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Esame di Matematica 13/11/2024

⏱ 60’

1) LIMITI Calcolare il seguente limite

lim log $ √𝑥

!→#

%

o 0
o −∞
o

!
"

o +∞

2) VETTORI Determinare le coordinate polari (𝜌, 𝛼) di 𝑢
(⃗ con A (0, –4)
#

o 𝜌 = 4 ; 𝛼 = $

%

o 𝜌 = −4 ; 𝛼 = − $ 𝜋
o non sono definite
%

o 𝜌 = 4 ; 𝛼 = $ 𝜋

3) VETTORI a- Determinare 𝑘 tale che 𝑢 (2, 2𝑘) e 𝑣 4√3, 18 siano ortogonali
b- Determinare l’angolo 𝛼 tra u e il versore −𝚥
(⃗(0, – 1)
o 𝑢 = 4√3, 18 ; 𝛼 =

#
%

o 𝑢 = 41, −√38 ; 𝛼 =

#
&

o 𝑢 = 42, −2√38 ; 𝛼 =

#
&
#

o 𝑢 = 42, 2√38 ; 𝛼 = − &

4) DERIVATE Data la funzione 𝑓(𝑥 ) = −10(𝑥 $ − 2), determinare se vi sia un
massimo o un minimo in 𝑥 = 0
o la funzione ha un minimo in 𝑥 = 0

o la funzione ha un massimo in 𝑥 = 0
o la funzione non ha né un massimo né un minimo in 𝑥 = 0
o la funzione è crescente in 𝑥 = 0

2 3
5) ALGEBRA Determinare la matrice inversa 𝐴'! di A ?
@
−1 1
1
?
( 1
5
o ?
5
! 5
o (?
0
1
o ?
1
o

!

−3
@
2
−15
@
10
0
@
5
−3
@
2

6) ALGEBRA Determinare gli autovalori reali ed eventuali autovettori
−3 0
ortogonali di A ?
@
0 3
o no, non esistono autovalori reali
o sì, esistono due autovalori reali, ma non esistono autovettori
o sì, esistono due autovalori reali con rispettivi autovettori, ma non
necessariamente ortogonali
o sì, esistono due autovalori reali con rispettivi autovettori ortogonali

7) ALGEBRA Date le equazioni seguenti, determinare 𝑚∥ e 𝑚* tale che le
rette siano rispettivamente parallele e perpendicolari
2𝑥 + 𝑦 = 7
C
𝑚𝑥 − 𝑦 = −1

!

o 𝑚∥ = 2 ; 𝑚* = $
o 𝑚∥ = 2 ; 𝑚* = 1
o 𝑚∥ = −1 ; 𝑚* = 2

!

o 𝑚∥ = −2 ; 𝑚* = $

8) DERIVATE Calcola la derivata prima di 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
o 𝑓 +(-) =
o 𝑓

+(-)

!
√$-0!

= 2𝑥 + 3
"

o 𝑓

!
+(-)1$($-0!) #

o 𝑓 +(-) =

$
√$-0!

1
9) ALGEBRA Dati 𝑣⃗ (0, −2, 0) e 𝐴 F2H, calcolare 𝑣⃗ ∙ 𝐴
6
o
o
o
o

−12
−4
0
non è definito

10) DPARZIALI Data la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + cos 𝑦, determinare la
derivata seconda 𝑓-2 (0, 0)
o
o
o
o

1
5
0
−∞

11) FUNZIONI Determinare il centro C e il raggio R della seguente funzione
𝑥 $ + 𝑦 $ = 6y
o 𝐶 (0, 0) ; 𝑅 = P6𝑦
o 𝐶 (0, 6) ; 𝑅 = 9

o 𝐶 (0, 3) ; 𝑅 = 3
o 𝐶 = 0 ; 𝑅 = 3

12) DPARZIALI Data la funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥 + ln 𝑦, determinare la derivata
seconda 𝑓-2 (0, 0)
o 5
o −∞
o

!
(

o 0

13) LIMITI Calcolare il seguente limite

lim log$' 𝑒 !

!→&#

o
o
o
o

−∞
+∞
non è definito
0

14) SERIE A quale funzione corrisponde la seguente serie
6

𝑓(𝑥) = T

($3)#$

417 ($4)!

o
o
o
o

𝑓(𝑥) = cos 𝑥
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
𝑓(𝑥) = cos 2𝑥
𝑓(𝑥) = e$3

15) DPARZIALI Determinare (((⃗
∇f (−1, 1) di 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 $ 𝑦
o (−2, 1)
o (2, 1)

o −2
o 1

16) SERIE A quale funzione corrisponde la seguente serie
6

𝑓 (𝑥 ) = T

417

(%3)$
4!

o 𝑓(𝑥) = cos 3𝑥
!

o 𝑓(𝑥) = (!'-)"
o 𝑓(𝑥) = e%3
!

o 𝑓(𝑥) = !0-"
17) DERIVATE Determinare la retta tangente a 𝑓(𝑥) = 3𝑥 $ nel punto 𝑥7 = 1
o
o
o
o

𝑦 = 3(2𝑥 − 1)
𝑦=0
𝑦=6
𝑦 = 6𝑥

18) INTEGRALI Determinare se il seguente integrale è proprio, improprio,
eventualmente calcolabile
!

Y
7

o
o
o
o

1
√𝑥

𝑑𝑥

è improprio ma calcolabile
è improprio e non calcolabile
è proprio e calcolabile
non è calcolabile

2 3
−2 −5
19) ALGEBRA Date le seguenti matrici A ?
@eB?
@, calcolare
−1 1
1
2
C = AB

−4 −1
@
7
3
0 −2
o C?
@
0 3
−1 −4
o C?
@
3
7
−4 −15
o C?
@
−1
2
o C?

0 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
20) FUNZIONI Determinare se [
è continua in 𝑥 = 0
0,1 𝑠𝑒 𝑥 > 0
o
o
o
o

𝑓(𝑥) è definita e continua in 𝑥 = 0
𝑓(𝑥) è discontinua in 𝑥 = 0
𝑓(𝑥) non è definita in 𝑥 = 0
𝑓(𝑥) è continua ma singolare in 𝑥 = 0

21) FUNZIONI Determinare la funzione inversa di 𝑦 = sin 𝑥 su tutta la retta
reale
o
o
o
o

arcsin 𝑥
la funzione non ha inversa su tutta la retta reale
cos 𝑥
sin'! 𝑦

22) EQDIFF Determinare l’andamento funzionale in 𝑦(𝑡) di
o
o
o
o

quadratico in t
costante in t
esponenziale in t
lineare in t

23) FUNZIONI Determinare la funzione inversa di 10o (𝑥 $ )!7

#

82
89

= 𝑦𝑡

o log $ 10o non esiste una funzione inversa
o 2 log!7 𝑥

24) FUNZIONI Date le seguenti funzioni
#

𝑓! (𝑥) = 𝑒 '- 𝑓$ (𝑥) = 𝑒 '!7- 𝑓% (𝑥) = 𝑒 '- 𝑓" (𝑥) = 𝑒 '√- ,
determinare l’infinitesimo d’ordine superiore 𝑥 → +∞
o
o
o
o

𝑓"
𝑓!
𝑓%
𝑓$

25) LIMITI Calcolare il seguente limite

sin 2𝑥
lim
!→' 2𝑥
o
o
o
o

1
non è definito
0
2𝜋

Soluzioni
1) −∞
%

2) 𝜌 = 4 ; 𝛼 = $ 𝜋
3) 𝑢 = 42, −2√38 ; 𝛼 =

#
&

4) la funzione ha un massimo in 𝑥 = 0
! 1 −3
5) ( ?
@
1 2

6) sì, esistono due autovalori reali con rispettivi autovettori ortogonali
!

7) 𝑚∥ = −2 ; 𝑚* = $
8) 𝑓 +(-) =

!
√$-0!

9) −4
10) 0
11) 𝐶 (0, 3) ; 𝑅 = 3
12) 0
13) −∞
14) 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥
15) (−2, 1)
16) 𝑓(𝑥) = e%3
17) 𝑦 = 3(2𝑥 − 1)
18) è improprio ma calcolabile
−1 −4
19) C?
@
3
7
20) 𝑓(𝑥) è discontinua in 𝑥 = 0

21) la funzione non ha inversa su tutta la retta reale
22) costante in t
23) 2 log!7 𝑥
24) 𝑓$ (𝑥) = 𝑒 '!725) 1



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