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Integral Indefinida

LA INTEGRAL INDEFINIDA
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc
...
edu)
...
Aunque se sabe que cualquier función continua tiene
primitiva, no existen fórmulas, ni métodos, para calcular éstas con exactitud más que unos
pocos casos
...

Calcularemos integrales indefinidas de todo tipo: inmediatas, mediante cambio de variable,
por partes, integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas
...


Conocer y aplicar el concepto de primitiva de una función
...


Ver la integral como la operación inversa de derivar
...


Calcular integrales inmediatas, aplicando las propiedades de las primitivas
...


Transformar una integral en otra más sencilla haciendo un cambio de variable
...


Hallar integrales por el método de integración por partes
...


Saber utilizar las funciones racionales y el método de integración derivado de ellas,
descomponiendo dichas funciones en fracciones simples, cuyas integrales son
inmediatas
...


Calcular integrales irracionales y trigonométricas eligiendo el cambio de variable
adecuado
...


CONCEPTOS FUNDAMENTALES

______________________________

Concepto de Primitiva
Sea I un intervalo abierto, y f una función definida en I
...
Luego todas las primitivas de f son del tipo
G(x) = F(x) + C, siendo C una constante cualquiera, pues G’(x) = F'(x) + 0 = f(x)
...
Luego, escribiremos

∫ f(x)dx = F(x) + C
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

2

Integral Indefinida
Ejemplo: ∫ 3x2 dx = x3+c, ya que F(x) = x3 ; F’(x) = 3x2 =f(x)
Una primitiva de f(x) = 1 + cosx es F(x) = x + sinx
...

El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundamentales, así como la regla de
derivación de una función de función, nos van a permitir recordar una tabla de integrales
inmediatas, cuyo uso se hace imprescindible:

∫ e x dx = e x + c

Propiedades:
Veamos a continuación las propiedades que verifican las integrales indefinidas, que son
consecuencia inmediata de la definición de primitiva y de las propiedades de las derivadas
...

2
...


∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∀k ∈ R
∫ (k1 f ( x) + k 2 g ( x))dx = k1 ∫ f ( x)dx + k 2 ∫ g ( x)dx

∀k1 , k 2 ∈ R

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

3

Integral Indefinida
Ejemplo:

∫

∫

∫

∫

(5 x 3 − 2 cos x + 3e x )dx = 5 x 3 dx − 2 cos xdx + 3 e x dx =

5x 4
− 2 sin x + 3e x + c
4

Integración por cambio de variable
Una técnica para encontrar primitivas tiene la regla de la cadena como base
...

Se trata de transformar una integral en otra más sencilla haciendo un cambio de variable
adecuado
...
Substituyendo ambas

expresiones podemos escribir:

sin(3x + 5)

− 1 − 3 sin(3 x + 5)

∫ 1 + cos(3x + 5) dx = 3 ∫ 1 + cos(3x + 5) dx =
=

−1 1
−1 1
−1
dt =
dt =
ln 1 + t + c
3 1+ t
3 1+ t
3

∫

∫

Deshaciendo el cambio:

sin(3 x + 5)

∫ 1 + cos(3x + 5) dx =

−1
ln 1 + cos(3 x + 5) + c
3

Integración por partes
Este método se basa en la fórmula

∫ f ( x) g ' ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ' ( x) g ( x)dx
cuya deducción es trivial a partir de la regla de derivación de un producto
...


1 2x
1 2x
e sin x −
e cos xdx
...
Sabemos que
Q( x)

si grado de P(x) ≥ grado de Q(x), entonces podemos dividir P(x) entre Q(x) obteniendo:
P ( x) = C ( x)Q( x) + R( x) , siendo C(x) el cociente y R(x) el resto, además R(x) = 0, o bien,
grado R(x) ...
La segunda integral vale cero (si R(x) = 0),
o grado R(x)(según un teorema del álgebra), es decir, por medio de sus raíces
...
Veamos todo esto con un ejemplo
...


Integración de funciones irracionales

Las integrales del tipo

∫

n

 ax + b 
R ( x, p 
 ,L, s
 cx + d 

r

 ax + b 

 )dx , (R cociente entre
 cx + d 

expresiones) y p,
...
c
...
Como el grado del numerador es mayor al del denominador,
2
3
dividiremos 6t entre t + 1 siendo 6t − 6t + 6 el cociente obtenido y -6 el resto:

∫

6t 3
6
dt = 6t 2 − 6t + 6 −
dt = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 Ln t + 1 + C
t +1
t +1

∫

Luego, deshaciendo el cambio:

∫

1
x+2 +3 x+2

dx = 2 x + 2 − 33 x + 2 + 66 x + 2 − 6 Ln(1 + 6 x + 2 ) + C

Integración de funciones trigonométricas
Tipo

∫ sin

m

∫

x cos n xdx siendo m y n naturales y tipo R (sin x, cos x)dx (R cociente)

Se hace los cambios t = sinx, t = cosx, t = tgx ó t = tg(x/2) según convenga
...
Con este cambio, la integral se convierte en inmediata:

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Integral Indefinida

∫

= tdt =

t2
tg 2 x
+ c ( 2) =
+ c ( 2)
2
2

(2)

Los resultados obtenidos en (1) y (2) no son formalmente iguales aunque equivalen realmente
como veremos a continuación
...
Basta, pues, para comprender lo que sucede, redefinir la constante arbitraria
2
1
1
de la integración en (1) como la en (2) más , es decir, c (1) = c ( 2) −
...

(b) Realicemos la integración mediante cambio de variables (expresado en los cálculos
siguientes entre llaves):

∫

{

}

(

)

e − x ≡ u

− du


dx = 
= − ln (u + 1) + c = u = e − x = − ln e − x + 1 + c
=
−x
−x
u +1
e +1
− e d = du 


e− x

∫

Con el Mathcad:

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Integral Indefinida
Ejemplo de integración por partes

Calcular la integral

∫x

Sabiendo que (ln x )' =

2

ln xdx

1
y que
x

∫

x 2 dx =

x3
+ c , parece razonable integrar por partes
...




Con el Mathcad, utilizando el comando simbólico collect para sacar factor común de la
variable, quedaría así:

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Integral Indefinida
Ejemplo de integración de funciones racionales

Calcular (a)

x2

∫ x 2 + 1 dx ,

(b)

1

∫ e 2 x + e x − 2 dx

(a) Como el numerador no es de grado inferior al denominador, procederemos antes de
integrar a dividir x entre x + 1 siendo 1 el cociente obtenido y -1 el resto:
2

x2



2

1



1

∫ x 2 + 1 dx = ∫ 1 − x 2 + 1dx = ∫ 1dx − ∫ x 2 + 1 dx = x − arctan x + c


x
x
x
(b) El integrando es función racional de e , luego haremos el cambio t = e , dt = e dx :

dx

dt

∫ e 2 x + e x − 2 = ∫ t (t 2 + t − 2)
Ahora debe integarse una función racional cuyo denominador se descompone en la forma
t (t 2 + t − 2) = t (t − 1)(t + 2) con lo que:

1
2

t (t + t − 2)

=

A
B
C
A(t − 1)(t + 2) + Bt (t + 2) + Ct (t − 1)
+
+
=
t t −1 t + 2
t (t − 1)(t + 2)

Resolviendo la ecuación anterior, determinamos que : A =

1

∫ t (t 2 + t − 2)

∫

dt = (

1
1
−1
; B = ; C =
...
Substituyendo ambas expresiones
podemos escribir:

sin(t )

ds

∫ 1 + cos 2 (t ) dt = −∫ 1 + s 2 =
siendo esta última una integral inmediata
...
Así, tenemos que:

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Integral Indefinida

cos 5 xdx = (cos 2 x) 2 dt = (1 − sin 2 x) 2 dt = (1 − t 2 ) 2 dt , con lo que:

∫ cos
=

5

x sin m xdx = (1 − t 2 ) 2 t m dt = (t m − 2t 2 + m + t 4 + m )dt =

∫

∫

t m +1
t m+3 t m+5
sin m +1 x
sin m + 3 x sin m + 5 x
−2
+
+C =
−2
+
+C
m +1
m+3 m+5
m +1
m+3
m+5

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Integral Indefinida

BIBLIOGRAFÍA

_________________ ______________________________________

[1]

Benker, H
...
Solving mathematical problems with a computer
algebra system", Springer-Verlag New York, Inc
...
A
...
(1999): "Mathcad 8
...
A
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; Boadas, J
...
; Villalbí, R
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Barcelona: UPC
...
; John, F
...
México: Limusa
...
; Fernández, C
...
Eudema S
...

Madrid
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[6]

Ortega J
...
Barcelona: Publicacions de la Universitat
Autónoma de Barcelona
...
(1986): “Applied Calculus”
...


[8]

Burbulla, D
...
Prentice Hall
...
(1994): "Calculus"
...
Harper Collins
...
xtec
...
cat/estractemanualfuncionsperawindows
...
E
...
en el año 1993
...
Este programa es capaz
de, además de calcular integrales, representar funciones, calcular los puntos de corte entre
ellas, hallar el área que encierran, etc
...


[W2]

http://www
...
cl/educsuperior
...
La página está
estructurada en una guía de ejercicios, un enlace para resolver integrales en línea
(INTEGRATOR) y otros contenidos que trata
...
okmath
...
asp?clave=11
Página web con problemas resueltos, por nivel de dificultad, sobre integrales inmediatas, por
partes y trigonométricas
...
org/encyclopedia/IntegrationByParts
...
org sobre Integración por partes
...
org/encyclopedia otros conceptos como integral, etc
...
informatica
...
es/matap/svera/docs/apuntesitt
...
Contiene problemas, exámenes y apuntes sobre la
integral indefinida
...
ucr
...
cr/~cimm/calculo
...
En el capitulo 9
...
Hay teoría y ejercicios
...
dma
...
upm
...
Contiene ejercicios y exámenes sobre integración
...
uco
...
htm
Página web que trata sobre un curso de aprendizaje de Mathcad
...


[W9]

http://www
...
es/personal/jftjft/Home
...
Aparecen matemáticos
famosos y aplicaciones de las matemáticas a diversos campos

---

Title: Integrales
Description: Unos apuntes basicos sobre las integrales

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