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Cours d’algèbre
Maths1
LMD Sciences et Techniques
Par M
...
Il peut aussi être utilement utilisé
par les étudiants d’autres paliers aussi bien en sciences et sciences et
techniques que ceux de Biologie, Sciences économiques ou autre
...
Cette première partie est un peu les mathématiques générales
La deuxième portera sur une introduction à l’algèbre linéaire
La troisième au calcul matriciel, qui est en fait le but ultime de ce
cours
...
Ces remarques et commentaires nous permettront certainement
d’améliorer le contenu ainsi que la présentation de la version finale
...
mechab@gmail
...
Mustapha Mechab
...
1 Opérations Logiques
...
1
...
1
...
2 La Conjonction ∧
...
1
...
1
...
4 Règles de De Morgan
...
1
...
1
...
6 La contraposée
...
1
...
1
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
...
...
...
...
...
1 Les Ensembles
...
1
...
2
...
2 Parties d’un ensemble
...
1
...
2
...
2
...
1 Composition d’applications
...
2
...
2
...
3 Images et images réciproques
...
2
...
2
...
5 Fonctions
...
1 Relations d’équivalence
...
1
...
3
...
3
...
1 Plus petit, Plus grand élément
...
2
...
2
...
Le Cours d’Algèbre
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
Mechab
TABLE DES MATIÈRES
4 STRUCTURES ALGEBRIQUES
4
...
4
...
1 Unicité de l’inverse (du symétrique)
4
...
4
...
1 Groupes à deux éléments
...
2
...
4
...
3 Goupes Quotients
...
2
...
4
...
4
...
1 Sous Anneaux
...
3
...
4
...
3 Idéaux
...
3
...
4
...
4
...
1 Caractéristique d’un corps
...
-4-
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
39
39
42
44
47
48
50
53
55
57
57
58
59
59
60
Par M
...
Définition 1
...
• Quand la proposition est vraie, on lui affecte la valeur 1
• Quand la proposition est fausse, on lui affecte la valeur 0
...
Ainsi, pour définir une proposition logique, il suffit de donner ses valeurs de vérités
...
On note : P ⇐⇒ Q
...
1
...
1
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LOGIQUE
P
P
0
1
1
0
En établissant les tables de vérités des propositions (P ⇐⇒ Q) et P ⇐⇒ Q , on déduit
que :
(P ⇐⇒ Q) ⇐⇒ P ⇐⇒ Q
(1
...
1 La négation de la négation d’une proposition logique P est équivalente à P,
donc :
P ⇐⇒ P
Remarque 1
...
1
...
2
La Conjonction ∧
: Etant données deux propositions logiques P et Q, on appelle conjonction de P et Q, la
proposition logique P ∧ Q qui est Vraie quand P et Q sont vraies à la fois
...
2 Soit P une proposition logique, alors P ∧ P est une proposition fausse
...
-6-
Par M
...
1 Opérations Logiques
M
...
1
...
Sa
table de vérités est donnée par :
\
QP
0
1
0 1
0 1
1 1
P
0 0
Q
0 1
P ∨Q 0 1
ou
1 1
0 1
1 1
¯
¯
Propriété 1
...
Preuve :
suivante :
¯
Pour montrer celà, il suffit de remarque que la table de vérités de P ∨ P est la
P
¯
P
¯
P ∨P
0
1
1
1
0
1
2
1
...
4
Règles de De Morgan
Propriété 1
...
P ∧ Q ⇐⇒ P ∨ Q
...
P ∨ Q ⇐⇒ P ∧ Q
...
P
Q
P
Q
P ∨Q
P ∧Q
P ∨Q
(P ∨ Q)
P ∧Q
(P ∧ Q)
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
On voit que les propositions logiques (P ∨ Q) et (P ∧ Q) ont les mêmes valeurs de vérité,
donc elles sont équivalentes
...
2
2
Connues aussi sous l’appellation de : Loi de dualité
...
Il
est le fondateur avec Boole de la logique moderne
...
-7-
Par M
...
1
...
Quand la proposition (P =⇒ Q) est Vraie, on dit que la proposition P implique la proposition
Q
...
2)
1
...
6
La contraposée
...
Si on note P les données ou hypothèses qu’on a et Q les propriétés qu’on
veut établir, alors tout revient à démontrer que P =⇒ Q est vraie
...
Dans certaines situations, il est difficile de montrer directement l’implication P =⇒ Q
alors on essaye de donner une autre proposition équivalente qui pourrait être plus facile à établir
...
5 Etant données deux propositions logiques P et Q, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
– (P =⇒ Q)
– (Q =⇒ P)
La deuxième implication est appelée Contraposée de la première implication
...
1
...
2) on obtient
(Q =⇒ P) ⇐⇒
P ∨Q
P ∨Q
⇐⇒
⇐⇒
Q∨P
⇐⇒ (P =⇒ Q)
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
1
...
Mechab
donc :
(Q =⇒ P) ⇐⇒ (P =⇒ Q)
...
En utilisant les valeurs de vérité des implications (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P), on obtient :
P
Q
P =⇒ Q
Q
P
Q =⇒ P
d’où on déduit que :
1
...
7
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
(P =⇒ Q) ⇐⇒ (Q =⇒ P)
...
2
Propriétés des opérations logiques
Propriété 1
...
(O ∨ P) ∨ Q ⇐⇒ O ∨ (P ∨ Q)
(Associativité de ∨)
2
...
((O ∨ P) ∧ Q) ⇐⇒ (O ∧ P) ∨ (O ∧ Q)
(Distributivité de ∧ par rapport à ∨)
4
...
5
...
(Transitivité de =⇒)
...
3
...
O
P
Q
O∧Q
P ∧Q
(O ∧ P) ∨ (O ∧ Q)
O∨P
(O ∨ P) ∧ Q
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LOGIQUE
donc :
(O ∨ P) ∧ Q ⇐⇒ (O ∧ P) ∨ (O ∧ Q)
...
De même, dans le tableau suivant on remarque que les propositions (O ∧ P) ∨ Q et
(O ∨ Q) ∧ (P ∨ Q) ont les mêmes valeurs de vérité
...
5
...
On a :
O
P
Q
Q∨O
P ∧O
Q∧P
R
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
ce qui montre la véracité de R, donc la transitivité de l’implication
...
-10-
Par M
...
2 Propriétés des opérations logiques
M
...
7 Etant données deux propositions logiques P et Q, alors
[P ⇐⇒ Q] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P)]
Preuve : Comme :
¯
¯
[(P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P)] ⇐⇒ (Q ∨ P) ∧ (P ∨ Q)
en utilisant la table de vérités suivante :
P
Q
P
Q
Q∨P
P ∨Q
(Q ∨ P) ∧ (P ∨ Q)
P ∧Q
P ∧Q
¯ ¯
(Q ∧ P) ∨ (P ∧ Q)
P ⇐⇒ Q
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
on déduit que
[P ⇐⇒ Q] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P)]
2
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LOGIQUE
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
Chapitre
2
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES
ENSEMBLES
2
...
1 On appelle ensemble E toute collection d’objets, appelés éléments de l’ensemble
E
...
Si un objet x est un élément de E, on dit que x appartient à E et on note x ∈ E
...
Pour définir un ensemble,
– ou bien on connait la liste de tous ses éléments, on dit alors que l’ensemble est donné “par
Extension”,
– ou bien on connait seulement les relations qui lient les éléments et qui nous permettent
de les retrouver tous, on dit alors que l’ensemble est donné par “Compréhension”
...
Exemple 2
...
On ne connait pas tous ces étudiants mais on peut bien les retrouver,
donc A est un ensemble donné par compréhension
...
B est défini par extension, car on connait tous ses éléments
...
Il arrive de représenter un ensemble par un diagramme de Venn1
...
Célèbre pour avoir
conçu ses diagrammes qu’il présenta en 1881, lesquels sont employés dans beaucoup de domaines, en théorie
des ensembles, en probabilité, en logique, en statistique et en informatique
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
2
∆
a
γ
E
3
L’ensemble E = {a, 2, γ, ∆, 3}
...
On a alors Card(∅) = 0
...
2
...
1
Les quantificateurs
On utilise les symboles suivants :
1
...
On écrit ∃x pour lire “Il existe x”
...
∀
le quantificateur universel
...
3
...
En utilisant ces quantificateurs, pour A un ensemble on a :
– A = ∅ ⇐⇒ ∀x (x ∈ A)
–
A est un singleton
2
...
2
⇐⇒ ∃! x (x ∈ A)
⇐⇒ ∃x (x ∈ A) ∧ ∀y (y ∈ A =⇒ y = x)
Parties d’un ensemble
Définition 2
...
On note A ⊂ B et on a formellement :
A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x(x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Quand A n’est pas une partie de B, on note A ⊂ B et on a formellement :
A ⊂ B ⇐⇒ ∃x ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
2
...
Mechab
L’ensemble de toutes les parties d’ un ensemble A est noté P(A)
...
1 Soit A un ensemble, alors ∅ ∈ P(A) et A ∈ P(A)
...
3 Soient A et B deux ensembles, on dit que A est égal à B, on note A = B, s’ils
ont les mêmes éléments
...
1
...
4 Soient A et B deux ensembles
...
– On appelle réunion de A et B, l’ensemble, noté A ∪ B, des éléments de A et de ceux de
B
...
A ∪ B = {x; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
...
2 Soient A = {a, c, 1, 5, α, γ, 2} et B = {ζ, η, γ, a, x, z}, alors :
A ∩ B = {a, γ}
et A ∪ B = {a, c, 1, 5, α, γ, 2, ζ, η, x, z}
...
2 Soient A et B deux ensembles, alors
– (A ∩ B ⊂ A) ∧ (A ∩ B ⊂ B)
– (A ⊂ A ∪ B) ∧ (B ⊂ A ∪ B)
Si Z ∈ P(A), on note :
–
Y = {x; (∀ Y ∈ Z, x ∈ Y )}
...
–
Y ∈Z
2
L’ensemble de tous les ensembles n’existe pas
...
-15-
Par M
...
5 Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont deux ensembles disjoints, et si de plus
E = A∪B, on dit que A est le complémentaire de B dans E, ou que A et B sont deux ensembles
complémentaires dans E, et on note :
A = ∁E B
ou B = ∁E A
On note aussi :
A = E\B
En d’autres termes,
Propriété 2
...
On appelle complémentaire de A
dans E l’ensemble ∁E A des éléments de E qui ne sont pas dans A
...
Exemple 2
...
4 Soient E un ensemble et A et B deux parties de E, alors :
1
...
2
...
3
...
∁E (A ∪ B) = ∁E A
∁E B
Preuve :
1
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
2
...
Mechab
Soit x ∈ E, alors
2
...
3
...
4
...
2
∁E E = ∅
...
6 On appelle partition d’un ensemble E, toute famille F ⊂ P(E) telle que :
1
...
A∩B =∅
La famille F recouvre l’ensemble E ou que F est un recouvrement de E, c’est à dire
A=E
A∈F
Propriété 2
...
Exemple 2
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
Définition 2
...
Il est appelé produit cartésien3 des ensembles A et B
...
5 Soient A = 1, 5, 2
A×B
=
(x, y) = (x′ , y ′ ) ⇐⇒ (x = x′ ) ∧ (y = y ′ )
...
1 A × B = B × A si et seulement si A = B
...
2
Applications et Fonctions
Définition 2
...
– y = f (x) est appelé image de x et x est un antécédant de y
...
E est appelé ensemble de
départ et F l’ensemble d’arrivée de l’application f
...
Exemple 2
...
3
DESCARTES René : Philosophe, physicien et mathématicien français (La Haye 1596-Stockholm 1650)
...
Ennonça les propriétés fondamentales
des équations algébriques et simplifia les notations algébriques en adoptant les premières lettres de l’alphabet
pour désigner les constantes et les dernières lettres pour désigner les variables
...
Découvrit aussi les principes (régles) de l’optique
géométrique
...
-18-
Par M
...
2 Applications et Fonctions
M
...
7 Soient E et F deux ensembles non vides et a un élément de F , alors la correspondance f de E dans F définie par :
∀x ∈ E,
est une application dite
x
a
application constante
...
8
•β
b•
d•
•δ
a•
•α
•ℓ •γ
c•
e•
•κ
E
F
Cette correspondance n’est pas une application car il existe un élément d ∈ E qui n’a pas d’image
dans F
...
9
b•
•β
•δ
a•
d•
•α
•ℓ
c•
e•
•κ •γ
E
F
Cette correspondance n’est pas une application car il existe un élément a ∈ E qui a deux images α
et δ dans F
...
10
•β
b•
d•
•δ
a•
•ℓ
c•
e•
•γ
•κ
E
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
Cette correspondance est une application malgré qu’il existe des éléments de F qui n’ont pas d’antécedents dans E et plusieurs éléments de E qui ont une même image dans F
...
9 On dit que deux applications f et g sont égales si :
1
...
2
...
Exemple 2
...
f = h, car elles n’ont pas le même ensemble de départ
...
Définition 2
...
2
...
11 Soient f : E −→ F et g : F −→ G, on note g ◦ f l’application de E dans G
définie par :
∀x ∈ E, gof (x) = g(f (x))
Cette application5 est appelée composée des applications f et g
...
12 Etant données les applications
f : IR −→ IR+
x −→ x2
alors
g ◦ f : IR −→
IR+
2 3
x −→ (x ) = x6
et
et
g:
IR+
x
−→ IR+
−→ x3
f ◦ g : IR+
x
−→
IR+
3 2
−→ (x ) = x6
Il est claire que f ◦ g = g ◦ f
...
g ◦ f est une application car pour x, x′ ∈ E, si x = x′ alors f (x) = f (x′ ) car f est une application et
comme g est une application alors g(f (x)) = g(f (x′ )), donc g ◦ f (x) = g ◦ f (x′ )
...
-20-
Par M
...
2 Applications et Fonctions
M
...
2
...
12 Etant donnée une application f : E −→ F
...
On appelle restriction de f à un sous ensemble non vide X de E, l’application g : X −→ F
telle que
∀x ∈ X, g(x) = f (x)
On note g = f/X
...
Etant donné un ensemble G tel que E ⊂ G, on appelle prolongement de l’application f à
l’ensemble G, toute application h de G dans F telle que f est la restriction de h à E
...
Remarque 2
...
Exemple 2
...
2
...
3
Images et images réciproques
Définition 2
...
1
...
On appelle image réciproque de M par f , l’ensemble des antécédents des éléments de M ,
noté
f −1 (M ) = {x ∈ E, f (x) ∈ M } ⊂ E
Formellement on a :
∀ y ∈ F,
y ∈ f (A) ⇐⇒ ∃x ∈ A, y = f (x)
∀ x ∈ E,
x ∈ f −1 (M ) ⇐⇒ f (x) ∈ M
Remarque 2
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
Exemple 2
...
1 Soient f : E −→ F , A, B ⊂ E et M, N ⊂ F , alors
1
...
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
3
...
f −1 (M ∩ N ) = f −1 (M ) ∩ f −1 (N )
5
...
Soit y ∈ F , alors
y ∈ f (A ∪ B) ⇐⇒ ∃x ∈ A ∪ B; y = f (x)
⇐⇒ ∃x (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∧ y = f (x)
⇐⇒ ∃x
(x ∈ A) ∧ (y = f (x)) ∨ (x ∈ B) ∧ (y = f (x))
⇐⇒ ∃x (x ∈ A) ∧ (y = f (x))
⇐⇒ (y ∈ f (A)) ∨ (y ∈ f (B))
⇐⇒ y ∈ f (A) ∪ f (B)
∨ ∃x (x ∈ B) ∧ (y = f (x))
ce qui montre que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
...
Soit y ∈ F , alors
y ∈ f (A ∩ B) ⇐⇒ ∃x ∈ A ∩ B; y = f (x)
⇐⇒ ∃x (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (y = f (x))
⇐⇒ ∃x
=⇒
=⇒
=⇒
(x ∈ A) ∧ (y = f (x)) ∧ (x ∈ B) ∧ (y = f (x))
∃x (x ∈ A) ∧ (y = f (x))
(y ∈ f (A)) ∧ (y ∈ f (B)
y ∈ f (A) ∩ f (B)
∧ ∃x (x ∈ B) ∧ (y = f (x))
ce qui montre que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
...
Soit x ∈ E, alors
x ∈ f −1 (M ∪ N ) ⇐⇒ f (x) ∈ M ∪ N
⇐⇒
f (x) ∈ M ∨ f (x) ∈ N
⇐⇒
x ∈ f −1 (M ) ∨ x ∈ f −1 (N )
⇐⇒ x ∈ f −1 (M ) ∪ f −1 (N )
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
2
...
Mechab
ce qui montre que f −1 (M ∪ N ) = f −1 (M ) ∪ f −1 (N )
...
Soit x ∈ E, alors
x ∈ f −1 (M ∩ N ) ⇐⇒ f (x) ∈ M ∩ N
⇐⇒
f (x) ∈ M ∧ f (x) ∈ N
⇐⇒
x ∈ f −1 (M ) ∧ x ∈ f −1 (N )
⇐⇒ x ∈ f −1 (M ) ∩ f −1 (N )
ce qui montre que f −1 (M ∩ N ) = f −1 (M ) ∩ f −1 (N )
...
Soit x ∈ E, alors
x ∈ f −1 ∁F M
⇐⇒ f (x) ∈ ∁F M
⇐⇒
f (x) ∈ F ∧ f (x) ∈ M
⇐⇒
x ∈ E ∧ x ∈ f −1 (M )
⇐⇒ x ∈ ∁E f −1 (M )
ce qui montre que f −1 ∁F = ∁E f −1 (M )
...
4 Les ensembles ∁F f (A) et f ∁E A ne sont pas toujours comparables
...
15 Soient E = a, β, γ, ♠ , F = ℓ, ζ, ♥, et l’application f : E −→ F définie
par :
f (a) = f (β) = ℓ
et
f (γ) = f (♠) = ζ
On considère l’ensemble A = a, γ , alors
–
f (A) = ℓ, ζ
et ∁F f (A) = {♥}
–
∁E A = β, ♠
et f (∁E A) = ℓ, ζ
donc ∁F f (A) ⊂ f (∁E A) et f (∁E A) ⊂ ∁F f (A), c’est à dire que ∁F f (A) et f (∁E A) ne sont
pas comparables dans cet exemple
...
Exemple 2
...
et
f (∁E A) ⊂ ∁F f (A),
-23-
Par M
...
Mais si on prend B = {−2, −1, 0, 1, 2}, alors :
∁E B = {−3, 4}, f (B) = {0, 1, 4}, f ∁E B = {9, 16} et ∁F f (B) = {−1, 2, 5, 9, 10, 16}
donc
f ∁E B ⊂ ∁F f (B)
...
2
...
14 On dit que :
1
...
2
...
3
...
L’application réciproque
Proposition 2
...
On dit que f est inversible et g, notée f −1 , est appelée “l’application réciproque” ou “l’application inverse” de f
...
-24-
Par M
...
2 Applications et Fonctions
M
...
)
Supposons qu’il existe une application g : F −→ E telle que
f og = IdF
et gof = IdE
...
1
...
2
...
De 1
...
on déduit que f est bijective
...
)
Supposons que f est bijective
...
f étant bijective, alors : ∀y ∈ F, ∃!x ∈ E; y = f (x)
...
On définit ainsi une application
g: F
y
Montrons que f og = IdF
−→ E
−→ g(y) = x
et gof = IdE
...
Soit y ∈ F , alors g(y) = x, avec f (x) = y, donc
f ◦ g(y) = f (g(y)) = f (x) = y,
ce qui montre que : f ◦ g = IdF
...
Soit x ∈ E, alors pour y = f (x) on a g(y) = x, par suite
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = x,
ce qui montre que : g ◦ f = IdE
...
Montrons l’unicité de g
...
2
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
Exemple 2
...
Déterminer F pour que l’application f soit bijective et donner l’application inverse de f
...
Soit y ∈ F , alors
x+5
x−2
y(x − 2) = x + 5
yx − x = 5 + 2y
x(y − 1) = 5 + 2y
5 + 2y
x=
si y = 1
y−1
y = f (x) ⇐⇒ y =
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
ce qui montre que :
∀ y ∈ IR\{1}, ∃! x =
5 + 2y
;
y−1
pour montrer que f est bijective, il reste à voir si x =
On a :
ce qui montre que
y = f (x)
5 + 2y
∈ IR\{2} ?
...
5 Il est clair que si f est bijective, il en est de même de f −1 et on a (f −1 )−1 = f
...
Proposition 2
...
(f injective ) ∧ (g injective ) =⇒ (g ◦ f injective )
...
-26-
Par M
...
2 Applications et Fonctions
M
...
(f surjective ) ∧ (g surjective ) =⇒ (g ◦ f surjective )
...
(f bijective ) ∧ (g bijective ) =⇒ (g ◦ f bijective et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 )
...
1
...
Soient x, x′ ∈ E, alors :
x = x′
=⇒ f (x) = f (x′ ) car f injective
=⇒ g (f (x)) = g (f (x′ )) car g injective
=⇒ g ◦ f (x) = g ◦ f (x′ )
ce qui montre que g ◦ f est injective
...
Supposons f et g surjectives et montrons que g ◦ f est surjective
...
3
...
et 2
...
Montrons que (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
...
, pour z ∈ G, z = g(y), y = f (x) et z = g ◦ f (x), comme f , g et g ◦ f sont bijectives,
alors y = g −1 (z), x = f −1 (y) et x = (g ◦ f )−1 (z), par suite
∀z ∈ G,
donc :
(g ◦ f )−1 (z) = x = f −1 (y) = f −1 g −1 (z) = f −1 ◦ g −1 (z)
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
...
6 Les réciproques de ces implications ne sont pas vraies, pour s’en convaincre il
suffit de prendre l’exemple suivant
...
En remplacement des réciproques des implications antérieures, on a :
Proposition 2
...
g ◦ f injective =⇒ f injective
...
-27-
Par M
...
g ◦ f surjective =⇒ g surjective
...
Si f (E) = F ′ , alors g ◦ f injective =⇒ g injective
...
1
...
Soient x, x′ ∈ E,
f (x) = f (x′ ) =⇒ g f (x) = g f (x′ )
car g est une application
′
=⇒ g ◦ f (x) = g ◦ f (x )
=⇒ x = x′
car g ◦ f est injective
donc :
∀ x, x′ ∈ E,
f (x) = f (x′ ) =⇒ x = x′
ce qui montre que f est injective
...
Supposons que g ◦ f est surjective et montrons que g est surjective
...
3
...
Supposons que g ◦ f est
injective et montrons que g est injective
...
2
2
...
5
Fonctions
Définition 2
...
Df est appelé “Ensemble de définition de f ”
...
7 Toutes les notions données pour les applications peuvent être adaptées pour
les fonctions
...
-28-
Par M
...
1 On appelle relation binaire, toute assertion entre deux objets, pouvant être
vérifiée ou non
...
Définition 3
...
R est Reflexive ⇐⇒ ∀ x ∈ E (xRx),
2
...
R est Symétrique ⇐⇒ ∀ x, y ∈ E
(xRy) ∧ (yRz) =⇒ (xRz)
(xRy) =⇒ (yRx)
4
...
1
(xRy) ∧ (yRx) =⇒ x = y
Relations d’équivalence
Définition 3
...
Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble E
...
4
– On dit que deux éléments x et y ∈ E sont équivalents si xRy
...
˙
– x est dit un représentant de la calsse d’équivalence x
...
Cet ensemble est noté E/R
...
Exemple 3
...
-29-
Par M
...
2 Dans R on définit la relation R par :
xRy ⇐⇒ x2 − 1 = y 2 − 1
∀ x, y ∈ R,
Montrer que R est une relation d’équivalence et donner l’ensemble quotient R/R
...
i)
R est une relation d’équivalence
...
ii)
R est une relation Symétrique, car d’après la Symétrie de l’égalité on a :
∀ x, y ∈ R,
xRy
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x2 − 1 = y 2 − 1
y 2 − 1 = x2 − 1 car l’égalité est symétrique
yRx
donc
∀ x, y ∈ R,
xRx ⇐⇒ yRx
ce qui montre que R est une relation Symétrique
...
=⇒ (xRy) (xRy)
donc
∀ x, y, z ∈ R,
(xRy) ∧ (yRz) =⇒ (xRy)
ce qui montre que R est une relation Transitive
...
2
...
Soit x ∈ R, alors :
∀ y ∈ R,
xRy ⇐⇒
x2 − 1 = y 2 − 1
⇐⇒
x2 − y 2 = 0
⇐⇒ (x − y)(x + y) = 0
⇐⇒ (y = x) ∨ (y = −x)
donc : x = {x, −x}, par suite
˙
R/R = {x, −x}, x ∈ R
2
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
3
...
Mechab
Propriété 3
...
Montrons alors que y = x
...
˙
˙
˙
De la même manière, on montre que y ⊂ x, ce qui termine la preuve de la propriété
...
Exemple 3
...
Preuve :
1
...
2
...
3
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
Relations binaires
3
...
1
Décomposition d’une application
Etant donnée une application f : E −→ F , on note E/R le quotient de E par la relation
R et pour toute classe x on pose f (x) = f (x), alors :
˙
˙
f est une application de E/R dans F injective et le diagramme suivant est commutatif
...
En effet :
1
...
˙
Soient x, y ∈ E tels que x = y, alors xRy, donc f (x) = f (y), par suite :
˙
˙
f (x) = f (x) = f (y) = f (y)
˙
˙
donc :
∀ x, y ∈ E/R ,
˙ ˙
(x = y) =⇒ f (x) = f (y)
˙
˙
˙
˙
ce qui montre que f est une application de E/R dans F
...
Montrons que f : E/R −→ F est injective
...
1
ce qui montre que f est injective
...
Le diagramme est commutatif car :
∀ x ∈ E,
f (x) = f (x) = f (s(x)) = f ◦ s(x)
˙
donc
f =f ◦s
2
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
3
...
Mechab
3
...
5 On dit qu’une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est
Réflexive, Transitive et Anti-Symétrique
...
Si x y, on dit que x est inférieur ou égal à y ou que y est supérieur ou égal à x
...
Définition 3
...
1
...
On dit que
est une relation d’ordre total, ou que E est totalement ordonné par
tous les éléments de E sont deux à deux comparables
...
, si
est
Exemple 3
...
5 Soit F un ensemble et E = P(F )
...
1
...
2
...
car =⇒ est transitive
3
...
II) L’ordre est-il total ?
i)
Si F = ∅, alors E = {∅} et on a : ∀A, B ∈ E, A = B = ∅, donc
∀A, B ∈ E,
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
Relations binaires
ce qui montre que l’ordre est Total
...
iii) Si F contient au moins deux éléments distincts a et b, alors
∃A = {a}, B = {b} ∈ E;
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
donc A et B ne sont pas comparables, par suite “⊂” est une relation d’ordre partiel dans E
...
2
...
7 Soit (E, ) un ensemble ordonné et A ∈ P(E)
...
On dit que m ∈ A est le plus petit élément de A si
∀ y ∈ A (m
y)
2
...
6 Dans Z∗ on définit la relation
∀ n, m ∈ Z∗ ,
I
...
n
est une relation d’ordre
...
n
donc
∀ n ∈ Z,
ce qui montre que
1
n
n
n
est une relation Reflexive
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
3
...
Mechab
est une relation Anti-Symétrique, car : ∀ n, m ∈ Z∗ ,
ii)
n
m ∧ m
n ⇐⇒ ∃k1 ∈ Z; m = k1
...
m
=⇒
∃k1 ∈ Z; m = k1
...
m ∧ m = k1 k2
...
n ∧ ∃k2 ∈ Z; n = k2
...
est une relation Transitive, car : ∀ n, m, p ∈ Z∗ ,
iii)
n
m ∧ m
p
⇐⇒
=⇒
=⇒
∃k1 ∈ Z; m = k1
...
m
∃k = k1 k2 ∈ Z; p = k
...
De i) , ii) et iii) , on déduit que est une relation d’ordre
...
L’ordre est-il Total ?
L’ordre est partiel, car si on considére n = 2 et m = 3, alors n et m ne sont pas comparables
...
i)
Pour cette relation d’ordre, Z∗ a-t-il un plus petit élément ou un plus grand élément ?
Il est clair que 1 est le plus petit élément de Z∗, car
∀ n ∈ Z∗ , ∃k = n ∈ Z;
n = k
...
n ∈ Z∗ ;
n
m
V
...
a)
2 est le plus petit élément de A, car il divise tous les autres éléments de A, donc :
∀ n ∈ A,
2
n
b) A n’a pas de plus grand élément, car il n’y a pas dans A un élément qui est divisible
par tous les autres éléments de A
...
-35-
Par M
...
d)
−42 est le plus grand élément de B, car tous les éléments de B divisent −42, donc
∀ n ∈ B,
V
...
n
Pour cette relation d’ordre, Z∗ \{1} a-t-il un plus petit élément ?
Z∗ \{1} n’a pas de plus petit élément, car pour tout n ∈ Z∗ \{1} :
- Si n est pair alors il n’est pas divisible par les nombres impairs différents de 1, donc il
n’est pas plus petit que ces nombres, par suite n n’est pas le plus petit élément de Z∗ \{1}
...
2
Propriété 3
...
Preuve :
Soient m et m′ deux éléments de A, alors :
(m plus petit élément de A)
m m′
∧
=⇒ ∧
′
(m plus petit élément de A)
m m′
”Anti−symetrie”
=⇒
m = m′
d’où l’unicité du plus petit élément de A, s’il existe
...
2
3
...
2
Eléments Minimaux et éléments maximaux
Définition 3
...
1
...
Ceci est formellement équivalent à :
∀ y ∈ A (y
m =⇒ y = m)
2
...
Ceci est formellement équivalent à :
∀ y ∈ A (M
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
3
...
Mechab
Exemple 3
...
A n’a pas de plus petit élément
...
1
...
3
...
2
Propriété 3
...
m plus petit élément de A =⇒ m est le seul élément minimal dans A
...
M plus grand élément de A =⇒ M est le seul élément maximal dans A
...
PROBLEME :
3
...
3
A-t-on les réciproques de ces propriétés ?
Borne Inférieure, Borne Supérieure
Définition 3
...
– On appelle minorant de l’ensemble A, tout élément m ∈ E tel que
∀ x ∈ A,
m
x
– On appelle majorant de l’ensemble A, tout élément M ∈ E tel que
∀ x ∈ A,
–
–
–
–
–
x
M
Le plus grand des minorants, s’il existe, est appelé Borne inférieure de A et noté inf A
...
Si A possède un minorant, on dit que A est Minoré,
Si A possède un majorrant, on dit que A est Majoré,
Si A possède un minorant et un majorrant, on dit que A est Borné
...
1
1
...
Par contre, un minorant (respectivement un majorant)
de A peut ne pas être le plus petit (respectivement le plus grand) élément de A, car il n’est
pas nécessairement dans A
...
Si la borne inférieure ou la borne supérieure d’un ensemble A existe, alors elle est unique
...
-37-
Par M
...
Si E est totalement ordonné par , alors tout sous ensemble fini A de E admet un plus
petit éléments et un plus grand élément
...
8 Soient F = {1, a, 2, 5, γ}, l’ensemble E = P(F ) ordonné par la relation ⊂ et
une partie A = {a, 2}, {2, 5, γ}, {1, 2, γ}, {a, 2, 5}, , alors :
1
...
2
...
3
...
4
...
5
...
6
...
Proposition 3
...
Montrons que M est le plus petit des majorants de A ∪ B
...
La preuve des autres propriétés est similaire
...
2 La seule relation d’ordre et d’équivalence, à la fois, est la relation égalité
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
Chapitre
4
STRUCTURES ALGEBRIQUES
4
...
1 On appelle loi de composition interne (l
...
i) sur un ensemble E, toute application ⋆ : E × E −→ E
...
1 Soit A un ensemble et E = P(A), alors l’intersection et la réunion d’ensembles
sont deux lois de compositions internes dans E car : ∀ X, Y ∈ P(A),
1
...
X ∪ Y ⊂ A,
ce qui montre que “ ” et “ ” sont des lois de compositions internes dans P(A)
...
2 Soit F = {a, b}, {a, c}, {b, c}
rapport à l’intersection et la réunion, car :
⊂ P {a, b, c} , alors F n’est pas stable par
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ;
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ;
X ∩ Y = {a} ∈ F
X ∪ Y = {a, b, c} ∈ F
2
Définition 4
...
⋆ est commutative si : ∀ a, b ∈ E, a ⋆ b = b ⋆ a
2
...
-39-
Par M
...
⋆ est distributive par rapport à • si :
∀ a, b, c ∈ E,
a ⋆ (b • c) = (a ⋆ b) • (a ⋆ c) et (b • c) ⋆ a = (b ⋆ a) • (c ⋆ a)
4
...
Exemple 4
...
On considère sur E les lois de composition
internes “ ∩” et “ ∪”, alors il est très facile de montrer que :
– “ ∩” et “ ∪” sont associatives
– “ ∩” et “ ∪” sont commutatives
– ∅ est l’élément neutre de ∪
– F est l’élément neutre de ∩
2
et on a :
Propriété 4
...
Soient A, B, C trois éléments de E = P(F ), alors pour tout x, on a :
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∪ C)
⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C)
⇐⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∨ (x ∈ A) ∧ (x ∈ C)
⇐⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C)
⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
ce qui montre que :
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
et comme ∩ est commutative, on déduit que ∩ est distributive par rapport à ∪
...
2
Propriété 4
...
Preuve
...
2
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
4
...
Mechab
Remarque 4
...
Définition 4
...
On dit qu’un élément a ∈ E est inversible, ou symetrisable, à droite (respectivement
à gauche ) de ⋆ si
∃ a′ ∈ E,
a ⋆ a′ = e (respectivement a′ ⋆ a = e)
et a′ est dit un inverse (ou un symétrique) à droite (respectivement à gauche ) de a
...
Remarque 4
...
– Le symétrique d’un élément n’est pas toujours unique
Exemple 4
...
c
...
1
...
3
...
II
...
Propriété 4
...
e est inversible (ou symétrisable) et son unique inverse (ou symétrique) est e
...
Soit a un élément de E inversible (ou symétrisable) par rapport à la loi ⋆ et a′ un
inverse (ou un symétrique) de a, alors a′ est inversible (ou symétrisable) et a est un inverse
(ou un symétrique) de a′
...
-41-
Par M
...
1
...
2
...
2
4
...
1
Unicité de l’inverse (du symétrique)
Propriété 4
...
Si un élément x ∈ E admet x1 un inverse (ou symétrique) à droite et x2 un
inverse (ou symétrique) à gauche, alors x1 et x2 sont identiques
...
Soient x1 un inverse (ou un symétrique) à droite de x et x2 un inverse (ou un
symétrique) à gauche de x, alors
x ⋆ x1 = e et x2 ⋆ x = e
donc
x1
=
=
=
=
=
e ⋆ x1
(x2 ⋆ x) ⋆ x1
x2 ⋆ (x ⋆ x1 )
x2 ⋆ e
x2
car ⋆ est associative
2
Remarque 4
...
4 n’est pas associative
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
4
...
Mechab
Conventions : Etant donnée une loi de composition interne associative dans un ensemble E,
– Si la loi est notée +, son élément neutre est noté 0E ou 0, et on parle du symétrique de
a qu’on note a′ = −a
...
Avec ces conventions, si e est l’élément neutre d’une loi de composition interne ⋆ dans un
ensemble E, alors
e−1 = e
(ou −e = e)
et on a : ∀ a, a′ ∈ E,
a′ = a−1 ⇐⇒ a′ ⋆ a = a ⋆ a′ = e
a′ = −a ⇐⇒ a′ + a = a + a′ = e
ou
Propriété 4
...
)
De la même manière on montre que
(b−1 ⋆ a−1 ) ⋆ (a ⋆ b) = e
d’où on déduit que (a ⋆ b) est inversible et que
(a ⋆ b)−1 = b−1 ⋆ a−1
2
Définition 4
...
On dit qu’un élément r ∈ E est régulier à droite (respectivement à gauche) de ⋆ si
∀b, c ∈ E,
b ⋆ r = c ⋆ r =⇒ b = c
respectivement ∀b, c ∈ E,
r ⋆ b = r ⋆ c =⇒ b = c
Si r est un élement régulier à droite et à gauche de ⋆, on dit que r est un élément régulier de
⋆ dans E
...
-43-
Par M
...
5 Soient F un ensemble et E = P(F ), alors ∅ est une élément régulier pour la
réunion dans E et F est un élément régulier pour l’intersection dans E
...
6 Soit ⋆ une loi de composition interne associative admettant un élément neutre
e dans E, alors tout élément symétrisable dans (E, ⋆) est régulier
...
Soit x ∈ E un élément symétrisable dans E, alors x−1 existe et pour tous a et
b dans E, on a :
a ⋆ x = b ⋆ x =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
(a ⋆ x) ⋆ x−1 = (b ⋆ x) ⋆ x−1
a ⋆ (x ⋆ x−1 ) = b ⋆ (x ⋆ x−1 ) car ⋆ est associative
a⋆e=b⋆e
a=b
Ce qui montre que x est régulier à droite de ⋆
...
2
Remarque 4
...
4
...
5 On appelle groupe, tout ensemble non vide G muni d’un loi de composition
interne ⋆ tel que :
1
...
⋆ possède un élément neutre e ;
3
...
Si de plus ⋆ est commutative, on dit que (G, ⋆) est un groupe commutatif, ou groupe Abélien1
Exemple 4
...
Exemple 4
...
1) ⋆ est une loi de composition interne dans ] − 1, 1[
...
Algébriste, il créa la
théorie des fonctions elliptiques
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
4
...
Mechab
donc
|xy| = |x| |y| < 1
par suite
1 + xy > 1 − |xy| > 0
Ainsi
∀ x, y ∈] − 1, 1[,
x+y
|x + y|
< 1 ⇐⇒
<1
1 + xy
|1 + xy|
⇐⇒ |x + y| < |1 + xy|
⇐⇒ |x + y| < 1 + xy car 1 + xy > 0
⇐⇒ −(1 + xy) < x + y < 1 + xy
x + y − 1 − xy < 0
⇐⇒
x + y + 1 + xy > 0
x(1 − y) + y − 1 < 0
⇐⇒
x(1 + y) + y + 1 > 0
(1 − y)(x − 1) < 0
⇐⇒ (∗)
(1 + y)(x + 1) > 0
comme −1 < x, y < 1, alors
1−y >0 ∧ x−1<0
1+y >0 ∧ x+1>0
et
donc
(1 − y)(x − 1) < 0 ∧ (1 + y)(x + 1) > 0 ,
d’où on déduit que (∗) est vraie pour tous x, y ∈] − 1, 1[, par suite :
∀ x, y ∈] − 1, 1[,
|x ⋆ y| =
x+y
<1
1 + xy
ce qui montre que ⋆ est une loi de composition interne dans ] − 1, 1[
...
D’après la commutativité de l’addition et de la multiplication dans R on a :
∀ x, y ∈] − 1, 1[,
x⋆y =
x+y
y+x
=
=y⋆x
1 + xy
1 + yx
ce qui montre que ⋆ est commutative
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
STRUCTURES ALGEBRIQUES
Soient x, y, z ∈] − 1, 1[, alors
=
(x ⋆ y) + z
1 + (x ⋆ y)z
=
=
(x + y) + z(1 + xy)
1 + xy
(1 + xy) + (x + y)z
1 + xy
=
(x + y) + z(1 + xy)
(1 + xy) + (x + y)z
=
(x ⋆ y) ⋆ z
x+y
+z
1 + xy
x+y
z
1+x
1 + xy
x + y + z + xyz
1 + xy + xz + yz
=
y+z
1 + yz
y+z
1+x
1 + yz
=
x(1 + yz) + (y + z)
(1 + yz) + x(y + z)
=
x + y + z + xyz
1 + xy + xz + yz
et on a :
x + (y ⋆ z)
1 + x(y ⋆ z)
x ⋆ (y ⋆ z) =
=
=
x+
x(1 + yz) + (y + z)
1 + yz
(1 + yz) + x(y + z)
1 + yz
(x + xyz) + (y + z)
(1 + yz) + (xy + xz)
en comparant les deux expressions on obtient :
∀ x, y, z ∈] − 1, 1[,
(x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z)
d’où on déduit que ⋆ est associative
...
Soit e ∈ R, alors
e élément neutre de ⋆
⇐⇒ ∀ x ∈] − 1, 1[,
e⋆x=x⋆e=x
comme ⋆ est commutative et
x⋆e=x
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x+e
=x
1 + xe
x + e = x + x2 e
e = x2 e
e(1 − x2 ) = 0
e = 0 ∨ (x = ∓1)
on déduit que e = 0 ∈] − 1, 1[ est l’élément neutre de ⋆
...
-46-
Par M
...
2 Structure de Groupe
M
...
Soient x ∈] − 1, 1[ et x ∈ IR, alors
x + x′
=0
1 + xx′
⇐⇒ x + x′ = 0
⇐⇒ x′ = −x
x ⋆ x′ = e ⇐⇒
comme ⋆ est commutative on déduit que tout élément x ∈] − 1, 1[ est symétrisable et son
symétrique est x′ = −x ∈] − 1, 1[
...
2
4
...
1
Groupes à deux éléments
Soit G = {a, b} un ensemble à deux éléments, définir toutes les lois de composition internes
dans G qui lui confèrent une structure de groupe
...
Si a est l’élément neutre de ⋆, alors
– a⋆a=a
– a⋆b=b
– b⋆a=b
reste à définir b ⋆ b, or pour que (G, ⋆) soit un groupe il faut que tout élément soit inversible,
en particulier il faut trouver b−1
...
c
...
dans G avec un élément neutre a, reste à voir si la loi ainsi définie
est associative
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
STRUCTURES ALGEBRIQUES
2
...
2
...
6 Soit (G, ⋆) un groupe, on appelle sous groupe de (G, ⋆) tout sous ensemble non
vide G′ de G tel que la restriction de ⋆ à G′ en fait un groupe
...
Propriété 4
...
Soit G′ un sous groupe de (G, ⋆), alors :
i) ⋆ a un élément neutre dans G′ , donc G′ = ∅
...
2
...
i)
Comme G′ = ∅ alors il existe a ∈ G′ et d’après la deuxième hypothèse
e = a ⋆ a−1 ∈ G′ ,
ce qui montre que la restriction de ⋆ admet un élément neutre e dans G′
...
-48-
Par M
...
2 Structure de Groupe
M
...
iii) La restriction de ⋆ à G′ est une loi de composition interne, car pour tous x et y dans
′
G , d’après ii) on a
y −1 ∈ G′
et en utilisant la deuxième hypothèse on déduit que
x ⋆ y = x ⋆ (y −1 )−1 ∈ G′
iv)
La restriction de ⋆ à G′ est associative, car ⋆ est associative dans G
...
5 D’après i) de la preuve de la proposition précédente, on voit que : Si e est
l’élément neutre d’un groupe (G, ⋆), alors tout sous groupe de G contient e et on déduit la
propriété suivante
...
8 Soient (G, ⋆) un groupe, e l’élément neutre de ⋆ et G′ un sous ensemble de G,
e ∈ G′
alors G′ est un sous groupe de G si et seulement si :
∀ x, y ∈ G′ , x ⋆ y −1 ∈ G′
...
8 Soit (G, ⋆) un groupe et G′ = {x ∈ G;
un sous groupe de G
...
De i) et ii) on déduit que G′ est un sous groupe de G
...
-49-
Par M
...
6 Sachant que si e est l’élément neutre d’un groupe (G, ⋆), alors il commute
avec tous les éléments de G, de l’exemple précédent on déduit que si e est l’élément neutre d’un
groupe (G, ⋆), alors :
{e} est un sous groupe de G
...
7 Soit (G, ⋆) un groupe, on dit que G′ est un sous groupe propre de G si G′ = {e}
et G′ = G
...
9 Soit n ∈ N, alors nZ = {n
...
En effet :
i)
0 ∈ nZ, car : ∃p = 0 ∈ Z;
ii)
Soient x, y ∈ nZ, alors il existe p1 , p2 ∈ Z tels que x = n
...
p2 , donc
0 = n
...
x − y = n
...
p2 = n
...
p ∈ nZ
par suite
∀ x, y ∈ nZ,
x − y ∈ nZ
De i) et ii) on déduit que nZ est un sous groupe de Z
...
2
4
...
3
Goupes Quotients
Soient (G, ⋆) un groupe et G′ un sous groupe de G
...
9 R est une relation d’équivalence sur G
...
⇐⇒
=⇒
=⇒
=⇒
x ⋆ y −1 ∈ G′
−1
(x ⋆ y −1 ) ∈ G′
y ⋆ x−1 ∈ G′
yRx
-50-
Par M
...
2 Structure de Groupe
M
...
2
On note G/G′ l’ensemble quotient G/R
...
10 Si ⋆ est commutative, alors ⊕ est une loi de composition interne dans G/G′
...
Soient (a, b) et (c, d) ∈ G/G′ , alors
˙ ˙
˙ ˙
˙
˙
(a, b) = (c, d) =⇒ (a = c) ∧ (b = d)
˙ ˙
˙ ˙
˙
˙
=⇒
aRc ∧ bRd
=⇒
Montrons que
a ⋆ c−1 ∈ G′ ∧ b ⋆ d−1 ∈ G′
˙
(a, b) = (c, d) =⇒ a ⊕ b = c ⊕ d
...
-51-
Car G′ sous-groupe
Car ⋆ associative
Car G′ sous-groupe
Car ⋆ est commutative et associative
Par M
...
2
Propriété 4
...
Preuve :
i)
⊕ est associative car : ∀ x, y z ∈ G/G′ ,
˙ ˙ ˙
˙
x ⊕ (y ⊕ z) = x ⊕ x + y
˙
˙ ˙
˙
˙
= x ⋆ (y ⋆ z)
˙
= (x ⋆ y) ⋆ zCar ⋆ est associative
˙
= (x ⋆ y) ⊕ z
˙
donc :
∀ x, y z ∈ G/G′ ,
ii)
˙
˙
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⋆ y) ⊕ z
˙
˙ ˙
Si e est l’élément neutre de ⋆, alors e est l’élément neutre de ⊕, car : ∀ x ∈ G/G′ ,
˙
˙
˙
x⊕e=x⋆e=x
˙ ˙
˙
˙x=x
e⊕x=e⋆
˙ ˙
˙
iii)
˙
Soit x ∈ G/G′ alors (x)−1 = x−1 , car
˙
˙
˙
˙
x ⊕ x−1 = x ⋆ ˙x−1 = e
˙
˙
−1 ⊕ x = x−1˙ ⋆ x = e
x
˙
˙
iv)
⊕ est commutative car ⋆ est commutative
...
10 On sait que dans le groupe commutatif (Z, +) ; pour tout n ∈ N, nZ est un
...
-52-
Par M
...
2 Structure de Groupe
M
...
2
...
Définition 4
...
- Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme (de groupes) de G sur H
...
- Si G = H, on dit que f est un endomorphisme de G, et si de plus f est bijective, on dit
que f est un automorphisme (de groupe) de G
...
11 Etant donnés les groupes (R, +) et (R∗ , ·), alors les applications
f:
(R, +) −→ (R∗ , ·)
x
−→ exp x
g : (R∗ , ·)
x
et
−→ (R, +)
−→ ln |x|
Définition 4
...
On appelle noyau de f
l’ensemble
Ker f = f −1 ({h}) = {a ∈ G; f (a) = h}
et l’image de f l’ensemble
ℑmf = f (G) = {f (a), a ∈ G }
...
12 Soit f : G −→ H un homomorphisme de groupes, alors
1
...
∀ a ∈ G, (f (a))−1 = f (a−1 )
Preuve :
1
...
2
...
f étant un homomorphisme de groupe alors
f (a) ⋆ f (a−1 ) = f (a • a−1 ) = f (e) et f (a−1 ) ⋆ f (a) = f (a−1 • a) = f (e)
sachant que f (e) = h, d’après la première propriété, on déduit que (f (a))−1 = f (a−1 )
...
7 De la première propriété on déduit que e ∈ kerf
...
-53-
Par M
...
13 Soit f : G −→ H un homomorphisme de groupes, alors
1
...
2
...
Preuve :
1
...
i) Comme G′ est un sous groupe de G, alors e ∈ G′ donc f (e) ∈ f (G′ ), par suite f (G′ ) = ∅
...
2
...
ii) Soient x, y ∈ f −1 (H ′ ), alors f (x), f (y) ∈ H ′ et comme H ′ est un sous groupe de G
alors f (x) ⋆ (f (y))−1 ∈ H ′ et de la deuxième propriété on déduit que
f (x • y −1 ) = f (x) ⋆ f (y −1 ) = f (x) ⋆ (f (y))−1 ∈ H ′
ce qui montre que (x • y −1 ) ∈ f −1 (H ′ )
...
2
Remarque 4
...
Propriété 4
...
f est injective si et seulement si Ker f = {e}
...
f est surjective si et seulement si ℑmf = H
...
f est un isomorphisme si et seulement si f −1 existe et est un homomorphisme de groupe
de H dans G
...
-54-
Par M
...
3 Structure d’Anneaux
M
...
Soit f : G −→ H un homomorphisme de groupe, alors
1a
...
Soit x ∈ kerf , alors f (x) = h et comme f (e) = h on déduit que f (x) = f (e) et comme f est
injectif on déduit que x = e, donc x ∈ {e} ce qui montre que kerf = {e}
...
Inversement, supposons que kerf = {e} et montrons que f est injectif
...
2
...
3
...
Soient x, y ∈ H, alors il existe a, b ∈ G tels que
x = f (a)
et
y = f (b)
a = f −1 (x)
et
b = f −1 (y),
donc
par suite
f −1 (x ⋆ y) =
=
=
=
f −1 (f (a) ⋆ f (b))
f −1 (f (a • b))
car f homomorphisme
a•b
f −1 (x) • f −1 (y)
ce qui montre que f −1 est un homomorphisme de groupe de H dans G
...
3
Structure d’Anneaux
Définition 4
...
(A, +) est un groupe abélien (on notera 0 ou 0A l’élément neutre de +),
2
...
Si de plus • est commutative, on dit que (A, +, •) est un anneau commutatif
...
-55-
Par M
...
Si • possède un élément neutre, on le note 1 ou 1A et on dit que l’anneau (A, +, •) est
unitaire ou unifère
...
L’inverse d’un élément x ∈ A est noté x−1
...
15 Pour tous x, y et z ∈ A,
1
...
x • (−y) = (−x) • y = −(x • y)
3
...
(y − z) • x = (y • x) − (z • x)
Preuve :
1
...
De la même manière on montre que x • 0A = 0A
...
Soient x, y ∈ A et montrons que x • (−y) est le symétrique de (x • y)
...
De la même manière on montre que (−x) • y = −(x • y)
...
et 4
...
2
On note A∗ = A\{0}, et pour tout x ∈ A∗ et n ∈ IN∗ ,
n
...
+ x
et
n fois
Le Cours d’Algèbre
...
• x
n fois
Par M
...
3 Structure d’Anneaux
M
...
11 Soit (A, +, •) un anneau commutatif
...
Si 0A ne possède pas de diviseur dans A, on dit que (A, +, •) est un anneau intègre ou un
anneau d’intégrité
...
3
...
12 On appelle sous anneau de (A, +, •), tout sous ensemble A′ de A tel que muni
des restrictions des lois + et • est anneau
...
On a la cartérisation suivante des sous anneaux
...
16 Un sous ensemble A′ de A est un sous anneau si et seulement si :
1
...
∀ x, y ∈ A′ , (x − y) ∈ A′
3
...
Preuve : On sait que A′ est est un sous groupe de (A, +) si et seulement si
(A′ = ∅) ∧ (∀ x, y ∈ A′ , (x − y) ∈ A′ ),
donc pour que A′ soit un sous anneau de A, il suffit de voir si la restriction de la deuxième loi •
est interne dans A′ , ce qui revient à dire que (∀ x, y ∈ A′ , x • y ∈ A′ ), ce qui termine la preuve
de notre proposition
...
3
...
Définition 4
...
– Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme d’anneaux
– Si f est bijective et A = B, on dit que f est un automorphisme d’anneaux
...
Par contre, l’image de l’élément unité de
l’anneau de départ par un homomorphisme d’anneau n’est pas toujours l’élément unité de
l’anneau d’arrivée
...
-57-
Par M
...
Ce contre exemple nous amène à poser la définition suivante
...
14 Soient A et B deux anneaux unitaires, on dit qu’un homomorphisme d’anneaux f de A dans B est unitaire si f (1A ) = 1B
...
1 Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux, alors
– f est injectif si et seulement si kerf={0A }
– Si A et B sont deux anneaux unitaires et f un homomorphisme d’anneaux surjectif, alors
f est unitaire
...
Montrons la deuxième propriété
...
2
Proposition 4
...
4
...
3
Idéaux
Soit (A, +, •) un anneau
...
15 On appelle idéal à droite (respectivement à gauche) de l’anneau A, tout ensemble I ⊂ A tel que
1
...
∀ x ∈ A, (∀ y ∈ I,
x • y ∈ I (respectivement y • x ∈ I))
...
Si l’anneau A est commutatif, tout idéal de A est bilatère, et dans ce cas on parle seulement
d’Idéal sans préciser s’il l’est à droite, à gauche ou bilatère
...
12 Soit (A, +, •) un anneau, alors I = {OA } est un idéal bilatère de A
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
4
...
Mechab
Exemple 4
...
Proposition 4
...
Définition 4
...
4
...
4
Anneaux Quotients
Soient (A, +, •) un anneau commutatif et I un idéal de A
...
17 (A/I , ⊕, ⊗) est anneau commutatif
...
4
...
17 On dit qu’un anneau unitaire (K, +, •) est un corps si tout élément non nul
de K est inversible
...
Il est à remarquer que dans la pratique, tous les corps utilisés sont commutatifs
...
18 Tout corps est un anneau intègre
...
18 On appelle sous corps, d’un corps (K, +, •), tout sous ensemble K’ de K tel
que, muni des restrictions des lois + et • est un corps
...
4 K′ ⊂ K est un sous corps de (K, +, •) si et seulement si
– K′ = ∅
– ∀ a, b ∈ K′ , a − b et a • b−1 ∈ K′
...
Proposition 4
...
Le Cours d’Algèbre
...
Mechab
STRUCTURES ALGEBRIQUES
4
...
1
Caractéristique d’un corps
Etant donné n ∈ IN, alors Z/nZ est un corps si n est premier, et on a
˙
˙
˙
˙
n1 = 1 + · · · + 1 = 0
...
19 Le plus petit entier naturel non nul n tel que n1K = 0K , s’il existe, est appelé
caractéristique du corps commutatif K
...
Propriété 4
...
Exemple : Pour n ∈ IN premier, la caractéristique du corps Z/nZ est égale à n
...
-60-
Par M