Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

ANALIZĂ I
NOTE DE CURS

Conf
...
Alina Bărbulescu

RELAŢII ŞI FUNCŢII
§1
...
 - mulţimea numerelor naturale,
N*   1, 2,
...
,  2,  1, 0, 1, 2,
...

Dacă I este o mulţime oarecare, se notează x i : i  I o mulţime indexată
după I, iar I se numeşte mulţime de indici
...

Dacă X este o mulţime, se notează cu PX   A : A  X familia tuturor
submulţimilor lui X
...


iI

Se numeşte intersecţia familiei A i iI , mulţimea:
 A i  x  X : x  A i ,  i  I
...


Fie X şi Y mulţimi arbitrare
...
O relaţie de la X la X se numeşte relaţie
în X
...
O relaţie R pe X se numeşte relaţie de ordine
(parţială) pe X dacă:

x, x   R ,  x  X

(R este reflexivă),

x, y   R şi y, x   R  x  y

(R este antisimetrică),

x, y   R şi y, z   R  x, z   R

(R este tranzitivă)
...

O relaţie de ordine care satisface şi

 x, y  X,

cu x  y , atunci x  y sau y  x

se numeşte relaţie de ordine totală pe X
...
Dacă x şi y X

sunt în relaţie de ordine se notează x  y şi se citeşte x

precede y sau x mai mic decât y sau y mai mare decât x
...
Relaţia de incluziune este o relaţie de ordine parţială pe P X 
...


  X se numeşte majorant al lui A dacă x   ,  x  A
...

Se spune că o mulţime A  X,   este majorată (minorată) dacă A
admite majoranţi (minoranţi)
...

Dacă un minorant (majorant) al mulţimii A face parte din A se spune că
este cel mai mic element (cel mai mare element) al lui A şi se notează prin min
A ( max A )
...
Dacă există cel mai mic
(mare) majorant (minorant) x 0  X al lui A, atunci x 0 se numeşte margine
superioară sau supremumul lui A (margine inferioară sau infimum), notată
sup A ( inf A )
...
1
...

Fie X o mulţime oarecare
...


Fie o relaţie de echivalenţă pe X şi x  X
...
x  x se numeşte


reprezentant al clasei x
...


1
...

2
...
Clasele de echivalenţă în raport cu această
relaţie sunt clasele de resturi modulo m
...
FUNCŢII
O relaţie f de la X la Y se numeşte funcţie de la X la Y şi se notează prin
f : X  Y dacă pentru orice

x  X,

există şi este unic

yY

astfel

încât x , y   f
...


3

Dacă f : X  Y este o funcţie şi A  X, se numeşte restricţia lui f la A
funcţia: f

A

 x , y  : x  A, y  f x 
...


Dacă B  Y , se numeşte contraimaginea prin f a lui B (imaginea
reciprocă), mulţimea:
f 1 B  x  X : f x   B
...
Se spune că f este injectivă dacă  x1 , x 2  X,
x1  x 2 , rezultă f x1   f x 2 
...
f ( x )  y
...

Observaţii
...
f : X  Y este injectivă dacă şi numai dacă

 x1 , x 2  X : f x1   f x2 

 x1  x 2
...
f este funcţie surjectivă dacă f X   Y
...
Fie f : X  Y o funcţie oarecare
...
 A1 , A 2  PX , A1  A 2  f A1   f A 2  ,
2
...
 B  Y, X  f 1 B  f 1 Y  B ,
4
...

5
...

6
...

Se numeşte compunerea funcţiilor f : X  Y, g : Y  Z , funcţia g  f :
XZ , (g  f )( x )  g (f ( x )), () x  X
...
Pentru construcţia
acestei mulţimi se folosesc diferite metode
...

Se numeşte sistem de numere reale o mulţime R înzestrată cu două
operaţii algebrice: adunarea (( x , y)  x  y) şi înmulţirea (( x , y)  x  y) şi cu
o relaţie de ordine, notată „  ” şi care satisface axiomele:
I
...


II
...


x , y  R  x  y sau y  x ,

5

III
...
Orice submulţime
nevidă A  R care este majorată admite cel puţin o margine superioară
( sup A  R )
...

În R se definesc următoarele tipuri de intervale mărginite:
 deschise: a , b   x  R : a  x  b (a, b  R),


închise: [a, b]  x  R : a  x  b ,

 Semideschise:

(a, b]  x  R : a  x  b şi [a, b)  x  R : a  x  b ,
şi următoarele tipuri de intervale nemărginite:
 deschise:  , a   x  R : x  a, (a, +  )  x  R : x  a,

 ,     R
...

Prin definiţie,
(a, a) = [a, b) = (a, a] =  , [a, a] = a
...

Se numeşte dreapta reală încheiată şi notează prin R , mulţimea
numerelor reale, împreună cu simbolurile   şi  , care satisfac proprietăţile:
i
...

 0



ii
...

iii
...

6

iv
...


v
...

Axioma lui Arhimede
...


Teoremă
...

Teorema de densitatea mulţimii numerelor raţionale
...

Se numeşte modulul numărului real x, notat prin x numărul definit prin:
x , dacă x  0,
x 
 x , dacă x  0
...
x  0,  x  R
...
Dacă a  0, atunci x  a  a  x  a
...
 x , y  R, x  y  x  y
...
 x , y  R, x  y  x  y ; dacă y  0, x y  x y
...
 x , y  R, x  y  x  y
...

Observaţie
...

Vom spune că un interval al lui R este compact dacă este închis şi
mărginit
...

Se numeşte vecinătate a lui   () orice mulţime V  R , care conţine
un interval de forma (a ,  ) (respectiv (, b))
...
Un punct   R se numeşte punct de acumulare al lui A dacă
orice vecinătate V a lui  conţine cel puţin un punct din A   
...

Observaţie
...


A  R , A  
...
Mulțimea tuturor punctelor interioare lui A se
o

numeşte interiorul lui A și se notează prin A
...
O aplicație d : X  X  R  se numește distanță (metrică)
dacă îndeplinește condițiile:
i
...

ii
...

iii
...

Perechea (X,d) se numește spațiu metric
...


1
...

2
...
, x n ), y  ( y1 ,
...


8

ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
§1
...

Notaţie: Un şir de numere reale se notează prin: (an)n  N (N*) sau (an)
...

Dacă n este fixat, an se numeşte termenul de rang n al şirului
...

Se spune că un şir de numere reale (an) este monoton descrescător dacă an
 an+1, ()nN şi este strict descrescător dacă an > an +1 , ()nN
...

Observaţie: Un şir care este în acelaşi timp crescător şi descrescător este

un şir constant
...

Definiţie: Un şir (an) se numeşte şir mărginit dacă există numărul real M >

0 astfel încât:an< M, ()nN
...
1
...

Definiţie: Şirul de numere reale (an) are limita a dacă

(>0 N()N a
...

Observaţie: Cele două definiţii sunt echivalente
...

Notaţie: Dacă şirul (an) converge la aR, notăm: a = lim an sau an  a
...

Definiţie: Spunem că un şir (an) are limita + dacă

() > 0 ()N()N a
...

Spunem că şirul (bn) are limita -  dacă
()  > 0 ()N()N a
...

Definiţie: Dacă n 1  n 2 
...

Scriem aceasta prin: ( x n k ) și spunem că g este un subșir șirului ( x n ) definit prin
f
...
2
...
() m, nN, m, n >N(): am - an < 
...
() nN, n > N(), ()pN*: an+p - an<
...
3
...

Lema lui Cesarò: Orice şir mărginit conţine un subşir convergent
...


10

Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy:

Un şir de numere reale (an) este convergent dacă şi numai dacă:
() >0 ()N()N a
...

Observaţie: Criteriul este echivalent cu:

Un şir de numere reale (an) este convergent dacă şi numai dacă ( an) este
şir Cauchy
...

Lema 1: Orice şir fundamental este mărginit
...
Şirul (an) este Cauchy, adică:

()N()N* a
...

Atunci:
an  an- aN()+ aN() 1+ aN(), () n > N()
...
,aN(), ()nN* ,

adică (an) este mărginit
...

Lema 2: Dacă (an)nN* este şir Cauchy de numere reale, care are un subşir

convergent (ank)kN*, atunci şirul (an)nN* este convergent şi are aceeaşi limită ca
șirul (an k)kN*
...

Presupunem că (an)n este şir Cauchy şi demonstrăm că el este convergent
...
Din lema
lui Cesarò rezultă că (an) conţine un subşir convergent
...

Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton crescător şi mărginit superior

este către marginea superioară
...


11

Exemple
1
...

2
2
n2

este convergent
...
Să se demonstreze că şirul (an)nN* este convergent:
an 

cos x cos 2 x
cos nx


...
Se arată că şirul (an) este Cauchy
...
Să se studieze convergenţa şirului(an)nN* :
an  1 

1
1
1


...


Indicație
...

4
...
1 n 

 

 2  2   2 

5
...
  ln n
...
Să se demonstreze că:
lim

n 

1
1
1 
...


§2
...
1
...
Definim șirul:
s1 = a1,
s2 = a1+a2,
12


...
+an,
notat prin (sn)nN* , numit şirul sumelor parţiale
...
 a n 
...
 a n )
...


Pentru serii convergente s se numeşte suma seriei şi se scrie:
s = a1+ a2+
...
=



an
...

1
...
+ aqn -1+
...

2
...


Propoziţia 1: Dacă seria



 a n converge, atunci şirul termenilor generali,

n 1

(an), tinde la 0
...


Într-adevăr, seria





n 1

1
1
1
, este divergentă, deşi: a n 
şi lim
 0
...
 a m  k 
...

Criteriul general de convergenţă al lui Cauchy: O condiţie necesară şi

suficientă pentru ca seria



an

să fie convergentă este ca:

n 1

(  0 ()NN a
...
+an+p  
...
2
...

Având în vedere că natura seriei nu se schimbă prin înlăturarea primilor N
termeni (deci a unui număr finit de termeni), se poate presupune că an 0,
(nN*
...

Criterii de comparaţie:
Teorema I: Fie seriile:



an ,

n 1



 b n (an > 0, bn > 0, ()n 1)
...
( n>N, an  bn, atunci:

14

1
...


n 1



n 1

2
...


Teorema II: Fie seriile cu termeni pozitivi



an ,

n 1



 b n şi presupunem că

n 1

an
 0,  
...
dacă seria



 b n este convergentă şi l   

n 1

an

este convergentă;

n 1



n 1

2
...


Observaţie: Dacă 0 < l< + , ambele serii au aceeaşi natură
...



(n!) 2
1
...

n 1 ( 2n )!

2
...




a

n 1

3
...


n 1

Criteriul rădăcinii (Cauchy)
...
Dacă

n 1

presupunem că există L  lim n a n  0 , atunci:
n 

1
...
dacă L > 1, seria este divergentă;
3
...


15

Exemple
...
Seria  
 este convergentă dacă < 1 şi divergentă dacă a 
c
n 1 cn  d 
c, (a, c > 0)
...
Seria





 3 n3  n2 1  3 n3  n2 1

n 1

 converge
...
Fie



an

o serie cu termeni pozitivi
...
dacă L<1, seria este convergentă;
2
...
dacă L=1, nu se poate decide natura seriei
...



2 n  n!
1
...

n 1 n

2
...


n 1

u
există L  lim n  n 1  , atunci:
u

n    n 1 

1
...
dacă L<1, seria este divergentă;
3
...

Exemple
...
Seria



1

 n  1 este divergentă
...
Seria



n


 an nn!, a  0 este divergentă
...


Dacă există L  lim

log a

n 

n 1

n

log n

,

atunci:
1
...
dacă L 1, seria este divergentă
...



ln n
, (p>0) este convergentă dacă p>1 şi este divergentă dacă
p
n 1 n

1
...

2
...


n 1

2
...
SERII CU TERMENI OARECARE
Pentru studiul convergenţei unei serii cu termeni oarecare se pot utiliza, pe
lîngă criteriul general de convergență al lui Cauchy, următoarele criterii
...
Fie seria cu termeni oarecare



un

astfel încât şirul

n 1

sumelor parţiale (n) este mărginit
...
Dacă seria



 u n este convergentă şi (an) este un şir

n 1


monoton şi mărginit, atunci seria  a n u n converge
...



sin n  cos n 2
este convergentă
...
Seria 
n
n 1

2
...
Seria



sin nx
este convergentă (xR*, fixat)
...


n 1

2
...
SERII ALTERNANTE
Definiţie: Se numeşte serie alternantă o serie de numere reale de forma:


  1n  1 a n , a n

 0, ( ) n  N *
...
Dacă într-o serie alternantă şirul (an) este monoton

descrescător şi tinde la zero, seria este convergentă
...

1
...


n 1

2
...


18

2
...
SERII ABSOLUT CONVERGENTE ŞI SEMICONVERGENTE

Definiţie: Seria de numere reale



an

se numeşte absolut convergentă

n 1

dacă seria



 an

este convergentă
...


n 1

Teoremă: Dacă o serie cu termeni oarecare este absolut convergentă,

atunci ea este convergentă
...


Într-adevăr,



  1n 1 n

seria

1

este

convergentă,

dar

seria

n 1




n 1

n 1

1
1
  1n 1 n   n

este divergentă
...
seria obţinută să aibă ca sumă un număr dat;
2
...
seria obţinută să fie oscilantă
...

Exemple
...
Seria



 (1) n

n 2

2
...


2 n 1
3n

este absolut convergentă
...
LIMITE DE FUNCŢII
Definiție: Se numeşte funcţie reală cu valori reale o funcţie
f :X  R  R
...
Se spune că f are limită în
x 0 , egală cu l, dacă orice vecinătate V a lui l , există o vecinătate U a lui x 0

astfel încât pentru orice x  X  U , x  x 0 să rezulte f ( x )  V
...

x x 0

Observaţie
...

Teorema 1
...
Sunt

echivalente afirmaţiile:
a
...

xx 0

b
...

n 

n 

c
...

Observaţie
...

Definiție: Fie f : X  R  R,

x0

un punct de acumulare al lui

X1  X    , x 0   x  X : x  x 0  şi ls  R
...
Se scrie atunci:

20

lim

xx0 , xx0

f x   ls sau f x 0  0   ls
...
Se spune că funcţia f are limită

la dreapta în x 0 , egală cu ld , dacă restricţia lui f la X2 are limită în x 0 , egală cu
ld
...


Teorema 2
...
Dacă f x 0  0   f x 0  0  , atunci f are limită în punctul x 0 și
f x 0  0   f x 0  0   lim f ( x )
...

Exemple
...
f ( x )   x
are limite la stânga și la dreapta în x=1, respectiv
e  2x, x  1


egale cu e - 2 și 5, dar nu are limită în x=1
...
f(x) = sinx, x  R , nu are limită în punctul de la infinit
...
Fie f , g : X  R (X  R ) , x 0  X'R
...

xx0

Atunci

funcţiile f  g, fg, f (  R ) au limite în x 0 şi:
lim (f  g )( x )  l1  l 2 , lim (fg)( x )  l1l 2 , lim (f )( x )  l1
...

xx0

21

Propoziţia 2
...
Dacă există o

vecinătate U a lui x 0 astfel încât f  g în U  x 0  şi dacă funcţiile f şi g au
limită în x 0 , atunci lim f ( x )  lim g ( x )
...
FUNCŢII CONTINUE
Definiție
...
Funcţia f se numeşte continuă în x0

dacă orice vecinătate V a lui f ( x 0 ) există o vecinătate U a lui x 0 astfel încât
pentru orice x  X  U să rezulte f ( x )  V
...
Dacă f este continuă în toate punctele lui X, se spune
că f este continuă pe X
...

U  X  x 0  ), condiţia din definiția precedentă este satisfăcută automat, deci f

este continuă în x 0
...
Fie f : X  R  R şi x 0  X
...
Funcţia f este continuă în punctul x 0
...
() ( x n )  X, lim x n  x 0  lim f ( x n )  f ( x 0 )
...
()   0 ()  0 () x  X : x  x 0    f ( x )  f ( x 0 )  
...
Dacă f : X  R  R este o funcţie continuă în x 0 şi
f ( x 0 )  0 ( f ( x 0 )  0 ), atunci există o vecinătate U a lui x 0 astfel ca f ( x )  0

( f ( x )  0 ) () x  U  X
...
Fie f : X  R  R şi x 0  X
...


22

Definiție: Dacă o funcţie f : X  R  R nu este continuă într-un punct
x 0  X , iar limitele sale laterale există şi sunt finite, se spune că x 0 este punct de

discontinuitate de prima speţă pentru f
...

Observaţie
...

Propoziţia 3
...
Atunci funcţiile f  g, fg sunt continue în x 0 (respectiv pe X)
...


Propoziţia 4
...
Dacă f

este continuă în x 0  X, g este continuă în f ( x 0 ), atunci h este continuă în x 0
Dacă f este continuă pe X, g este continuă pe Y, atunci h este continuă pe
X
...
f ( x )  m, () x  X
...
f ( x )  M, () x  X
...

Teorema Weierstrass de mărginire
...
Atunci există  ,   a , b astfel încât
f ( )  inf f ( x ), f (  )  sup f ( x )
...
Dacă

g : a , b  R

xa , b 

este o funcţie continuă astfel încât

g (a )  g (b)  0 , atunci există cel puţin un punct   a , b care satisface g ( )  0
...
Se spune că funcţia f : I  R are
proprietatea lui Darboux pe I dacă pentru orice puncte x1  x 2 din I şi oricare ar

fi numărul c, situat între f ( x1 ) şi f ( x 2 ) , există cel puţin un punct   x1 , x 2  a
...


23

Teorema valorilor intermediare
...

Teorema 5
...


Atunci J = f (I) este tot un interval
...
Imaginea unui compact printr-o funcţie continuă este tot un

compact
...
Fie I  R un interval, J = f (I) , f : I  J o funcţie continuă pe

I
...
Atunci inversa
sa, f 1 : J  I este continuă şi strict monotonă
...
() x , y  X, x  y    f ( x )  f ( y)  
...
Fie f : a , b  R o funcţie continuă
...

Exemple
...
Funcția f : 2, 5  R , f ( x )  x sin

1
este uniform continuă pe [2, 5]
...
Funcția f : R  R , f ( x )  x 3 nu este uniform continuă pe R
...
FUNCŢII DERIVABILE
Definiție: Fie f : X  R  R şi x 0  X  X'
...

x  x0

În acest caz, limita se notează f ' ( x 0 ) şi se numeşte derivata lui f în x0
...
În acest caz,
funcţia care asociază oricărui x  E pe f ' ( x ) se numeşte derivata lui f pe E şi se
notează f '
...

Teorema 8
...

Observaţie
...
De

exemplu, funcţia f : R  R,
x sin 1 , x  0

x
f (x)  

0, x  0


este continuă, dar nu este derivabilă în x  0
...
Fie I  R un interval, f : I  R , monoton crescătoare

(monoton descrescătoare) pe I
...

Definiție: Fie X  R şi x 0 punct de acumulare pentru X   , x 0 
...

'
Analog se definesc derivata la dreapta f d ( x 0 ) şi noţiunea de funcţie

derivabilă la dreapta în x 0
...
Dacă f : X  R  R este derivabilă în x 0 , atunci f este
'
derivabilă la stânga şi la dreapta în x 0 şi f s' ( x 0 )  f d ( x 0 )  f ' ( x 0 )
...

Reguli de derivare
...
Dacă

f, g sunt derivabile în x 0 , atunci:
1
...

25

2
...

3
...


4
...

g (x 0 )

f

g

Teorema de derivare a funcţiilor compuse
...
Dacă f este derivabilă în x 0  I şi g este derivabilă în y 0  f ( x 0 ),
atunci funcţia g  f este derivabilă în x 0 şi (g  f )' ( x 0 )  g ' ( y 0 )  f ' ( x 0 )
...


Teorema de derivare a inversei
...
Dacă f este derivabilă într-un punct x 0  I şi
f ' ( x 0 )  0,

atunci

inversa

g  f 1

este

derivabilă

în

y0  f (x 0 )

şi

g' ( y 0 )  1 / f ' ( x 0 )
...
Un punct x 0  X se numeşte punct de
maxim relativ sau local (minim relativ sau local) al lui f dacă există o vecinătate

U a lui x 0 astfel încât pentru orice x  U  X să aibă loc relația:
f ( x )  f ( x 0 ) (f ( x )  f ( x 0 ))
...
Valorile funcţiei în punctele de extrem local se numesc
extreme relative ale funcţiei
...

Un punct de maxim sau de minim global se numeşte punct de extrem
global al funcţiei
...

Teorema lui Fermat
...
Dacă f este derivabilă în x 0 , atunci f ' ( x 0 )  0
...
f ' ( x 0 )  0 semnifică faptul că tangenta la grafic

în ( x 0 , f ( x 0 )) este paralelă la axa Ox, dacă x 0 este punct de extrem relativ al
funcţiei f
...

Observaţii
...
Un punct poate fi punct de extrem al unei funcţii, fără a fi punct critic
al

acesteia
...


2
...

Teorema lui Rolle
...
f (a )  f ( b)
...

î
...

Interpretare geometrică
...

Exerciţiu
...
Să se arate că există c  (a, b) astfel ca cf ' (c)  f (c)
...
Fie funcţia f : a, b  R, continuă pe

derivabilă pe (a, b)
...
f (b)  f (a )  (b  a )f ' (c)
...
Scrisă în forma

 f ' (c), formula lui

Lagrange exprimă faptul că pe graficul funcţiei f, care satisface ipotezele
teoremei, există cel puţin un punct (c, f (c)) , diferit de extremităţi, în care panta,
f ' (c), a tangentei la grafic este egală cu panta coardei determinate de A (a , f (a ))

şi B(b, f (b))
...


1
...

2

n 

1
n


...
Aplicând teorema lui Lagrange să se demonstreze:
x  (1  x ) ln(1  x ) , () x  0
...
Fie I  R un interval, f : I  R o funcţie derivabilă pe I
...

Consecinţa 2
...


Dacă f '  0 pe I, atunci f este constantă pe I
...
Concluzia Consecinţei 1 nu mai este adevărată dacă f nu este

definită pe un interval
...

 1, x  (5, 6)
f ' ( x )  0, () x  (0,1)  (5, 6) ,

dar f nu este constantă pe (0,1)  (5, 6)
...
Fie f , g : a , b  R funcţii continue pe

a , b,

derivabile pe (a , b) a
...
Atunci există c  (a , b) a
...


g(b)  g(a ) g' (c)

28

Teorema lui Darboux
...
Atunci derivata sa are proprietatea lui Darboux
...
Fie I  R un interval şi f : I  R o funcţie derivabilă pe I
...


Regula lui l’Hospital
Teoremă
...
Dacă sunt satisfăcute condiţiile:

i
...
f ( x 0 )  0  g ( x 0 ),
iii
...
() lim f ' ( x ) / g' ( x )  l  R ,
x  x0

atunci () lim f ( x ) / g( x )  l
...
Fie f , g : a , x 0   R
...
f şi g sunt derivabile pe (a , x 0 ) ,
ii
...
g ( x )  0, g ' ( x )  0 , () x  V  (a , x 0 ) , unde V este vecinătate a lui
x0,
iv
...

x  x0

Teoremă
...
Dacă sunt satisfăcute

condiţiile:
i
...
lim f ( x )  lim g ( x )  0,  ,  
...
g ' ( x )  0 , () x  A , unde A este un număr suficient de mare,
iv
...

x  x0

Definiție
...
Se

spune că f este derivabilă de două ori în x 0  X dacă f ' este derivabilă în x 0
...

Analog se definesc derivatele de ordin superior
...
Fie I  R un interval şi f : I  R o funcţie
...


f se numește concavă pe I dacă  x1 , x 2  I,  t  0 ,1, are loc
inegalitatea:
f ((1  t ) x1  tx 2 )  (1  t )f ( x1 )  tf ( x 2 )
...
O funcție este convexă pe I dacă oricare ar fi

două puncte de pe graficul său, coarda care le unește se găsește deasupra
graficului lui f
...
Funcția f ( x )  xe x , x>0 este convexă pe (0,  )
...
Fie
f : [a , b]  R , a  b, o funcție de două ori derivabilă pe [a,b]
...
Dacă f ' ' ( x )  0, x  (a , b), atunci funcția f este convexă pe [a,b]
...
Dacă f ' ' ( x )  0, x  (a , b), atunci funcția f este concavă pe [a,b]
...
Fie f : (a , b)  R o funcție de

două ori derivabilă și x 0  (a , b) un punct de extrem pentru f
...
Dacă f ' ' ( x 0 )  0, atunci x0 este punct de minim local pentru f
...
Dacă f ' ' ( x 0 )  0, atunci x0 este punct de maxim local pentru f
...
Se pune problema
determinării rădăcinilor reale ale ecuației f ( x )  0 și a intervalelor lor de
existență
...
Se rezolvă ecuația f ' ( x )  0 și se consideră rădăcinile reale ale acesteia,
situate în I, ordonate crescător
...
Se calculează valorile lui f în aceste puncte, la care se adaugă limitele
lui f la capetele intervalului I
...

c
...

Șirul lui Rolle este șirul semnelor acestor valori
...
Dacă
în șirul lui Rolle apar două semne alăturate diferite, corespunzătoare valorilor
f(x1), f(x2), atunci există o singură rădăcină reală în intervalul ( x1 , x 2 )
...


Exemplu
...


h() = - 32 + 18 - 18 = - 3(2 - 6 + 6)
h() = 0  2- 6+6 = 0  λ 
h()<0 dacă

62 3
 3 3 
2

  (,3  3 )  (3  3,) , caz în care h este

descrescătoare
h() > 0 dacă   (3  3 ,3  3 ) , caz în care h este crescătoare
...


31

Analizăm tabelul de mai sus, cunoscând că dacă h este continuă şi dacă pe
un interval [a, b], h(a)h(b) < 0, atunci există (a, b) a
...

Se observă că:
h(0) = 6 > 0, h(3 - 3 ) = 6(1- 3 ) < 0 

()1(0, 3 - 3 ) a
...
h(2) = 0
h(3+ 3 ) > 0 , lim h ( )   
 

()3>3+ 3 a
...


32

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE
§1
...
1
...

Notăm un şir de funcţii fn: X  R, (  ) nN*, X  R, prin (fn)
...

Se numeşte mulţime de convergenţă a şirului de funcţii (fn) mulţimea
punctelor de convergenţă pentru (fn)
...

Fie f(x) = lim fn(x), xM
...

Notăm fn

s f și citim (fn) converge la f
...


1
...
Fie fn : 0, 1  R, fn(x) =

nx
și f(x) = 0, () x  0, 1
...



2n 2 x 2
și f(x) = 0, () x  0, 1
...



33

1
...
TIPURI DE CONVERGENŢĂ

Fie fn: XR, (fn) un şir de funcţii reale şi fie M mulţimea sa de
convergenţă, iar f este limita şirului (fn)
...
f n (x) - f(x)  , (n > N(, x)
...
f n (x) - f(x) <, (  ) n  N , n>N(), (  )xM
...

u

 f
Dacă (fn) uniform convergent la f, notăm: fn 
Observaţie: Un şir de funcţii uniform convergent este şi simplu

convergent
...

Exemple
...
Fie fn: 0,1  R , fn(x) =

x
1 n 2 x 2


...

s

 0, dar fn nu converge
2
...
fn 
2

uniform la f  0
...
O condiţie necesară şi suficientă ca şirul (fn) să
conveargă uniform pe mulţimea X la f este ca: (  )>0, (  )N()N a
...

Teorema 2: Fie (fn) un şir de funcţii, fn: X  R şi f: X  R , X  R
...
:

34

f n ( x )  f ( x )  a n , ()n  N, () x  X ,

atunci (fn) converge uniform pe mulţimea X către f
...


1
...

n2 1

nu este uniform convergent

k 1

pe 
...
Fie (fn) un şir uniform convergent pe mulţimea X, către funcţia f
...

Consecinţă: Dacă fn sunt funcţii continue pe X, ()n N, atunci f este

continuă pe X
...
Fie (fn) un şir de funcţii definite şi derivabile pe un interval mărginit I,
u

u

 f pe I şi a
...
Atunci f este

fn 
derivabilă pe I şi g = f ’ pe I
...
Fie (fn) un şir de funcţii continue pe un interval a, b  I (I interval
u

 f pe a, b
...

 

n  a


lim

b

b

b

4
...


şi fn+1  fn, (  )n N*, iar fn’ 

35

§2
...
1 MULŢIME DE CONVERGENŢĂ

Fie şirul de funcţii (fn), fn: X  R  R
...
+ fn +
...


n 1

n N *

Dacă se consideră x X, din seria de funcţii se obţine o serie de numere
reale:



 f n (x)
...


2
...
TIPURI DE CONVERGENŢĂ

Fie seria



 f n , fn: X  R, X  R
...
+fn se numeşte

n 1



şirul sumelor parţiale al seriei  f n
...
Spunem că seria  f n este convergentă în punctul x0  X
n 1

dacă (Sn) este convergent în x0
...
Spunem că seria



 f n este

simplu convergentă pe mulţimea M dacă

n 1

şirul sumelor parţiale (Sn) este simplu convergent pe M
...
Spunem că seria



 fn

este uniform convergentă pe mulţimea M dacă

n 1

(Sn) este uniform convergent pe M
...
Spunem că seria



 fn

este absolut convergentă în x0X dacă seria

n 1


 fn (x 0 )

este absolut convergentă
...

n 1

Teorema 1 (Criteriul lui Cauchy): Fie seria de funcţii



 f n , fn : X  R
...
(  ) nN, n>N():
f n 1 ( x )  f n  2 ( x ) 
...


Teorema 2 (Criteriul lui Weierstrass): Fie seria



 f n , fn: XR şi

n 1



an

n 1

o serie de numere reale pozitive, convergentă
...


Teorema 3 (Criteriul lui Abel): Dacă seria



 f n , fn:XR, se poate scrie

n 1


 a ngn

a
...

Definiţie: Se spune că (fn), fn:XR este un şir de funcţii egal mărginite pe

X dacă există un număr  >0 a
...

Şirul (fn) este monoton pe X dacă şirul (fn(x)) este monoton (  )x X
...
şirul sumelor parţiale ale seriei

n 1

37



 gn

n 1

este un şir de

funcţii egal mărginite pe M, iar (an) este un şir monoton, care converge uniform
către 0 pe M, atunci seria



 fn

este uniform convergentă pe M
...


1
...

xe  nx
2
...

n
n 1


Proprietăţile seriilor de funcţii uniform convergente

1
...
Dacă (  )n N, fn este continuă pe X,
atunci f continuă pe X
...
Fie I un interval mărginit şi



 fn o

serie de funcţii definite pe I,

n 1

derivabile pe I, cu derivate continue
...

n 1

3
...

4
...


2
...
OPERAŢII CU SERII DE FUNCŢII

Se dau seriile de funcţii:



 f n ( x ), f n : X  R ,

convergentă către f:

n 1

M1R, pe M1 şi



 g n x , g n : X  R ,

convergentă către g: M2R, pe

n 1

mulţimea M2
...

Definim suma celor două serii de funcţii ca fiind seria:






n 1

n 1

n 1

 f n (x )  g n (x )   f n (x )   g n (x ) , ()xX
...


n 1

ca fiind seria

n 1




n 1

n 1

  f n ( x )   f n ( x )
...


n 1

§3
...
1
...


n 0

Dacă seria este de prima formă , ea se numeşte serie centrată în x0R, iar
dacă este de a două formă, ea se numeşte serie centrată în 0R
...
Dacă seria este centrată în x0, prin schimbarea de variabilă

y = x - x0 se obţine seria



 a n y n , centrată în origine
...


(1)

n 0

Definiţie: Se numeşte mulţime de convergenţă pentru seria (1) mulţimea

punctelor în care seria converge
...
Ea

conţine cel puţin punctul x0 = 0, deoarece pentru x0= 0 seria (1) converge şi are
suma a0
...
seria este absolut convergentă pe (-R, R);
2
...
seria este uniform convergentă pe  r, r  , 0< r< R
...


n 0

Teorema 1: Fie seria de puteri



 anxn
...


n 0

Dacă ()   lim

n 

n

1 ,0    


a n  0,    , atunci R  0 ,   
,   0



Exemple
...
Raza de convergenţă a seriei: 

n!e n

n 1 n

n

n

x n este 1
...
Să se calculeze raza de convergenţă a seriei  1  1
n
n 0

n2 n

x n este 1/e
...
2
...
Vom nota suma seriei prin s: A  R, s(x) =



 anxn
...
s este o funcţie continuă pe A
...
s este uniform continuă pe orice interval compact I  A
...
Dacă seria converge în x0 = R, atunci ea converge uniform pe 0, R dacă
seria converge în x0 =-R, atunci ea converge uniform pe  R , 0
...
Dacă seria de puteri este convergentă în intervalul de convergenţă (-R,
R), seria derivatelor



 na n x n 1

are acelaşi interval de convergenţă
...
Suma seriei derivatelor termenilor unei serii de puteri este egală cu
derivata sumei seriei de puteri pe mulţimea de convergenţă
...
Suma unei serii de puteri este o funcţie indefinit derivabilă pe mulţimea
de convergenţă (-R, R)
...
3
...

Definiţie: Se numeşte suma seriilor, seria de puteri:






n 0

n 0

n 0

 (a n  b n ) x n   a n x n +  b n x n
...
Se numeşte produsul seriei de puteri



 anxn

cu scalarul 

n 0


seria:   a n x 
n

n 0



 a n x n
...





n 0

 n 0

 n  0

Se numeşte câtul seriilor, corespunzător produsului după Cauchy, seria


dn xn ,

care verifică relaţia:

n 0

 
 

a n x n =   b n x n   d n x n 
...
Seria

produs are raza de convergenţă R1
...


42

§4
...
1
...
Atunci    a , b 
astfel încât:

b  a n f (n ) (a )  R ,
ba
f ' (a ) 
...

Din demonstrația teoremei rezultă:
Rn 

(b  a ) p (b   ) n  p 1 ( n 1)
f
( ),   (a , b)
n!p

Dacă p = n+1, se obține restul lui Lagrange:
(b  a ) n 1 ( n 1)
Rn=
f
( )
...

n!

Formula din enun’ul teoremei se numește formula lui Taylor
...

f (a ) 
f
(a  ( x  a )) ,
1!
n!
(n  1)!

0<<1
Notând:
x a
(x  a ) n (n )
Tn ( x )  f (a ) 
f ' (a ) 
...


43

Dacă în formula Taylor considerăm a = 0, se obţine:
f ( x )  f ( 0) 

x '
x n (n)
x n 1 ( n 1)
f (0) 
...


4
...
SERIA TAYLOR ŞI SERIA MAC-LAURIN

Fie I R un interval
...

f (a ) 
...

Dacă a =0 se obţine seria Mac-Laurin a funcţiei f:
x
x2
x n (n )
f (0)  f ' (0) 
f ' ' (0) 
...

1!
2!
n!
Din formula Taylor din paragraful precedent, dacă Rn0, când n  
rezultă că seria Taylor a funcţiei f în punctul a este convergentă pe I către funcţia
f şi are loc:
xa
(x  a )n (n )
f ( x )  f (a ) 
f ' (a ) 
...

1!
n!
numită formula de dezvoltare în serie Taylor a funcţiei f în jurul punctului a
...

f (0) 
...


1
...


x n
n!


...

n!

2
...
 (1)


---