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Chapitre 01 : Intégrales multiples
Introduction : Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples : c'est-àdire les intégrales d’une fonction d’une seule variable réelle
...
Rappelons qu’une fonction réelle , définie sur un intervalle [a,b], est dite Riemann intégrable si on peut
l’encadrer entre deux fonctions en escalier ; d’où toute fonction continue est intégrable
...
En subdivisant
, on définit l’intégrale de
I
...
Principe de l’intégrale double sur un rectangle :
Soit la fonction réelle des deux variables x et y, continue sur un rectangle
...
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On partage D en sous-rectangles, dans chaque sous-rectangle
M(x,y) et on calcule l’image de (x,y) pour la fonction f
...
Lorsque le quadrillage devient
suffisamment « fin » pour que la diagonale de chaque sous-rectangle tende vers 0, ce volume sera la limite
des sommes de Riemann et on le note
Exemple : En utilisant la définition, calculer
Remarques :
A priori, l’intégrale double est faite pour calculer des volumes, de même que l’intégrale simple était
faite pour calculer une aire
...
Théorème : Soit D un domaine borné de
...
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...
Si
, alors :
est
...
Formules de Fubini :
Théorème 01: Soit f une fonction continue sur un rectangle
...
Nous calculons donc une intégrale double sur un rectangle en calculant deux intégrales simples :
En intégrant d’abord par rapport à x entre a et b ( en laissant y constante)
...
En intégrant cette expression de y entre c et d
...
Exemple 01 : Calcul de
D’après Fubini, on a :
Dans cette exemple x et y jouent le même rôle
...
L’intégrale double
Si l’on peut représenter le domaine D sous la forme
, alors :
Si les deux représentations sont possibles, les deux résultats sont évidemment égaux
...
Pour cela on va définir D analytiquement par les inégalités :
Exemple02 : Calculer
sur le domaine D formé de la réunion de la partie gauche du
disque unité et du triangle de sommets (0,-1), (0,1) et (2,1)
...
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Exemple03: Calculer l’intégrale
...
Dans ce cas on est obligé a intégrer d’abord
par rapport à y puis par rapport à x, car la primitive de la fonction
fonctions usuelles
...
Exemple 04 : Calculer
...
Changement de variable dans une intégrale double:
Nous allons avoir un résultat analogue à celui de l’intégrale simple, où le changement de variable
nous demandait de remplacer le « dx » par
...
Théorème : Soit
D
...
Alors, nous avons :
sur le domaine
En effectuant le changement de variable
On a aussi
...
Le jacobien de ce changement de variables est
dont le déterminant vaut
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du domaine
...
Changement de variable en coordonnées polaires :
Soit
telle que
...
D’où
2)Calculer le volume d’une sphère :
et puisque la fonction est paire
par rapport aux deux variables ;
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...
On a aussi la possibilité d’utiliser l’intégrale double pour
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calculer l’aire elle-même du domaine D
...
Ainsi, l’aire A du
domaine est
...
Notons l’aire de cette
...
L’aire de la surface de ∑ délimitée par sa projection D sur
le plan XOY est donnée par
Exemple : Calculons l’aire du paraboloïde
...
D’où
c) Masse et centres d’inertie : Si on note
donnée par la formule
la densité surfacique d’une plaque
, sa masse est
...
d) Le moment d’inertie : Le moment d’inertie d’une masse ponctuelle M par rapport à un axe est défini
par
, où r est la distance entre la masse et l’axe
...
De même, le moment d’inertie de la plaque par
rapport à l’axe (y’Oy) est :
...
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II
...
Formules de Fubini :
Sur un parallélépipède : Le théorème de Fubini s’applique de façon assez naturelle quand
, on se ramène à calculer trois intégrales simples :
Exemple : Calcul de
Sur un domaine quelconque borné : Représentons un domaine D pour établir le traitement de
la recherche des bornes d’intégration
...
On peut alors représenter
dans le plan YOZ, puis le
traitement sur
se fait comme avec les intégrales doubles :
...
Exemple : Calcul de
sur le domaine
...
Changement de variables : Si l’on a une application bijective
domaine
et de classe
du
sur le domaine D, définie par
...
a) Calcul en coordonnées cylindriques :
En dimension 3, les coordonnées cylindriques sont données par :
Le déterminant de la matrice Jacobienne de
sera
On a donc
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Exemple : Calculer
b) Calcul en coordonnées sphériques :
En dimension 3, les coordonnées sphériques sont données par :
Le déterminant de la matrice Jacobienne de
sera
Et donc
Exemple : Calculer
Le domaine D est l’hémisphère supérieur (centrée à l’origine et de rayon R), en passant aux coordonnées
sphériques :
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...
Exemple : Calculer le volume d’une sphère
...
Masse, centre et moments d’inertie : Soit µ la densité d’un solide qui occupe la région V ,
alors sa masse est donnée par
Le centre de masse G est de coordonnées
Les moments d’inertie par rapport aux trois axes sont :
Exemple : Déterminer le centre de masse d’un solide de densité constante, borné par le cylindre
parabolique
et les plans x=z, z=0 et x=1
...
Et
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Complément : « Surfaces dans l’espace »
1)
Sphère : L’équation cartésienne d’une sphère
centrée en (x0, y0, z 0) et de rayon R est :
2) Ellipsoïde : est une surface d’équation de la
forme :
3) Cône : C’est une surface de l’espace d’équation de
la forme :
4) Paraboloïde elliptique (bol) : est
d’équation de la forme :
5) Paraboloïde hyperbolique : (à selle) est
d’équation de la forme :
; par un changement de variable l’équation
se transforme en
6) Hyperboloïde à une nappe : d’équation de la
forme :
7) Hyperboloïde à deux nappes : est
d’équation :
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