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Chapitre 3
F ONCTION EXPONENTIELLE
ACTIVITÉS : I NTRODUCTION
...
fonctions exponentielles x 7−→ q x , avec q > 0
...
43
2
sens de variation
...
44
LA FONCTION EXPONENTIELLE
...
2
dérivée de la fonction exponentielle
...
46
4
courbe représentative
...
47
1
dérivée
...
48
A
...
(u n ) est la suite géométrique définie pour tout entier n par u n = q n
...
Pour tous entiers naturels m et p, on a :
u m × u p = q m × q p = q m+p = u m+p
On considère le nuage de points M i représentatif de la suite q n
...
y
Sachant que pour tout réel µq >¶ 0
q6
1 n
−n
et pour tout entier n, q =
,
q
on complète le graphique à l’aide
q
de la suite géométrique de premier
q5 = q4 × q6
1
terme 1 et de raison
...
q3
Pour tous entiers relatifs m et p,
2
bC
bC
bC
bC
bC
q
q1
f (m)× f (p) = q m ×q p = q m+p = f (m+p)
bC
bC
bC
-4
ÉTAPE
bC
-3
-2
q0 = 1
-1
bC
bC
M6
M5
M4
M3
M2
M1
M0
1
q −2 = 2
q
0
1
2
3
4
5
6
x
2 : prolongement par dichotomie
...
YALLOUZ (MATH@ES)
q
q n × q n+1 = q
2n+1
2
= q n × q 0,5 = f (n) × f (0,5)
41
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
Tle ES 4
Tle ES-L
FONCTION EXPONENTIELLE
— On obtient de nouveaux points en réitérant ce processus :
n + (n + 0,5) 2n + 0,5
Au point d’abscisse n + 0,25 =
=
, on associe on associe le réel :
2
2
q
2n+0,5
f (n + 0,25) = q n × q n+0,5 = q 2 = q n × q 0,25 = f (n) × f (0,25)
(n + 0,5) + (n + 1) 2n + 1,5
=
on associe on associe le réel :
2
2
q
2n+1,5
f (n + 0,75) = q n+0,5 × q n+1 = q 2 = q n × q 0,75 = f (n) × f (0,75)
Au point d’abscisse n + 0,75 =
¡
¢
¡
¢
Plus généralement soient A a; q a et B b; q b deux points de la courbe C f représentative de la fonction
¶
µ
q
a +b
; q a × q b appartenant à la courbe C f
...
DES FONCTIONS
« TRANSFORMANT LES
SOMMES EN PRODUITS »
Soit f une fonction continue vérifiant pour tous réels x et y :
½
f (x) 6= 0
f (x + y) = f (x) × f (y)
³x
x´
, montrer que pour tout réel x, f (x) > 0
...
En remarquant que pour tout réel x, f (x + 0) = f (x), en déduire la valeur de f (0)
...
Démontrer que pour tout réel x, f (−x) =
f (x)
4
...
1
...
b) Calculer f (−1) et f (−2)
...
Démontrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = f (n) est une suite géométrique
...
YALLOUZ (MATH@ES)
42
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
I
1
FONCTION EXPONENTIELLE
FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE
FONCTIONS EXPONENTIELLES
Tle ES 4
Tle ES-L
q
x 7−→ q x ,
AVEC
q >0
Soit q un nombre strictement positif
...
La fonction exponentielle de base q est le prolongement de cette suite géométrique
...
On admet que cette fonction est dérivable sur R
...
Une valeur approchée de l’image de −5,3 est obtenue à la calculatrice en tapant la séquence : 0
...
3 )
...
Pour tous réels x et y :
f (x + y) = f (x) × f (y)
Autrement dit, pour tous réels x et y : q x+y = q x × q y
...
qx
qy
En effet, q x−x = q x × q −x soit 1 = q x × q −x donc q x 6= 0 et q −x =
De plus, q x−y = q x+(−y) = q x × q −y =
qx
qy
1
...
³ x ´2
x
x
x
x
En effet, q 2 + 2 = q 2 × q 2 soit q x = q 2 avec q x 6= 0
...
¡ ¢m
— Pour tout réel x et tout entier relatif m, q x = q mx
Propriété usuelle des exposants entiers relatifs
...
YALLOUZ (MATH@ES)
³ 1 ´n
1
1
× n = 1, alors q n est le nombre tel que q n = q
n
43
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
Tle ES 4
Tle ES-L
FONCTION EXPONENTIELLE
EXEMPLE
Une entreprise s’est fixé comme objectif de réduire de 30 % ses émissions de gaz à effet de serre d’ici quinze
ans
...
On a :
µ
1+
t
100
¶15
= 0,7
⇐⇒ 1 +
⇐⇒
Soit
1
t
= 0,7 15
100
t
1
= 0,7 15 − 1
100
t
≈ −0,0235
100
Pour atteindre son objectif, cette entreprise doit réduire chaque année, ses émissions de gaz à effet de serre
d’environ 2,35 %
...
— Si q = 1, la fonction x 7−→ q x est constante sur R
...
CONSÉQUENCE
Si q > 0 et q 6= 1, alors pour tous nombres réels a et b : q a = q b si, et seulement si, a = b
...
La fonction exponentielle de base q est
strictement croissante sur R
...
YALLOUZ (MATH@ES)
44
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
II
Tle ES 4
Tle ES-L
FONCTION EXPONENTIELLE
LA FONCTION EXPONENTIELLE
y
On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles
de base q il existe une seule fonction dont le nombre
dérivé en 0 soit égal à 1
...
Cette valeur particulière du réel q est notée e
...
y = ex
4
3
e
y = x +1
2
1
-3
-2
-1
b
0
A
1
2
3
x
-1
1
DÉFINITION
La fonction x 7−→ ex s’appelle la fonction exponentielle de base e ou plus simplement exponentielle
...
Pour tout nombre réel x,
exp′ (x) = ex
❊
DÉMONSTRATION
Pour tout réel x et pour tout réel h 6= 0,
eh −1
exp(x + h) − exp(x) ex+h − ex ex × eh − ex
=
=
= ex ×
h
h
h
h
eh −1
e0+h − e0
= 1 soit lim
= 1
...
YALLOUZ (MATH@ES)
45
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
3
Tle ES 4
Tle ES-L
FONCTION EXPONENTIELLE
VARIATION
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R
❊
DÉMONSTRATION
La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée
...
On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R
...
Résoudre dans R l’inéquation e1−3x < e2x−3
e1−3x < e2x+3 ⇐⇒ 1 − 3x < 2x + 3 ⇐⇒ −5x < 2 ⇐⇒ x > −
2
5
¸
·
2
D’où l’ensemble solution S = − ; +∞
5
2
...
Par conséquent, la dérivée seconde est exp′′ (x) = ex donc exp′′ (x) > 0
...
Par prolongement, lim ex = +∞
...
Par prolongement, lim ex = 0
...
YALLOUZ (MATH@ES)
46
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
Tle ES 4
Tle ES-L
FONCTION EXPONENTIELLE
PROPRIÉTÉS
1
...
Équation de la tangente au point d’abscisse 1 : y = exp′ (1) × (x − 1) + exp(1) Soit y = e x
3
...
( cf
...
La composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est la fonction f notée f = eu
...
— La fonction g définie pour tout réel x par g (x) = 0,5 ex −3 est la composée la fonction exponentielle suivie
de la fonction affine u définie sur R par u(x) = 0,5x − 3
1
DÉRIVÉE
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I
...
Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x) = e−x
...
u est dérivable sur R et u ′ (x) = −1
...
2
2
...
Pour tout réel x, posons u(x) = 0,5x 2 − 2x + 1
...
2
Donc f est dérivable sur R et f ′ (x) = (x − 2) e0,5x −2x+1
...
YALLOUZ (MATH@ES)
47
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
2
FONCTION EXPONENTIELLE
Tle ES 4
Tle ES-L
VARIATION
Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur tout intervalle I où u est définie
...
— Si u est croissante sur I alors u(a) < u(b)
De la stricte croissance de la fonction exponentielle on en déduit que si u(a) < u(b) alors eu(a) < eu(b)
Donc si u est croissante sur I alors la fonction eu est croissante sur I
...
Or pour tout réel x ∈ I , eu(x) > 0 donc f ′ (x) est du même signe que u ′ (x)
...
YALLOUZ (MATH@ES)
48