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Chapitre 4
P ROBABILITÉS DISCRÈTES
I
II
III
IV
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
...
61
2
formule des probabilités composées
...
62
1
cas de deux évènements
...
62
3
formule des probabilités totales
...
63
...
64
2
propriété
...
64
A
...
1
DÉFINITION
Soient A et B deux évènements d’un même univers tel que p(A) 6= 0
...
p(B )
EXEMPLE
Une usine produit des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles,
un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage
...
Un article choisi au hasard présente un défaut d’emballage
...
— 12% des articles ont a un défaut de fabrication ou un défaut d’emballage d’où p (F ∪ E ) = 0,12
...
La probabilité qu’un article ait les deux défauts est :
p (F ∪ E ) = p(F ) + p(E ) − p (F ∩ E )
d’où p (F ∩ E ) = 0,08 + 0,06 − 0,12 = 0,02
La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est
p E (F ) =
p (F ∩ E ) 0,02
=
= 0,25
p(E )
0,08
La probabilité qu’un article ayant un défaut d’emballage ait aussi un défaut de fabrication est égale à 0,25
...
Alors :
p (A ∩ B ) = p A (B ) × p(A) = p B (A) × p(B )
EXEMPLE
85 % d’une population est vaccinée contre une maladie
...
A
...
La probabilité que parmi cette population, une personne soit vaccinée et malade est :
p (V ∩ M ) = 0,02 × 0,85 = 0,017
II
FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
1
CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS
Si A est un évènement de Ω tel que p(A) 6= 0 et p(A) 6= 1, alors pour tout évènement B de Ω
p(B ) = p(A ∩ B ) + p(A ∩ B ) = p A (B ) × p(A) + p A (B ) × p(A)
Preuve :
³
´
Les évènements A ∩ B et A ∩ B sont incompatibles et B = (A ∩ B ) ∪ A ∩ B
d’où
p(B ) = p (A ∩ B ) + p(A ∩ B )
D’après la formule des probabilités composées
A
B∩A
B∩A
A
p(B ) = p A (B ) × p(A) + p A (B ) × p(A)
2
PARTITION
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et {A 1 , A 2 ,
...
A 1 , A 2 ,
...
C’est à dire si, et seulement si,
1
...
2
...
Remarques :
— Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω
...
, A n } est une partition de Ω alors pour tout évènement
B de Ω,
p(B ) = p(A 1 ∩ B ) + p(A 2 ∩ B ) + · · · + p(A n ∩ B )
EXEMPLE
Le parc informatique d’une entreprise est constitué d’ordinateurs de marques A, B ou C référencés au
service de maintenance
...
30 % des ordinateurs sont de la marque B et 20 % d’entre eux sont des portables
...
A
...
III
REPRÉSENTATION SOUS FORME D ’ UN ARBRE PONDÉRÉ
Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d’un
poids qui est une probabilité
...
Par exemple, {A,B,C } est une partition de l’univers Ω et {S,S} est une partition de l’évènement B
...
Par exemple, le chemin dont l’extrémité est R représente l’évènement A ∩ R
...
Le poids d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son
extrémité sachant que l’évènement qui se trouve à son origine est réalisé
...
— La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches
...
A
...
2
PROPRIÉTÉ
Si p(A) 6= 0 et p(B ) 6= 0 on a les équivalences :
A et B indépendants ⇔ p B (A) = p(A) ⇔ p A (B ) = p(B )
Preuve :
Si p(A) 6= 0, alors p (A ∩ B ) = p(A) × p A (B )
...
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s’appelle un schéma de Bernoulli
...
La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’echec est p(S) = 1 − p = q
...
YALLOUZ (MATH@ES)
64
Lycée JANSON DE SAILLY
Année 2017-2018
Tle ES 4
Tle ES-L
PROBABILITÉS DISCRÈTES
ISSUES
p
q
p
q
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
p
S
SSS
q
S
SSS
S
S
S
q
S
S
S
p
p
S
L’expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l’aide d’un mot de
trois lettres :
{S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S}
COEFFICIENTS BINOMIAUX
On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
...
µ ¶
3
Dans l’exemple précédent, il y a
= 3 chemins pour lesquels il y a deux succès
2
LOI BINOMIALE
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n
épreuves où la probabilité du succès de chaque épreuve est p
...
¡
¢
Cette loi est notée B n; p
...
YALLOUZ (MATH@ES)
65