Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

Exerciții de tip subiectul al III-lea
Geometrie - Matematică
Exercițiul 1
...


a) Arătați că aria triunghiului QPE este egală cu 25 m²
...
De asemenea, putem folosi și altă metodă, în care vom
afla laturile QE și Pn cu Teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice QME și
PEN
...
 
Laturile paralele sunt egale/congruente (QM=PN ; QP=MN)
2
...
  Diagonalele se înjumătățesc
Unghiurile sale au măsura de 90 de grade
...

Observăm faptul că măsura unghiului QMN este egală cu măsura unghiului
QME, deoarece au acelaşi vârf, prin urmare, unghiul QME=90°
Acelasi lucru se întâmplă şi în cazul unghiului PNE, astfel măsura unghiului
PNE=90°
Pentru că măsura unghiului QME=90° => ∆QME este dreptunghic => Aria ∆QME=
(QM+ME):2 = (5•5):2=25:2=25/2 m²
Pentru că măsura unghiului PNE=90° => ∆PNE dreptunghic => Aria ∆QME=
(PN+NE):2= (5•5):2=25/2
Aria ∆QEP= Aria MNPQ - Aria ∆QME - Aria ∆PEN = 50-25/2-25/2
Aducem la acelaşi numitor şi obținem :
Aria ∆QEP = (100-25-25):2 = 50:2=25 m²

b) Demonstrați că ∆PEQ ∼∆ EMQ
...
U
...
L
...
L (latură-unghi-latură) => Au două perechi de laturi corespondente
proporționale şi unghiurile dintre ele congruente
Cazul III
...
L
...
C (catetă-catetă) => QE=PN => ∆QEP isoscel
Ştim că, măsura unghiului QPN=90°, dar mai ştim că unghiul QPN=unghiul
QPE+unghiul EPN => 90°=45°+ unghiul QPE => unghiul QPE=90°-45°=45° , mai ştim şi
că ∆QEP isoscel => unghiul EQP=45° => unghiul QEP=90° => ∆QEP dreptunghic
isoscel
...
U ,astfel:
unghiul MQE=unghiul EQP ; unghiul QPE= unghiul QEM => ∆EMQ ∼ ∆PEQ

c) Arătați că QE²=QM· QP
...
Figura alăturată reprezintă un trapez ABCD în care AB||CD  , AB>CD ,
iar AD=BC
...


a) Arătați că aria trapezului ABCD este egală cu 225 cm²

🥳SOLUȚIE🥳

Ne reamintim care este formula ariei trapezului : Aria trapezului= (bază mică+bază
mare)•înălțime/2
Stabilim ceea ce știm și ceea ce nu știm : DC+AB=18√5 cm ; AB-DC=10√5 cm
AB=18√5-DC ; 18√5-DC-DC=10√5 cm , 18√5-2DC=10√5 cm , -2DC=10√5-18√5 ,
-2DC=-8√5 , DC=-8√5/-2= 4√5 cm , AB=18√5-4√5=14√5 cm
După ce am aflat baza mică și baza mare, putem calcula aria trapezului ABCD
Aria ABCD= (4√5+14√5) • 5√5/2= 18√5• 5√5/2= 18•5•5/2 = 450/2=225 cm²
b) Determinați măsura unghiului BAD
...
Aceste perpendiculare
duse vor fi egale şi vor forma un dreptunghi
...

Ştiu faptul că AD=BC => ABCD trapez isoscel => Unghiul DAB=Unghiul CBA
AM=NB=AB-MN/2=14√5-4√5/2=10√5/2=5√5 cm
Ştim că DM=CN=5√5 cm şi AM=NB=5√5 cm => DM=AM, CN=NB => ∆DMA isoscel şi
∆CNB isoscel
Pentru că DM⊥AB => unghiul DMA=90° => ∆DMA dreptunghic isoscel=> măsura
unghiului DAM=45°
Măsura unghiului DAM=măsura unghiului DAB=45° (deoarece au acelaşi vârf)
Prin urmare, unghiul DAB=45°
c) Dacă DE||BC  , E ∈ ABși F ∈ DE astfel încât BE≡BF, arătați că triunghiul ACF
este isoscel
...
L
...
C ) => OE⊥AC
O ∈ DE, F ∈ DE => O ∈ DF => DF ⊥ AC => OF ⊥AC
Cum OF⊥AC, O mijlocul lui AC => OF mediană,înălțime în ∆ACF => ∆ACF isoscel:
AF=CF

Exercițiul 3
...
Terenul este împărțit în trei părți de arii
egale prin drumurile BE şi DF,E ∈ AD, F ∈ BC
...


🎁SOLUȚIE🎁
Dacă ne spune că terenul este împărțit în trei părți de arii egale => Aria triunghiului
DCF=Aria triunghiului EAB=Aria triunghiului DFBE= x m²
Calculăm aria dreptunghiului ABCD= 100•300=30
...
000=3x => x=10
...
000•2=EA•100 => EA=200 m
Aria ∆DCF=DC•CF/2 => 10
...
Arată că lungimea gardului este mai mică de
650 m
...
000= 100√2 cm
Calculăm perimetrul = 2EB+2FB=200√2+200=200(√2+1) cm
Acum, trebuie să demonstrăm că perimetrul acesta este mai mic decât 650 m
...
În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCD (AB>BC), cu
AC intersectat cu BD în punctul O şi AB=21 cm
...


a) Arată că AC= 40 cm
...

💞Laturile paralele sunt congruente/egale
❤️‍🔥🫠Aria paralelogramului ABCD va fi egală cu 4•Aria triunghiului AOB, deoarece aria
∆AOB=aria ∆DOC=aria ∆DOA=aria ∆COB

Prin urmare, ne vom folosi de aceste proprietăți
...
Aria = bază•înălțime/2
2
...


Vom aplica

🎁 FORMULA LUI HERON 🎁

Calculăm semiperimetrul : p= AO+OB+AB/2= 54/2=27 cm
Aplicăm formula şi => Aria = 126 cm²
=> Aria paralelogramului ABCD=126•4=504 cm²



---