Search for notes by fellow students, in your own course and all over the country.
Browse our notes for titles which look like what you need, you can preview any of the notes via a sample of the contents. After you're happy these are the notes you're after simply pop them into your shopping cart.
Title: مقرر دروس مادة الرياضيات السنة الثانية بكالوريا مسلك علوم الحياة و الأرض Math lessons rapporteur second year baccalaureate course of life sciences and earth
Description: المتتاليات العدديةNumerical sequences
Description: المتتاليات العدديةNumerical sequences
Document Preview
Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above
ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت
-Aﺗﺬآﻴﺮ
اﻧﺸﻄﺔ ﺗﺬآﻴﺮﻳﺔ
ﻧﺸﺎط1: ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ
∈ ∀n
) ( unو ) ( vn
3 = 1 u0 = 1 ; u
un + 2 = 2un +1 − un
اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ
∈ ∀n
vn = un +1 − un
un = u p + ( n − p ) r
1- ﺑﻴﻦ أن ) ( vn
2- اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و ﺣﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة
ﻓﺎن un = uq + ( n − q ) r
i =n
'
3- أﺣﺴﺐ S n = ∑ uiﺑﺪﻻﻟﺔ
...
+ unﻓﺎن
0∀n ≥ n
1+ un
0∀n ≥ n
أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻓﺎن un = u p q n − p
2- اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺮﺗﻴﺒﺔ
ﻟﺘﻜﻦ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
0
un = un0 q
ﻣﻼﺣﻈﺔ
* ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n ) n ≥ nﻣﺤﺪودة اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ
0
0
0∀n ≥ n
اﻟﻌﺪد qﻳﺴﻤﻰ أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
...
n
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ Mﺑﺤﻴﺚ un ≤ M
ﻓﺎن
2
n − pهﻮ ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺠﻤﻮع Snو u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
3u
1≥( un )n
0
∀n ≥ q ≥ p
اذا آﺎن 1− Sn = u p + u p +1
...
1- أﺣﺴﺐ 2; u
2- ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم - ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
اذا آﺎن ( un )n≥ pﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ rﻓﺎن
0∀n ≥ n
ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Sn
0∀n ≥ n
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن
u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻳﺨﺎﻟﻒ
1 ﻓﺎن Snﻣﺠﻤﻮع nﺣﺪا أوﻻ ﻣﻨﻬﺎ هﻮ
-Iاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ
1- ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nﺣﺴﺎﺑﻴﺔ اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد
1 − qn
Sn = u0 + u1
...
0
1 ﻓﺎن ) Sn = u p + u p +1
...
ﻧﻜﺘﺐ lim un = l
0
2- ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻻ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
*ﻧﻘﻮل ان ﻧﻬﺎﻳﺔ ( u n )n ≥ nﺗﺆول إﻟﻰ ∞+
إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن آﻞ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ [∞+ ; ] Aﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰﺟﻤﻴﻊ
0
ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nاﺑﺘﺪاء ﻣﻦ رﺗﺒﺔ
...
ﻧﻜﺘﺐ ∞− = lim un
0
ﻣﻼﺣﻈﺔ
∞+ = lim un = −∞ ⇔ lim− un
3- ﻧﻬﺎﻳﺎت ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ pﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ 1 ≥ pو kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
k
lim
0=
∞+ = lim n p
∞+ = lim n
n
4 ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ( u n )n ≥ nو lﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ
0=
1
np
lim
0
lim ( un − l ) = 0 ⇔ lim un = l
lim un − l = 0 ⇔ lim un = l
5- ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ – ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﺒﺎﻋﺪة
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻧﻘﻮل إن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ إذا و ﻓﻘﻂ آﺎﻧﺖ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ
...
أﻣﺜﻠﺔ
3−
n
)1− ( = wn
و
و 3vn = n
ﻧﻌﺘﺒﺮ 4 + 2 = un
n
) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻻن 4 = lim un
) ( vnﻣﺘﺒﺎﻋﺪة ﻻن ∞+ = lim vn
) ( wnﻣﺘﺒﺎﻋﺪة ﻷن ) ( wnﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ
-IIﻣﺼﺎدق اﻟﺘﻘﺎرب
ﻣﺼﺪاق1 ﻟﺘﻜﻦ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ و
0
lﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ
اذا آﺎن 0 = lim vn
' 0)n ≥ n
un − l ≤ vn
ﻓﺎن
0( u n )n ≥ n
( v nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻷﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ
∀n ≥ N
∈
...
+
ﺗﻤﺮﻳﻦ: ﻧﻌﺘﺒﺮ 1≥ ( un )nﺣﻴﺚ
2
3
n
ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن un ≥ nو اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un
0 = lim un
limﻓﺎن
-IIIﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ qn
1 q
اﻟﺤﺎﻟﺔ1:
ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ aﺣﻴﺚ q = 1 + aﻧﻌﻠﻢ أن
(1 + a )n ≥ 1 + na
وﻣﻨﻪ q n ≥ 1 + na
وﺣﻴﺚ ∞+ = lim1 + naﻓﺎن ∞+ = lim q n
1 = qﻟﺪﻳﻨﺎ 1 = lim q n
اﻟﺤﺎﻟﺔ2
اﻟﺤﺎﻟﺔ3 1 ≺ −1 ≺ q
1
q
1 ≺ qوﻣﻨﻪ 1
إذن 0 = lim q n
n
1
و ﻣﻨﻪ ∞+ = = lim
q
) ( qn
اﻟﺤﺎﻟﺔ4 1− ≤ q
1
n
q
n
limو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0 = lim q
ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
اذا آﺎن 1
n
ﻓﺎن ∞+ = lim q
ﻓﺎن 1 = lim q n
q
اذا آﺎن 1 = q
ﻣﻼﺣﻈﺔ
اذا آﺎن 1 ≺ −1 ≺ q
اذا آﺎن 1− ≤ q
*- اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( qn
*- ﻟﻴﻜﻦ
إذا آﺎن 0
*
ﻓﺎن 0 = lim q
) ( qn
ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ اذا آﺎن 1 ≤ −1 ≺ q
∈r
r
r
rﻓﺎن ∞+ = lim n
إذا آﺎن 0 ≺ rﻓﺎن 0 = lim n
∞+
n
أﻣﺜﻠﺔ
ﻓﺎن
n
1− 2
lim
ﺣﺪد 1 + 2
و
∞+
2n + 3n
2n − 3n
lim
3
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
un 2 + u n
1 + 2 un
2( أدرس رﺗﺎﺑﺔ
ب – اﺳﺘﻨﺘﺞ :
3
;
= 0u
2
= 1+( ∀n ∈ ) : un
1( ﺑﻴﻦ أن 1
3(
) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب:
∈n
1+ n
1
أ – ﺑﻴﻦ أن )1 − ( un
2
2
ﺗﻤﺮﻳﻦ: ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( un
( ∀n ∈ ) : un
) ( unو اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
≤ 1 − 1+ 0 ≺ un
1
( ∀n ∈ ) : 0 ≺ un − 1 ≤ ﺛﻢ أﺣﺴﺐ lim un
1 1+ un
ﺑﻴﻦ أن ≺
2
un
∈ ∀n
≤0
01 = 0u
ﺣﻴﺚ 5un
= 1+ un
1+ n
01 ≥ ∀n
ﺛﻢ ﺣﺪد lim un
-IVﺧﺎﺻﻴﺎت
ﺧﺎﺻﻴﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺗﻜﻮن ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻣﻮﺟﺒﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ إذا آﺎن ) ( unو ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ lو ' lﺑﺤﻴﺚ un ≤ vnﻟﻜﻞ n ≥ Nﻓﺎن ' l ≤ l
ﻣﺒﺮهﻨﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﻣﻜﺒﻮرة هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
ﻣﻼﺣﻈﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﺳﺎﻟﺒﺔ هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
1 1
1
ﺗﻤﺮﻳﻦ: ﻧﻌﺘﺒﺮ 1≥ ( un )nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ 2 +
...
-Vاﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎرﺑﺔ
1- ﻣﺒﺮهﻨﺔ
) ( unو ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ و αﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
lim ( un + vn ) = lim un + lim vn
un lim un
إذا آﺎن 0 ≠ lim vnﻓﺎن
=
vn lim vn
lim ( un vn ) = lim un × lim vn
lim (α un ) = α lim un
lim
اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت
u
lim n
vn
lim un
lim vn
) lim ( un + vn
) lim ( un × vn
l
'l
' l +l
' l ×l
l
0≠ l
∞+
∞+
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
0
l
0≠ l
∞−
∞−
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
0
lﺣﻴﺚ 0 ≠ l
+0
l
0
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
lﺣﻴﺚ 0 ≠ l
−0
l
0
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
0
0
0
0
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
∞+
∞+
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
0
∞−
∞−
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
∞+
∞−
∞+
∞+
∞+
∞−
∞−
lﺣﻴﺚ 0 ≠ l
∞+
∞−
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
∞+
∞+
∞−
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
∞+
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
∞−
lﺣﻴﺚ 0 ≠ l
∞−
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
4
l
'l
)0 ≠ ' (l
ﺗﻤﺮﻳﻦ
)
ﺣﺪد n + 1 − n
(
n
lim
∞+→n
،
2 + 2n 2 − 3n
1 − 2n
lim
∞+→n
،
1 − n3 + n
-VIﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ﻣﻦ ﻧﻮع ) f ( un
1- ﺧﺎﺻﻴﺔ
إذا آﺎﻧﺖ
4 − n 2 2n
4
lim
3 ∞+→n
( un )n≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ lو fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ lﻓﺎن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
0
( vn )n≥ nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑــ ) vn = f ( unﺑﺤﻴﺚ 0 n ≥ nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ) f ( l
0
2- ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ) un +1 = f ( un
ﻧﺸﺎط
2 = 0u
ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺣﻴﺚ 3 + 2un
un +1 = u
n
7
∈ ∀n
1- ﺑﻴﻦ أن ≤ 2 ≤ un
2
4
− 1 = vn
2- ﻟﺘﻜﻦ ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺣﻴﺚ
1 + un
أ- ﺑﻴﻦ أن ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ
ب- ب- ﺣﺪد lim vnاﺳﺘﻨﺘﺞ lim un
3- ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
3 + 2x
ﺣﻴﺚ
x
*
+
= )f ( x
7
أ- ﺗﺄآﺪ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ 2; 2
7 7
ب- ﺑﻴﻦ أن f 2; ⊂ 2;
2 2
ت- ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = x
ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ؟ ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ؟
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ ( un )n≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
0
ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
) un +1 = f ( unﺑﺤﻴﺚ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎل Iﺿﻤﻦ D fو اﻟﺤﺪ اﻷول
( un )n≥ nﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ Iو fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iو
...
∀n
2- ﺑﻴﻦ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
Title: مقرر دروس مادة الرياضيات السنة الثانية بكالوريا مسلك علوم الحياة و الأرض Math lessons rapporteur second year baccalaureate course of life sciences and earth
Description: المتتاليات العدديةNumerical sequences
Description: المتتاليات العدديةNumerical sequences