, on obtient
Z Z Z
Z Z Z
r2 cos(ϕ)drdθdϕ,
zdxdydz =
∆

V

avec

π
π
∆ = (r, θ, ϕ) ∈ R3 |1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π et − ≤ ϕ ≤

...

3
3

3
...
Calculer les int´egrales triples suivantes :
Z Z Z
Z Z Z
x2
2
I1 =
xe cos (y) sin(2z)dxdydz; I2 =
z 2 dxdydz
...

2
...


V2

o`
u


V1 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1; z 2 ≤ 4(x2 + y 2 ) ;


V2 = (x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4
...
En utilisant l’int´egrale triple, calculer le volume de V d´ecrit comme suit :
p


V = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1; 1 − (x2 + y 2 ) ≤ z ≤ 1

---