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DOCUMENT 20

D´termination de l’´quation r´duite d’une conique
e
e
e
Consid´rons un polynˆme du second degr´, ` deux variables, P (x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 +
e
o
e a
2dx + 2ey + f en supposant |a| + |b| + |c| = 0
...
L’objectif est de d´terminer la
e
e
e
nature de la courbe Γ ainsi qu’un rep`re du plan mettant en ´vidence ses sym´tries
...
La
b c
y
a b
matrice sym´trique A =
e
poss`de deux valeurs propres r´elles λ1 et λ2 qui sont les
e
e
b c
solutions de l’´quation X 2 − (a + c)X + ac − b2 = 0, de discriminant ∆ = (a − c)2 + 4b2 ≥ 0
...
Soit H la matrice de passage de la base (e1 , e2 ) ` la base (u, v)
...
Maintenant, on peut ´crire :
e
e
e
q(x, y) =

x y

λ1 0
0 λ2

H

H −1

x
y


...
De H −1 =t H, on d´duit x y = x y H et finalement
e
y
y
q(x, y) =

x

λ1 0
0 λ2

y

x
y

= λ1 x 2 + λ2 y 2
...

e
ac − b2 = 0

(⇔ λ1 λ2 = 0)

d 2
e
) + λ2 (y + )2 + f
...
Dans le rep`re (O , u, v) la courbe Γ
e
λ1 λ 2
λ1
λ2
a pour ´quation :
e
On peut ´crire P (x, y) = λ1 (x +
e

λ1 x

2

+ λ2 y
221

2

+f =0

´
20
...
C’est un cercle si et
seulement si λ1 = λ2 ce qui ´quivaut ` ∆ = (a − c)2 + 4b2 = 0 ou encore ` a = c et b = 0
...

e
• f = 0 : dans (O , u, v) l’´quation de Γ s’´crit
e
e
x”2
y”2
+
−f /λ1
−f /λ2

=

1

Comme λ1 et λ2 sont de signes contraires, Γ est une hyperbole de centre O , d’axes (O , u) et
(O , v)
...

e
ac − b2 = 0

(⇔ λ1 λ2 = 0)

Supposons λ1 = 0 et λ2 = 0
...
L’´quation de Γ dans
e
λ1 2e
λ1
2e

(O , u, v) est
λ1 2
x
2e
On reconnait l’´quation d’une parabole de sommet O et d’axe (O , v)
...
Soit O le point de coordonn´es (− , 0)
e
e
λ1
λ1
d
f
et x = x +
...
EQUATION REDUITE D’UNE CONIQUE

223

f
> 0 : Γ est vide ;
λ1
f
•
= 0 : Γ est la droite (O , v) ;
λ1

•

•

f
< 0 : Γ est la r´union des droites parall`les x =
e
e
λ1

−

f
f
,x =− −
...

e
Si Γ = ∅ alors tout point de E est un centre de sym´trie
...

e
e
• Γ poss`de un unique centre de sym´trie si et seulement si ac − b2 = 0
...
Cette ellipse est un cercle si a = c et b = 0
...

e
On dit dans ce cas que la courbe Γ est une conique ` centre
...
Lorsque Γ n’a aucun centre de sym´trie, cette courbe
e
est une parabole et, dans l’autre cas, Γ est une droite ou la r´union de deux droites
e
parall`les
...
On v´rifie facilement que cette derni`re condition est r´alis´e si et seulement si (x0 , y0 )
e
e
e e
est solution du syst`me de deux ´quations lin´aires
e
e
e
 1

 Px (x, y) = ax + by + d = 0
 2
 1

 P (x, y) = bx + cy + e = 0
2 y
Ce syst`me a pour d´terminant ac − b2 et sa r´solution permet de retrouver les diff´rentes
e
e
e
e
possibilit´s d’existence d’un centre de sym´trie
...

e
e
e
Si l’on n’est pas certain que Γ soit non vide alors la m´thode pr´c´dente ne donne pas
e
e e
toujours tous les centres de sym´trie (penser ` P (x, y) = x2 + y 2 + 1)
...
Supposons Γ = ∅
...

b c
• Si cette matrice poss`de deux valeurs propres non nulles alors ac − b2 = 0 et Γ poss`de
e
e
un unique centre de sym´trie O
...
Dans le cas o` Γ
e
e
u
est une hyperbole ou une ellipse (qui n’est pas un cercle) alors Γ poss`de exactement
e

´
20
...
Γ est un cercle si et seulement si A poss`de une seule
e
valeur propre
...

e
• Si cette matrice poss`de une valeur propre nulle (⇔ ac − b2 = 0) alors son sous espace
e
propre associ´ est de dimension un
...
C’est le seul si Γ
e
est une parabole
...
Remarquons
a
e
que ces droites sont orthogonales ` (O , w) et de la forme (Ω, w ), o` w est un vecteur
a
u
propre associ´ ` la valeur propre non nulle de A et Ω un centre de sym´trie de Γ
...
En choisissant θ convenablement 1 on
a
peut toujours ´liminer le terme en xy dans P (x, y)
...
Si Γ est une
e
e
parabole on peut seulement ´liminer l’un des termes du premier degr´
...
Si c = a, θ tel que tan 2θ =
e

de prendre θ = π/4

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