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Title: Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices
Description: nice book help you in mathematics and special in the chapitre of Suites , Séries and integral
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Suites, Séries, Intégrales
Cours et exercices
Sylvie Guerre-Delabrière
Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie
Table des matières
1
2
3
4
Quelques éléments de logique
1
...
1
...
3 Intersection et réunion
...
4 Quantificateurs
...
5 Ordre des quantificateurs
...
6 Négation
...
7 Raisonnement par récurrence
...
8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R
...
9 Exercices sur le chapitre 1
...
10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1
...
1 Suites numériques
...
2 Limites dans R
...
3 Séries numériques
...
4 Séries à termes positifs
...
5 Séries à termes quelconques
...
6 Opérations sur les séries
...
7 Exercices sur le chapitre 2
...
8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
3
...
3
...
3
...
3
...
3
...
3
...
3
...
3
...
3
...
10 Exercices sur le chapitre 3
...
11 Corrigé des exercices sur le Chapitre 3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
1
1
2
3
4
4
5
5
6
7
...
...
...
...
11
11
19
23
27
34
37
40
42
...
...
...
...
...
...
1 Convergence simple
...
2 Convergence uniforme
...
3 Continuité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme
...
4
4
...
6
4
...
Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme
Exercices sur le chapitre 4
...
Séries entières
5
...
5
...
5
...
5
...
5
...
5
...
5
...
5
...
Séries trigonométriques
6
...
6
...
3 Développement en séries trigonométriques
...
4 Exercices sur le chapitre 6
...
5 Corrigé des exercices sur le Chapitre 6
...
...
...
...
...
...
...
...
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
7
...
7
...
7
...
7
...
5 Exercices sur le chapitre 7
...
6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7
...
1 Théorème de convergence dominée
...
2 Continuité de l’intégrale généralisée
...
3 Dérivabilité
...
4 Application : transformée de Laplace
...
5 Exercices sur le chapitre 8
...
6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
87
90
91
93
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
97
97
100
102
104
107
109
112
113
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1 Lettres grecques et symboles mathématiques
α alpha
κ kappa
τ tau
Λ Lambda
β beta
λ lambda
υ upsilon
Ξ Xi
γ gamma
µ mu
ϕ phi
Π Pi
δ delta
ν nu
χ chi
Σ Sigma
ε epsilon
ξ xi
ψ psi
ϒ Upsilon
ζ zeta
o omicron
ω omega
Φ Phi
η eta
π pi
Γ Gamma
Ψ Psi
θ theta
ρ rho
∆ Delta
Ω Omega
ι iota
σ sigma
Θ Theta
∀ Pour tout
∃ Il existe
⇒ Implique
⇐⇒ Equivalent
∩ Intersection
∪ Réunion
φ vide
∈ appartient
⊂ est inclus
1
...
A toute propriété logique A, on peut attribuer des valeurs de vérité : A peut être vraie ou
fausse
...
1
...
1 Définition
...
La proposition [A ⇒ B] veut dire : si la propriété A est vraie, alors la propriété B l’est
aussi
...
1
...
2 Exemple
...
Cette proprosition s’exprime en disant que la propriété A implique la propriété B
...
2
Chapitre premier
...
Un énoncé logiquement équivalent à la proposition [A ⇒ B] est [non B ⇒ non A] :
lorsque l’on veut démontrer [A ⇒ B], on peut procéder par contraposée et démontrer
[non B ⇒ non A]
...
2
...
La propriété de l’exemple 1
...
2 s’exprime par contraposée en :
a2 = 1 ⇒ a = 1
...
1
...
4 Exemple
...
2
...
1
...
5 Définition
...
La proposition [A ⇐⇒ B] veut dire que les propriétés A et B sont vraies en même temps
et donc aussi fausses en même temps, c’est-à-dire : si la propriété A est vraie, alors la
propriété B l’est aussi, c’est-à-dire [A ⇒ B] et si la propriété B est vraie, alors la propriété
A l’est aussi, c’est-à-dire [B ⇒ A]
...
Comme précédemment, un énoncé logiquement équivalent à la proposition [A ⇐⇒ B]
est [non A ⇐⇒ non B]
...
1
...
6 Exemple
...
En effet, le réel a = −1 est tel que a2 = 1 et a = 1
...
Des panachages entre les démonstrations directes et les démonstrations par contraposée
sont possibles mais dangereux : il faut s’assurer qu’on ne démontre pas deux fois le même
sens !
1
...
7 Exemple
...
1
...
La proposition x ∈ P ∩ Q veut dire que x appartient à la fois à P et à Q, c’est-à-dire :
x ∈ P et x ∈ Q
...
4
...
La proposition x ∈ P ∪ Q veut dire que x appartient à P ou à Q, c’est-à-dire
x ∈ P ou x ∈ Q
...
On notera que le ou ici n’est pas exclusif : si P et Q ont une partie commune, x peut être
dans cette partie-là
...
La négation de la propriété x ∈ P∩Q s’exprime par x ∈ Pc ∪Qc
et la négation de x ∈ P ∪ Q par x ∈ Pc ∩ Qc
...
La proposition x ∈ P∆Q veut dire que x appartient à P et n’appartient pas à Q ou l’inverse,
x appartient à Q et n’appartient pas à P, c’est-à-dire :
x ∈ P ∪ Q et x ∈ P ∩ Q
...
Ici, le ou est exclusif : l’élément x ne peut pas être pris dans l’intersection de P et Q
...
4 Quantificateurs
Les quantificateurs servent à exprimer des propositions
...
1
...
1 Exemple
...
Cette proposition est vraie : le nombre réel x = 1 convient
...
4
...
∀x ∈ R , |x| = ±x
...
Une proposition exprimée avec des quantificateurs peut être vraie ou fausse selon le cadre
dans lequel on se place
...
1
...
3 Exemple
...
Cette proposition est fausse, on peut trouver un nombre complexe qui ne la vérifie pas :
√
en effet le nombre complexe x = 1 + i est tel que |x| = 2 = ±(1 + i)
...
4
Chapitre premier
...
5 Ordre des quantificateurs
Une proposition peut s’exprimer à l’aide de plusieurs quantificateurs
...
1
...
1 Exemple
...
ii)
Continuité uniforme de f sur R :
∀ε > 0 , ∃α > 0 tel que ∀(t,t ′) ∈ R2 tels que t − t ′ ≤ α , f (t) − f (t ′) ≤ ε
...
Dans l’assertion ii), le nombre α ne dépend pas du point t : le même α convient pour tous
les points t en lesquels on étudie la continuité de f
...
Ces deux propositions ne sont donc pas équivalentes
...
Il existe une notation différente, qui est équivalente à celle des propriétés i) et ii), mais où
le dernier quantificateur ∀ est omis :
1
...
2 Exemple
...
ii)
Continuité uniforme de f sur R :
∀ε > 0 , ∃α > 0 tel que t − t ′ ≤ α ⇒ f (t) − f (t ′) ≤ ε
...
6 Négation
Pour nier une phrase mathématique, c’est-à-dire pour écrire le contraire d’une propriété
comprenant des quantificateurs, on inverse tous les quantificateurs, c’est-à-dire que l’on
remplace ∀ par ∃ et ∃ par ∀, sans en changer l’ordre et on nie la conclusion
...
6
...
Discontinuité de f en t0 :
∃ε > 0 tel que ∀α > 0 , ∃t ∈]t0 − α ,t0 + α [ tel que | f (t) − f (t0)| ≥ ε
...
5
...
Cet élément est appelé un contre-exemple
§ 1
...
Raisonnement par récurrence
5
1
...
2 Exemple
...
4
...
Le nombre complexe x = 1 + i est un contre-exemple à la propriété [∀x ∈ C , |x| = ±x],
qui est donc fausse
...
7 Raisonnement par récurrence
On cherche à démontrer qu’une propriété P(n) dépendant d’un entier n, est vraie quelque
soit n ∈ N
...
Puis,
on prouve que pour un n quelconque, si les propriétés P(0), P(1),
...
Alors, de proche en proche à partir de la première propriété,
on peut montrer que toutes les propriétés P(n) sont vraies
...
, P(n)) ⇒ P(n + 1)
⇒ ∀n ∈ N , P(n) vraie
...
Le schéma suivant,
moins général mais plus fréquent, est aussi une démonstration par récurrence
P(0) vraie
P(n) ⇒ P(n + 1)
⇒ ∀n ∈ N , P(n) vraie
...
7
...
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2
La propriété P(1) est vraie : en effet, en faisant n = 1 ci-dessus, on trouve 1 = 1
...
A partir de
P(n) : 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 ,
on calcule
P(n + 1) : 1 + 3 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2
...
On peut donc passer de l’ordre n à l’ordre n + 1
...
1
...
Rappelons les notions de borne supérieure et borne inférieure d’un sous-ensemble borné
de R, dont l’existence est une conséquence de la construction de R, voir par exemple [9] :
1
...
1 Définition
...
1) La borne supérieure de A, notée sup A, est l’élément de R défini par :
∀a ∈ A , a ≤ sup A et ∀b ∈ R tel que ∀a ∈ A , a ≤ b , alors sup A ≤ b
...
6
Chapitre premier
...
Ces nombres sont caractérisés par les propriétés suivantes :
1
...
2 Proposition
...
On remarquera que la borne supérieure et la borne inférieure d’un ensemble ne sont pas
nécessairement dans l’ensemble
...
9 Exercices sur le chapitre 1
1
...
Contredire les assertions suivantes :
1) Dans toutes les prisons, tous les détenus détestent tous les gardiens
...
Cette assertion est-elle exacte ?
1
...
André, Bernard et Claude sont trois frères
...
On cherche à déterminer la profession de chacun d’eux
sachant que : si André est médecin, alors Bernard est dentiste ; si André est dentiste,
alors Bernard est pharmacien ; si Bernard n’est pas médecin, alors Claude est dentiste ; si
Claude est pharmacien, alors André est dentiste
...
1
...
Examiner les relations logiques existant entre les assertions suivantes :
A Tous les hommes sont mortels
B Tous les hommes sont immortels
C Aucun homme n’est mortel
D Aucun homme n’est immortel
E Il existe des hommes immortels
F Il existe des hommes mortels
1
...
Soient a, b deux réels fixés tels que 0 < a < b
...
1) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N , un < vn
...
3) Montrer que ces limites sont les mêmes
...
10
...
5 Exercice
...
Montrer en utilisant un raisonnement par l’absurde que f est croissante sur [a, b]
...
6 Exercice
...
10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1
Corrigé de l’exercice 1
...
A s’exprime à l’aide de 3 quantificateurs ∀
...
Cela donne :
non A : Il existe des prisons dans lesquelles il y a des détenus qui aiment bien certains
gardiens
...
En renversant les quantificateurs et en niant la conclusion, cela donne :
∃x ∈ N , tel que ∀y ∈ N , ∃z ∈ N tel que z ≥ x + y
...
L’assertion est fausse car z = x + y + 1 ne peut en aucun cas être strictement inférieur à
x + y
...
Corrigé de l’exercice 1
...
C3 : Claude est pharmacien
On doit trouver un triplet Ai , B j ,Ck vrai avec i, j, k tous trois distincts
...
On va procéder par élimination sur C :
8
Chapitre premier
...
Ce cas n’est pas
possible puisque les indices doivent être distincts
...
Et
donc C1 doit être vraie, ce qui n’est pas possible
...
Or si B1 n’est pas vraie, A2 n’est pas vraie non plus par la contraposée de (I1 )
...
Le triplet gagnant est donc : A3 , B2 , C1 , c’est-à-dire : André est pharmacien,
Bernard est médecin et Claude est dentiste
...
3
Les relations logiques existant entre les assertions suivantes sont :
non A = E, non B = F, A = D, B = C,
A et B sont incompatibles
...
4
1) On procède par récurrence :
-Pour n = 0, on a bien (R0 ) u0 < v0 par hypothèse
...
Alors, d’après la définition
de un+1 , on a : un < un+1 < vn et donc par définition de vn+1 et en utilisant l’inégalité
précédente, on a aussi un+1 < vn+1 < vn
...
-On en déduit que l’inégalité (Rn+1 ) est vraie
...
2) La démonstration précédente implique également que la suite (un )n∈N est croissante et
majorée par b et que la suite (vn )n∈N est décroissante et minorée par a
...
3) Supposons que (un )n∈N tend vers l et que (vn )n∈N tend vers l ′
...
l=l
Corrigé de l’exercice 1
...
Soit x0 ∈]a, b[
...
x − x0
Donc, il existe α > 0, avec x0 + α ≤ b, tel que pour tout x ∈]x0 , x0 + α [, f (x) − f (x0 ) ≥ 0
...
Cet ensemble est non vide et
majoré par b
...
Montrons par l’absurde que f (s) ≥ f (x0 ) :
§ 1
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 1
9
en effet sinon on aurait f (s) < f (x0 ) et par continuité de f , il existerait β > 0, avec
x0 < s − β , tel que, pour tout x ∈]s − β , s + β [, f (s) < f (x0 )
...
Il y a donc contradiction et par suite, f (s) − f (x0 ) ≥ 0
...
s ne serait donc pas la borne supérieure de E
...
On en déduit donc que pour tout x ∈ [x0 , b], f (x) ≥ f (x0 )
...
Corrigé de l’exercice 1
...
En effet 0 est un minorant de l’ensemble A et
1
1
2
1
1
< ε et +
∈ A
...
Alors +
ε
n n+1
n n+1
3
3
La borne supérieure de l’ensemble A est
...
2 1 2
2) La borne inférieure de A n’est pas dans A et sa borne supérieure y est
...
1 Suites numériques
On suppose que K est l’un des corps R ou C
...
1
...
Une suite numérique (sn )n∈N est une application n → sn de N dans K
...
1
...
On dit qu’une suite numérique (sn )n∈N est :
- majorée s’il existe M ∈ R tel que, pour tout n ∈ N, sn ≤ M,
- minorée s’il existe m ∈ R tel que, pour tout n ∈ N, sn ≥ m,
-bornée s’il existe A ∈ R tel que, pour tout n ∈ N, |sn | ≤ A
...
2
...
3 Définition
...
ii)
iii)
La valeur l est appelé limite de la suite (sn )n∈N et on note limn→+∞ sn = l
...
En niant la propritété i), une suite (sn )n∈N diverge si :
∀l ∈ K , ∃ε > 0 tel que ∀N ∈ N , ∃n ≥ N tel que |sn − l| > ε
...
2
...
4 Proposition
...
Suposons que la suite (sn )n∈N soit convergente et ait deux limites l et l ′
...
∃N ′ ∈ N tel que n ≥ N ′ ⇒ sn − l ′ ≤ ε
...
Comme ε est quelconque, ceci implique bien l = l ′ et la limite est unique
...
Suites et Séries Numériques
2
...
5 Définition
...
Rappelons quelques propriétés élémentaires des suites convergentes ou de Cauchy :
2
...
6 Proposition
...
2) Les suites obtenues en faisant la somme et le produit de deux suites convergentes
(respectivement de Cauchy) sont convergentes (respectivement de Cauchy)
...
3) La suite obtenue en faisant le produit par un scalaire d’une suite convergente
(respectivement de Cauchy) est convergente (respectivement de Cauchy)
...
4) La suite obtenue en prenant le module dans le cas de C ou la valeur absolue
dans le cas de R, d’une suite convergente (respectivement de Cauchy) est convergente
(respectivement de Cauchy)
...
5) Dans le cas d’une suite à valeurs complexes, une suite est convergente (respectivement de Cauchy) si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont des
suites à valeurs réelles convergentes (respectivement de Cauchy)
...
6) Toute suite convergente est de Cauchy
...
Soit (sn)n∈N une suite convergente vers l ou de Cauchy
...
Soit N ∈ N l’entier associé à cet ε
...
-si la suite (sn)n∈N est de Cauchy :
|sn − sN | ≤ 1, soit encore 1 − sN ≤ sn ≤ 1 + sN
...
, sN , |l − 1| , |l + 1|}
dans le cas d’une suite convergente et par sup{s0 , s1 ,
...
Pour démonter le point 2) dans le cas de la somme de deux suites, on se donne une autre
suite (tn )n∈N convergente vers l ′ ou de Cauchy et on utilise les inégalités :
-si les suites sont convergentes :
(sn + tn ) − (l + l ′ ) ≤ |sn − l| + tn − l ′
...
§ 2
...
Suites numériques
13
Donc, pour ε > 0 donné, si on applique la définition de la convergence ou la condition de
ε
Cauchy avec pour chacune des suites, on obtient deux entiers N et N ′ tels que :
2
-pour des suites convergentes,
n ≥ N ⇒ |sn − l| ≤
qui impliquent
ε
ε
et n ≥ N ′ ⇒ tn − l ′ ≤ ,
2
2
n ≥ sup {N, N ′ } ⇒ (sn + tn ) − (l + l ′ ) ≤ ε ,
et entrainent la convergence de la suite somme vers l + l ′
...
Dans le cas du produit des 2 suites, on utilise les inégalités :
-si les suites sont convergentes :
sntn − ll ′ = sn (tn − l ′ ) + l ′ (sn − l) ≤ |sn | tn − l ′ + l ′ |sn − l|
...
Comme on sait que dans les deux cas, les suites sont bornées, par M et M ′ respectivement,
pour ε > 0 donné, si on applique la définition de la convergence ou la condition de Cauchy
ε
ε
avec
et
pour chacune des suites, on obtient deux entiers N et N ′ tels que :
2M 2M ′
-pour des suites convergentes,
n ≥ N ⇒ |sn − l| ≤
qui impliquent
ε
ε
et n ≥ N ′ ⇒ tn − l ′ ≤
,
2M
2M ′
n ≥ sup {N, N ′ } ⇒ sntn − ll ′ ≤ ε ,
et entrainent la convergence de la suite produit vers ll ′
...
Pour démonter le point 3), on se donne un nombre réel ou complexe λ et on utilise les
inégalités :
-si la suite est convergente :
|λ (sn − l)| ≤ |λ | |sn − l|
...
Suites et Séries Numériques
-si la suite est de Cauchy :
λ (s p − sq ) ≤ |λ | s p − sq
...
Supposons donc λ = 0
...
-pour une suite de Cauchy,
p, q ≥ N ⇒ s p − sq ≤
ce qui implique
ε
,
λ
p, q ≥ N ⇒ λ (s p − sq ) ≤ ε ,
et entraine la condition de Cauchy pour la suite (λ sn )n∈N
...
-si la suite est de Cauchy :
s p − sq ≤ s p − sq
...
-pour une suite de Cauchy,
p, q ≥ N ⇒ s p − sq ≤ ε ,
ce qui implique
n ≥ N ⇒ s p − sq ≤ ε ,
et entraine la condition de Cauchy pour la suite (|sn |)n∈N
...
Pour la réciproque, on utilise les inégalités :
-si la suite est convergente :
|ℜe sn − ℜe l| = |ℜe (sn − l)| ≤ |sn − l| ,
§ 2
...
Suites numériques
15
|ℑm sn − ℑm l| = |ℑm (sn − l)| ≤ |sn − l|
...
Donc, pour ε > 0 donné, si on applique la définition de la convergence ou la condition de
Cauchy avec ε , on obtient un entier N tel que :
-pour une suite convergente,
n ≥ N ⇒ |sn − l| ≤ ε ,
ce qui implique
n ≥ N ⇒ |ℜe sn − ℜe l| ≤ ε ,
et entraine la convergence de la suite (ℜe sn )n∈N vers |ℜe l|
...
On conclut de la même façon pour les parties imaginaires
...
Donc si la suite (sn )n∈N est convergente, de limite l, pour ε > 0 donné, en appliquant la
ε
définition de la convergence avec , on obtient un entier N tel que :
2
ε ε
p, q ≥ N ⇒ s p − sq ≤ s p − l + sq − l ≤ + = ε ,
2 2
ce qui montre bien que la suite (sn )n∈N est de Cauchy
...
1
...
Théorème de comparaison :
1) Soient (sn)n∈N et (tn )n∈N deux suites convergentes à valeurs réelles, de limite
respective s et t
...
2) Soient (sn )n∈N , (s′ )n∈N et (tn)n∈N trois suites à valeurs réelles, telles que pour
n
tout n ∈ N, sn ≤ tn ≤ s′
...
Démonstration
...
s−t
On choisit 0 < ε <
, ainsi les intervalles ]t − ε ,t + ε [ et ]s − ε , s + ε [ sont disjoints
...
Posons N = max{N1 , N2 } et soit n un entier naturel tel que n ≥ N
...
16
Chapitre 2
...
Les conditions limn→+∞ sn = limn→+∞ s′ = s entraînent l’existence d’enn
tiers naturels N1 et N2 tels que :
n ≥ N1 =⇒ |sn − s| ≤ ε et n ≥ N2 =⇒ s′ − s ≤ ε
...
n
La suite (tn )n∈N converge bien vers s
...
1) Le théorème 2
...
7 reste vrai si les inégalités ne sont vraies qu’à
partir d’un certian rang
...
1
...
1
1
et tn =
...
Voici deux exemples :
Suites géométriques : sn = kn
Cette suite converge si et seulement si k ≤ 1
...
Suites puissances : sn = nα
Cette suite converge si et seulement si α ≤ 0
...
2
...
8 Proposition
...
Démonstration
...
Alors,
pour tout n ∈ N, sn ≤ sn+1 et il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N, sn ≤ M
...
, sn ,
...
Par la proposition 1
...
2, pour tout ε > 0, il existe un N ∈ N tel que l − ε ≤ sN ≤ l
...
2
...
9 Définition
...
1
...
Deux suites adjacentes (an )n∈N et (bn )n∈N sont toujours convergentes
et ont la même limite
...
La suite (an )n∈N est croissante et majorée par b0 donc est convergente
...
La condition 4)
implique en passant à la limite quand n → ∞ que ces deux limites sont les même
...
1
...
1
...
On l’écrit sous cette forme pour avoir un critère de convergence
...
2
...
11 Théorème
...
La suite numérique (sn )n∈N vérifie la condition de Cauchy 2
...
5 si et seulement si elle
converge
...
La proposition 2
...
6 6) montre que toute suite convergente est de Cauchy
...
Supposons que la suite de Cauchy (sn )n∈N soit à valeurs réelles
...
La suite (Un)n∈N est une suite décroissante d’ensembles non vides
...
Cet ensemble admet donc
une borne supérieure et une borne inférieure, on pose :
an = inf Un et bn = sup Un
...
L’inclusion : ∀n ∈ N, Un+1 ∈ Un entraîne que :
an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn
...
On utilise alors la condition de Cauchy : soit ε > 0 doné
...
Donc pour n ≥ N,
sn − ε ≤ an ≤ sn + ε et sn − ε ≤ bn ≤ sn + ε
ce qui implique 0 ≤ bn − an ≤ 2ε
...
Les suites (an )n∈N et (bn )n∈N sont donc des suites
adjacentes
...
La double inégalité an ≤ sn ≤ bn entraîne alors la convergence de la suite (sn )n∈N
...
1
...
n
2
...
12 Exemple
...
1
∑ k2 converge
...
Suites et Séries Numériques
Pour montrer 1), on écrit, pour p ≥ q :
0 ≤ s p − sq =
q
p
1
1
1
− ∑ 2 = ∑ 2
...
q p
Comme ce dernier terme tend vers 0 quand p, q tendent vers +∞, on en déduit que la suite
(sn )n∈N est de Cauchy donc convergente
...
q
En prenant p = 2q, on trouve
0 ≤ s2q − sq = ln
2q
= ln 2,
q
ce qui montre que la suite (sn)n∈N n’est pas de Cauchy et donc est divergente
...
1
...
Une suite (tn)n∈N est une sous-suite de la suite numérique (sn )n∈N s’il
existe une application croissante p : N → N telle que ∀n ∈ N , tn = s pn
...
1
...
La suite (a2n )n∈N est une sous-suite de la suite (an )n∈N , avec pn = 2n
...
1
...
1) Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et
a même limite
...
3) Toute suite croissante possédant une sous-suite convergente est convergente
...
1
...
(Bolzano-Weierstrass)
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente
...
On considère une suite bornée (sn )n∈N et on suppose que pour tout n ∈ N,
a+b
a+b
a ≤ sn ≤ b
...
On le note [a1, b1 ] et on recommence le raisonnement avec cet
intervalle
...
On en déduit que les intervalles [an , bn ] ont un
2
seul point commun l qui est la limite commune des suites adjacentes (an )n∈N et (bn )n∈N
...
Cette sous-suite converge vers l
...
2
...
1
...
La suite des sommes de Cesàro d’une suite (sn )n∈N est la suite (cn )n∈N ,
définie par :
∑n si
∀n ∈ N , cn = i=1
...
La réciproque est fausse
...
3
Si n ≥ N, on écrit
D’où, si n ≥ N :
|cn − l| ≤
∑N si ∑i=N+1 si
i=1
+
...
n
n
n
n
3
n
Quand n → +∞, les deux termes
N +1
∑N si
i=1
et
l tendent vers 0 donc il existe deux
n
n
entiers N1 et N2 tels que :
n ≥ N1 ⇒
n ≥ N2 ⇒
Finalement :
ε
∑N si
i=1
≤ ,
n
3
N +1
ε
l ≤
...
La réciproque de cette propriété est fausse : en effet, la suite (sn )n∈N telle que
∀n ∈ N , sn = (−1)n ,
ne converge pas mais la suite de ses sommes de Cesàro converge vers 0
...
2 Limites dans R
Dans cette partie, on considère des suites de réels et on étend la notion de limite aux
valeurs infinies
...
2
...
ii)
i)
On définit R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}
...
On note limn→+∞ sn = +∞
iii) On dit que la suite de réels (sn )n∈N converge vers −∞ si
∀A < 0 , ∃N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ sn ≤ A
...
Suites et Séries Numériques
On note limn→+∞ sn = −∞
iv) On dit que la suite de réels (sn )n∈N converge dans R si elle converge dans R ou
vers +∞ ou vers −∞
...
Ces définitions s’étendent au cas des suites à valeurs dans R, c’est-à-dire que
les sn peuvent valoir +∞ et −∞
...
1
...
1
...
2
...
1) Toute suite monotone dans R ou dans R converge dans R
...
Démonstration
...
Si une suite (sn )n∈N est croissante, ou bien elle est majorée et
donc converge d’après la proposition 2
...
8, ou bien elle n’est pas majorée et alors, quelque
soit M ∈ R, il existe N ∈ N tel que sN ≥ M
...
2) De la même façon, si une suite (sn )n∈N est bornée, elle admet une sous-suite convergente par le théorème de Bolzano-Weierstrass 2
...
16
...
La sous-suite (s pn )n∈N converge vers +∞
...
Les suites (s′ )n∈N et (s′′)n∈N définies respectivement pour
n
n
tout n ∈ N dans R par :
s′ = sup {s p | p ≥ n}
n
= +∞ sinon
si la suite (sn )n∈N
est majorée
s′′ = inf {s p | p ≥ n}
n
= −∞ sinon
si la suite (sn )n∈N
est minorée
sont respectivement décroissante et croissante
...
2
...
i) On appelle limite supérieure et on note lim supn→+∞ sn la
limite dans R de la suite (s′ )n∈N
...
n
On remarquera que la limite supérieure et la limite inférieure d’une suite de réels existent
toujours dans R, même si la suite n’est pas convergente dans R
...
nπ
nπ
lim sup cos
= 1 et lim inf cos
= −1
...
2
...
ii)
Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition 2
...
3 :
§ 2
...
Limites dans R
21
2
...
5 Propriété
...
i) On a toujours
lim sup sn ≥ lim inf sn
...
n→+∞
n→+∞
Si pour tout n ∈ N, sn ≤ tn , alors
lim sup sn ≤ lim sup tn
n→+∞
et
n→+∞
lim inf sn ≤ lim inf tn
...
8
...
2
...
i) lim supn→+∞ sn = −∞ si et seulement si la suite (sn )n∈N tend
vers −∞
ii) lim supn→+∞ sn = +∞ si et seulement si pour tout A ∈ R, il existe une infinité
de valeurs de n telles que sn ≥ A
...
Démonstration
...
ii) Supposons que lim supn→+∞ sn = +∞
...
p≥n
Donc pour tout ε > 0, il existe p ≥ n tel que s p ≥ A − ε
...
Comme A et ε sont
arbitraires, ceci prouve bien le résultat
...
n
iii) Supposons que lim supn→+∞ sn = l
...
2
p≥n
Donc il existe p ≥ n tel que s p ≥ l − ε
...
De plus, il existe M ∈ N tel que
n ≥ M ⇒ sup s p ≤ l + ε
...
22
Chapitre 2
...
De plus, si pour toutes les valeurs de n sauf éventuellement un nombre fini, sn est inférieur
à l + ε , à partir d’un certain rang, s′ est inférieure à l + ε et donc la limite de s′ est
n
n
inférieure ou égale à l + ε
...
n
On a évidemment l’analogue de ces résultats pour les limites inférieures :
2
...
7 Proposition
...
iii) l ∈ R vérifie l = lim infn→+∞ sn si et seulement si pour tout ε > 0, pour toutes
les valeurs de n sauf éventuellement un nombre fini, sn soit supérieur à l − ε et il existe
une infinité de valeurs de n telles que sn soit inférieur à l + ε
...
2
...
i)
Soit l ∈ R
...
n→+∞
ii)
n→+∞
Soit L l’ensemble des limites des sous-suites de la suite (sn )n∈N
...
n→+∞
n→+∞
Démonstration
...
Alors, pour tout ε > 0,
à partir d’un certain rang N ∈ N, tous les termes de la suite sont plus grands que l − ε et
plus petits que l + ε
...
Réciproquement, si la limite supérieure et la limite inférieure valent l, à partir d’un certain rang N,
tous les termes de la suite sont plus grands que l − ε et plus petits que l + ε donc la suite
converge vers l
...
Soit l la limite supérieure de la suite (sn )n∈N et soit (εn )n∈N une suite de nombres réels
positifs, tendant vers 0 quand n → ∞
...
2
...
La sous-suite (s pn )n∈N converge donc
vers l et l ∈ L
...
Pour ε <
, il existe un entier N tel que pour n ≥ N, s pn ≥ l ′ − ε
...
2
...
On a donc bien lim supn→+∞ sn = sup L
...
3
...
3 Séries numériques
On suppose que K est l’un des corps R ou C
...
3
...
mériques
i)
Une série numérique est un couple formé de deux suites nu{(un)n∈N ,
n
(sn )n∈N } ,
telles que ∀n ∈ N, sn = ∑ ui
...
Une série sera désigné par “la série de terme général un ”
...
Le produit de la série de terme général un par
un scalaire λ est la série de terme général λ un
...
3
...
La série de terme général un converge si la suite (sn )n∈N converge et la
limite s de la suite (sn )n∈N s’appelle la somme de la série de terme général un
...
On peut caractériser de plusieurs manières la convergence d’une série :
2
...
3 Proposition
...
∞
2
...
4 Notations
...
Ce
i=0
∑ ui
...
i=n+1
Remarque
...
En revanche,
si la série converge, la valeur de sa somme dépend de tous les termes de la série
...
3
...
(Critère de Cauchy pour les séries)
Une série numérique de terme général un converge si et seulement si
∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que q ≥ p ≥ N ⇒
q
∑ ui
i=p
≤ ε
...
Suites et Séries Numériques
Démonstration
...
1
...
Le critère de Cauchy permet de démontrer une condition nécessaire de convergence des
séries numériques :
2
...
6 Proposition
...
Cette condition nécessaire de convergence de la série n’est pas suffisante
...
Si la série de terme général un converge, elle vérifie le critère de Cauchy,
théorème 2
...
5, c’est-à-dire :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que q ≥ p ≥ N ⇒ s p − sq ≤ ε
...
Ceci implique bien la convergence vers 0 de la suite (un )n∈N
...
n
1
La suite (un )n∈N converge vers 0 alors que la série de terme général diverge comme on
n
le verra à la proposition 2
...
4 iii) et aussi dans l’exemple 2
...
13
...
3
...
Si deux séries de termes généraux respectifs un et vn sont convergentes
de sommes s et σ , la série somme de terme général (un + vn ) est convergente de somme
s + σ et la série produit par un scalaire de terme général λ un est convergente de somme
λ s
...
Grâce à la notion de convergence
absolue, on peut s’y ramener dans certains cas :
2
...
8 Définition
...
Remarquons que la convergence et la convergence absolue coïncident dans le cas d’une
série à termes positifs
...
3
...
Si la série numérique de terme général un converge absolument, cette
série converge
...
3
...
Si la série de terme général un converge absolument, le critère de Cauchy
(théorème 2
...
5) appliqué à la série de terme général |un | s’écrit :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que q ≥ p ≥ N, ⇒
Mais on a :
q
∑ ui ≤
i=p
q
∑ |ui| ≤ ε
...
i=p
La série de terme général un vérifie donc le critère de Cauchy
...
(−1)n
converge
La réciproque de cette proposition est fausse : la série de terme général
n
comme on le verra dans le corollaire 2
...
2 alors qu’elle ne converge pas absolument,
comme on l’a déjà remarqué dans la proposition 2
...
6
...
Pour qu’une série de terme général un soit absolument convergente, il faut et
n
∑ |ui|
il suffit que la suite des sommes partielles
i=0
soit majorée
...
Or cette suite est évidemment croissante
n∈N
et on peut donc appliquer les propositions 2
...
8 et 2
...
2 : pour qu’elle converge, il faut et
il suffit qu’elle soit majorée
...
3
...
Si deux séries de termes généraux respectifs un et vn sont absolument
convergentes, la série somme de terme général (un + vn ) est absolument convergente et la
série produit par un scalaire de terme général λ un est absolument convergente pour tout
λ ∈ K
...
3
...
On considère deux séries numériques de termes généraux respectifs un
et vn
...
p=0
2
...
12 Théorème
...
Alors la série produit, de terme général
n
wn =
∑ u pvn−p,
p=0
est convergente et sa somme est le produit des sommes des deux séries de départ
...
26
Chapitre 2
...
On définit les sommes partielles des séries par :
n
sn = ∑ ui , σn =
i=0
Πn =
n
∑ wk =
k=0
n
n
n
j=0
i=0
∑ v j , An = ∑ |ui| ,
k
∑ ∑ u pvk−p = ∑
ui v j
...
On veut montrer que la suite (Πn )n∈N converge vers sσ
...
Or :
n
sn σn − Πn = ∑
n
∑ ui v j − ∑
i=0 j=0
0≤i+ j≤n
ui v j =
∑
ui v j
n+1≤i+ j≤2n
= u1 vn + u2 (vn + vn−1 ) + · · · + un (vn + vn−1 + · · · + v1 )
...
2
i=0
Soit ε > 0 donné
...
2M
2M
En coupant la somme ci-dessus en deux à l’indice n0 on peut écrire :
sn σn − Πn = u1 vn + u2 (vn + vn−1 ) + · · · + un (vn + vn−1 + · · · + v1 )
= u1 vn + · · · un0 (vn + vn−1 + · · · + vn−n0 +1 ) + · · · + un (vn + vn−1 + · · · + v1 )
= u1 (σn − σn−1 ) + · · · + un0 (σn − σn−n0 ) + · · ·un (σn − σ0 )
...
Or, si n ≥ 2n0 , on a :
∀k ∈ {1, 2,
...
, n} , |σn − σn−k | ≤ |σn | + |σn−k | ≤ 2
M
= M
...
2M
2M
La série produit converge bien et sa somme est bien égale au produit des sommes des
séries de termes généraux respectifs un et vn
...
4
...
n
0≤i+ j≤n
C’est donc le produit des deux séries de termes généraux respectifs |un | et |vn |
...
Par la démonstration précédente, c’est une série convergente
...
n
D’où, si (Π′ )n∈N dénote la suite des sommes partielles de la série de terme général w′ ,
n
n
on a aussi :
n
∀n ∈ N , 0 ≤ ∑ |wn | ≤ Π′
...
2
...
On va maintenant les étudier systématiquement :
2
...
1 Proposition
...
Alors la suite des sommes partielles (sn )n∈N est convergente dans R
...
La suite des sommes partielles (sn )n∈N vérifie :
sn − sn−1 = un ≥ 0
...
2
...
4
...
On considère deux séries dont les termes généraux un et vn sont positifs,
(ie
...
Supposons que pour tout n ∈ N, on ait : un ≤ vn
...
n
n
i=0
i=0
Démonstration
...
L’hypothèse implique que :
∀n ∈ N , 0 ≤ sn ≤ σn
...
La
suite (sn )n∈N est donc aussi bornée et comme elle est croissante, elle converge par la
Proposition 2
...
8, ce qui veut bien dire que la série de terme général un converge
...
28
Chapitre 2
...
Ce résultat reste vrai si l’inégalité un ≤ vn n’est vraie qu’à partir d’un certain
rang n0
...
Nous allons étudier des séries particulières, les séries géométriques, qui nous donneront
une échelle de comparaison
...
4
...
Soit a, r ∈ K non nuls
...
Alors, la
série de terme général un converge si et seulement si |r| < 1
...
On écrit
si r = 1 , sn = a(1 + r + · · · + rn ) = a
si r = 1 , sn = a(n + 1)
...
La série de terme général un converge donc bien si et seulement si |r| < 1 et sa somme est
a
...
4
...
Test de Cauchy
...
Posons l = lim supn∈N (un )1/n
...
Démonstration
...
On choisit r ∈]l, 1[
...
2
...
On peut donc appliquer le théorème de comparaison 2
...
2 et la proposition 2
...
3 : la série
de terme général un converge
...
On choisit r ∈]1, l[
...
2
...
Ceci implique que la suite (un )n∈N ne tend pas vers 0 et par la proposition 2
...
6, la série
de terme général un diverge
...
Les deux séries de termes généraux respectifs et 2 vérifient cette
n n
condition
...
3
...
n
En revanche, la seconde converge car on peut écrire, comme dans l’exemple 2
...
12 :
et la série de terme général
0≤
1
1
≤
...
4
...
i=2
i=2
Le théorème de comparaison 2
...
2 permet donc de conclure que la série de terme général
1
converge
...
4
...
On considère une série à termes positifs un vérifiant :
1
lim sup(un ) n < 1
n→∞
1
et soit r tel que lim supn→∞ (un ) n < r < 1
...
|rn | ≤ ∑ r p =
1−r
i=n+1
2
...
6 Exemple
...
nn
Cette série vérifie lim sup(un )1/n = 0
...
D’où par comparaison avec la série
dente
...
i
n+1
1
(n + 1)
n(n + 1)n
1 − n+1
i=n+1 (n + 1)
∑
Pour n = 4, on obtient : rn ≤ 4
...
2
...
7 Proposition
...
On considère une série à termes strictement positifs un
...
iii) lim inf
n→∞
un
un
n→∞
un+1
Démonstration
...
un
Alors la proposition 2
...
6 implique qu’il existe N ∈ N tel que
n≥N⇒
un+1
≤r
un
30
Chapitre 2
...
rN
uN
Le terme N ne dépend pas de n et la série de terme général rn+1 converge puisque r < 1,
r
(proposition 2
...
3)
...
4
...
un+1
> 1 et soit r ∈ R tel que
ii) Supposons que lim inf
n→∞
un
lim inf
n→∞
un+1
> r > 1
...
2
...
un
Ceci implique que la suite des termes généraux (un )n∈N ne tend pas vers 0
...
3
...
1
1
iii) Les deux séries de termes généraux respectifs et 2 vérifient cette condition car
n
n
un+1
= 1
...
4
...
Dans le cas où la série de terme général un vérifie le i) du test de d’Alembert, on a également une majoration du reste rn :
2
...
8 Corollaire
...
Alors son reste d’ordre n vérifie à partir d’un certain
un
uN rn+1
uN +∞ p
...
4
...
Calcul approché de e = 1 +
1
1
1
1
+ + +···+ +···
1! 2! 3!
n!
1
un+1
1
un+1
et on a :
=
...
En effet, pour i ≥ 1, on écrit :
≤(
) et par
un+1
n+1
1
:
comparaison avec la série géométrique de raison
n+1
On pose un =
∞
1
1
1
1
≤
(1 +
+···+
+ ···)
(n + 1)!
n+1
(n + 1)i−1
i=n+1 i!
1
1
1
=
=
...
4
...
Remarque
...
1
...
On en déduit que le test de Cauchy (proposition 2
...
4) est en général plus efficace
que le test de d’Alembert (proposition 2
...
7) : théoriquement, il suffit de tester la suite
un+1
1/n
...
Cependant, en pratique, il est souvent plus facile de tester la suite
un n∈N
Montrons par un contre-exemple que la réciproque de cette propriété est fausse : soit
a > 0, a = 1
...
la suite
un
2
...
10 Proposition
...
Soit f une fonction définie sur R+ , positive et décroissante, telle que limt→+∞ f (t) = 0
...
Alors la série de terme général un converge si et seulement si la suite des intégrales
n
f (t) dt
0
converge quand n tend vers +∞
...
Puisque f est décroissante :
t ∈ [i − 1, i] ⇒ ui = f (i) ≤ f (t) et t ∈ [i, i + 1] ⇒ ui = f (i) ≥ f (t)
...
i
Si (sn )n∈N est la suite des sommes partielles de la série de terme général un , on peut
écrire :
n
n
n
sn − s0 = ∑ ui = ∑ f (i) ≤ ∑
n
f (t) dt =
i=1 i−1
i=1
i=1
i
f (t) dt
...
0
On a donc la double inégalité :
n+1
0
n
f (t) dt ≤ sn ≤ s0 +
f (t) dt
...
admet une limite
n∈N
32
Chapitre 2
...
Cette proposition est encore vraie si l’intervalle d’intégration [0, +∞[ est remplacé par un intervalle [a, +∞[, avec a > 0
...
Sous les hypothèses de la proposition 2
...
10 et si la série converge, ces inégalités impliquent un encadrement du reste :
∞
2
...
11 Corollaire
...
4
...
n
1
...
4
...
En posant f (t) = 2 pour tout
t
1
t > 0, on va approcher par défaut la somme s de la série de terme général un = f (n) = 2
n
par :
2
...
12 Exemple
...
n+1
D’après le corollaire 2
...
11, cette valeur approchée vérifie :
0 ≤ s − s′ = rn −
n
∞
n+1
n+1
f (t) dt ≤
f (t) dt
...
0 ≤ s − s′ ≤
10
2
110
10 t
Dans le cas de la série de terme général
1
π2
On verra au chapitre 6 que la série de terme général 2 a pour somme
...
La proposition 2
...
10 va permettre d’étoffer l’échelle de comparaison des série à termes
positifs :
2
...
13 Exemple
...
1
Soient α > 0 et un = α pour n ≥ 1
...
On compare la suite des sommes partielles de la série de terme général un à l’intégrale sur
1
l’intervalle [1, n] de la fonction fα (t) = α
...
fα (t) dt =
Cette suite d’intégrales converge si et seulement si α > 1
...
4
...
4
...
Les séries de Bertrand
...
La série de terme général un converge si et
n(ln n)α
seulement si α > 1
...
un à l’intégrale sur l’intervalle [2, n] de la fonction gα (t) =
t(lnt)α
On peut calculer cette intégrale :
n
2
n
1
1
dt =
((lnn)1−α − (ln 2)1−α ) si α = 1
t(lnt)α
1−α
2
= (ln ln n − ln ln 2) si α = 1
...
2
...
15 Proposition
...
Soient f et g deux fonctions définies positives sur R+
...
Alors, si les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de +∞, les séries de termes
généraux respectifs un et vn ont même nature : la série de terme général un converge si et
seulement si la série de terme général vn converge
...
On rappelle que les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de
+∞ si et seulement si
∀ε > 0 , ∃A ∈ R+ , tel que t ≥ A ⇒ | f (t) − g(t)| ≤ ε g(t)
...
Si les fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de +∞, il existe donc
A > 0 tel que :
t ≥ A ⇒ (1 − ε )g(t) ≤ f (t) ≤ (1 + ε )g(t)
...
On applique le théorème de comparaison 2
...
2 deux fois :
si la série de terme général vn converge la série de terme général un converge et si la série
de terme général un converge, la série de terme général vn converge
...
2
...
16 Exemple
...
Alors la série de terme général un converge et la série de terme général
vn diverge
...
4
...
4
...
Pour la série de terme général vn , on écrit que la fonction g définie pour tout t ∈ R+ par
∗
1 − cos( √1 )
1
t lnt
g(t) =
est équivalente au voisinage de +∞ à la fonction définie par
1
2t lnt
sin t
et on applique la proposition 2
...
15 et l’exemple 2
...
14
...
Suites et Séries Numériques
2
...
3
...
3
...
On va maintenant étudier quelques cas particuliers de séries non absolument convergentes, qui cependant sont
convergentes
...
5
...
Théorème d’Abel
...
k=0
ii) la suite (bn )n∈N est décroissante
...
Alors la série de terme général un converge
...
On applique le critère de Cauchy (2
...
5) à la série de terme général un ,
en écrivant, si q ≥ p :
q
sq − s p−1 =
=
q
q
n=p
q
n=p
q
n=p
∑ un = ∑ anbn = ∑ (An − An−1 )bn
∑ Anbn − ∑ An−1 bn
n=p
n=p
q−1
= Aq bq − A p−1 b p +
∑ An(bn − bn+1 )
...
n=p
Or par hypothèse, il existe M > 0 telle que pour tout k ∈ N, |Ak | ≤ M
...
Ce dernier terme tend vers 0 par hypothèse
...
Comme application de ce théorème, on a :
2
...
2 Corollaire
...
On considère une série de terme général un telle que pour tout n ∈ N, un = (−1)n bn où
(bn )n∈N est une suite positive décroissante, tendant vers 0
...
En fait dans le cas des séries alternées, on a de plus un encadrement de la somme
...
§ 2
...
Séries à termes quelconques
35
La suite (s2n )n∈N est donc décroissante
...
La suite (s2n+1 )n∈N est donc croissante
...
Ces inégalites se résument en :
∀n ∈ N , s2n+1 ≤ s2n+3 ≤ s2n+2 ≤ s2n
...
Ce sont donc deux suites adjacentes
...
On a aussi une majoration du reste d’une série alternée
...
Donc
|r2n | ≤ |u2n+1 | et |r2n+1 | ≤ |u2n+2 |
...
(−1)n
converge, bien qu’elle ne soit pas ab2
...
3 Exemple
...
2
...
4 Définition
...
2
...
5 Corollaire
...
Soit un la série de terme général un = bn einθ , où (bn )n∈N est une suite positive décroissante, tendant vers 0 et θ = 0 [2π ]
...
Démonstration
...
5
...
=
=
θ
iθ
1 − eiθ
sin 2
e2
n+1
On en déduit que :
|An | ≤
1
...
5
...
36
Chapitre 2
...
5
...
(−1)n
2
...
6 Exemple
...
n2
1
Cette série est une série alternée et donc le reste de rang n est majoré par
...
121
(−1)n
π2
a pour somme −
...
Une technique très utilisée pour les séries à termes quelconques pour lesquelles les résultats précédents ne s’appliquent pas est l’utilisation d’un développement limité du terme
général
...
5
...
1) La série de terme général
converge
n + (−1)n
(−1)n
2) La série de terme général √
diverge
...
On utilise un développement limité de la fonction (1 + x)−1 au voisinage de 0 :
(1 + x)−1 = 1 − x + O(x2 )
...
=
n
n
n
(−1)n
n
1
converge par le théorème d’Abel, et les deux série de termes généraux respectifs 2 et
n
1
(−1)n
O( 3 ), sont absolument convergentes, donc la série de terme général
est bien
n
n + (−1)n
convergente
...
n
n + (−1)
n
n
n
1
(−1)n
Les séries de termes généraux respectifs √ et O( 3/2 ) sont convergentes mais la série
n
n
1
(−1)n
√
diverge
...
Donc la série de terme général
n + (−1)n
n
§ 2
...
Opérations sur les séries
37
2
...
6
...
Commutation des termes
On dira qu’une série de terme général un est commutativement convergente si quelque
soit la permutation σ de N, la série de terme général uσ (n) est convergente et a même
somme que la série de terme général un
...
2
...
2 Théorème
...
i) Une série est absolument convergente si et seulement si elle est commutativement convergente
...
Démonstration
...
+∞
Posons M =
∑ |un | et pour tout n ∈ N, m(n) = sup{σ (k) | 0 ≤ k ≤ n}
...
k=0
La suite croissante des sommes partielles de la série de terme général uσ (n) est bornée
donc convergente
...
3
...
De plus on a
+∞
∑
k=0
+∞
uσ (k) ≤
∑ |uk |
...
Il reste à montrer l’égalité des sommes des séries elles-mêmes :
Soit
∆n = {p ≥ 0, p ≤ m(n) | p = {σ (0), σ (1),
...
On peut écrire :
m(n)
n
k=0
k=0
∑ uk − ∑ uσ (k)
=
∑ uk
k∈∆n
≤
∑ |uk |
...
Suites et Séries Numériques
qui tend vers 0 quand n tend vers +∞ d’après le raisonnement précédent
...
Réciproquement, par contraposée, il faudrait montrer qu’une série qui n’est pas absolument convergente, n’est pas commutativement convergente
...
(−1)n
...
n
Précisément, nous allons montrer que quel que soit l ∈ R il existe une permutation σ des
termes de cette série telle que la somme de la série permutée soit égale à l
...
Supposons pour fixer les idées que l ∈ R, l > 0, les autres cas étant analogues
...
vn0 = u2n0 ,
où n0 est le premier entier tel que
v0 + v1 + · · · + vn0 −1 ≤ l ≤ v0 + v1 + · · · + vn0 −1 + vn0
...
vn0 +n′1 = u2n′1 −1 ,
où n′ est le premier entier tel que
1
v0 + v1 + · · · + vn0 +n′1 ≤ l ≤ v0 + v1 + · · · + vn0 +n′1 −1
...
On continue ainsi en additionnant des termes de rang pair (donc positifs) jusqu’à ce que la
somme dépasse l puis des termes de rang impair (donc négatifs) jusqu’à ce que la somme
redevienne plus petite que l
...
On remarque que
n2p ≤ k ≤ n2p+1 − 1 ⇒ |Sk − l| ≤ u2n2p ,
n2p+1 ≤ k ≤ n2p+2 − 1 ⇒ |Sk − l| ≤ u2n′2p+1
...
La sous-suite (Sn2p+1 ) p∈N est croissante et inférieure à l
...
On en déduit que la série de terme général vn obtenue par cette permutation des termes de
la série de terme général un converge et a pour somme l
...
6
...
6
...
Séries de paquets
On dit que la série de terme général vn est une série de paquets de la série de terme
général un s’il existe une suite strictement croissante d’entiers (pn )n∈N , telle que
pn
vn =
∑
un
...
6
...
Sommation par paquets
...
Démonstration
...
6
...
Posons
n
sn =
∑ un et σn =
k=0
n
∑ vn
...
Précisément on
a:
σn = s pn
...
Dans le cas des séries à termes positifs, on a également la réciproque de cette propriété :
2
...
5 Proposition
...
ii) En général, la convergence d’une série de paquets n’implique pas la convergence de la série de terme général un
...
i) Si la série de terme général un est à termes positifs, avec les notations
du théorème 2
...
4, les suites (sn )n∈N et (σn )n∈N sont toutes les deux croissantes
...
ii) Soit k ∈ N⋆ un entier fixé
...
On définit une suite croissante d’entiers par : pn = kn + k
...
3
...
Cependant, la série de paquets de terme général vn , définie par
pn
vn =
∑
e
2i jπ
k
,
j=pn−1 +1
est évidemment convergente car c’est la série nulle (On rappelle que la somme des k
racines kème de l’unité est nulle)
...
Suites et Séries Numériques
2
...
1 Exercice
...
1!
n!
n!
1) Montrer que les suites (sn )n∈N et (tn )n∈N sont adjacentes
...
3) Montrer par l’absurde que e n’est pas rationnel
...
2 Exercice
...
k
k
1) Trouver des équivalents des suites s′ = sup p≥n sn et s′′ = inf p≥n sn au voisinage de +∞
...
s0 = s1 = · · · = sN = 0 , s2k = 1 +
2
...
Soit (sn )n∈N une suite réelle bornée
...
n
n
p≥n
p≥n
On définit également la somme de Cesàro de la suite (sn )n∈N par
cn =
1 n
∑ si
...
n i=0
2) En faisant tendre n vers +∞, en déduire que :
s′′ ≤ lim inf ck ≤ lim sup ck ≤ s′
...
k→+∞
k→+∞
k→+∞
k→+∞
4) A l’aide de la question 3), retrouver le résultat suivant : si une suite converge vers une
limite l, alors la suite de ses sommes de Cesàro converge aussi vers l
...
4 Exercice
...
1) Montrer que quel que soit k ∈ N, k ≥ 1, il existe un entier nk tel que
(8k − 1)
π
π
≤ nk ≤ (8k + 1)
...
3) En déduire que la suite (cos n)n∈N ne tend pas vers 0 lorsque n → +∞
...
7
...
5 Exercice
...
a) Si α > 1, montrer que la série converge absolument
...
2
1
c) Si α = , montrer que la série diverge
...
4)
2
2
...
Montrer que la série de terme général un =
n
S la somme de cette série, et Sn =
(−1)n
converge
...
Trouver une
i=1 i
valeur explicite de n telle que
|Sn − S| ≤
1
...
7 Exercice
...
n √
a) Calculer l’intégrale :
a x dx pour tout n > 1
...
1
c) Etudier la nature de la série de terme général a
√
n
...
8 Exercice
...
n
a) Etudier la monotonie de la fonction f :]0, ∞[→ R, donnée par
ln x
f (x) = √
...
2
...
Etudier la convergence des séries suivantes, de termes généraux :
a) vn =
10n
,
n!
b) wn =
ln n
√
n
n
...
Suites et Séries Numériques
2
...
1
1) On a :
1
> 0, donc la suite (sn )n∈N est croissante
...
1
(tn − sn ) = > 0 donc lim (tn − sn ) = 0
n→+∞
n!
2) Ces deux suites sont bien adjacentes et par suite lim tn = lim sn
...
q
On écrit que sn < e < tn pour tout n ∈ N, les inégalités étant strictes puisque les suites
(sn )n∈N et (tn )n∈N sont respectivement strictement croissante et strictement décroissante
...
En réduisant au même dénominateur les fractions qui définissent sn , ceci implique l’existence d’un entier An tel que :
p An 1
An
< <
+
...
On en
déduit qu’il existe un entier p tel que :
An < p < An + 1
...
Corrigé de l’exercice 2
...
n
n
2) On en déduit que :
lim sup sn = 2 , lim inf sn = 1
...
3
1) Pour tout k ≥ N + 1, on a :
s′′ ≤ sk ≤ s′
...
n, on obtient :
(n − N)s′′ ≤
N+1
n
∑
k=N+1
sk ≤ (n − N)s′
...
8
...
∑
N+1
n k=0
n
n k=0
n N+1
2) Fixons N
...
n
On en déduit que, lorsque n → +∞ :
suite qui tend vers 0, et (1 −
1 N
N
∑ sk + (1 − n )s′N+1 → s′N+1 ,
n k=0
1 N
N
∑ sk + (1 − n )s′′ → s′′
...
3) Par définition :
lim sup sn = lim s′ ,
N+1
N→+∞
n→+∞
lim inf sn = lim s′′
...
4) Lorsque la suite (sn )n∈N converge vers une limite l, alors :
lim inf sn = lim sup sn = lim sn = l
...
Corrigé de l’exercice 2
...
On remarque que
π
π π
(8k + 1) − (8k − 1) = > 1
...
√
√
2
2
...
2) Pour tout k ∈ N, cos nk est minorée par
2
2
3) La suite (cos n)n∈N a une sous-suite (cos nk )k∈N qui est minorée par la constante c > 0
donc elle ne tend pas vers 0 lorsque n → +∞
...
Suites et Séries Numériques
Corrigé de l’exercice 2
...
≤ α
+ cos n
n −1 n
1
La série de terme général α est convergente, donc la série de terme général un est abson
lument convergente par le théorème de comparaison des séries à termes positifs
...
1+x
cos n
On applique ce résultat avec x = α , qui tend vers 0 lorsque n → +∞ :
n
b) Si
un =
1
cos n cos n cos n
cos n
cos n
1 − α + α ε( α )
cos n =
nα 1 + nα
nα
n
n
n
cos n cos2 n cos2 n cos n
+ 2α + 2α ε ( α )
...
La première
converge par le théorème d’Abel (voir 2
...
1) et les 2 suivantes sont absolument convergentes car 2α > 1
...
1
c) Si α = , on utilise le même développement
...
En revanche, la série de terme général 2α =
n
n
diverge
...
4, la suite (cos2 n)n∈N a un sous-suite (cos2 nk )k∈N
minorée par un nombre c > 0
...
Or par construction, nk ≤ 8k + 1
...
n=1
k=1
N
Cette dernière série est divergente et donc la série de terme général
utilisant le théorème de comparaison
...
cos2 n
également en
n
§ 2
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 2
45
Corrigé de l’exercice 2
...
On utilise la majoration du reste d’une série alternée :
|Sn − S| ≤ |un+1 | =
1
...
7
√
a) On effectue le changement de variable s = x, alors :
√
n
n √
x
a dx =
√
s
2sa ds =
1
1
n
2ses ln a ds
...
ln a
ln a (ln a)2
b) Comme 0 < a < 1, lim a
√
n
n→∞
lim
= lim
n→∞
n→∞ 1
√
n √
x
na
√
n
a dx = 2
= 0 on a donc :
1
a
−1
...
4
...
Corrigé de l’exercice 2
...
x
x x
La dérivée de f est positive sur ]0, e], nulle en e et négative sur [e, +∞[
...
ln (ncos n ) cos n ln (n)
√
=
= an bn ,
b) On peut écrire : un = √
n
n
ln (n)
avec an = cos n et bn = √
...
Suites et Séries Numériques
La suite (bn )n∈N est positive, décroissante et tend vers 0 en +∞ d’après la question a)
...
Corrigé de l’exercice 2
...
√
En utilisant la formule de Stirling : n! ∼n→+∞ nn e−n 2π n, on obtient :
10e n 1
10n en
√
√
=
...
ln n
b) Il s’agit aussi d’une série à termes positifs
...
N tel que pour n ≥ N, ln n ≤ n
1
1
n1/4 n
Alors, pour n ≥ N, wn ≤ 1/2 = n/4
...
n
n
n
Donc la série de terme général wn l’est aussi par le théorème de comparaison
...
1 Intégrales des fonctions en escalier
Soit [a, b] un intervalle de R
...
3
...
1 Définition
...
,tn } , tels que t0 = a et tn = b
...
, n − 1}
...
1
...
1) Une fonction f , définie sur [a, b], à valeurs dans R ou C est
dite en escalier (ou simple dans la terminologie anglo-saxonne) s’il existe une subdivision
{t0 ,t1,
...
, n − 1
...
On remarque qu’une subdivision de [a, b] adaptée à une fonction en escalier f n’est pas
unique : on peut en effet redécouper certains intervalles et la subdivision obtenue sera
toujours adaptée à cette fonction f
...
,tn
...
3
...
3 Proposition
...
Démonstration
...
3
...
4 Proposition
...
2) Si f est en escalier sur [a, b], | f | l’est aussi
...
1) Grâce à la proposition précédente, on peut prendre une subdivision
adaptée à la fois à f et à g et le résultat est alors évident
...
48
Chapitre 3
...
1
...
Soit f une fonction en escalier sur l’intervalle [a, b] et {t0 ,t1,
...
Soit fi la valeur de f sur l’intervalle ]ti ,ti+1[
...
i=0
On note ce nombre
b
f (t) dt
...
,tn} et {s0 , s1 ,
...
On peut fabriquer une troisième subdivision adaptée à f , {u0 , u1 ,
...
Il suffit alors de comparer les intégrales de f correspondants aux subdivision {t0 ,t1,
...
, u p} d’une part et {s0 , s1 ,
...
, u p } d’autre part
...
On peut même supposer par itération que l’on a rajouté un seul
point u ∈]ti ,ti+1[
...
1
...
Remarque
...
Donc
f (t) dt représente la somme des aires des rectangles
a
compris entre l’axe des t et le graphe de f , comptées positivement quand la valeurs prise
par f est positive et comptées négativement dans l’autre cas
...
1
...
1) Soient f et g deux fonctions en escalier sur l’intervalle [a, b]
et λ et µ deux scalaires
...
a
Si f et g sont en escalier sur [a, b] et si ∀t ∈ [a, b] , f (t) ≤ g(t), alors :
b
a
4)
g(t) dt
...
a
Si f est en escalier sur [a, b] et si c ∈]a, b[, alors :
b
c
f (t) dt =
a
b
f (t) dt +
a
f (t) dt
...
2
...
1) Il suffit de prendre une subdivision de [a, b] adaptée à la fois à f et à g
et le résultat est alors immédiat à partir de la définition
...
3) Comme pour 1), il suffit de prendre une subdivision de [a, b] adaptée à la fois à f et à
g
...
On a donc bien l’inégalité
a
b
f (t) dt ≤
g(t) dt en appliquant la definition
a
3
...
5
...
Remarque
...
a
3
...
2
...
On dit qu’une fonction f , définie sur l’intervalle [a, b], à valeurs dans R
ou C, est intégrable sur cet intervalle si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions en escalier
sur [a, b], ϕ à valeurs réelles ou complexes et η à valeurs réelles positives, telles que
∀t ∈ [a, b], | f (t) − ϕ (t)| ≤ η (t) et
b
a
η (t) dt ≤ ε
...
2
...
1) Si f est une fonction intégrable sur [a, b], f est bornée sur
cet intervalle
...
3) Si f est intégrable sur [a, b], | f | l’est aussi
...
1) Les fonctions en escalier étant bornées, la définition de l’intégrabilité
d’une fonction implique immédiatement que cette fonction est bornée
...
-Cas d’une combinaison linéaire :
pour λ et µ non tous deux nuls, on associe à la fonction intégrable f , les fonctions en
escalier ϕ et η , η ≥ 0, telles que :
∀t ∈ [a, b], | f (t) − ϕ (t)| ≤ η (t) et
b
a
η (t) dt ≤
ε
,
|λ | + |µ |
et on associe à la fonction intégrable g les fonctions en escalier ψ et ν , ν ≥ 0 telles que :
∀t ∈ [a, b], |g(t) − ψ (t)| ≤ ν (t) et
b
a
ν (t) dt ≤
ε
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
∀t ∈ [a, b], |(λ f + µ g)(t) − (λ ϕ + µψ )(t)| ≤ (|λ | η + |µ | ν )(t),
b
et
a
(|λ | η + |µ | ν )(t) dt ≤ (|λ | + |µ |)
ε
= ε
...
-Cas d’un produit :
soit M un majorant de la fonction | f | sur [a, b], c’est-à-dire supt∈[a,b] | f (t)| ≤ M
...
2M
Soit M ′ un majorant de la fonction |ψ | sur [a, b], c’est-à-dire supt∈[a,b] |ψ (t)| ≤ M
...
2M ′
On peut alors associer à la fonction f g, les fonctions en escalier ϕψ et M ′ η + M ν qui
vérifient pour tout t ∈ [a, b] :
|( f g)(t) − (ϕψ )(t)| ≤ (| f (t)||g(t) − ψ (t)| + |ψ (t)| | f (t) − ϕ (t)| ≤ (M ′ η + M ν )(t)
b
et
a
(M ′ η + M ν )(t) dt ≤ M ′
ε
ε
+M
= ε
...
3) De la même façon, pour ε > 0 donné, on associe à la fonction intégrable f les fonctions
en escalier ϕ et η , η ≥ 0 et alors, les fonctions en escalier |ϕ | et η sont naturellement
associées à | f | et ceci prouve que | f | est intégrable sur [a, b]
...
Pour p, q ∈ N, on peut écrire :
∀t ∈ [a, b], ϕ p (t) − ϕq(t) ≤ f (t) − ϕ p(t) + f (t) − ϕq(t) ≤ η p (t) + ηq(t)
...
est alors de Cauchy et donc convergente
...
2
...
Alors :
∀t ∈ [a, b], |ϕn (t) − ψn(t)| ≤ | f (t) − ϕn(t)| + | f (t) − ψn(t)| ≤ ηn (t) + νn(t)
...
a
b
ϕn (t) dt
b
|ϕn (t) − ψn(t)| dt
′
(ηn (t) + νn(t)) dt ≤ εn + εn
...
2
...
Si la fonction f est intégrable sur [a, b], la limite lorsque n → ∞ de la
b
suite
a
b
ϕn (t) dt
f (t) dt
...
Dans bien des cas, pour montrer une propriété de
l’intégrale des fonctions intégrables, on démontrera cette propriété pour les fonctions en
escalier et on passera à la limite pour obtenir aussi le cas général
...
1
...
2
...
1) Soient f et g deux fonctions intégrables sur l’intervalle [a, b]
et λ et µ deux scalaires
...
a
Si f et g sont intégrables sur [a, b] et si ∀t ∈ [a, b] , f (t) ≤ g(t), alors :
b
a
4)
g(t) dt
...
a
Si f est intégrable sur [a, b] et si c ∈]a, b[, alors :
b
c
f (t) dt =
a
b
f (t) dt +
a
f (t) dt
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
Remarque
...
a
Les fonctions les plus faciles à utiliser sont les fonctions continues
...
2
...
Toute fonction continue f sur un intervalle [a, b] fermé borné y est uniformément continue, c’est-à-dire :
∀ε > 0 , ∃η > 0 tel que t − t ′ ≤ η ⇒ f (t) − f (t ′) ≤ ε
...
2
...
Toute fonction continue f sur l’intervalle [a, b] y est intégrable
...
Soit f une fonction continue sur [a, b] et soit ε > 0 donné
...
2
...
b−a
Considérons deux fonctions en escalier sur [a, b], ϕ1 et ϕ2 , associées à une subdivision
t0 ,t1,
...
, n − 1
sup
f (c) pour t ∈ [ti ,ti+1] et i = 0, 1,
...
Alors, ϕ1 (t) ≤ f (t) ≤ ϕ2 (t) pour tout t ∈ [a, b] et par suite 0 ≤ f (t) − ϕ1(t) ≤ η (t) pour
tout t ∈ [a, b]
...
,n−1
η (t) dt =
≤
∑
(ti+1 − ti )
∑
(ti+1 − ti )
i=0,1,
...
b−a
inf
c∈[ti ,ti+1 ]
f (c)
La fonction f est donc bien intégrable sur [a, b]
...
2
...
On dit qu’une fonction f est continue par morceaux s’il existe une
subdivision de [a, b], t0 < t1 < · · · < tn , telle que f soit continue sur chaque intervalle
]ti ,ti+1[ de cette subdivision et admette des limites à droite et à gauche en tous les points
ti , i = 0, 1,
...
Tout ce qui précède reste valable si on considère des fonctions continues
par morceaux sur [a, b]
...
Cependant, il existe des fonctions intégrables encore plus générales
...
2
...
2
...
Si f est une fonction monotone sur [a, b] à valeurs réelles, alors f est
intégrable sur cet intervalle
...
On peut supposer que f (b) > f (a) sinon, f est constante donc continue et nous savons
déjà qu’elle est intégrable
...
,tn } une subdivision de [a, b]
...
, n − 1
ϕ2 (t) = f (ti+1) pour t ∈ [[ti,ti+1] et i = 0, 1,
...
Ces fonctions vérifient, pour tout t ∈ [a, b] :
ϕ1 (t) ≤ f (t) ≤ ϕ2 (t),
b
a
ϕ2 (t) − ϕ1(t) dt =
≤
n−1
∑ (ti+1 − ti)
i=0
sup
f (ti+1) − f (ti )
(ti+1 − ti ) f (b) − f (a)
...
,n−1
Donc, pour ε > 0 donné, si l’on choisit la subdivision tel que
σ=
sup
i=0,1,
...
2
...
En appliquant la proposition 3
...
4 3) et le théorème bien connu des valeurs intermédiaires
pour les fonctions continues (voir [9]) , on obtient la première formule de la moyenne :
3
...
9 Corollaire
...
Si f est continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b] tel que
b
a
f (t) dt = f (c)(b − a)
...
Si f est à valeurs complexes, c’est-à-dire qu’il existe des fonctions à valeurs
réelles f1 et f2 telles que f = f1 + i f2 , alors :
b
b
f (t) dt =
a
a
b
f1 (t) dt + i
a
f2 (t) dt
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
3
...
10 Définition
...
On appelle somme
de Riemann associée à une subdivision {t0,t1 ,
...
n − 1, le nombre :
n−1
R( f ) =
∑ f (ci)(ti+1 − ti) = f (c0)(t1 − t0) + f (c1)(t2 − t1) + · · · + f (cn−1 )(tn − tn−1)
...
1
...
, n − 1
...
2
...
Soit f une fonction intégrable sur l’intervalle [a, b]
...
i=0
associée à une subdivision dont le pas est inférieur à α , alors :
b
R( f ) −
a
f (t) dt ≤ ε
...
Soit ε > 0 donné
...
4
Soient x1 , x2 ,
...
Ces deux
fonctions restent donc constantes sur tout intervalle ne contenant aucun de ces points
...
Si l’intervalle [ti ,ti+1] ne contient aucun point x1 , x2 ,
...
D’où
ti+1
f (t) − f (ci ) dt ≤
ti
ti+1
ti
| f (t) − f (ci)| dt ≤ 2
ti+1
ti
η (t) dt
...
, x p appartient à au plus deux intervalles fermés [ti ,ti+1]
...
Pour ces intervalles, on a :
ti+1
ti
f (t) − f (ci) dt ≤
ti+1
ti
| f (t) − f (ci)| dt ≤ 2Mh,
où M = sup{| f (t)|,t ∈ [a, b]} et h = sup |ti+1 − ti | , i = 1, 2,
...
§ 3
...
Primitives
55
On en déduit que :
b
a
b
f (t) dt − R( f ) ≤ 4pMh + 2
Donc si on choisit α =
a
ε
η (t) dt ≤ 4pMh +
...
2
2n
3
...
12 Exemple
...
1
...
i+1
+1
n
La suite (Rn )n∈N apparaît donc comme la suite des sommes de Riemann de la fonction
1
1
2
f (t) =
sur [0, 1] associée à la subdivision tel que t0 = 0 < t1 = < t2 = <
...
1+t
n
n
1
f (t) dt = ln 2
...
Si f est une fonction intégrable sur un intervalle [a, b], on a vu dans le paragraphe précédent que ses sommes de Riemann, définies dans la définition 3
...
10, représentent l’aire comprise entre l’axe des t et le graphe de la fonction en escalier valant
f (ci ) sur chaque intervalle [ti ,ti+1], comptée positivement si le graphe est au dessus de
l’axe et négativement dans l’autre cas
...
3
...
3
...
On rappelle qu’une fonction f , définie sur un intervalle [a, b] admet une
primitive F si F est une fonction dérivable sur l’intervalle ]a, b[ et si :
∀t ∈]a, b[ , F ′ (t) = f (t)
...
3
...
Supposons qu’une fonction f , définie sur un intervalle [a, b] ait une primitive F, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F + λ , où λ est un scalaire
arbitraire
...
3
...
Soit f une fonction continue sur [a, b] et soit x0 ∈ [a, b]
...
En particulier, F0 est dérivable sur ]a, b[ avec F0′ (x) = f (x)
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
Démonstration
...
Soient x et x + h deux points de [a, b]
...
2
...
On peut donc écrire, si h = 0 :
F0 (x + h) − F0 (x)
= f (c)
...
Quand h → 0, c → x, donc par continuité, f (c) → f (x)
...
Ceci prouve le théorème 3
...
3
...
3
...
Alors :
Soit f une fonction continue sur [a, b] et F une primitive de f
...
Soit f une fonction continue et positive sur [a, b] telle que
b
f (t) dt = 0
...
x
Démonstration
...
D’après le théorème 3
...
3, F0 est
une primitive de f
...
a
Montrons le point 2) par l’absurde : supposons que, pour une fonction f continue et
b
positive, on ait à la fois
a
f (t) dt = 0 et un point x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) > 0
...
Alors :
nulle α > 0 tel que pour tout x ∈ I, f (x) ≥
2
b
0=
a
f (t) dt ≥
I
f (t) dt ≥ α
f (x0 )
> 0
...
Puisque f est positive, f est alors bien nulle sur [a, b]
...
3
...
3
...
1)
[a, b]
...
2) Si de plus, f est positive sur [a, b], F est croissante
...
1) On pose A = sup{| f (t)| | t ∈ [a, b]}
...
2
...
2) Soit a ≤ x < y ≤ b
...
Les deux résultats qui suivent, le théorème d’intégration par parties et le théorème de
changement de variable, sont très utiles dans le calcul des intégrales :
3
...
6 Théorème
...
On a :
b
a
u′ (t)v(t) dt = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b
a
u(t)v′(t) dt
...
Cela résulte immédiatement du fait que la fonction uv est une primitive
de la fonction uv′ + u′ v
...
3
...
Changement de variable
Soient [a, b] et [c, d] deux intervalles de R et ϕ une fonction continûment dérivable de
[c, d] dans [a, b] telle que ϕ (c) = a et ϕ (d) = b
...
Démonstration
...
Remarque
...
58
Chapitre 3
...
4 Calcul des primitives
En utilisant les résultats ci dessus et les formules trigonométriques ou hyperboliques (voir
Chapitre 5), on calcule aisément les primitives des fonctions usuelles
...
α +1
Fonctions trigonométriques :
sint dt = − cos x,
cost dt = sin x,
dt
x
= ln tan ,
sint
2
dt
= − cot x,
sin2 t
cott dt = ln |sin x| ,
dt
= tan x,
cos2 t
tant dt = − ln |cos x|
x π
dt
= ln tan
+
cost
2 4
dt
= ln |tan| x
...
sht cht
Fonctions inverses :
1
x
arctan ,
a
a
dt
x
√
= argsh ,
|a|
t 2 + a2
dt
t 2 + a2
=
1 x−a
ln
2a x + a
dt
x
√
= argch
...
4
...
Calcul de primitive d’un polynôme en cost et sint :
En remplaçant toute puissance paire de sint par la puissance moitié de 1 − cos2 t, on se
ramène a étudier les primitives de fonctions de la forme P(cost) + Q(cost) sint, où P et
Q sont des polynômes
...
Pour intégrer la partie P(cost), il suffit de connaître des primitives des fonctions cosn t
pour n ∈ N
...
6
...
§ 3
...
Intégration d’un produit de fonctions
59
On se ramène donc au calcul de primitives des fonctions sin nt et cos nt qui sont respecticos nt sin nt
et
...
3
3
...
3
...
1 Théorème
...
Il existe un point c ∈ [a, b] tel que :
b
c
f (t)g(t) dt = f (a + 0)
a
g(t) dt,
a
où f (a + 0) désigne la limite de f (t) quand t tend vers a par valeurs supérieures
...
Notons d’abord que, par la proposition 3
...
2, si f et g sont intégrables,
le produit f g l’est aussi
...
3
...
C’est cette dernière formule que nous allons démontrer
...
Soit {t0 = a < t1 < · · · < tn = b} une subdivision
adaptée à f et fi la valeur de f sur ]ti ,ti+1[, pour tout i = 0,
...
Par définition , on a :
n−1
b
f (t)g(t) dt =
a
∑
i=0
n−2
=
ti+1
fi
n−1
g(t) dt =
ti
∑ ( fi − fi+1 )
i=0
∑
i=0
ti+1
a
ti+1
fi
a
g(t) dt + fn−1
g(t) dt −
ti
g(t) dt
a
tn
g(t) dt
...
, n − 1 et
fn−1 ≥ 0
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
D’autre part, par définition , on a :
ti
∀i = 1, 2,
...
On en déduit les inégalités :
n−2
m
∑ ( fi − fi+1 ) + fn−1
i=0
n−2
b
≤
f (t)g(t) dt ≤ M
a
c’est-à-dire :
∑ ( fi − fi+1) + fn−1
,
i=0
b
m f0 ≤
a
f (t)g(t) dt ≤ M f0 ,
ce qui est la propriété voulue pour une fonction en escalier f
...
On définit f˜ par :
f˜(t) = f (t) pour t ∈]a, b]
˜(a) = f (a + 0)
...
a
Soit {t0 = a < t1 < · · · < tn = b} une subdivision de [a, b] obtenue en découpant l’intervalle
en n intervalles de même longueur
...
, n − 1
′′
ϕn (t) = f˜(ti+1) pour t ∈]ti ,ti+1[, i = 0,
...
Comme f˜ est décroissante sur [a, b], on a :
′′
′
∀t ∈]a, b[ , ϕn (t) ≤ f˜(t) ≤ ϕn (t)
...
Alors, comme tk+1 − tk =
n
b
a
′
ϕn (t)g(t) dt −
b
a
n−1
f˜(t)g(t) dt
≤A∑
tk+1
k=0 tk
n−1 tk+1
≤A∑
k=0 tk
n−1
′
ϕn (t) − f˜(t) dt
′
′′
ϕn (t) − ϕn (t) dt
b−a
∑ f˜(tk+1) − f˜(tk)
n k=0
b−a ˜
=A
f (a) − f˜(b)
...
6
...
′
Les fonctions en escalier ϕn sont positives décroissantes sur [a, b], on peut donc leur appliquer le premier cas :
m f (a + 0) = m f˜(a) ≤
b
a
′
ϕn (t)g(t) dt ≤ M f˜(a) = M f (a + 0)
...
Montrons maintenant l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
3
...
2 Théorème
...
Alors :
b
a
1/2
b
| f (t)g(t)| dt ≤
a
1/2
b
2
| f (t)| dt
a
2
|g(t)| dt
...
Démonstration
...
2
...
Soit λ ∈ R
...
Ce trinôme du second degré en λ garde un signe constant sur R donc son discriminant est
négatif ou nul, soit :
2
b
a
| f (t)g(t)| dt
b
≤
a
| f (t)|2 dt
b
a
|g(t)|2 dt,
ce qui est la formule voulue
...
C’est-à-dire qu’il existe λ ∈ R tel que
b
a
(λ | f | + |g|)2 (t) dt = 0
...
3
...
3
...
Mais, il y a relativement peu de fonctions dont on sait calculer l’intégrale
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
de changer légèrement l’expression d’une fonction pour passer d’une fonction que l’on
sait intégrer à une fonction qu’on ne sait pas intégrer
...
a
sint
prolongée par la valeur 1 en t = 0, est intégrable sur tout intervalle
t
[a, b] puisqu’elle est continue sur R
...
A défaut de
pouvoir calculer ces intégrales, on doit savoir les approcher
...
Or la fonction
La première méthode d’approximation que nous allons considérer s’appelle la méthode
des rectangles
...
Par exemple, on suppose que f est crois(b − a)
sante
...
On a évidemment, pour k = 1, 2,
...
D’où, en sommant :
n−1
h ∑ f a + kh ≤
k=0
b
a
n
f (t) dt ≤ h ∑ f a + kh
...
On peut donner une estimation de l’erreur E commise en remplaçant l’intégrale de f par
l’une de ces sommes : on majore la différence entre l’intégrale de f et l’une de ces sommes
par la différence des sommes majorant et minorant cette intégrale, soit :
n
n−1
k=1
k=0
E ≤ h ∑ f a + kh − h ∑ f a + kh = h f (b) − f (a) =
(b − a)
f (b) − f (a)
...
Il suffit donc en théorie de découper l’intern
valle [a, b] en suffisamment de petits sous-intervalles pour obtenir une erreur aussi petite
que l’on veut
...
6
...
6
...
Calcul appoché de
1
2
et dt,
0
par la méthode des rectangles
...
Cet exemple montre que cette méthode n’est pas très efficace
...
Méthode des trapèzes
Soit f une fonction définie sur [a, b], à valeurs dans R et soit n ∈ N∗
...
Pour essayer d’améliorer le résultat précédent, l’idée est de remplacer la fonction f sur
chaque intervalle [a + (k − 1)h, a + kh] non plus par une constante mais par une fonction
affine prenant les mêmes valeurs que f aux points a + (k − 1)h et a + kh, c’est-à-dire par
la fonction gk définie par :
gk (t) =
1
f a + kh [t − (a + (k − 1)h)] − f a + (k − 1)h [t − (a + kh)]
...
2
b
f (t) dt par la somme de ces ex-
La méthode des trapèzes consiste donc à approcher
a
pressions pour k = 1, 2,
...
2n
n
k=1
Comme dans le cas de la méthode des rectangles, il s’agit d’évaluer l’erreur E, commise
en remplaçant l’intégrale de f par cette somme
...
6
...
Soit f une fonction de [u, v] dans R, deux fois dérivable sur [u, v] et telle
qu’il exite α , β ∈ R tels que : ∀t ∈ [u, v] , α ≤ f ′′ (t) ≤ β
...
12
64
Chapitre 3
...
La fonction h définie par h(t) = f (t) +
h′′ (t) = f ′′ (t) − α ≥ 0
...
Si g est la fonction affine prenant les mêmes valeurs que f (donc que h) en u et v, on aura
donc : ∀t ∈ [u, v] , h(t) ≤ g(t)
...
u
(v − u)3
...
2
12
u
u
Ceci donne bien la première inégalité du lemme
...
2
v
g(t) dt =
En appliquant ce lemme à chaque sous-intervalle [a + (k − 1)h, a + kh] et en sommant sur
k = 1, 2,
...
6
...
Soit f : [a, b] → R deux fois dérivable sur [a, b] et telle que pour tout
t ∈ [a, b] , α ≤ f ′′ (t) ≤ β , alors, pour tout n ∈ N∗ , on a :
α (b − a)3
≤ Sn −
12n2
b
a
β (b − a)3
,
f (t) dt ≤
12n2
avec
Sn =
n−1
(b − a)
b−a
f (a) + f (b) + 2 ∑ f (a + k
)
...
On peut remarquer que l’erreur dans la méthode des trapèzes tend vers 0 comme
3
...
4 Exemple
...
2
On a f ′′ (x) = (2 + 4x2 )ex , d’où pour x ∈ [0, 1] : 2 ≤ f ′′ (x) ≤ 6e < 17
...
La méthode des trapèzes est donc plus efficace que la méthode des rectangles
...
7
...
7 Définition des intégrales généralisées
Dans ce paragraphe, on considérera un intervalle semi-ouvert [a, b[ de R et une fonction
f , définie sur [a,b[, à valeurs dans R ou C, tels que :
ou bien b = +∞
ou bien b < +∞ et f n’est pas définie en b
...
Il suffit pour les
démontrer de faire un changement de variable t → −t
...
Remarque
...
Cela provient du fait que ce sont deux
types particuliers de sommation, l’une discrète pour les séries et l’autre continue pour les
intégrales généralisées
...
3
...
3
...
1 Définition
...
7
...
1) Soit f une fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[,
à valeurs dans R ou C, localement intégrable sur [a, b[
...
a
Si f est intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[, on appellera intégrale
2)
b
généralisée de f sur [a, b[ et on notera
f (t) dt la limite ci-dessus, c’est-à-dire :
a
b
x
f (t) dt = lim
x→b a
a
f (t) dt
...
7
...
Lorsqu’une fonction localement intégrable f est intégrable sur un intervalle semi-ouvert [a, b[ au sens des intégrales généralisées définies ci-dessus, on dit que
l’intégrale généralisée
b
f (t) dt,
a
converge
...
7
...
Soit f (t) =
1)
tervalle [0, +∞[
...
Alors f est intégrable sur l’in1 + t2
x
lim
x→+∞ 0
2)
Soit f (t) =
f (t) dt = lim arctgx =
x→+∞
π
...
Alors f n’est pas intégrable sur [0, +∞[
...
x→+∞
66
Chapitre 3
...
Alors f est intégrable sur ]0, 1]
...
1
lim
x→0 x
4)
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
Soit f (t) =
x→0
1
sur ]0, 1]
...
En effet :
t
1
f (t) dt = lim (− ln x) = +∞
...
Soit f une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert [a, b[, à valeurs dans
R ou C, localement intégrable sur [a, b[
...
lim
x→b α
Il est clair que, puisque pour tout x ∈ [a, b[,
α
x
f (t) dt =
a
a
on a la formule :
x
f (t) dt +
α
b
f (t) dt =
a
α
f (t) dt,
b
f (t) dt +
a
α
f (t) dt,
où la première intégrale est l’intégrale de Riemann de f sur [a, α ] et la deuxième intégrale
est l’intégrale généralisée de f sur l’intervalle semi-ouvert [α , b[
...
2
...
7
...
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert
[a, b[, intégrables sur [a, b[
...
a
Si ∀t ∈ [a, b[ , f (t) ≤ g(t), alors :
b
b
a
4)
g(t) dt
...
a
Si c ∈]a, b[, alors :
b
c
f (t) dt =
a
b
f (t) dt +
a
f (t) dt
...
7
...
3
...
6 Notations
...
On convient de noter V (b)
un voisinage du point b dans [a, b[, c’est-à-dire un intervalle du type [A, +∞[ si b = +∞ et
un intervalle du type [b − η , b[, 0 < η ≤ b − a, si b est fini
...
7
...
Critère de Cauchy
Soit F une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert [a, b[, à valeurs dans R ou C
...
Démonstration
...
Par définition, il existe un
voisinage V (b) de b tel que
ε
x ∈ V (b) ⇒ |F(x) − l| ≤
...
Donc F vérifie bien le critère de Cauchy
...
Alors il existe N0 ∈ N
tel que
n ≥ N0 ⇒ xn ∈ V (b)
...
Elle converge donc vers une limite l et de plus,
ε
n ≥ N0 ⇒ |F(xn ) − l| ≤
...
2 2
La fonction F admet donc l comme limite quand x → b
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
3
...
8 Corollaire
...
Alors f est intégrable sur [a, b[ si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un
voisinage V (b) du point b tel que :
′
x, x ∈ V (b) ⇒
x′
x
f (t) dt ≤ ε
...
3
...
7
...
La fonction cost 2 est intégrable sur [1, +∞[ et ne tend pas vers 0 lorsque
t → +∞
...
s s
Le terme tout intégré tend vers 0 quand x → +∞ et on verra plus loin (voir exemple 3
...
3
+∞ sin s
√ ds existe
...
3
...
Comme dans l’étude des série numériques à termes positifs, on a dans le cas des fonctions
positives, des théorèmes de comparaison :
3
...
1 Théorème
...
Alors, si g est intégrable sur [a, b[, f l’est aussi et si f n’est pas intégrable sur [a, b[, g ne
l’est pas non plus
...
Il suffit de montrer la première propriété, la seconde étant la contraposée
de la première
...
f (t) dt et G(x) =
∀x ∈ [a, b[ , F(x) =
a
a
Alors, d’après les propriétés de l’intégrale de Riemann, les fonctions F et G sont croissantes comme intégrales de fonctions positives et de plus,
∀x ∈ [a, b[ , F(x) ≤ G(x)
...
Par suite, la fonction F(x) est également bornée sur [a, b[ et comme
elle est croissante, elle admet une limite quand x → b et ceci équivaut à dire que f est
intégrable sur [a, b[
...
8
...
69
3
...
2 Théorème
...
Alors, si f est équivalente à g au voisinage de b, f est intégrable sur l’intervalle semiouvert [a, b[ si et seulement si g est intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[
...
Soit ε > 0 fixé
...
On peut donc appliquer le théorème 3
...
1 : si g est intégrable sur [α , b[, f l’est aussi par
l’inégalité de droite et si f est intégrable sur [α , b[, g l’est aussi par l’inégalité de gauche
...
Pour appliquer ces théorèmes de comparaison, nous allons étudier l’intégrabilité de fonctions classiques qui constitueront une échelle de comparaison
...
8
...
Les fonctions de Riemann
1
1) Soit α > 0 et f (t) = α , définie sur l’intervalle semi-ouvert [1, +∞[
...
1
2) Soit α > 0 et f (t) = α , définie sur l’intervalle semi-ouvert ]0, 1]
...
Démonstration
...
Ces fonctions n’ont de limite quand x → +∞ que si α > 1
...
Ces fonctions n’ont de limite quand x → 0 que si α < 1
...
Par un changement de variable u = t −a, ces arguments s’appliquent aussi aux
1
, sur les intervalles semi-ouverts ]a, b] ou [b, +∞[
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
ln(cos 1 )
t
3
...
4 Exemple
...
Cette fonction est négative sur [2, +∞[
...
1
1
1
La fonction cos est équivalente à 1 − 2 en +∞, donc la fonction − ln(cos ) est équit
2t
t
1
1
valente à 2 en +∞
...
2t
2t lnt
1
1
≤ 2 sur [2, +∞[ et cette dernière fonction est intégrable en +∞
...
8
...
8
...
On peut aussi comparer dans certains cas des intégrales généralisées et des séries numériques :
3
...
5 Théorème
...
Pour que f soit intégrable sur [a, +∞[ il faut et
il suffit que la série numérique à termes positifs, de terme général un = f (n) soit convergente
...
Si f : [a, +∞[→ R est positive et décroissante, on pose
n+1
∀n ∈ N , vn =
f (t)dt
n
On a alors,
∀n ∈ N , 0 ≤ un+1 = f (n + 1) ≤ vn ≤ un = f (n)
...
4
...
Or, si N0 ∈ N est tel que a ≤ N0 , on peut écrire,
N
N0 ≤ N ≤ x ≤ N + 1 ⇒
∑
n=N0
N+1
x
vn ≤
N0
f (t) dt ≤
∑
vn
...
Par suite, la fonction f est bien intégrable sur [N0 , +∞[ et
donc aussi sur [a, +∞[ si et seulement si la série de terme général un converge
...
9 Intégrales généralisées des fonctions
ne gardant pas un signe constant
...
9
...
Soit f une fonction localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert
[a, b[
...
x
En d’autres termes, ceci veut dire que la limite quand x tend vers b de
a
| f (t)|dt existe
...
9
...
9
...
Soit f une fonction localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert
[a, b[
...
a
Démonstration
...
7
...
x′
f (t) dt ≤
x
Donc
x′
x, x′ ∈ V (b) ⇒
x
| f (t)| dt
f (t) dt ≤ ε ,
et de nouveau par le corollaire 3
...
8, la fonction f est intégrable sur [a, b[
...
9
...
1)
f (t) dt ≤
La fonction f (t) =
valle semi-ouvert [1, +∞[
...
sint
est absolument intégrable sur l’inter1 + t2
cost
La fonction g(t) = √ est intégrable et non absolument intégrable sur l’intert
valle semi-ouvert [1, +∞[
...
2
1+t
t
1
existe sur [1, +∞[ par la proposition 3
...
3 et le théorème 3
...
1
...
2) Pour la fonction g, on fixe x ∈ [1, +∞[ et on intègre par parties :
L’intégrale de
x
1
sint
La fonction √
t
sint
g(t) dt = √
t
x
+
1
1
2
x
1
sint
√ dt
...
On en déduit bien
que la fonction g est intégrable sur [1, +∞[
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
Pour voir que g n’est pas absolument intégrable sur cet intervalle, on écrit, pour tout
n∈N:
π
(n+1)π
1
|g(t)| dt ≥
|cost| dt
...
En sommant sur n, comme la série
Remarque
...
Cependant on doit remarquer que le résultat d’intégration par parties n’est vrai
que pour les intégrales de Riemann et qu’il n’y a pas d’analogue pour les intégrales généralisées
...
9
...
Soit f une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert [a, +∞[,
avec a > 0, telle qu’il existe α > 1 vérifiant : lim t α | f (t)| = 0 Alors f est absolument
t→∞
intégrable sur [a, +∞[
...
Puisque la fonction f est continue, elle est localement intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a, +∞[
...
t→∞
t
On peut donc appliquer le théorème de comparaison, 3
...
1 sur l’intervalle [A, +∞[ : la
1
fonction de Riemann α étant intégrable en +∞, f est bien absolument intégrable sur cet
t
intervalle
...
9
...
Soit f une fonction définie sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[, continue,
positive, décroissante et tendant vers 0 quand x tend vers b
...
Alors f g est intégrable sur [a, b[
...
C’est une conséquence de la deuxième formule de la moyenne, (théorème 3
...
1)
...
Il est clair que ces deux
fonctions vérifient aussi les hypothèses du théorème 3
...
5
...
9
...
On peut donc supposer que g est
à valeurs réelles
...
9
...
u
§ 3
...
Exercices sur le chapitre 3
y
y
g(t) dt =
On écrit
u
a
73
u
g(t) dt −
g(t) dt et on en déduit :
a
v
u
f (t)g(t) dt ≤ 2M f (u)
...
7
...
Remarque
...
3
...
1 Exercice
...
On pose g = f −1
...
0
0
2) En déduire que, pour tout α ∈ [0, a] et β ∈ [0, f (a)] :
αβ ≤
α
β
f (t) dt +
0
g(t) dt
...
2 Exercice
...
t
3
...
Calculer une primitive F de la fonction f (t) =
, définie sur l’intervalle
cos2t
π π
ouvert ] − , [
...
4 Exercice
...
Déterminer l’ensemble des couples (α , β ) pour
lesquels l’intégrale généralisée
+∞ t α lnt
dt
1 + tβ
0
est convergente
...
5 Exercice
...
1 + t a sin2 t
On distinguera les 4 cas suivants : a ≤ 0 , 0 < a ≤ 1 , 1 < a ≤ 2 , 2 < a
...
74
Chapitre 3
...
6 Exercice
...
t→+∞
Calculer
t→−∞
+∞
( f (t + 1) − f (t)) dt
...
)
3
...
Construire une fonction positive et continue sur [0, +∞[, dont l’intégrale
généralisée existe sur cet intervalle mais qui n’est pas bornée sur [0, +∞[
...
11 Corrigé des exercices sur le Chapitre 3
Corrigé de l’exercice 3
...
, n − 1 soit ci ∈ [ti ,ti+1]
...
i=0
est une subdivision du segment [0, f (a)]
...
i=0
On choisit pour chaque i : ci = ti+1 et di = f (ti )
...
2) a) Supposons f (α ) ≤ β ≤ f (a)
...
D’autre part, g étant croissante sur [ f (α ), β ],
β
f (α )
D’où
α
0
g(t) dt ≥ g f (α )
β
f (t) dt +
0
β
f (α )
dt = α β − f (α )
...
b) Supposons 0 ≤ β < f (α ), on a alors α > f −1 (β )
...
§ 3
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 3
75
Corrigé de l’exercice 3
...
2
2
On remarque d’abord que ∀t ∈ [a, b], e−nt ≤ e−na
...
1
2
Or (b − a) n tend vers 1 lorsque n → +∞
...
2
Pour démontrer l’autre inégalité, on utilise la continuité de la fonction e−t en a : à ε > 0
2
2
donné, on associe α > 0 tel que a + α ≤ b et pour tout t ∈ [a, a + α ], e−t ≥ e−a (1 − ε )
...
1
Comme α n tend vers 1 lorsque n → +∞, on en déduit
2
lim In ≥ (1 − ε )e−a
...
n→+∞
Corrigé de l’exercice 3
...
D’où
x
F(x) =
0
t
dt = t tant
cos2 t
x
−
0
x
0
tant dt = x tan x + ln |cos| x
...
4
On distingue les 2 bornes d’intégration :
En +∞, la condition sur α et β est β − α > 1
...
L’ensemble cherché est donc : {(α , β ) / α > −1 et β > 1 + α }
...
5
76
Chapitre 3
...
1) Supposons a ≤ 0
...
2) Supposons 0 < a ≤ 1
...
a
a sin2 t
1+t
1+t
1
1
est équivalente au voisinage de +∞ à a , qui n’est pas intégrable en
a
1+t
t
1
n’est pas intégrable sur [0, +∞[
...
Donc la fonction
1 + t a sin2 t
3) Supposons 1 < a et posons, pour n > 1 :
Or la fonction
un =
nπ + π
2
nπ − π
2
+π
2
dt
et u0 =
1 + t a sin2 t
0
dt
1 + t a sin2 t
En effectuant le changement de variable t = nπ + s, on obtient :
un =
+π
2
−π
2
ds
...
2
2
π a
π
− 2 1 + (nπ + 2 ) sin s
− 2 1 + (nπ − 2 )a sin s
On peut calculer l’intégrale de Riemann I =
ment de variable u = tan s :
+∞
I=
−∞
+π
2
−π
2
du
u2 (1 +Ca ) + 1
ds
en effectuant le change1 +Ca sin2 s
=
π
1
(1 +Ca ) 2
...
(nπ ) 2
La série à termes positifs un est encadrée par deux séries à termes positifs vn et wn , qui sont
convergentes si et seulement si a > 2
...
X
dt
On pose, pour X > 0 : F(X ) =
...
2
k=0
§ 3
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 3
77
π
a) Pour 1 < a ≤ 2, F(nπ + ) tend vers +∞ lorsque n → +∞ et donc F(X ) ne peut pas
2
avoir de limite lorsque n → +∞ et l’intégrale généralisée diverge
...
On peut
2
2
donc écrire :
X
π
dt
F(x) = F(nπ − ) +
...
D’autre part, l’intégrale
2
X
dt
est inférieure à un+1 et donc tend vers 0 lorsque X → +∞
...
Corrigé de l’exercice 3
...
1) Soit X > 0, on peut écrire :
X
X
f (t + 1) − f (t) dt =
0
0
X
f (t + 1) dt −
X+1
=
1
f (t) dt
0
X
X+1
=
X
f (s) ds −
f (t) dt −
f (t) dt
0
1
f (t) dt
...
Puisque f (t) tend vers l lorsque t → +∞, il existe A > 0 tel que t > A entraîne
l − ε < f (t) < l + ε
...
+∞
f (x)dx = l et l’intégrale généralisée
0
f (t + 1) − f (t) dt existe et
f (t) dt
...
0
En rassemblant ces deux résultats, on en déduit donc que l’intégrale généralisée
+∞
−∞
f (t + 1) − f (t) dt
existe et vaut l − l ′
...
7
L’idée est de construire une fonction, nulle sauf sur de très petits intervalles où elle prend
de grandes valeurs
...
Intégrale de Riemann et intégrale généralisée
f est nulle ailleurs
...
X
1 +∞ 1
En revanche, pour tout X > 0, l’intégrale F(X ) =
f (t) dt est majorée par ∑ 2
...
Chapitre 4
Suites et séries de fonctions
4
...
4
...
1 Définition
...
ii) Une suite de fonctions ( fn )n∈N de D dans K converge simplement vers la fonction f si quelque soit t ∈ D, la suite numérique fn (t) n∈N converge vers f (t)
...
1
...
La suite de fonctions ( fn )n∈N de D dans K converge simplement vers
la fonction f si et seulement si :
∀t ∈ D , ∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ | fn (t) − f (t)| ≤ ε
...
1
...
i) Une série de fonctions de terme général un de D dans K
est un couple formé de deux suites de fonctions définies sur D et à valeurs dans K
{(un )n∈N , (sn)n∈N } telles que
n
∀t ∈ D , ∀n ∈ N , sn (t) = ∑ ui (t)
...
iii) Une série de fonctions de terme général un , défini sur D, à valeurs dans K
converge simplement et a pour somme s si quel que soit t ∈ D, la série numérique de
terme général un (t) converge et a pour somme s(t)
...
1
...
On note s = ∑ ui
...
i=0
80
Chapitre 4
...
i=n+1
La convergence de la série de terme général un (t) s’exprime par la convergence de la
n
suite des sommes partielles sn (t) =
∑ ui(t)
...
1
...
1
...
La série de fonctions de terme général un de D dans K converge simplement et a pour somme s si et seulement si, ∀t ∈ D , ∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que :
n
n ≥ N ⇒ |sn (t) − s(t)| =
∑ un (t) − s(t)
i=0
= |rn (t)| ≤ ε
...
A
cause de cela, la convergence simple des suites ou séries de fonctions ne transmet pas, en
général, les propriétés de la suite à sa limite ou de la série à sa somme
...
1
...
i)
La suite de fonctions continues définie pour tout t ∈ [0, 1] par
fn (t) = t n ,
converge simplement vers la fonction discontinue f telle que :
f (t) = 0 si t ∈ [0, 1[
f (1) = 1
...
4
...
7 Exemple
...
Par contre la suites des dérivées
n cos nt √
′
fn (t) = √
= n cos nt,
n
§ 4
...
Convergence uniforme
81
ne converge pas vers 0 qui est pourtant la dérivée de la limite des ( fn )n∈N
...
La série des dérivées ne converge pas
...
1
...
i) La suite de fonctions définie par fn (t) = nt(1 − t 2)n pour tout
t ∈ [0, 1] converge simplement vers la fonction nulle
...
2n + 2
Cette suite converge vers 1/2 qui n’est pas égal à l’intégrale de la limite des ( fn )n∈N sur
[0, 1]
...
L’intégrale de un sur [0, 1]
n−1
n
−
...
Pour que les propriétés de la suite ou de la série, se transmettent à la limite de la suite
ou à la somme de la série, on est donc amené à définir une convergence plus forte, la
convergence uniforme
...
2 Convergence uniforme
4
...
1 Définition
...
Cette définition s’écrit encore :
4
...
2 Proposition
...
t∈D
82
Chapitre 4
...
2
...
Une série de fonctions de terme général un de D dans K converge uniformément et a pour somme s si :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que,
n
n ≥ N ⇒ ∀t ∈ D , |sn (t) − s(t)| =
∑ ui(t) − s(t)
i=0
= |rn (t)| ≤ ε
...
2
...
La série de fonctions de terme général un de D dans K converge
uniformément et a pour somme s si et seulement si :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que,
n
n ≥ N ⇒ sup |sn (t) − s(t)| = sup
t∈D
∑ un(t) − s(t)
t∈D i=0
= sup |rn (t)| ≤ ε
...
2
...
Soit f une fonction bornée sur D, alors on appelle norme de la convergence uniforme de f , le nombre défini par :
f
∞
= sup{| f (t)| | t ∈ D}
...
1) La suite de fonctions ( fn )n∈N converge uniformément vers f si et
seulement si la suite numérique ( fn − f ∞ )n∈N converge vers 0
...
La différence essentielle entre les définitions 4
...
1 et 4
...
3 sur la convergence uniforme
des suites et séries de fonctions et leurs analogues pour la convergence simple, définitions
4
...
1 et 4
...
3, est qu’ici l’entier N ne dépend pas de t ∈ D : il est le même pour tous les t
dans D
...
2
...
i) Si une suite ( fn )n∈N converge uniformément vers f , elle
converge simplement vers f et la réciproque est fausse
...
La réciproque est fausse
...
i) Il suffit de remarquer que si supt∈D | fn (t) − f (t)| tend vers 0 quand
n → +∞, alors, pour t0 fixé dans D, fn (t0) − f (t0 ) tend vers 0
...
1
...
Or supt∈[0,1] | fn (t) − f (t)| = supt∈[0,1[ |t n| = 1 ne tend pas vers 0 quand n → +∞ donc cette
suite ne converge pas uniformément sur [0, 1]
...
2
...
De même, pour montrer que la réciproque de cette proposition est fausse, donnons un
contre exemple :
la série de fonctions de l’exemple 4
...
6, de terme général un (t) = sin2 t cosn t défini pour
t ∈ [0, π /2] converge simplement mais non uniformément car :
+∞
sup |rn (t)| =
t∈[0,π /2]
sup
∑
t∈[0,π /2] i=n+1
sin2 t cosi t =
sup
x∈[0,π /2]
sin2 t cosn+1 t
= 2,
1 − cost
puisque :
sin2 t cosn+1 t
= 2
...
2
...
Critère de Cauchy uniforme
...
t∈D
ii) Une série de fonctions de terme général un de D dans K converge uniformément
si et seulement si :
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que p, q ≥ N ⇒ sup s p (t) − sq(t) = sup
t∈D
p
∑
t∈D i=q+1
ui (t) ≤ ε
...
i) Supposons que ( fn )n∈N converge uniformément vers f sur D
...
D’où
p, q ≥ N ⇒ ∀t ∈ D , f p (t) − fq(t) ≤ f p (t) − f (t) + fq (t) − f (t) ≤ 2ε
...
Réciproquement, si
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que p, q ≥ N ⇒ ∀t ∈ D , f p (t) − fq(t) ≤ ε ,
pour t ∈ D fixé, la suite de nombres ( fn (t))n∈N est de Cauchy dans K, donc converge vers
un nombre f (t)
...
Ceci montre que la suite ( fn )n∈N converge uniformément vers f
...
84
Chapitre 4
...
3
...
2
...
Si la série de fonctions de terme général un de D dans K converge
uniformément sur D, alors un ∞ = supt∈D |un (t)| → 0 quand n → ∞
...
Démonstration
...
Pour montrer que la réciproque est fausse, il suffit de prendre une série dont le terme
général est une fonction constante, qui diverge et dont le terme général tend vers 0 à
l’infini comme en 2
...
6
...
n
On a pour les séries de fonctions, une notion de convergence, la convergence normale,
qui implique la convergence uniforme et qui dans la pratique est souvent facile à vérifier :
4
...
9 Définition
...
Le terme convergence normale correspond au fait qu’elle s’exprime à l’aide de la norme
de la convergence uniforme définie dans la définition 4
...
5 :
Cette notion de convergence est plus forte que la convergence uniforme car on a :
4
...
10 Proposition
...
Démonstration
...
i=q+1 t∈D
Si la série numérique de terme général supt∈D |un (t)| converge, elle vérifie le critère de
Cauchy et l’inégalité ci-dessus prouve que la série de terme général un vérifie le critère de
Cauchy uniforme
...
Remarque
...
En effet, cette série de fonctions n’est pas normalement convergente car
un
∞ = sup
t∈[0,1]
et cette série numérique est divergente
...
3
...
5
...
n+1+t
n+1
Par suite, sup |rn (t)| → 0 quand n → ∞ et on a bien convergence uniforme sur [0, 1]
...
2
...
i) La série de terme général un (t) = 2 , n > 1, définie sur R
n
converge normalement car :
un
∞
= sup
t∈R
1
sin nt
= 2
...
La série de terme général un (z) = zn définie sur le disque Dr centré
à l’origine, de rayon r, converge uniformément sur ce disque car :
un
∞
= sup |un (z)| = rn
...
Dans toutes les définitions et propriétés de ce paragraphe, le domaine D est
fondamental
...
4
...
3
...
Soit ( fn )n∈N une suite de fonctions définies sur un domaine D et qui
converge uniformément vers une fonction f sur D
...
On peut alors écrire :
f (t0 ) = lim f (t) = lim lim fn (t)
t→t0
t→t0 n→+∞
= lim fn (t0 ) = lim lim fn (t),
n→+∞
n→+∞ t→t0
ce qui est un cas d’interversion de limites
...
Puisque la suite ( fn )n∈N converge uniformément vers f , on a :
ε
∀ε > 0 , ∃N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ ∀t ∈ D , | fn (t) − f (t)| ≤
...
3
Pour tout t ∈ D , on peut alors écrire :
| f (t) − f (t0)| = | f (t) − fN (t) + fN (t) − fN (t0) + fN (t0 ) − f (t0)|
≤ | f (t) − fN (t)| + | fN (t) − fN (t0)| + | fN (t0) − f (t0)|
...
Suites et séries de fonctions
Donc si |t − t0 | ≤ η , on a
| f (t) − f (t0)| ≤
ε ε ε
+ + = ε
...
4
...
2 Corollaire
...
Si pour tout n ∈ N, fn est continue sur
D, f est aussi continue sur D
...
3
...
On considère une série de fonctions de terme général un , défini sur un
domaine D, qui converge uniformément et a pour somme la fonction s sur D
...
On peut alors écrire :
+∞
s(t0) = lim ∑ ui (t)
t→t0
i=0
+∞
+∞
i=0
i=0
= ∑ ui (t0 ) = ∑ lim ui (t),
t→t0
ce qui est un cas d’interversion de limite et somme infinie
...
On applique le théorème 4
...
1 à la suite sn n∈N des sommes partielles
de la série de terme général un , qui sont continues comme sommes finies de fonctions
continues
...
3
...
On considère une série de fonctions de terme général un , défini sur un
domaine D, qui converge uniformément et a pour somme la fonction s sur D
...
On utilise souvent ces résultats par contraposée : en reprenant l’exemple 4
...
6, on retrouve
immédiatement :
4
...
5 Exemple
...
Elle ne converge donc pas uniformément sur
cet intervalle
...
Elle ne converge donc pas
uniformément sur cet intervalle
...
De plus, en général, on ne peut
pas appliquer directement les résultats de continuité des limites de suites de fonctions,
théorème 4
...
1, et de sommes de séries de fonctions, théorème 4
...
3, sur le domaine D en
entier et on est obligé d’utiliser un argument, dit de saturation
...
3
...
1) La suite de fonctions fn (t) = n2te−nt ne converge pas uniformément sur [0, +∞[ mais sa limite est continue sur [0, +∞[
...
§ 4
...
Dérivabilité des limites et des sommes
pour la convergence uniforme
87
Démonstration
...
′
Par contre, la convergence n’est pas uniforme
...
n t∈[0,+∞[
n
e
En revanche, il est facile de voir que la suite de fonctions ( fn )n∈N converge uniformément
vers 0 sur tout intervalle [a, +∞[, pour a > 0
...
On peut écrire :
∀t ∈ [a, +∞[ , 0 ≤
1
1
≤ a
...
La série de fonctions de terme
n
1
général t est normalement convergente donc uniformément convergente sur [a, +∞[ et
n
sa somme s est continue sur cet intervalle
...
4
...
4
...
1 Théorème
...
Alors, la suite ( fn )n∈N converge uniformément sur tout sous-intervalle borné de I vers
une fonction dérivable f telle que f ′ = g
...
Démonstration
...
′
Soit ε > 0 fixé
...
2 |I ′ |
Pour chaque couple p, q ≥ N, appliquons le théorème des accroissements finis en t0 à la
fonction f p − fq : pour tout t ∈ I ′ ,
[ f p (t) − fq(t)] − [ f p(t0) − fq (t0)]
′
′
≤ |t − t0 | sup f p (t) − fq(t)
t∈I ′
≤ |t − t0 |
ε
ε
≤
...
Suites et séries de fonctions
Donc pour tout t ∈ I ′ , on a :
ε
f p (t) − fq(t) ≤ f p (t0) − fq (t0) +
...
2
On en déduit que :
ε ε
p, q ≥ sup{N, N ′ } ⇒ ∀t ∈ I ′ , f p (t) − fq(t) ≤ + = ε
...
Soit f sa limite
...
t − t1
t − t1
t − t1
t − t1
2 |I ′ |
En revenant au début de la démonstration, on a vu que l’on a aussi :
ε
′
′
...
Soit ϕ sa
limite
...
t − t1
En appliquant le théorème 4
...
1, on voit que la limite ϕ de (ϕn )n∈N est continue en t1 et
que
fn (t) − fn(t1)
n→+∞
n→+∞ t→t1
t − t1
fn (t) − fn(t1)
f (t) − f (t1)
= lim lim
= lim
...
n→+∞
Puisque ceci est vrai pour tout t1 ∈ I ′ , ceci prouve bien que f est dérivable sur I ′ et que sa
′
dérivée est la limite de la suite ( fn )n∈N , c’est-à-dire que g = f ′
...
Donc la limite f de la suite ( fn )n∈N est dérivable, de
dérivée g sur tous sous-intervalles bornés de I contenant t0 et par suite sur I tout entier
...
4
...
4
...
Sous les hypothèses du théorème 4
...
1, si de plus, les fonctions fn sont
′ continue sur I
...
Comme sous les hypothèses du théorème 4
...
1, la suite ( fn )n∈N converge
uniformément sur tout sous-intervalle borné de I, il suffit d’appliquer le théorème 4
...
1 :
′
la limite f ′ de la suite ( fn )n∈N est continue sur tout sous-intervalle borné de I et donc sur
I tout entier
...
4
...
3 Exemple
...
2
n
n
D’où
1
∀t ∈ R , | fn (t) − |t|| ≤
...
D’après le théorème 4
...
1, la suite des dérivées ne converge pas uniformément sur R
...
4
...
4
...
Si la suite de fonctions dérivables ( fn )n∈N converge simplement sur
I vers f et si la suite des dérivées converge uniformément sur tous les sous-intervalles
bornés de I vers g, alors f est dérivable et f ′ = g sur I
...
4
...
Soit I un intervalle de R
...
Alors, la série de terme général un converge uniformément sur tout sous-intervalle borné
de I et a pour somme une fonction dérivable s telle que s′ = σ
...
Démonstration
...
4
...
90
Chapitre 4
...
4
...
Sous les hypothèses du théorème 4
...
5, si de plus, les fonctions u′ sont
n
continues sur I, alors la somme s a une dérivée s′ continue sur I
...
4
...
Si la série de fonctions dérivables, de terme général un converge simplement sur I et a pour somme s et si la suite des dérivées converge uniformément sur tous
les sous-intervalles bornés de I et a pour somme σ , alors s est dérivable et s′ = σ sur I
...
4
...
Soit 0 < r < 1 et I = [−r, +r]
...
n+1
La série numérique de terme général un (0) converge (c’est la série nulle !) et la série des
dérivées de terme général t n converge uniformément sur I d’après l’exemple 4
...
11 (ii)
...
n=0
+∞
Comme s(0) = 0, on en déduit que s(t) =
t n+1
∑ n + 1 = − ln(1 − t)
...
5 Intégration des limites et sommes pour la convergence uniforme
4
...
1 Théorème
...
Alors, la suite
b
numérique
a
b
fn (s) ds
converge et a pour limite
n∈N
On peut alors écrire :
b
f (s) ds
...
t
Démonstration
...
Les
fonctions Fn sont dérivables sur [a, b] comme intégrales de fonctions continues et de plus
∀t ∈ [a, b] , Fn′ (t) = fn (t)
...
On peut donc appliquer le
théorème 4
...
1 à la suite (Fn )n∈N : cette suite converge uniformément sur [a, b] vers une
fonction F telle que F ′ = f et F(a) = 0
...
a
En particulier pour t = b,
b
F(b) =
f (s) ds
...
6
...
5
...
Soit ( fn )n∈N la suite de fonctions définies sur [0, 1] par :
fn (t) = t n (1 − t)n
...
Ceci implique
4
4
que la suite de fonctions continues ( fn )n∈N converge uniformément vers 0 sur [0, 1]
...
4
...
3 Théorème
...
Alors, la série
b
numérique de terme général
a
On peut alors écrire :
b
un (t) dt converge et a pour somme
+∞
b
s(t) dt =
a
=
∑
s(t) dt
...
Démonstration
...
5
...
4
...
4 Exemple
...
1
t 2n
≤
, cette série converge normalement donc unifor(2n)!
(2n)!
mément (proposition 4
...
10) sur [0, 1]
...
0
4
...
1 Exercice
...
1) Déterminer le domaine de convergence simple D de cette suite de fonctions
...
92
Chapitre 4
...
2 Exercice
...
On considère la suite de fonctions
définie sur l’intervalle [0, 1] par :
n ≥ 1 , fn (x) = nxn (1 − x)α
...
2) Montrer que la suite de fonctions ( fn )n∈N converge uniformément vers sa limite sur
l’intervalle [0, 1] si et seulement si α > 1
...
Montrer que la suite de fonctions ( fn )n∈N converge uniformément sur le segment [0, a] pour tout a ∈ [0, 1[
...
3 Exercice
...
Pour tout n ∈ N, on désigne par un la
fonction définie pour x ∈ [0, +∞[ par :
2
un (x) = nxa e−nx
...
n→+∞ n
2) En déduire que pour tout a > 0, la série de fonctions de terme général un (x) converge
simplement sur [0, +∞[
...
n=1
+∞
b) En faisant un changement de variable, en déduire la somme s(x) =
∑ un(x) pour
n=1
tout x ∈ [0, +∞[
...
4)a) Calculer
x∈[0,+∞[
b) En déduire que la série de fonctions de terme général un (x) converge normalement
sur [0, +∞[ si et seulement si a > 4
...
On cherche à montrer que dans ce cas, la série de fonctions un (x) ne
converge pas uniformément sur [0, +∞[
...
N
∑ un(x) ne tend pas vers 0 quand N → +∞
...
6) On suppose toujours que a = 4
...
b) Retrouver la conclusion de la question 5)
...
7
...
4 Exercice
...
Soit
un (t) = exp 2−nt − 1, t ∈ R, n ∈ N∗
...
2) Soit a > 0
...
3) Soit s la somme de la série de fonctions de terme général un
...
4) Trouver un équivalent pour s(t) quand t tend vers +∞
...
7 Corrigé des exercices sur le Chapitre 4
Corrigé de l’exercice 4
...
Donc D =] , e[
...
1
Soit [a, b] ⊂] , e[ un sous-ensemble compact de D
...
Corrigé de l’exercice 4
...
Si x = 1, fn (x) = 0
...
2) On cherche le maximum de la fonction fn sur l’intervalle [0, 1]
...
n
, on voit que fn est croissante sur [0, xn] et décroissante sur [xn , 1]
...
n
n+α
e
Comme Mn → 0 lorsque n → +∞ si et seulement si α > 1, la suite de fonctions ( fn )n∈N
converge donc bien uniformément vers 0 sur [0, 1] si et seulement si α > 1
...
Suites et séries de fonctions
3) On suppose 0 < α ≤ 1
...
0≤x≤a
La suite de fonctions ( fn )n∈N converge donc bien uniformément sur le segment [0, a] pour
tout a ∈ [0, 1[
...
3
1
1
1) Pour x > 0, on a : ln un (x) = ln n + a ln x − nx2
...
On
peut donc appliquer le critère de Cauchy : la série de fonctions de terme général un (x)
converge
...
En x = 0, la série de fonctions est nulle
donc convergente de somme nulle
...
(1 − z)2 n=1
∞
e−x
b) Posons
On en déduit que pour x > 0, x
= ∑ un (x) = s(x)
...
u′ (x) = nxa−1 e−nx a − 2nx2
...
2 n
n
A
a
b) La série numérique de terme général a/2−1 converge si et seulement si − 1 > 1
2
n
c’est-à-dire a > 4, ce qui implique le résultat
...
4
2 2 − 2n
e N ≥ e−4
...
a
2N
D’où
∑ un(xN ) ≥ 4e−4 = C
...
c) La série de fonctions de terme général un (x) ne vérifie pas le critère de Cauchy uniforme
et donc ne converge pas uniformément sur ]0, +∞[
...
Donc s(x) ∼ e−x ∼ 1 quand x → 0
...
§ 4
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 4
95
Corrigé de l’exercice 4
...
On vérifie que f (0) = g(0) = 0,
que f est croissante sur [0, 1] et que g est décroissante sur [0, 1]
...
1) Si t ≤ 0, alors la suite (un (t))n∈N∗ ne converge pas vers 0 quand n tend vers +∞, donc
la série de terme général un (t) diverge
...
La série géométrique de terme général 2−nt étant convergente car |2−t | < 1, il résulte du
théorème des équivalents pour les séries à termes positifs que la série de terme général
un (t) converge
...
+
2) Pour chaque n ∈ N∗ , la fonction t → un (t) est positive et décroissante sur [a, +∞[ , car
u′ (t) = −n(ln 2)2−nt exp(2−nt ) ≤ 0 quel que soit t ∈ [a, +∞[
...
Puisque la série numérique de terme général un (a) converge, la série de fonctions de terme
général un converge normalement donc uniformément sur [a, +∞[
...
Soit a > 0 tel que a < t0
...
De plus, la série de fonctions de terme général un converge
uniformément sur [a, +∞[
...
En particulier, elle est
continue en t0 car t0 ∈ ]a, +∞[
...
+
+
4) Puisque 0 ≤ ex − 1 − x ≤ 2x2 pour tout x ∈ [0, 1], on a 2−nt ≤ un (t) ≤ 2−nt + 2 · 2−2nt ,
quels que soient t > 0 et n ∈ N∗
...
1 − 2−t
1 − 2−t
1 − 2−2t
Comme :
2−2t
2−t
= o 2−t et
∼t→+∞ 2−t on a :
1 − 2−2t
1 − 2−t
2−t
s(t) ∼t→+∞
∼t→+∞ 2−t
...
Chapitre 5
Séries entières
5
...
On désigne par t une variable réelle et par z une variable complexe
...
1
...
Soit (an )n∈N une suite de scalaires, réels ou complexes
...
Pour unifier la présentation des résultats suivants, on se place dans le cas d’une variable
complexe z, le cas réel s’en déduisant sans peine
...
1
...
On considère une série entière de terme général an zn
...
ii) Si |z| > R, le terme général de la série numérique an zn ne tend pas vers 0 et la
série diverge
...
Remarque
...
5
...
3 Définition
...
1
...
Le disque ouvert DR = {z ∈ C| |z| < R} s’appelle le disque de convergence de la série de
terme général an zn
...
Soit A = {r ∈ R+ | supn∈N |an | rn < +∞}
...
Posons R = sup A dans R+
...
Si R < +∞, pour tout z ∈ C, tel que |z| > R, alors |z| ∈ A
...
Cette
série est donc divergente d’après la proposition 2
...
6
...
On choisit r tel que |z| < r < R et on pose
M = supn∈N |an | rn ; ce sup existe puisque r ∈ A
...
Séries entières
z n
Le terme
est le terme général d’une série convergente et par suite la série numérique
r
an zn est absolument convergente
...
La
série numérique de terme général |an | rn est convergente d’après ii) et par suite la série de
fonctions de terme général an zn est normalement convergente sur Dr
...
1
...
On considère une série entière, de terme général an zn et de rayon de
convergence R
...
Démonstration
...
On choisit r > 0 tel que |z0 | < r < R
...
1
...
2
...
Sa somme s est donc continue sur cet ensemble
d’après le théorème 4
...
3, donc en particulier en z0
...
Remarque
...
ii) Si R = 0, on dit que la série diverge
...
5
...
5 Exemple
...
Donc R = 1
...
n
Donc R = 1
...
Dans le premier exemple, elle diverge
aussi pour z = −1, alors que dans le deuxième exemple, elle converge pour z = −1
...
1
...
On considère une série entière de terme général an zn
...
R
n→+∞
Démonstration
...
4
...
Or
n→+∞
lim sup(|an | |zn |)1/n = |z| lim sup(|an |)1/n
n→+∞
On en déduit que si |z| <
absolument
...
1
...
Donc
R≤
alors
1
lim supn→+∞ (|an |)1/n
Ces deux inégalités prouvent la proposition
...
1
...
On considère une série entière de terme général an zn , telle que an = 0
an+1
pour tout n ∈ N
...
R
Démonstration
...
4
...
n→∞ an
an+1 zn+1
1
< 1 donc la série de terme général an zn
Premier cas : Si |z| < alors lim
n→∞
L
an z n
converge
...
1
Ces deux propriétés impliquent bien que = L
...
La proposition 5
...
6 donne une caractérisation du rayon de convergence
d’une série entière, contrairement à la proposition 5
...
7 qui ne donne sa valeur que dans
an+1
le cas où la limite de la suite (
)n∈N existe
...
1
...
Si lim
n→+∞
vaut L
...
On considère la série entière de terme général an zn
...
1
...
Par la proposition 5
...
6, la limite
L
supérieure de (|an |1/n )n∈N vaut L
...
Son rayon de convergence
an
1
1
vaut
...
Donc la limite supérieure de
L
|an |1/n
1
, vaut L
...
100
Chapitre 5
...
1
...
1) Soit P ∈ C[X ]
...
Alors,
P(n + 1)
an+1
lim
=
= 1
...
zn
2) Soit α ∈ R
...
3)
Comme
zn
est +∞
...
2 Opérations sur les séries entières
5
...
1 Théorème
...
Soient λ et µ deux scalaires
...
n
ii)
La série entière de terme général cn zn où pour tout n ∈ N, cn =
∑ ak bn−k a un
k=0
rayon de convergence supérieur ou égal à min{Ra , Rb } et a pour somme la fonction sa sb
...
i) Pour |z| < min{Ra , Rb }, les deux séries de termes généraux respectifs
an zn et bn zn sont convergentes
...
3
...
ii) On utilise le lemme sur les produits de séries numériques 2
...
11 :
On remarque que le terme général de la série produit des séries de termes généraux an zn
et bn zn est
n
∑ ak zk bn−k zn−k =
k=0
n
∑ ak bn−k
zn = cn zn
k=0
n
avec cn =
∑ ak bn−k
...
3
...
zn
5
...
2 Application
...
1
...
Alors, on a :
s(z + z′ ) = s(z)s(z′)
Démonstration
...
2
...
n=0
§ 5
...
Opérations sur les séries entières
101
5
...
3 Théorème
...
On considère deux séries entières de termes généraux respectifs an zn et bn zn , de rayons
de convergence respectifs Ra et Rb et de sommes respectives sa et sb
...
Alors il existe une série entière de rayon
i=0
de convergence supérieur ou égal à α , de somme sa osb
...
Notons r = ∑ |bi | α i
...
2
...
Notons
cn (k)zn le terme général cette série
...
En utilisant le théorème de sommation par paquets 2
...
4 on peut donc sommer en regroupant les termes de même degré en n : on obtient bien ainsi une série entière de rayon de
convergence supérieur ou égal à α et de somme sa osb
...
2
...
On considère une série entière de terme général an zn , de rayon de
convergence R et de somme s ; on cherche à substituer la fonction az + b dans cette série
...
On applique le théorème 5
...
3 : s’il existe α > 0 tel que α |a| + |b| < R, alors la série
entière de somme
+∞
s(az + b) =
∑ an(az + b)n = a0 + a1 (az + b) + a2(az + b)2 + · · ·
n=0
a un rayon de convergence supérieur à α
...
En réordonnant les termes selon les puissances de z, on trouve :
+∞
s(z + a) =
∑ cn zn
n=0
où pour tout n ∈ N,
+∞
cn =
n
∑ Cn+k an+k ak
k=0
102
Chapitre 5
...
2
...
On considère une série entière de terme général an zn , de rayon de
convergence R et de somme s ; on cherche à substituer la fonction z2 dans cette série
...
Le rayon de convergence de cette série est donc R
...
de terme général an z2n est
L
En multipliant le terme général par z, ce raisonnement s’applique aussi à la série de terme
√
général an z2n+1
...
5
...
6 Application
...
Alors il existe une série entière de terme général bn zn , de rayon de convergence non nul R′ , de somme σ telle que :
∀z < inf{R, R′ } , s(z)σ (z) = 1
Démonstration
...
2
...
Comme
+∞
1
= ∑ zn
1 − z n=0
on obtient ainsi une série entière bn zn de rayon de convergence non nul et telle que
+∞
+∞
n=0
n=0
∑ an zn
∑ bn z n = 1
Par identification, on trouve la relation suivante entre les coefficients an et bn :
a0 b0 = 1 et ∀n ≥ 1 , a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 = 0
...
5
...
5
...
1 Théorème
...
Les séries entières de termes généraux
nan zn−1 , n(n − 1)anzn−2 ,
...
(n − k + 1)anzn−k ,
...
3
...
On remarquera que le premier terme des séries entières de terme général an zn , nan zn−1 ,
n(n − 1)an zn−2 ,
...
(n − k + 1)an zn−k est obtenu respectivement pour n = 1,
n = 2,
...
Démonstration
...
1
...
R
n→+∞
Or comme lim n1/n = 1, on a :
n→+∞
1
= lim sup |an |
R
n→+∞
1/n
= lim sup |nan |
1/n
n→+∞
= lim sup |n(n − 1)an|
n→+∞
1/n
= · · · = lim sup |n(n − 1)
...
Dans la suite de ce paragraphe, nous nous limiterons au cas où la variable est réelle
...
3
...
Dérivation des séries entières d’une variable réelle
...
La fonction s est indéfiniment dérivable sur le domaine de
convergence de la série ] − R, +R[ et les dérivées successives sont les sommes des séries
obtenues en dérivant le terme général de la série de départ
...
Sous les hypothèses du corollaire, la série de terme général ant n converge
sur l’intervalle ]−R, +R[ et la série des dérivées converge uniformément sur tout intervalle
[−r, +r] avec r < R
...
4
...
La dérivée de s est la somme de la série
de terme général nant n−1 sur ] − R, +R[
...
On peut donc itérer le raisonnement
...
3
...
On considère une série entière réelle de terme général ant n, de somme
s et de rayon de convergence R
...
5
...
4 Corollaire
...
On considère une série entière réelle de terme général ant n, de somme s et de rayon de
convergence R
...
n=0
Démonstration
...
3
...
Sa somme s est
donc intégrable terme à terme sur ces intervalles par le théorème 4
...
3 et par suite sur
l’intervalle ouvert ] − R, +R[
...
104
Chapitre 5
...
4 Développement en série entière à l’origine
5
...
1 Définition
...
ii) On dit qu’une fonction f d’une variable complexe z est développable en série
entière à l’origine s’il existe une série entière de terme général an zn , de rayon de convergence R > 0, de somme s telle que
∀z ∈ DR , f (z) = s(z)
...
On a déjà rencontré une fonction développable en série entière :
5
...
2 Exemple
...
1−z
En effet, c’est la somme de la série de terme général zn , de rayon de convergence 1
...
5
...
3 Proposition
...
De plus, le développement en série entière s’il existe est unique
...
La somme d’une série entière d’une variable réelle étant indéfiniment
dérivable (corollaire 5
...
2), toute fonction f développable en série entière, est bien indéfiniment dérivable sur ] − R, +R[
...
3
...
Donc si f est développable en série entière, le
terme général de la série vérifie :
∀k ∈ N , ak =
f (k) (0)
...
5
...
4 Définition
...
La
f (k) (0) k
t s’appelle la série de Taylor de f
...
4
...
Soit f une fonction indéfiniment dérivable d’une variable réelle t
...
Le fait que f soit indéfiniment dérivable sur un intervalle ] − R, +R[ ne suffit pas à assurer
que cette fonction soit développable en série entière, même si sa série de Taylor converge :
§ 5
...
Développement en série entière à l’origine
105
−1
5
...
6 Exemple
...
Il est facile de vérifier que f est indéfiniment dérivable sur R
...
Donc, si f était développable en série entière, son développement serait la
série nulle, ce qui n’est pas possible car f n’est nulle sur aucun intervalle de la forme
] − R, +R[
...
Commençons par une remarque qui est une conséquence immédiate de la définition 5
...
1 :
Remarque
...
Alors f est développable en série entière sur ] − r, +r[ si et
seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
f (k) (0) k
t a un rayon de convergence R ≥ r
...
5
...
7 Théorème
...
Démonstration
...
On choisit ρ
tel que |t| < ρ < r et on lui associe la constante c > 0 donnée par l’hypothèse
...
t ≤c
k!
ρ
f (k) (0) k
La série de terme général
t est dominée par une série convergente, elle est donc
k!
f (k) (0) k
t est absolument convergente
...
Ce qui montre la propriété 1) de
la remarque
...
Pour cela, on rappelle la formule
de Taylor avec reste intégral, voir [9] : soit f une fonction indéfiniment dérivable sur un
intervalle ] − r, +r[
...
n!
Donc t et ρ étant fixés comme ci-dessus, on peut écrire :
n
f (t) − ∑
k=0
f (k) (0) k
t
k!
(1 − s)n (n+1)
f
(st)t n+1ds
n!
0
1 (1 − s)n
≤
f (n+1) (st)t n+1 ds
n!
0
t n+1 1
t
≤ c(n + 1)
(1 − s)nds = c
ρ
ρ
0
1
=
n+1
...
Séries entières
Ce dernier terme tend vers 0 quand n → +∞ et par suite le reste de la série tend vers 0
...
5
...
8 Exemple
...
Alors f est développable en série entière sur R
...
Donc quel que soit ρ > 0,
f (k) (t)
eρ
1
et
≤ c k,
= ≤
k!
k!
k!
ρ
|t| ≤ ρ ⇒
√
1
ρ k eρ
, qui est fini car on rappelle que, à l’infini, k! ∼ 2π kk+ 2 e−k
...
4
...
Elle
est donc développable en série entière sur R, sa série de Taylor a un rayon de convergence
égal à +∞ et
+∞ n
t
t
∀t ∈ R , e = ∑
...
4
...
Soit α ∈ R et f (t) = (1 + t)α
...
(α − n + 2)(α − n + 1) n
t
...
La somme d’une série entière de terme général ant n sera solution de (E) si et seulement
si :
+∞
+∞
′
(1 + t) ∑ ant n
= α ∑ an t n
n=0
n=0
a0 = 1
...
En effectuant les produits et en identifiant les termes de même degré, on trouve :
∀n ∈ N⋆ , [(n + 1)an+1 + nan ]t n = α ant n
a0 = 1,
§ 5
...
Développement en série entière des fonctions usuelles
107
ou encore
∀n ∈ N, (n + 1)an+1 + nan = α an
a0 = 1
...
∀n ∈ N⋆ , an+1 =
a0
L’unique solution de ce système infini est :
∀n ∈ N⋆ , an =
α (α − 1)
...
n!
La série entière ainsi obtenue a un rayon de convergence égal à 1 car
lim
n→+∞
α −n
an+1
= lim
= −1
...
(α − n + 2)(α − n + 1) n
t
n!
pour n ≥ 1 et a0 = 1 est donc solution de (E) sur ] − 1, +1[
...
La somme de la série entière de terme général an =
La méthode employée dans cet exemple se généralise à toute fonction, unique solution
d’une équation différentielle avec conditions initiales
...
2
...
f (n) (0)
...
5 Développement en série entière des fonctions usuelles
On part des trois développements en série entière que l’on connaît :
+∞
1
= ∑ t n , R = +1
1−t
n=0
+∞ n
t
t
, R = +∞
e =∑
n=0 n!
+∞
α (α − 1)
...
Par combinaisons linéaires
Cette technique est adaptée aux fonctions circulaires, sinus (sin), cosinus (cos) mais nous
verrons ces développements-là dans le paragraphe suivant, consacré à l’exponentielle
complexe car ils font appels à la théorie complexe des séries entières
...
Séries entières
également aux fonctions hyperboliques, sinus hyperbolique (sinh) et cosinus hyperbolique
(cosh), définies sur ] − ∞, +∞[ :
et + e−t
2
t − e−t
e
sinht =
2
cosht =
+∞
t 2n
, R = +∞
∑
n=0 (2n)!
+∞
t 2n+1
=∑
, R = +∞
n=0 (2n + 1)!
=
A partir de ces développements, on peut trouver ceux des fonctions tangente (tan) définie
π π
sur ] − , + [ et tangente hyperbolique (tanh), définie sur ] − ∞, +∞[ par quotient
...
3
...
3
...
(n − p + 1) n−p
1
= ∑
t , R = +1
p+1
(1 − t)
p!
n=p
Par intégration
Cette technique est spécialement utile pour des fonctions dont la dérivée admet un développement en séries entières connues
...
6
...
3
...
3
...
3
...
La fonction argument cosinus hyperbolique (argcosh) étant définie sur l’intervalle [1, +∞[ qui n’est pas symétrique par rapport à l’origine, le problème de son développement en série entière à l’origine ne se pose pas
...
6 Fonction exponentielle complexe
Par extension du cas d’une variable réelle, on définit l’exponentielle complexe par :
5
...
1 Définition
...
Cette définition est bien justifiée car on sait que le rayon de convergence de cette série est
infini
...
6
...
Pour tout z ∈ C,
+∞
z2n+1
z2n
,
sinh z = ∑
,
∑
n=0 (2n + 1)!
n=0 (2n)!
+∞
+∞
(−1)n z2n
(−1)n z2n+1
cos z = ∑
, sin z = ∑
...
En appliquant le théorème 5
...
1, la démonstration de la proposition suivante est immédiate à partir des définitions :
110
Chapitre 5
...
6
...
1)
Séries entières
Pour tout z ∈ C,
ez + e−z
ez − e−z
, sinh z =
,
2 −iz
2 −iz
eiz + e
eiz − e
cos z =
, sin z =
...
En renversant ces formules, on obtient encore :
5
...
4 Proposition
...
On a déjà démontré (application 5
...
2) la propriété fondamentale suivante de la fonction
exponentielle :
5
...
5 Théorème
...
5
...
6 Corollaire
...
De ce théorème, on peut aussi, par des calculs faciles, déduire les formules trigonométriques et hyperboliques, que l’on connaît déjà dans le cas d’une variable réelle :
5
...
7 Proposition
...
En utilisant les parités ou imparités des fonctions trigonométriques ou hyperboliques, on
obtient aisément des formules analogues avec z − z′
...
6
...
Pour tout t ∈ R les fonctions cos et sin définies ci-dessus vérifient :
cos2 t + sin2 t = 1,
où l’on utilise les notations abrégées cos2 t = (cost)2 et sin2 t = (sint)2
...
Cette définition de la fonction exponentielle complexe permet aussi de retrouver le module
et l’argument du nombre complexe ez :
§ 5
...
Fonction exponentielle complexe
111
5
...
9 Proposition
...
Alors :
1) ℜe ez = ex cos y et ℑm ez = ex sin y,
2) Le module de ez est égal à ex ,
3) L’argument de ez est égal à y
...
D’après le théorème 5
...
5 et la proposition 5
...
4, on peut écrire, pour
z = x + iy : ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y), ce qui prouve la proposition
...
6
...
i) Pour t ∈ R, eit est de module 1, sa partie réelle est cost et sa
partie imaginaire est sint
...
iii) ez = 1 si et seulement si z ∈ 2iπ Z
...
v) eiπ = −1
...
Cette définition de la fonction exponentielle d’une variable complexe doit coïncider, dans
le cas où on se limite à considérer la fonction d’une variable réelle, avec la fonction
exponentielle réelle, définie comme étant la fonction solution de l’équation différentielle
avec condition initiale :
u′ (t) = u(t)
u(0) = 1
Or, ceci est attesté par le résultat suivant :
5
...
11 Proposition
...
Démonstration
...
3
...
Puisque la série de terme général
tn
a un rayon de convergence infini, on peut donc la dériver terme à terme la série sur R
n!
tout entier
...
n!
(n − 1)!
5
...
12 Corollaire
...
eit + e−it
2
it − e−it
e
sint =
2i
cost =
+∞
=
n=0
+∞
=
t 2n
∑ (−1)n (2n)! , R = +∞,
∑ (−1)n
n=0
t 2n+1
, R = +∞
...
Il suffit de remarquer que les fonctions cos et sin définies dans la définition 5
...
2 coïncident, dans le cas d’une variable réelle t avec les fonctions habituelles
...
Séries entières
Remarque
...
En dérivant les séries terme à terme, on
trouve :
sin′ t = cost et cos′ t = − sint
...
6
...
Formule de Moivre
...
,tn des nombres réels
...
En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires de chaque membre, on trouve
une expression de cos(t1 + t2 + · · · + tn ) et sin(t1 + t2 + · · · + tn ) en fonction des produits
des fonctions cost j et sint j pour j = 1, 2,
...
En particulier, pour t1 = t2 = · · · = tn , on retrouve des expressions de cos nt et sin nt en
fonction des produits de puissances des fonctions cost et sint
...
, n :
5
...
14 Application
...
Pour n ∈ N et t ∈ R, on peut écrire :
n
n
k=0
2n cosn t = (eit + e−it )n =
k=0
k
k
∑ Cn ei(n−k)t e−ikt = ∑ Cn e−i(n−2k)t
1
n−1
= eint +Cn ei(n−2)t + · · · +Cn e−i(n−2)t + e−int
1
2
= 2[cos nt +Cn cos(n − 2)t +Cn cos(n − 4)t + · · · ]
...
Ces formules servent en particulier pour le calcul des primitives
...
7 Exercices sur le chapitre 5
5
...
Soient a, b, c trois réels non nuls
...
Déterminer son rayon de convergence et sa somme
...
5
...
On rappelle que j = − +
2
2
√
1) Montrer que 1 + 2 j + 3 j2 = i j 3
...
n
1
3) Pour |t| < √ , expliciter la somme partielle sn (t) et en déduire la somme s(t) de la
3
série entière de terme général un (t)
...
8
...
3 Exercice
...
p=1 p
∑
1) Trouver le rayon de convergence de la série entière de terme général snt n
...
5
...
On considère une série entière de terme général ant n, de rayon de converge
R > 0, et de somme s
...
1) Établir une relation liant pour chaque n ∈ N les coefficients an et an+2
...
3) On suppose désormais que s(0) = 0 et s′ (0) = 1
...
4) Montrer que la série une série entière de terme général ant n converge normalement sur
l’intervalle [−1, +1]
...
Calculer la dérivée g′ de g (on trouvera
5) Posons g(0) = 0 et g(t) =
t
une fraction rationnelle simple)
...
5
...
Soit α > −1
...
0
1 − t4
5
...
On pose
x sint
...
2) Calculer :
f (t, x) =
π
f (t, x) dt
...
8 Corrigé des exercices sur le Chapitre 5
Corrigé de l’exercice 5
...
Donc le rayon de convergence de la série de terme général un (t) a
un rayon de convergence supérieur ou égal à 1
...
Pour |t| < 1, on a :
∞
∑ tn
n=0
∞
∑ nt n
n=0
∞
1
1−t
t
=
(1 − t)2
=
∑ n2 t n =
n=0
∞
∞
n=0
n=0
∑ nt n + ∑ n(n − 1)t n = t
2t
1
+
...
Séries entières
La somme de la série en tiére de terme général un (t) est donc
s(t) =
at(1 + t)
bt
c
+
+
...
2
√
√
√
3 3i 3
3 i 3
=− −
= i j 3
...
Le rayon de convergence de la série entiére de terme
1 √
1
1
général un (t) = (1 + 2 j + 3 j2 )nt n = (i j 3)nt n est donc √
...
p=1 p
√
2
On en déduit :
s′ (t) =
n
n
∑ α pt p−1 = α
p=1
D’où
sn (x) = α
x
0
1 − α nt n
...
1 − αt
1
1
est borné sur l’intervalle
Etudions le deuxième terme : |x| < √ étant fixé, le terme
1 − αt
3
d’intégration
...
Alors
α n+1
x
0
|α x|n+1
1
tn
≤M
≤M
...
On en déduit :
s(x) = lim sn (x) = α
n→∞
x
0
1
dt
...
3
1) On a : 1 ≤ sn ≤ n
...
n p
t
2) On écrit : snt n = ∑ t n−p et cette série entière est donc bien le produit des séries
p=1 p
tn
entières de termes généraux
et t n , dont les sommes respectives sont : − ln(1 − t) et
n
1
pour |t| < 1
...
1−t
§ 5
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 5
115
Corrigé de l’exercice 5
...
En rassemblant les termes de même degré, on obtient :
(n + 1)(n + 2)an+2 = (2 − n(n − 1)) an = −(n + 1)(n − 2)an,
c’est-à-dire
(n + 2)an+2 = −(n − 2)an
...
3) Les conditions s(0) = 0 et s′ (0) = 1 impliquent a0 = 0 et a1 = 1 donc aussi a2 = 0
...
s(t) =
p=0
4) La série entiére de terme général ant n est majorée sur [−1, +1] par la série numérique
1
qui est une série convergente
...
an + 2
Son rayon de convergence est 1 puisque
→ 1 lorsque n → +∞
...
2p − 1
p=1
∑
D’où en dérivant terme à terme :
′
g (t) =
∞
1
∑ (−1) pt 2p = 1 + t 2
...
Séries entières
En intégrant, on trouve, avec la condition g(0) = 0, g(t) = arctan t
...
0
Corrigé de l’exercice 5
...
3
...
On en déduit, pour |t| < 1 :
où an =
2
...
(2n)
2
√
∞
tα
1 − t4
=
∑ ant 4n+α
...
La série entiére de terme général ant 4n+α converge normalement
sur [0, x] puisqu’elle est dominée par la série numérique de terme général an x4n+α qui
converge
...
4n + α + 1
Posons, pour x ∈ [0, 1[
x
f (x) =
0
√
tα
1 − t4
∞
dt , g(x) =
∑ an
n=0
x4n+α +1
...
Il est clair que
1
lim f (x) =
x→1
0
√
tα
1 − t4
dt
...
Comme g(x) est la somme d’une série de fonctions
continues sur [0, 1], il suffit de montrer que la série est normalement convergente sur cet
intervalle, pour obtenir l’égalité limx→1 g(x) = g(1)
...
On a :
2n − 1 4n + α − 3
3
1
bn
=
= 1 − + o( 2 )
...
1
3
On va donc comparer cette série avec la série de terme général cn = q , avec 1 < q < ,
n
2
qui est convergente
...
8
...
Donc
cn−1 bn−1
n
117
cn
On en déduit que, à partir d’un certain rang, on a :
cn
≥
bn
, ce qui, de proche en
bn−1
cn−1
b1
proche, implique que bn ≤ cn
...
On en déduit que la fonction g est continue sur [0, 1] et par suite :
1
g(1) =
√
∞
tα
dt =
an
∑ 4n + α + 1
1 − t4
n=0
n
C2n
= ∑ 2n
...
6
1) On a
1
1
1
x sint
=
−
...
2i n=0
n=0
2) Soit |x| < 1 fixé
...
On peut donc l’intégrer terme à terme sur [0, π ], soit :
g(x) =
π
0
∞
=
∞
f (t, x) dt =
∑ xn −
n=0
cos nt
n
∑
n=0 0
π
0
π
=2
xn sin nt dt
∞
x2m+1
= 2 argth x
...
1 Définitions et convergence
Comme les séries entières, les séries trigonométriques sont des séries de fonctions d’une
variable réelle t, d’une forme particulière
...
1
...
Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de scalaires, réels ou complexes
...
Puisque sin 0 = 0, on peut supposer que b0 = 0
...
1
...
Le terme général d’une série trigonométrique s’écrit :
u0 (t) = c0 et ∀n > 1 , un (t) = cn eint + c−n e−int ,
où
c0 = a0 et ∀n > 1 , cn =
an + ibn
an − ibn
, c−n =
...
On écrit eint = cos nt + i sin nt et e−int = cos nt − i sin nt
...
Nous utiliserons plutôt l’écriture exponentielle qui donne des calculs plus simples
...
1
...
Nous conviendrons de noter
(cn eint + c−n e−int ),
une série trigonométrique définie par son terme général :
u0 (t) = c0 et ∀n > 1 , un (t) = cn eint + c−n e−int
...
Dans les chapitres précédents, nous avons déjà rencontré des cas de convergence des séries
trigonométriques :
120
Chapitre 6
...
1
...
i) Si les séries numériques de terme général cn et c−n sont
absolument convergentes, la série trigonométrique de terme général (cn eint + c−n e−int )
est uniformément convergente sur R
...
Démonstration
...
La série de terme général un est donc normalement convergente sur R et donc uniformément convergente sur R par la proposition 4
...
10
...
5
...
5
...
=
=
t
t
1 − eit
sin 2
ei 2
On en déduit que pour t ∈ [2kπ + α , 2(k + 1)π − α ],
|An (t)| ≤
1
1
...
sin α
2
On vérifie le critère de Cauchy uniforme (4
...
7) pour la suite des sommes partielles
(sn )n∈N de la série de terme général un , en écrivant : ∀t ∈ [2kπ + α , 2(k + 1)π − α ],
q
sq (t) − s p−1(t) =
=
q
n=p
q
n=p
∑ un(t) = ∑
cn eint + c−n e−int
∑ [(An − An−1 )(t)cn + (An − An−1 )(−t)c−n]
n=p
q
=
∑ [An(t)cn + An (−t)c−n] −
n=p
q
∑ [An−1 (t)cn + An−1 (−t)c−n]
n=p
= Aq (t)cq + Aq (−t)c−q − A p−1 (t)c p − A p−1 (−t)c−p
q−1
q−1
n=p
n=p
+ ∑ [An (t)(cn − cn+1 )] +
∑
An (−t)(c−n − c−(n+1) )
...
1
...
n=p
Donc pour tout t ∈ [2kπ + α , 2(k + 1)π − α ],
q
∑ un(t)
n=p
1
(c p + cq ) + (c−p + c−q ) + (c p − cq ) + (c−p − c−q )
sin α
2
2(c p + c−p )
...
La suite des sommes partielles de la série de
terme général un est uniformément de Cauchy sur l’intervalle [2kπ + α , 2(k + 1)π − α ]
et donc convergente, ce qui veut bien dire que la série de terme général un converge
uniformément sur cet intervalle
...
1
...
1
...
i) Si les séries numériques de termes généraux an et bn sont
absolument convergentes, la série trigonométrique de terme général (an cos nt + bn sin nt)
est uniformément convergente sur R
...
cos nt
sin nt
et
sont uniformé6
...
6 Exemple
...
cos nt
ii) La série de terme général
converge uniformément sur tous les intervalles
n
de la forme [2kπ + α , 2(k + 1)π − α ], 0 < α < π
...
On vérifie aisément qu’elle ne converge pas simplement sur R tout entier, voir
par exemple en t = 0
...
Elle converge donc simplement sur
R − 2π Z
...
6
...
7 Proposition
...
Alors
pour tout r < R, la série trigonométrique de terme général an rn eint converge normalement
sur R
...
Par définition du rayon de convergence d’une série entière, pour r < R,
la série numérique de terme général an rn est absolument convergente (théorème 5
...
2)
...
Donc la série trigonométrique de terme général
an rn eint est dominée sur R en module par une série numérique convergente et par suite
elle est bien normalement convergente sur R
...
Séries trigonométriques
6
...
8 Exemple
...
Donc pour r < 1, on
1−z
n=1
+∞
1 + reit
= 1 + 2 ∑ rn eint
...
1 + r2 − 2r cost
n=1
6
...
2
...
i) Si les séries numériques de termes généraux cn et c−n sont
absolument convergentes, la somme de la série trigonométrique de terme général
(cn eint + c−n e−int )
est continue sur R
...
Démonstration
...
1
...
3
...
6
...
2 Théorème
...
Démonstration
...
4
...
Les séries trigonométriques de termes généraux (cn eint +c−n e−int ) et (ncn eint +nc−n e−int )
sont donc toutes les deux normalement convergentes sur R et on peut appliquer le théorème 4
...
5
...
2
...
2
...
Si les séries numériques de termes généraux cn et c−n sont absolument
convergentes, alors la série trigonométrique de terme général
t
0
(cn eins + c−n e−ins ) ds
est convergente sur R et a pour somme
+∞
t
0
∑ (cn eins + c−n e−ins )
ds
...
Il suffit d’appliquer le théorème 4
...
3, puisque, sous cette hypothèse, la
série trigonométrique de terme général (cn eint + c−n e−int ) est normalement convergente
sur R
...
2
...
i) Si les séries numériques de termes généraux an et bn sont
absolument convergentes, la somme de la série trigonométrique de terme général
(an cos nt + bn sin nt)
est continue sur R
...
6
...
5 Théorème
...
6
...
6 Théorème
...
124
Chapitre 6
...
3 Développement en séries trigonométriques
Comme dans l’étude des séries entières, on se pose le problème du développement d’une
fonction f donnée en série trigonométrique, c’est-à-dire que l’on étudie l’existence d’une
série trigonométrique dont f est la somme
...
Etudions d’abord la somme d’une série trigonométrique normalement convergente :
6
...
1 Proposition
...
Alors :
i) La fonction t → s(t) est périodique de période 2π
...
Démonstration
...
Pour démontrer la propriété ii), on commence par calculer, pour tout p, q ∈ Z :
2π
p+q = 0 ,
0
2π
p+q = 0 ,
ei(p+q)t
e e dt =
p+q
2π
ipt iqt
2π
ipt iqt
e e dt =
0
0
=0
0
dt = 2π
...
2
...
Le calcul précédent donne
le résultat immédiatement
...
3
...
Supposons les séries numériques de termes généraux cn et c−n absolument convergentes et soit s la somme de la série trigonométrique de terme général
(cn eins + c−n e−ins )
...
Montrons les propriétés analogues pour la représentation des séries trigonométriques à
l’aide des fonctions cos et sin :
6
...
3 Proposition
...
Alors :
i) La fonction t → s(t) est périodique de période 2π
...
0
Démonstration
...
La propriété ii) est une conséquence du calcul suivant :
2π
s(t) sinnt dt
...
3
...
Supposons maintenant que n et m sont deux entiers naturels non nuls et écrivons cette
égalité pour les couples (n, m) et (n, −m) :
2π
0
[(cos nt cos mt − sin nt sin mt) + i(sinnt cos mt + cos nt sin mt)] dt = 2πδn,−m = 0,
car m + n = 0
...
En séparant les parties imaginaires et les parties réelles puis en faisant successivement des
sommes et des différences, on trouve :
2π
0
2π
2π
0
2π
cos nt cos mt dt =
0
cos2 nt dt =
0
0
2π
sin nt sin mt dt = 0 si n = m,
sin2 nt dt = π ,
cos nt sin mt dt = 0 pour tout n, m ∈ N∗
...
2
...
Le calcul précédent donne le
résultat immédiatement
...
2
...
6
...
4 Corollaire
...
Si la fonction t → s(t) est paire sur R, alors ∀n ∈ N, bn = 0
Si cette fonction est impaire sur R, alors ∀n ∈ N, an = 0
...
Supposons par exemple s paire
...
Par périodicité, on peut
écrire :
π bn =
2π
0
s(t) sinnt dt =
+π
−π
s(t) sinnt dt = 0
...
Nous pouvons maintenant définir la série de Fourier d’une fonction périodique :
126
Chapitre 6
...
3
...
Soit f une fonction définie sur R, périodique de période 2π , intégrable
sur [0, 2π ]
...
0
En utilisant les calculs précédents, on obtient immédiatement :
6
...
6 Proposition
...
Si la fonction f est paire sur R, alors ∀n ∈ N, bn = 0 et c−n = cn
...
Nous allons étudier un cas de convergence des séries de Fourier
...
3
...
Soit f une fonction définie sur R et soit t0 ∈ R
...
De même, si la limite de f (t) existe quand t → t0 par valeurs inférieures, on notera
f (t0 − 0) =
lim
t→t0 ,t
f (t)
...
3
...
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle [a, b]
...
Démonstration
...
On peut alors écrire :
b
iλ t
f (t)e
a
k
dt =
∑ αj
j=0
a j+1
iλ t
e
aj
eiλ a j+1 − eiλ a j
...
3
...
Si f est intégrable sur [a, b], pour tout ε > 0, il existe des fonctions en escalier ϕ et η sur
[a, b] telles que
b
∀t ∈ [a, b] , | f (t) − ϕ (t)| ≤ η (t) et
a
ε
η (t) dt ≤
...
D’où :
b
f (t)eiλ t dt
b
a
≤
a
≤
a
≤
a
b
b
ϕ (t)eiλ t dt +
ϕ (t)eiλ t dt +
b
a
b
a
ε
ϕ (t)eiλ t dt +
...
2
a
On en déduit que pour λ ≥ A,
b
a
f (t)eiλ t dt ≤ ε ,
ce qui montre bien que
b
lim
|λ |→+∞ a
f (t)eiλ t dt = 0
...
Avant d’énoncer le théorème principal, on peut citer un corollaire de ce lemme :
6
...
9 Corollaire
...
128
Chapitre 6
...
3
...
Soit f une fonction définie sur R, périodique de période 2π , intégrable
sur [0, 2π ]
...
2
En particulier si f est continue et dérivable en t0 alors la série de Fourier de f converge
au point t0 et a pour somme f (t0 )
...
Pour tout n ∈ N, on pose
+n
n
Sn (t0) = c0 + ∑ c j ei jt0 + c− j e−i jt0 =
j=1
∑
c j ei jt0 ,
j=−n
où les coefficients c j pour j ∈ Z sont les coefficients de Fourier de la fonction f
...
3
...
Comme la fonction à intégrer est périodique de période 2π , cette intégrale est encore égale
à:
Sn (t0) =
1
2π
2π
0
+n
[
∑
e−i ju ] f (t0 + u) du =
j=−n
+π
1
2π
−π
+n
[
∑
e−i ju ] f (t0 + u) du
...
3
...
sin u
2
§ 6
...
Développement en séries trigonométriques
129
On remarque que
sin 2n+1 u
2
u ,
u→0
sin 2
2n + 1 = lim
donc les deux expressions de cette somme coïncident en u = 0
...
3
...
En général,
sous les hypothèses du théorème, ce n’est pas le cas et nous devons considérer la fonction
u→
f (t0 + u) − f (t0 + 0) u
f (t0 + u) − f (t0 + 0)
=
,
u
sin 2
u
sin u
2
qui elle, est continue en 0 par hypothèse et donc aussi intégrable sur [0, π ]
...
3
...
u
sin 2
2
lim
n→+∞ 0
Or
π
0
f (t0 + 0)
2n + 1
u du =
sin
u
sin 2
2
π
0
+n
f (t0 + 0)
= f (t0 + 0)
π
0
∑
e−i ju
du
∑
e−i ju
du = π f (t0 + 0)
...
u
sin 2
2
De la même façon, on montre que
0
lim
n→+∞ −π
2n + 1
f (t0 + u)
sin
u du = π f (t0 − 0)
...
n→+∞
2
6
...
11 Exemple
...
Alors
4 +∞ sin(2n + 1)t
[SF( f )](t) = ∑
...
[SF(g)](t) =
iii)
Alors,
π 4 +∞ cos(2n + 1)t
− ∑
...
[SF(h)](t) =
+∞
π2
(−1)n cos nt
+4 ∑
...
Séries trigonométriques
Ces trois fonctions vérifient les hypothèses du théorème de Dirichlet en tout point t ∈ R
et dans les trois cas, on a ∀t ∈ R :
1
1
1
[ f (t +0) + f (t −0)] = f (t) , [g(t +0) +g(t −0)] = g(t) , [h(t +0) +h(t −0)] = h(t)
...
∀t ∈ R, h(t) = [SF(h)](t) =
3
n2
n=1
∀t ∈ R, f (t) = [SF( f )](t) =
6
...
12 Application
...
∑
π n=0 2n + 1
π 4 +∞ cos(2n + 1)t
...
2
8
n=0 (2n + 1)
i) ∀t ∈] − π , +π [ , sgnt =
En utilisant le calcul suivant :
∞
∞
∞
∞
1
1 ∞ 1
1
1
1
= ∑ 2+∑
= ∑ 2+∑
,
∑ n2
2
2
4 n=1 n
n=1
p=1 4p
p=0 (2p + 1)
p=0 (2p + 1)
on en déduit
iii) ∀t ∈ [−π , +π ] , t 2 =
D’où en prenant t = 0,
∞
π2
4 +∞
1
1
= ∑
=
...
3
n2
n=1
−
∞
π2
(−1)n
=∑
...
Le théorème de Dirichlet donne des conditions suffisantes pour qu’une série
de Fourier converge en un point t0
...
Dans un
deuxième temps, on peut se poser la question de la convergence uniforme de cette série :
dans l’exemple 6
...
11, on voit que la série de Fourier de f ne converge pas uniformément
sur R alors que celle de g converge uniformément
...
Nous citons sans démonstration un résultat qui est très utile dans la pratique, le théorème
de Parseval :
§ 6
...
Développement en séries trigonométriques
131
6
...
13 Théorème
...
Soit (cn eint + c−n e−int ), [respectivement (an cos nt + bn sin nt)] la série de Fourier de f
...
A titre d’exercice, on peut vérifier le théorème de Parseval lorsque la fonction f est de la
N
forme : f (t) = c0 + ∑ (cn enit + c−n e−nit )
...
m=1
eint eimt dt = 2π si n + m = 0, seuls les
produits correspondant aux termes cn cn et c−n c−n ont une intégrale non nulle et on en
déduit bien que
+π
−π
+∞
| f (t)|2 dt = 2π |c0 |2 + ∑ (|cn |2 + |c−n |2 )
...
Remarque
...
6
...
14 Application
...
3
...
|t|2 dt = π 3 = π
3
2
π p=0 (2p + 1)4
−π
D’où
∞
1
π4
=
...
∑ 4 15 ∑ (2p + 1)4 90
p=0
n=1 n
∞
∞
1
2π 4
2 5
iii)
+ 16 ∑ 4 ,
t dt = π = π
5
9
−π
n=1 n
ce qui donne de nouveau d’une autre manière :
π
4
∞
1
π4
=
...
Séries trigonométriques
6
...
1 Exercice
...
1) Déterminer la série de Fourier de f
...
4) A partir des séries de Fourier de f et de g, expliciter la série de Fourier (complexe) de
la fonction h de période 2π , définie sur R, égale à eiα t pour |t| ≤ π
...
sin2 πα n=−∞ (α − n)2
6
...
I Soit f une fonction continue et périodique, définie sur R
...
k
k
∑
n=−k
cn ( f )einu = c0 + ∑ cn ( f )einu + c−n ( f )e−inu la somme partielle
n=1
de la série de Fourier de f
...
N + 1 k=0
FN (x) =
π
Montrer que
−π
FN (t)dt = 1 pour tout N ≥ 0
...
N + 1 k=0
π
−π
π
−π
,
f (t)Dk (u − t) dt,
f (t)FN (u − t) dt
...
§ 6
...
Exercices sur le chapitre 6
133
II Dans cette partie, (FN )N≥0 désigne une suite de fonctions de R dans R vérifiant les
propriétés suivantes :
(A) Pour tout N ∈ N et x ∈ R, FN (x) ≥ 0
...
(C) Pour tout N ∈ N,
π
−π
FN (x) dx = 1
...
II 1) On définit la suite de fonctions
fN (u) =
π
−π
f (t)FN (u − t) dt
...
II 2) En remarquant que f est uniformément continue, montrer que pour tout ε > 0, il
existe α > 0 tel que, pour tout u ∈ R,
α
−α
| f (u) − f (u − t)|FN (t) dt ≤ ε
...
II 4) En déduire que la suite fN converge uniformément vers f sur R
...
III 2) Montrer que pour tout α ∈]0, π ], on a
FN (x) ≤ 2(N + 1)π sin2 (α /2)
−1
,
pour tout x ∈ [−π , π ] tel que |x| ≥ α , et en déduire que les fonctions FN de la partie I
vérifient l’hypothèse (D) de la partie II
...
134
Chapitre 6
...
3 Exercice
...
1) Montrer que la fonction f est paire et continûment dérivable sur R
...
0
2)a) Montrer que bn = 0 pour tout n ∈ N∗
...
3) a) Déterminer deux nombres réels A et B tels que
∀t ∈ R, cos3 t = A cost + B cos 3t
...
3
c) Vérifier que p4 a2p tend vers
quand p tend vers +∞
...
Montrer sa convergence simple sur
R et déterminer sa somme
...
6
...
1
1) f étant une fonction impaire, on an = 0 pour tout n ∈ N et
2 π
1 π
sin α t sin nt dt =
[cos(α − n)t − cos(α + n)t] dt
π 0
π 0
sin π (α − n) sin π (α + n)
2n
=
−
= (−1)n
sin πα
...
n=1
2) La fonction f est égale à la somme de sa série de Fourier puisqu’elle est de classe C1
par morceaux, sauf à ses points de discontinuité éventuels {(2n + 1)π , n ∈ Z}
...
5
...
π (α − n)
π (α + n)
π ( α 2 − n2 )
an =
D’où
[SF(g)](t) =
∞
sin απ
2α cos nt
sin πα ∑ (−1)n
...
4) En appliquant les formules du cours, on trouve :
[SF(h)](t) =
sin απ +∞ (−1)n einx
...
2
sin πα n=−∞ (α − n)2
Corrigé de l’exercice 6
...
2π N + 1 k=0
I 2) On a
FN (x) =
N
k
N
1 N
1
1
Dk (x) =
einx =
∑
∑ ∑
∑ (N + 1 − |k|) eikx ,
N + 1 k=0
2π (N + 1) k=0 n=−k
2π (N + 1) k=−N
et
N
∑
m=0
eimx
N
∑
=
e−imx
N
1
∑ ei(m−n)x
2π (N + 1) m,n=0
=
1
2π (N + 1)
N
1
∑ (N + 1 − |k|) eikx
...
ei−(N+1)x/2 sin(−(N + 1)x/2)
e−ix/2 sin(−x/2)
136
Chapitre 6
...
∑
N + 1 k=0
−π
−π
TN f (u) =
II 1) On calcule :
fN (u) =
=
π
f (t)FN (u − t) dt = −
−π
π
u−π
u+π
f (u − s)FN (s) ds
f (u − s)FN (s) ds,
−π
par changement de variables s = u − t et par périodicité
...
II 2) f est uniformément continue sur [0, 2π ] comme fonction continue sur un compact
et donc aussi sur R par périodicité
...
On peut donc multiplier par FN (t) et intégrer en t ∈ [−α , α ] : pour tout u ∈ R,
α
−α
α
| f (u) − f (u − t)| FN (t) dt ≤
−α
ε FN (t) dt ≤ ε
π
−π
FN (t) dt ≤ ε
...
II 3) (α , ε ) étant donnés par la question précédente, d’après l’hypothèse (D), il existe N0
tel que pour tout N ≥ N0 , on a
−α
−π
FN (t) dt +
π
α
FN (t) dt ≤ ε
...
π
α
π
α
| f (u) − f (u − t)|FN (t) dt
FN (t)dt ≤ 2M ε ,
§ 6
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 6
137
II 4) On a montré que pour tout ε > 0 il existe N0 tel que pour N ≥ N0 , on a pour tout
u ∈ R,
π
fN (u) − f (u) =
−π
α
=
−α
+
[ f (u) − f (u − t)]FN (t) dt
−α
[ f (u) − f (u − t)]FN (t) dt +
π
α
−π
[ f (u) − f (u − t)]FN (t) dt
[ f (u) − f (u − t)]FN (t) dt
≤ ε + 2M ε
...
III 1) Les fonctions FN de la partie I vérifient (A) d’après l’expression obtenue en I2, (B)
car les Dk sont périodiques de période 2π et (C) d’après la question I1
...
D’où :
−α
−π
FN (t) dt +
π
α
FN (t)dt ≤ 2(π − α )
(π − α )
1
1
≤
...
III 3) Si f est une fonction continue de période 2π , les moyennes de Cesàro des sommes
partielles de sa série de Fourier sont les fonctions TN f de la partie I
...
On a montré dans la partie II que cette suite de fonctions converge uniformément
vers f sur R, ce qui prouve le résulat cherché
...
3
1) La fonction f est évidemment paire
...
Or cette fonction est évidemment C1 sur R∗ et sa dérivée vaut
3sgnx x2 pour x = 0
...
Cette fonction est donc bien dérivable en 0, de dérivée nulle et cette dérivée est
continue sur R
...
b) Pour n ≥ 1, n impair, on calcule :
1
π
2
=
π
an =
π
−π
π
0
cos3 t cos nt dt =
2
π
π
cos3 t cos nt dt
0
cos s cos n(π − s) ds = (−1)n an = −an
...
Séries trigonométriques
Donc an = 0 si n est impair
...
8
4
4
b) On a aisément a0 = 4/3π et si n ≥ 1 est pair, on pose n = 2p et alors
4 π /2 1
1 π
3
cos3 t cos nt dt =
cos 3t + cost cos nt dt
π −π
π 0
4
4
3
4 π /2 1
(cos(n + 3)t + cos(n − 3)t) + (cos(n + 1)t + cos(n − 1)t) dt
=
π 0
8
8
π /2
1 sin(n + 3)t sin(n − 3)t
3 sin(n + 1)t sin(n − 1)t π /2
=
+
+
+
...
=
π (4p2 − 1)(4p2 − 9)
a2p =
c) Le terme
p4 a2p =
3
quand p tend vers +∞
...
∑
3π
π p≥1 (4p2 − 1)(4p2 − 9)
Par le théorème de Dirichlet, puisque f est de classe C1 sur R, cette série converge simplement sur R et a pour somme f
...
5) Comme
(4p2 − 1)(4p2 − 9)
p
Chapitre 7
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
7
...
1
...
Soit ( fn )n∈N une suite de fonctions intégrables sur un intervalle [a, b]
telle que :
1) La suite ( fn )n∈N converge simplement sur [a, b] vers une fonction intégrable f
...
Alors :
b
b
f (t) dt = lim
n→∞ a
a
fn (t) dt
...
1
...
Lorsqu’il existe M ∈ R tel que la suite de fonctions ( fn )n∈N , définies sur
[a, b], vérifie :
∀n ∈ N, ∀t ∈ [a, b], | fn (t)| ≤ M,
on dit que la suite ( fn )n∈N est uniformément bornée
...
On peut remarquer que c’est une extension du théorème 4
...
1
...
En revanche, la conclusion est la même : l’intégrale de la limite de la suite ( fn )n∈N sur
[a, b] est égale à la limite de la suite des intégrales des fonctions ( fn )n∈N sur [a, b]
...
2 Continuité de l’intégrale de Riemann
Soit I un intervalle ouvert de R et a, b deux réels quelconques
...
On suppose que
pour tout x ∈ I, la fonction t → f (t, x) est Riemann-intégrable sur [a, b] et on s’intéresse à
la continuité de la fonction définie pour x ∈ I par
b
F(x) =
f (t, x) dt
...
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
7
...
1 Théorème
...
Alors la fonction F, définie pour x ∈ I par
b
F(x) =
f (t, x) dt,
a
est continue sur I
...
Démonstration
...
Soit x0 ∈ I et M ∈ R tel que ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ I, | f (t, x)| ≤ M
...
On pose, pour tout n ∈ N : fn (t) = f (t, xn)
...
De plus, cette suite de fonctions est uniformément bornée par M
...
1
...
Comme ce résultat est valable pour toute suite (xn )n∈N convergeant vers x0 , on en déduit
bien la continuité de F en x0 et donc par suite sur I tout entier, ce qui prouve le théorème
...
2
...
Soit f (t, x) =
1
(t 2 + 1)(t 2 + x2 )
1
F(x) =
0
, définie sur [0, 1] × R+
...
⋆
La fonction f est continue par rapport à chacune des deux variables sur son domaine de
définition
...
⋆
On va donc utiliser un argument de saturation : soit a > 0, alors la fonction f est bornée
1
sur [0, 1] × [a, +∞[ par 2
...
2
...
Comme ceci est valable pour tout a > 0, on en déduit que F est continue sur [0, 1] × R+
...
En effet :
1
−1
1
2
2
= x −1 + 2x −1 2
...
3
...
− arctg
x −1 4 x
x
1
0
1
1
Le développement de Taylor de la fonction arctg quand x → 1 est
x
x
1
π 1
1 π
arctg = − (x − 1)( + ) + O (x − 1)2
...
8 4
Par la continuité de F en x0 = 1, on obtient alors :
1
F(1) =
0
dt
= lim F(x) =
(t 2 + 1)2
x→1
π 1
+
...
3 Dérivabilité de l’intégrale de Riemann
De même, soit I un intervalle ouvert de R et a, b deux réels quelconques
...
On suppose que pour tout x ∈ I, la fonction t → f (t, x) est Riemann-intégrable sur [a, b]
et on s’intéresse à la dérivabilité de la fonction définie pour x ∈ I par
b
F(x) =
f (t, x) dt
...
3
...
Soit f : [a, b] × I → K, une fonction continue par rapport à chacune
des deux variables et bornée sur [a, b] × I
...
Démonstration
...
2
...
∂x
142
Chapitre 7
...
∂x
Comme précédemment, on fixe α > 0 tel que [x0 − α , x0 + α ] ⊂ I et soit (xn )n∈N une suite
d’éléments de [x0 − α , x0 + α ] ⊂ I convergeant vers x0
...
Pour démontrer la dérivabilité de la fonction F en x0 , on écrit, pour tout n ∈ N :
F(xn ) − F(x0 )
=
xn − x0
b
f (t, xn) − f (t, x0)
xn − x0
a
dt
...
De plus, par le théorème des accroissements finis, il existe yn ∈ [x0 − α , x0 + α ] tel que
∂f
(t, yn)
...
En appliquant le théorème de convergence bornée, 7
...
1, on en déduit que la suite
hn (t) =
F(xn ) − F(x0 )
xn − x0
n∈N
∂f
(t, x0) dt quand n → ∞
...
∂x
Puisque x0 est quelconque, ceci montre bien la dérivabilité de F pour tout x ∈ I
...
3
...
Pour n ≥ 1, on pose, pour x = 0,
1
Fn (x) =
Il est facile de voir que
0
dt
(t 2 + x2 )n
−2nx
∂f
(t, x) = 2
...
∂f
sont continues par rapport à chacune des deux variables sur leur
∂x
domaine de définition
...
Les fonctions f et
§ 7
...
Cas où les bornes d’intégration dépendent du paramètre
143
On va donc à nouveau utiliser un argument de saturation : soit a, A > 0, alors les fonctions
∂f
1
2A
f et
sont bornées sur [0, 1] × [−A, −a] ∪ [a, A] par 2n et 2(n+1) respectivement
...
3
...
Comme ceci est valable pour tout a, A > 0, on en déduit que F est dérivable sur [0, 1] ×R⋆
...
2 + x2 )n+1
0 (t
D’où la relation de récurrence : Fn′ (x) = −2nxFn+1 (x)
...
x
x
7
...
On suppose que pour
tout x ∈ I, la fonction t → f (t, x) est intégrable sur [a, b] et on s’intéresse aux propriétés
de la fonction définie pour x ∈ I par
v(x)
F(x) =
f (t, x) dt,
a
où la fonction v est définie sur I, à valeurs dans [a, b]
...
7
...
1 Théorème
...
Si la fonction v est continue sur I, alors, la fonction F
est continue sur I
...
Si la fonction v est dérivable sur I, la fonction
F est dérivable sur I et
F ′ (x) =
v(x)
a
∂f
(t, x) dt + v′ (x) f (v(x), x)
...
Soit x0 ∈ I et soit M ∈ R tel que ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ I, | f (t, x)| ≤ M
...
2
...
f (t, x0) dt
...
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
De plus, on peut écrire :
v(x)
v(x0 )
v(x)
f (t, x) dt ≤
v(x0 )
| f (t, x)| dt ≤ M |v(x) − v(x0 )|
...
v(x)
Ceci prouve que
lim |F(x) − F(x0 )| = 0
...
Sous les hypothèses du 2), quitte à changer sa valeur, on suppose que M est tel que, pour
∂f
(t, x) ≤ M et on écrit :
tout t ∈ [a, b] et x ∈ I,
∂x
v(x0 )
F(x) =
v(x)
f (t, x) dt +
a
La fonction x →
v(x0 )
a
v(x0 )
v(x)
f (t, x0 ) dt +
v(x0 )
f (t, x) − f (t, x0) dt
...
3
...
v(x0 )
a
∂f
(t, x0) dt
∂x
y
D’après le théorème 3
...
3, la fonction y →
v(x0 )
f (t, x0) dt est dérivable de dérivée en
v(x0 ) égale à f v(x0 ), x0
...
Finalement, on peut écrire :
f (t, x0) dt est dérivable de
v(x)
v(x)
v(x0 )
v(x0 )
f (t, x) − f (t, x0) dt ≤
v(x0 )
| f (t, x) − f (t, x0)| dt
≤ |v(x) − v(x0 )| sup | f (t, x) − f (t, x0)| ,
t∈[a,b]
Par le théorème des accroissements finis,
sup | f (t, x) − f (t, x0)| ≤ |x − x0 |
t∈[a,b]
sup
t∈[a,b],x∈I
∂f
(t, x) ≤ M |x − x0 |
...
v(x0 )
On déduit de ces trois résultats que la fonction F est bien dérivable en x0 avec
F ′ (x0 ) =
v(x0 )
a
∂f
(t, x0) dt + v′ (x0 ) f v(x0 ), x0
...
§ 7
...
Exercices sur le chapitre 7
145
7
...
2 Exemple
...
On pose, pour tout
x ∈]a, +∞[,
x
F1 (x) =
a
(x − t) f (t)dt
...
On va raisonner pour
t ∈ [a, b] et x ∈]a, b[
...
4
...
a
On en déduit :
F1′′ (x) = f (x) pour x ∈]a, b[
...
De la même façon, on montre par récurrence que, pour x ∈]a, +∞[, si
x
Fn (x) =
alors :
a
(n+1)
Fn
(x − t)n
f (t)dt,
n!
(x) = f (x)
...
5 Exercices sur le chapitre 7
7
...
Soit F(x) =
+π
−π
ln 1 + x2 − 2x cos θ d θ
...
2) Calculer F ′ sur l’intervalle ] − 1, +1[ (On pourra effectuer le changement de variable
θ
t = tan )
...
7
...
Pour x ∈ R, on définit la fonction
π
f (x) =
0
|1 − x cost| dt
...
2) Montrer que f est une fonction paire de x
...
4) En déduire que f vérifie l’équation différentielle :
4x(x2 − 1) f ′′ (x) + 4(x2 − 1) f ′ (x) − x f (x) = 0
...
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
7
...
Pour x ∈ R, on définit la fonction :
f (x) =
+π
2
e−x sint dt
...
2) Montrer que f est dérivable sur R et que :
′
f (x) = −
+π
2
−π
2
e−x sint sint dt
...
(On pourra faire une intégration par parties dans l’intégrale définissant f ′ )
4) Résoudre les mêmes questions avec la fonction :
π
g(x) =
0
e−x cost dt
...
6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 7
Corrigé de l’exercice 7
...
1) La fonction de 2 variables f (θ , x) = ln(1 + x2 − 2x cos θ ) est continue sur le rectangle
∆ défini par les inégalités : |θ | ≤ π , |x| < 1 car le terme 1 + x2 − 2x cos θ est positif et ne
s’annule pas sur cet intervalle
...
∂x
1 + x2 − 2x cos θ
Cette fonction est également continue continue sur ∆
...
2
−π
−π 1 + x − 2x cos θ
θ
2) On suppose |x| < 1
...
6
...
2x
2x
On en déduit donc :
1
(x + 1)2 (x − 1)
(x − 1) 1
1
1
+
−
2
2 (x + 1)2 + (x − 1)2
2x
t
2x 1 + t 2
−∞ (x + 1) 1 + t
4π
(x + 1)2 (x − 1)
1
(1 + x) (x − 1)
=
1+
−
2 (1 − x)
(x + 1)
2x
(x + 1)
2x
(x + 1) (x − 1)
4π
1−
...
Par continuité, on obtient bien F ′ (x) = 0 pour tout x ∈] − 1, +1[
...
Corrigé de l’exercice 7
...
2) On calcule f (−x) en posant u = π − t :
π
f (−x) =
0
0
=−
π
0
|1 + x cos t|dt = −
|1 − x cos u| du
π
|1 − x cos u| du = f (x)
...
ϕ (t, x) =
∂ x2
4(1 − x cost)3/2
Donc f est bien 2 fois dérivable sur R avec :
f ′ (x) =
π
0
On peut alors calculer :
√
− cost
dt
1 − x cost
et
f ′′ (x) =
π
0
−(cost)2
dt
...
(1 − x cost)3/2
2
Or, on vérifie que
2 sint
−2 cost(1 − x cost) − sin2 t
∂
√
=
∂t
(1 − x cost)3/2
1 − x cost
2 t + 1) + 2 cost
−x(cos
=
...
Intégrales de Riemann dépendant d’un paramètre
D’où l’égalité :
∂2
∂
ϕ (t, x) + 4(x2 − 1) ϕ (t, x) − xϕ (t; x) = R(t, x),
2
∂x
∂x
qui implique bien l’égalité cherchée par intégration en t sur [0, π ]
...
Corrigé de l’exercice 7
...
π π
2) La fonction ϕ (t, x) est continûment dérivable en x sur [− , + ] × R avec :
2 2
∂
ϕ (t, x) = − sinte−x sint
...
∂
π π
ϕ (t, x) est continûment dérivable en x sur [− , + ] × R avec :
∂x
2 2
∂2
ϕ (t, x) = x sin2 te−x sint
...
On intègre par partie l’intégrale définissant f ′ , en posant :
u = e−x sint , du = x coste−x sint , dv = − sint , v = cost,
et on obtient :
f ′ (x) = coste−x sint
= 0+
+π
2
−π
2
+π
2
−π
2
+
+π
2
−π
2
x cos2 te−x sint dt
x(1 − sin2 t)e−x sint dt = x f (x) − x f ′′ (x)
...
On en déduit que f = g, ce que l’on aurait pu voir directement en effectuant le changement
π
de variable t = u − dans l’intégrale définissant g
...
On considère un intervalle semi-ouvert [a, b[ et une fonction de deux variables f (t, x) où t ∈ [a, b[ et x ∈ I, à valeurs dans K = R ou C
...
On suppose que pour tout x ∈ I, la fonction t → f (t, x) est intégrable
sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[ au sens des intégrales généralisées et on s’intéresse aux
propriétés de la fonction définie sur I par l’intégrale généralisée
b
F(x) =
f (t, x)dt
...
8
...
1
...
1
...
Soit ( fn )n∈N une suite de fonctions intégrables sur un intervalle semi
ouvert [a, b[ telle que :
1) La suite ( fn )n∈N converge simplement sur [a, b[ vers une fonction localement
intégrable f
...
Alors f est intégrable sur l’intervalle semi ouvert [a, b[ et :
b
b
f (t) dt = lim
n→∞ a
a
fn (t) dt
...
Remarquons d’abord que l’hypothèse 2) implique en particulier que :
∀t ∈ [a, b], | f (t)| ≤ ψ (t)
...
150
Chapitre 8
...
Pour calculer l’intégrale de f sur [a, b[, on se donne A ∈ [a, b[ et on utilise le théorème de
convergence bornée, 7
...
1 sur [a, A] : puisque la fonction f est intégrable sur [a, A] elle est
bornée sur cet intervalle
...
De plus, ε > 0 étant fixé, on peut choisir A ∈ [a, b[ tel que
b
A
ε
ψ (t) dt ≤
...
4
Alors, il existe N ∈ N tel que, pour n ≥ N :
A
a
ε
fn (t) dt ≤
...
4
a
a
Ceci prouve bien que l’intégrale de f sur [a, b[ est égale à la limite des intégrales des fn
sur cet intervalle
...
2 Continuité de l’intégrale généralisée
8
...
1 Théorème
...
On suppose qu’il existe une fonction φ : [a, b[→ R+ ,
intégrable sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[ telle que :
∀(t, x) ∈ [a, b[×I , | f (t, x)| ≤ φ (t)
...
En particulier, on a :
b
b
F(x0 ) =
a
f (t, x0) dt =
= lim F(x) = lim
x→x0
lim f (t, x) dt
a x→x0
b
x→x0 a
f (t, x) dt,
ce qui est un cas d’interversion de limite et d’intégrale généralisée
...
3
...
Remarquons d’abord que, pour tout x ∈ I, la fonction t → f (t, x) est localement intégrable sur [a, b[ car elle est continue par hypothèse
...
1
...
Puisque par hypothèse, la fonction φ est intégrable sur l’intervalle semi ouvert [a, b[, la
fonction t → f (t, x) est absolument intégrable donc intégrable sur [a, b[
...
2
...
Soit x0 ∈ I
...
On pose, pour tout n ∈ N : fn (t) = f (t, xn )
...
Par continuité de la fonction x → f (t, x) , la suite ( fn )n∈N converge simplement vers la
fonction f (t, x0 ), qui elle aussi est intégrable sur [a, b[
...
On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée,
7
...
1 : la suite F(xn ) n∈N converge vers F(x0 )
...
8
...
2 Exemple
...
La fonction f est continue par rapport à chacune des deux variables sur [0, +∞[×]0, +∞[
et
1
,
∀(t, x) ∈ [0, +∞[×]0, +∞[ , | f (t, x)| ≤
1 + t2
qui est une fonction intégrable sur [0, +∞[ (voir chapitre 3)
...
Remarque
...
On cherche des
dominations sur des sous-intervalles de I et on utilise un argument de saturation pour
obtenir le résultat sur I tout entier
...
8
...
3
...
Soit f : [a, b[×I → K, une fonction continue par rapport à chacune des
deux variables sur [a, b] × I
...
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
∂f
, continue par rapport à chacune des deux variables sur [a, b] × I
...
∂x
∂f
(t, x) sont intégrables sur l’inter∂x
valle semi ouvert [a, b[ et la fonction F, définie pour x ∈ I par
Alors pour tout x ∈ I, les fonctions t → f (t, x) et t →
b
F(x) =
f (t, x)dt,
a
est dérivable sur I et
′
b
F (x) =
f (t, x) dt
′
b
=
a
a
∂f
(t, x) dt
...
Démonstration
...
∂f
(t, x) sur l’intervalle semi
Pour montrer l’intégrabilité des fonctions t → f (t, x) et t →
∂x
ouvert [a, b[ pour tout x ∈ I, on écrit, comme dans le théorème du convergence dominée
8
...
1, pour tout A ∈ [a, b[, :
A
a
A
| f (t, x)| dt ≤
a
φ (t) dt et
A
a
∂f
(t, x) dt ≤
∂x
A
a
ψ (t) dt
...
On procède alors comme pour le théorème 7
...
1
...
On peut
supposer que xn = x0 pour tout n ∈ N
...
On définit la suite de fonction (hn )n∈N pour t ∈ [a, b] par :
f (t, xn ) − f (t, x0)
xn − x0
Puisque la fonction f est dérivable par rapport à la variable x en x0 , cette suite converge
∂f
(t, x0), qui bien est intégrable par rapport à la variable t
...
3
...
Donc, les fonctions hn sont donc dominées par la fonction ψ sur [a, b]
...
1
...
a ∂x
Comme ceci est valable pour toute suite (xn )n∈N convergeant vers x0 , on en déduit que
b
converge vers
F(x) − F(x0 )
=
x − x0
lim
x→x0
b
a
∂f
(t, x0) dt,
∂x
ce qui prouve la dérivabilité de F en x0 et l’égalité
F ′ (x0 ) =
b
a
∂f
t, x0 dt
...
Remarque
...
On cherche
des dominations sur des sous-intervalles de I et on utilise un argument de saturation pour
obtenir le résultat sur I tout entier
...
8
...
2 Exemple
...
Pour x ∈]0, +∞[, on pose
Γ(x) =
+∞
0
e−t t x−1 dt
...
Γ = Γ1 + Γ2
...
On peut donc pour x > 0 fixé, appliquer le théorème 3
...
2 :
-Soit x ∈]0, +∞[ fixé
...
8
...
Donc Γ1 (x) est bien définie pour x ∈]0, +∞[
...
Quand t → +∞, on a
lim et/2 f (t, x) = lim e−t/2 t x−1 = 0
...
Donc
Γ2 (x) est également bien définie pour x ∈]0, +∞[
...
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
On vérifie sans difficulté que Γ(1) = 1 et que ∀x > 0 , Γ(x + 1) = xΓ(x)
...
La fonction Γ apparaît donc comme une
extension à R+ de la fonction “factorielle”
...
Soit α > 0
...
La fonction ψ1 (t) = e−t t α −1 est intégrable en 0
...
2
...
Ceci étant vrai pour tout α > 0, on en déduit que Γ1 (x)
est continue sur ]0, +∞[
...
On a de la même façon :
∀x ∈]0, β ] , ∀t ∈ [1, +∞[, e−t t x−1 ≤ e−t t β −1
...
De nouveau, d’après le théorème 8
...
1,
la fonction Γ2 (x) est continue sur ]0, β ]
...
La fonction Γ est donc continue sur ]0, +∞[
...
En effet, pour tout (t, x) ∈]0, +∞[×]0, +∞[,
∂f
(t, x) = e−t t x−1 lnt
...
Comme pour la continuité, on écrit :
∀x ∈ [α , +∞[ , ∀t ∈]0, 1], e−t t x−1 lnt ≤ e−t t α −1 lnt,
∀x ∈]0, β ] , ∀t ∈ [1, +∞[, e−t t x−1 lnt ≤ e−t t β −1 lnt
...
On en déduit par le théorème 8
...
1 que les fonctions Γ1 et Γ2 sont dérivables respectivement sur [α , +∞[ et ]0, β ]
...
Il en est de même pour Γ et on a :
∀x ∈]0, +∞[, Γ′ (x) =
+∞
0
e−t t x−1 lntdt
...
2
...
3
...
On peut envisager une hypothèse moins forte, la convergence
uniforme :
Remarque
...
3
...
On dit que l’intégrale généralisée dépendant d’un paramètre
b
F(x) =
f (t, x) dt,
a
est uniformément convergente sur I si :
∀ε > 0 , ∃c ∈ [a, b[ tel que ∀x ∈ I ,
b
c
f (t, x) dt ≤ ε
...
4
...
2
...
3
...
8
...
4
...
On pose :
E = { f ∈ C(R+ , K) | ∃M f > 0, ∃r f > 0, ∀t ∈ R+ , | f (t)| ≤ M f er f t }
...
8
...
2 Proposition
...
Alors, pour tout x > r f , L( f )(x) est bien définie
...
Démonstration
...
Pour tout x > r f , on peut écrire :
f (t)e−xt ≤ M f e(r f −x)t
...
Donc t → f (t)e−xt est absolument intégrable sur [0, +∞[ pour tout x > r f et L( f )(x) est bien définie pour ces valeurs de x
...
Montrons que pour f ∈ E, L( f ) est de classe C∞ :
La fonction (t, x) → e−xt f (t) est continue sur [0, +∞[×]r f , +∞[, dérivable par rapport à x
∂ −xt
avec
e f (t) = −te−xt f (t) qui est continue sur [0, +∞[×]r f , +∞[
∂x
De plus, soit a > r f
...
∂x
La fonction t → te(r f −a)t est intégrable sur [0, +∞[
...
3
...
Comme a > r f est quelconque, cette égalité est vérifiée sur ]r f , +∞[
...
Le
résultat à l’ordre n est alors immédiat et on obtient bien que L( f ) est de classe C∞
...
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
implique que
+∞
|L ( f ) (x)| ≤
+∞
e−xt f (t) dt ≤ M f
0
0
Mf
...
Pour la dérivée, un calcul analogue donne, pour x > r f :
−te−xt f (t) ≤ M f te(r f −x)t ,
d’où :
+∞
d
te−xt f (t) dt ≤ M f
L ( f ) (x) ≤
dx
0
Or par une intégration par parties, on a, pour tout X > 0 :
X
(r f −x)t
te
0
te(r f −x)t
dt =
rf −x
X
−
0
1
rf −x
+∞
0
X
0
te(r f −x)t dt
...
Le terme tout intégré tend vers 0 quand X → +∞ et le second terme tend vers
donc,
+∞
0
te(r f −x)t dt =
On en déduit que
1
...
Cet argument s’applique aussi à toutes les dérivées de cette fonction
...
4
...
Soit f ∈ E
...
Démonstration
...
8
...
4 Proposition
...
(x − λ )n+1
Démonstration
...
Pour tout X > 0, par intégration par parties, on a :
X
n (λ −x)t
t e
0
t ne(λ −x)t
dt =
λ −x
X
0
−n
X t n−1 e(λ −x)t
0
λ −x
dt
...
Donc on obtient l’égalité :
+∞
0
t n e(λ −x)t dt =
−n
λ −x
+∞
0
t n−1 e(λ −x)t dt
...
4
...
(x − λ )n+1
8
...
5 Proposition
...
Pour x > r f , pour tout n ≥ 1,
L (t n f (t)) (x) = (−1)n
dn
(L( f )(x))
...
On procède par récurrence sur n
...
4
...
D’où
d
(L( f )(x))
...
Le résultat à l’ordre n est alors immédiat
...
4
...
1)
Si f et f ′ ∈ E, alors, pour x > r f , r f ′ :
L f ′ (x) = xL ( f ) (x) − f (0)
...
, f (n) ∈ E, alors, pour x > r f , r f ′ ,
...
− f (n−1) (0)
...
La deuxième propriété se démontre par une récurrence immédiate à partir
de la première
...
Par intégration par parties, on trouve, pour tout x > r f , r f ′ :
X
0
f ′ (t)e−xt dt = f (t)e−xt
X
0
X
+x
0
f (t)e−xt dt
...
Les propriétés que nous venons de démontrer permettent de résoudre des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants, par la méthode de la transformée de Laplace, si l’on admet le résultat
suivant :
158
Chapitre 8
...
4
...
La transformée de Laplace L est une application injective sur E
...
4
...
On considère l’équation différentielle :
y′′ (t) − 3y′ (t) + 2y(t) = et , y(0) = 1, y′ (0) = 0
...
On cherche cette solution
dans E
...
En utilisant les propositions 8
...
2 et 8
...
6, on écrit :
L y′′ (t) (x) = x2 L y(t) (x) − xy(0) − y′ (0) = x2 L y(t) (x) − x
L y′ (t) (x) = xL y(t) (x) − y(0) = xL y(t) (x) − 1
1
L et (x) =
...
x−1
D’où
x2 − 4x + 4
x−2
−1
1
=
=
+
2 (x − 2)
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
= −L tet (x) + L et (x) = L (1 − t)et (x)
...
4
...
Par suite, cette fonction est l’unique solution de l’équation différentielle sur R
...
4
...
On considère le système différentiel :
dx (t) = 2x(t) + 2y(t) + et ,
dt
dy
(t) = x(t) + 3y(t) − tet ,
dt
avec les conditions initiales x(0) = 1, y(0) = 4
...
On
cherche cette solution dans E et on transforme ce système par L
...
(u − 1)2
§ 8
...
Exercices sur le chapitre 8
159
Ce système admet pour solution :
3
2
L (x(t)) (u) = u − 12u + 19u − 6 ,
(u − 1)3 (u − 4)
3
2
L (y(t))(u) = 4u − 15u + 18u − 6
...
4
...
4
...
Remarque
...
8
...
1 Exercice
...
1 + t2
1) a) Montrer que cette intégrale existe pour tout x ∈ R, c’est-à-dire que F est définie sur
R tout entier
...
2) Montrer que F(x) est paire et calculer F(0)
...
u2 + x2
4) Montrer que G(x) est deux fois dérivable sur ]0, +∞[ et exprimer G′ (x) et G′′ (x) sous
la forme d’intégrales généralisées dépendant du paramètre x ∈]0, +∞[
...
2
2 3
0 (u + x )
6) a) Montrer que pour (u, x) = (0, 0), les fonctions
h(u, x) =
−1
2x2 − 6u2
et k(u, x) = 2
,
(u2 + x2 )3
u + x2
vérifient
h(u, x) =
∂ 2k
(u, x)
...
160
Chapitre 8
...
]
∂ u2
0
c) En déduire que F est de la forme
F(x) = aex + be−x , a, b ∈ R,
pour x ∈]0, +∞[
...
8
...
Pour tout n ∈ N∗ et pour tout x > 0, on pose :
+∞
hn (x) =
0
dt
(t 2 + x4 )n
...
∗
+
...
n
4)a) Calculer h1 (x)
...
4)c) En déduire hn (x) pour tout n ∈ N∗
...
3 Exercice
...
On note g(x) = supt∈[x,1] f (t), pour x ≤ 1
...
2) Montrer que si x ∈ ]0, 1], alors g(x) < 1
...
Désormais, on fixe un réel α ∈ ]0, 1[ ; on suppose que f ′ (0) = 0 et on note f ′ (0) = −λ
avec λ ∈ R∗
...
lim
t→0
t
[Pour la suite, on rappelle que toute suite de réels admet une limite supérieure et une
limite inférieure (éventuellement infinies) et que la suite converge si et seulement si la
limite supérieure et la limite inférieure sont finies et égales]
5)a) Soit µ > λ
...
5)b) En déduire que pour µ > λ ,
1
0
f n (t)
dt
≥ (nµ )α −1
tα
n µ xµ
0
e−t
dt
...
5
...
tα
µ 1−α
f n (t)
dt Γ(1 − α )
≥
...
Montrer à l’aide de 4) qu’il existe xµ ∈ ]0, 1]
tel que f (t) ≤ e−µ t pour tout t ∈ [0, xµ ]
...
6)c) En déduire (en utilisant 2)) que pour 0 < µ < λ ,
f n (t)
dt Γ(1 − α )
≤
...
tα
λ 1−α
0
n→+∞
puis que
1
lim sup n1−α
0
n→+∞
7) Déduire des questions 5) et 6) que
1
0
f n (t)
Γ(1 − α )
dt
∼ 1−α 1−α ,
α
t
λ
n
n → +∞
...
4 Exercice
...
Montrer que l’intégrale généralisée
+∞
0
e−zt dt,
existe et donner sa valeur
...
Déduire de 1) que l’intégrale généralisée
+
+∞
G(x) =
0
e−xt sint dt,
existe et montrer que
G(x) =
1
...
Montrer que l’intégrale généralisée
+
+∞
F(x) =
0
e−xt
sint
dt,
t
existe
...
+
162
Chapitre 8
...
+
6) Montrer que l’intégrale généralisée
+∞
I=
0
sint
dt,
t
est semi-convergente
...
6 Corrigé des exercices sur le Chapitre 8
Corrigé de l’exercice 8
...
1 + t2
+∞
Ceci nous montre tout d’abord que F(x) est bien définie puisque
h(t) dt est conver0
gente (théorème de comparaison)
...
La fonction F(x) est donc continue sur R
...
De plus F(x) est bornée par
2
0
2) Il est immediat que F(x) = F(−x) puisque cos(tx) = cos(−tx)
...
T →+∞
1 + t2
3) En utilisant le changement de variable u = xt, on obtient
+∞
F(x) =
0
cos u du
=x
1 + (u/x)2 x
4) On calcule tout d’abord
+∞
cos u
x2 + u2
0
du = xG(x)
...
∂x
(x + u2 )2
C’est une fonction continue sur ]0, +∞[×]0, +∞[
...
Pour x ≥ a, on a
|
2x
2x
2
2
∂g
(x, u)| ≤ 2
≤ 2 2
=
≤
...
(x2 + u2 )2
§ 8
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 8
163
De même, on calcule
8x2 cos u
2 cos u
(6x2 − 2u2 ) cos u
∂ 2g
(u, x) = 2
− 2
=
...
Pour x ≥ a, on a
|
∂ 2g
|6x2 − 2u2 | 6(x2 + u2 )
6
(u, x)| ≤ 2
≤ 2
≤ 2
...
(x2 + u2 )3
5) Puisque F(x) = xG(x), F est aussi deux fois dérivable sur [a, +∞[ pour tout a > 0 et
par conséquent sur ]0, +∞[
...
(x2 + u2 )3
0
F ′′ (x) = xG′′ (x) + 2G′ (x) =
+∞
6) Pour (u, x) = (0, 0) on peut calculer les dérivées partielles de k(u, x) et on trouve
∂k
2u
(u, x) = 2
,
∂u
(x + u2 )2
et
∂ 2k
2
8u2
2x2 − 6u2
(u, x) = 2
− 2
= 2
= h(u, x)
...
∂ u2
0
On effectue deux intégrations par partie successives sur un intervalle [A, B] où B > A > 0
...
0
Toute solution de cette équation sur un intervalle est une combinaison linéaire des solutions élémentaires ex et e−x d’où la forme de F
...
Comme F est continue en 0, on a b = F(0) = , soit F(x) = e−x sur
2
2
[0, +∞[
...
2
164
Chapitre 8
...
2
1
est définie et continue sur [0, +∞[×R+
...
Pour t → +∞, on a 0 ≤ 2
≤ 2n qui
(t + x4 )n t
est intégrable en +∞
...
2) Soit a > 0
...
est intégrable sur [a, +∞[ et donc hn est continue sur l’inter-
valle [a, +∞[
...
3) Soit 0 < a < A
...
∂ x (t 2 + x4 )n
(t + x4 )n+1
(t + a4 )n+1
2nA3
est intégrable sur [0, +∞[ et donc hn est dérivable sur [a, A]
(t 2 + a4 )n+1
et sa dérivée vérifie bien :
h′ (x) = −4nx3 hn+1 (x)
...
∗
∞
1
π
t ∞
4)a) h1 (x) =
dt = x2 arctan 2 = 2
...
2
Supposons que hn est de la forme hn (x) = an x2−4n et calculons hn+1 , pour x > 0, par la
relation trouvée en 3) :
1 ′
1
4n − 2 2−4(n+1)
h (x) = −
(2 − 4n)anx2−4n−1 = an
x
...
2
2n
π (2n − 3)(2n − 5)
...
4)c) On en déduit que hn (x) =
2 (2n − 2)(2n − 4)
...
3
1) En appliquant le résultat du cours sur la fonction Γ, on voit aisément que l’intégrale
+∞ e−t dt
généralisée
existe si et seulement si α < 1
...
Supposons qu’il existe a ∈ ]0, 1], tel que
g(a) = supt∈[a,1] f (t) = 1
...
6
...
Ceci contredit l’hypothèse sur f et
on a donc bien g(x) < 1 pour tout x ∈]0, 1]
...
La formule des accroissement finis nous
dit qu’il existe α > 0 tel que si 0 ≤ t ≤ α , alors | f (t) − f (0) − t f ′(0)| ≤ t ε
...
Ceci contredit l’hypothèse et
donc on a bien f ′ (0) ≤ 0
...
f (t) − e−µ t
= µ − λ + ε1 (t) + ε2(t)
...
t
5)a) Soit µ > λ
...
Alors, d’après 4), il existe α tel que pour tout s ∈ [0, α ],
f (s) − e−µ s − (µ − λ )s ≤ ε s
...
Ceci contredit l’hypothèse que nous avons faite et donc on a bien l’existence de xµ ∈]0, 1]
tel que pour tout t ∈ [0, xµ ], f (t) ≥ e−µ t
...
tα
en ayant effectué le changement de variable s = nµ t
...
Donc toute
t n∈N
µ 1−α
0
1
dt
est supérieure à cette limite
...
tα
µ 1−α
Cette inégalité étant vraie pour tout µ > λ , on a aussi :
1
lim inf n1−α
n→+∞
0
f n (t)
dt Γ(1 − α )
≥
...
Supposons que pour tout x ∈ ]0, 1] il existe t ∈ [0, x] tel que f (t) > e−µ t
...
Alors, d’après 4), il existe α tel que pour tout s ∈ [0, α ],
f (s) − e−µ s − (µ − λ )s ≤ ε s
...
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
Ceci implique en particulier que pour tout s ∈ [0, α ], f (s) < e−µ s
...
6)b) Pour 0 < µ < λ , on peut écrire :
1
f n (t)
0
xµ
1
dt
dt
+
f n (t) α
α
t
t
0
xµ
xµ
1 dt
dt
≤
e−nµ t α + gn (xµ )
α
t
xµ t
0
n µ xµ
(1 − xµ )
dt
e−t α + gn (xµ )
≤ (nµ )α −1
...
Donc, toute valeur d’adhérence
µ 1−α
1
dt
est inférieure à la somme de ces 2 limites
...
tα
µ 1−α
et puisque cette inégalité est vraie pour tout µ < λ , on a aussi l’inégalité :
1
lim sup n1−α
f n (t)
0
n→+∞
dt Γ(1 − α )
≤
...
D’où le résultat :
λ
7) On déduit des questions 5) et 6) que la suite
1
f n (t)
0
n1−α
Γ(1 − α )
dt
∼ 1−α 1−α ,
tα λ
n
f n (t)
n → +∞
...
4
1) Soit A > 0 fixé
...
z
Or e−Az = e−Aℜe z → 0 quand A → +∞ car ℜe z > 0
...
A→+∞ z
z
0
§ 8
...
Corrigé des exercices sur le Chapitre 8
167
1 1
1
1
eit − e−it
dt =
= 2
−
...
Donc
3) La fonction t →
t
0
+∞
sint
e−xt
dt converge absolument
...
L’application g : [0, +∞[×[a, +∞[→ R telle que g(t, x) = e−xt
t
∂
g(t, x) = −e−xt sint
...
On a donc
+∞ ∂
+∞
d +∞ −xt sint
e
dt =
g(t, x)dt soit F ′ (x) =
−e−xt sint dt = −G(x) sur tout
dx 0
t
∂x
0
0
intervalle [a, +∞[ (avec a > 0 quelconque), donc sur ]0, +∞[
...
|F(x)| ≤
x
0
1
alors F(x) = −arctgx + C, on a donc
D’où limx→∞ F(x) = 0
...
x→+∞
2
2
sint
est continue en 0, donc le seul problème de convergence est en
6) La fonction t →
t
+∞
...
On a :
+∞
2) G(x) =
e−xt
A
sint
− cost
dt =
t
t
1
A
1
A
−
1
cost
dt
...
On peut prendre la limite quand
A → +∞ et on trouve :
+∞
1
sint
dt = cos 1 −
t
+∞
1
cost
dt
...
t
0
+∞ sint
dt diverge car elle a le même comportement que la série
Par contre, l’intégrale
t
0
(n+1)π sint
de terme général un =
dt
...
(n + 1)π
nπ
La série est donc divergente et l’intégrale aussi
...
L’application g : [0, +∞[×[0, b] → R telle que g(t, x) = e−xt
168
e−xt
Chapitre 8
...
Donc le théorème ne s’applique pas
...
Mathématiques pour la physique Diderot éditeur, Arts et Sciences,
Paris (1996)
...
, RAMIS E
...
Nouveau cours de mathématiques spéciales, Tome 2, Analyse
...
[3] CHRISTOL, G
...
, MARLE, C
...
Calcul Différentiel
...
[4] CHRISTOL, G
...
, MARLE, C
...
Topologie
...
[5] DIEUDONNE J
...
GauthierVillars, Cahiers Scientifiques, Fascicule XXVIII, Paris (1972)
...
, SURATTEAU D
...
3e édition,
Ellipses, Paris (2008)
...
, VAUTHIER J
...
ESKA, Paris
(1989)
...
, KREE P
...
Exercices de Mathématiques, Deuxiéme année
du DEUG, Vol
...
ESKA, Paris (1989)
...
, ARNAUDIÈS, J
...
Cours de Mathématiques, Tome 2,
Analyse
...
[10] RAMIS, E
...
Masson et Cie, Paris
(1968)
...
Analyse I, Théorie des ensembles et Topologie
...
[12] SCHWARTZ, L
...
Hermann,
Paris (1970)
...
141, 142, 145
Dérivabilité de l’intégrale généralisée
...
85
Dérivabilité des sommes
...
102,
104, 105
Développement en séries entières
...
122
Disque de convergence
...
138, 139
Approximation numérique des intégrales
59, 60
B
Borne inférieure
...
5, 16, 19, 57
C
Calcul des primitives
...
55, 56, 62, 65,
67, 126
Coefficients de Fourier
...
140, 145
Continuité de l’intégrale généralisée151,
154
Continuité des limites
...
2
Convergence absolue
...
35, 37
Convergence d’une série
...
82, 83, 96, 118,
120–122
Convergence simple
...
79–85, 87, 88,
96, 118, 119, 128
Convergence uniforme des intégrales généralisées
...
118
Critère de Cauchy
...
64
Critère de Cauchy pour les intégrales 65,
68, 70
Critère de Cauchy uniforme
...
2
Erreur
...
107
F
Fonction absolument intégrable
...
45–48, 50, 51, 57,
124, 125
Fonction Gamma
...
47, 48, 50, 51, 57,
58, 124, 125, 151, 152
Fonction inverse
...
62, 65,
66, 68
Fonctions hyperboliques
...
55
Fonctions trigonométriques
...
110
Formule de Taylor
...
1
Intersection
...
49, 140, 141, 145
Intégrale des fonctions en escalier
...
63, 151, 154–156
Intégrales de Riemann
...
88
Intégration des sommes
...
55
Inverse d’une série entière
...
58
L
Limite
...
18, 20, 97
Limite supérieure
...
110
M
Matrice jacobienne
...
59
Méthode des trapèzes
...
4
Norme de la convergence uniforme
...
51
Primitive
...
23, 98
Q
Quantificateur
...
2, 54
Rayon de convergence95–102, 104, 105,
107, 109, 119
Reste d’une série
...
5, 145, 158
Réunion
...
33, 34, 83
Série convergente
...
77, 80, 83, 85, 88
Série de Fourier
...
102, 104
Série entiére
...
95, 98, 119
Série géométrique
...
21
Séries de Bertrand
...
31
Série trigonométrique
...
25
Sinus et Cosinus complexes
...
37, 38, 99
Somme d’une série
...
17
Somme de Riemann
...
21,
23–25, 31, 33, 35–37, 77, 81, 84,
87, 118, 119
Sous-suite
...
99
Suite bornée
...
11–16, 18, 32, 48, 53,
81
Suite de Cauchy
...
77, 80, 83, 85, 88
Suite numérique
...
16, 33
T
Terme général
...
21
Test de Cauchy
...
27, 97
Test des équivalents
...
129
Théorème d’Abel
...
69
Théorème de Bolzano-Weierstrass
...
126
Transformée de Laplace
...
64, 65, 68
Title: Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices
Description: nice book help you in mathematics and special in the chapitre of Suites , Séries and integral
Description: nice book help you in mathematics and special in the chapitre of Suites , Séries and integral