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𝑚
𝑛𝐴

𝑚!

= (𝑚−𝑛)!

𝑚
𝑛𝐶

𝑚!

= (𝑚−𝑛)! 𝑛!

-Experiência Aleatória: Procedimento que permite a obtenção de
observações cujo resultado é incerto e não pode ser conhecido
antes de realizada a experiência
...

-Acontecimento: Subconjunto do espaço amostral
...
𝒜 ≠ 0
2
...
{An} Suc de acont ⇒ ⋃+∞
𝑛=1 𝐴𝑛 ∈ 𝒜
Axiomática de Komogarov :
(Ω, 𝒜, 𝒫) espaço de probabilidades se:
1
...
∀𝐴∈𝒜 𝒫(𝐴) ≥ 0
3
...
de acont
...

𝑛⟶+∞

⟶ Propriedade : ( P(A\B)=P(A)-P(A∩B) )
Bonferroni:

An decrescente: lim 𝐴𝑛 = ⋂+∞
𝑛=1 𝐴𝑛
...

𝑛⟶+∞

𝑛⟶+∞

Indep
...
,𝑛 T
...
Bayes:

𝑃(𝐴𝑖)
...
𝑃(𝐵|𝐴𝑛)

𝑃(𝐴𝑖|𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑛)
...
Distribuição:
1
...

3
...

5
...
médio: 𝑬(𝑿) = ∑𝒊 𝒙𝒊 𝒇(𝒙𝒊 ) Momento de ordem k em relação a a: 𝑀 = 𝐸((𝑋 − 𝑎)𝑘 ) Desvio-Padrão: σ=√𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝜎
Var: 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))2 C
...
Médio:
𝑥𝑛
F
...
de Probabilidade: ∏(𝑧) = 𝐸(𝑧 𝑋 ) = ∑+∞
𝑛=0 𝑝𝑛
...
G
...
𝑓(𝑥𝑖 )
 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌)
Prop:
 𝑋𝑌 𝑖𝑛𝑑𝑝
...
𝑀𝑌 (𝑠)
 𝐸(𝑐) = 𝑐
(𝑘)
 𝑀𝑋 (0) = 𝐸(𝑋 𝑘 )
 𝐸[𝑐𝜓(𝑋)] = 𝑐𝐸[𝜓(𝑋)]
 ∏(0) = 𝑝0 ; ∏(1) = 1
 𝐸[𝜓1 (𝑋) + 𝜓2 (𝑋)] = 𝐸[𝜓1 (𝑋)] + 𝐸[𝜓2 (𝑋)]
(𝑛)
∏ (0)
(𝑛)
 ∏ (0) = 𝑝𝑛 𝑥𝑛 ! ⟺ 𝑝𝑛 =
Prop Var:
𝑛!
(𝑛)
 𝑉𝑎𝑟(𝑐) = 0
 ∏ (1) = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)
...
A
...
(1 − 𝑝)𝑛−𝑥
...
𝐼𝑛𝑑𝑝 ∶ 𝑋𝑖 ~𝐵𝑖𝑛(𝑛𝑖 , 𝑝) ⟹
∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 ~𝐵𝑖𝑛(∑𝑛𝑖=1 𝑛𝑖 , 𝑝)
Modelo Binomial Negativo: Versão 1: 𝑋~𝐵𝑁(𝑘, 𝑝)
𝑋 − 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑠 𝑎𝑡é 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑘 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
𝑥;
𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, …
𝑋 = { 𝑥−1 𝑘
(𝑘−1)
...
𝑝 + 1 − 𝑝)𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛
...
𝑒 𝑠 + 1 − 𝑝)𝑛

Versão 2:
𝑌 − 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝐾 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
𝑦;
𝑦 ∈ ℕ0
𝑌 = { 𝑦−𝑘−1 𝑘
𝑦
( 𝑘−1 )
...
𝐼𝑛𝑑𝑝 ∶ 𝑋𝑖 ~𝐵𝑁(𝑛𝑖 , 𝑝) ⟹ ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 ~𝐵𝑁(∑𝑛𝑖=1 𝑛𝑖 , 𝑝)
Modelo Geométrico: 𝑋~𝐺(𝑝) (𝑋~𝐺(𝑝) ⟹ 𝑋~𝐵𝑁(1, 𝑝))
1
 𝐸(𝑋) = 𝑝
𝑋 − 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑒 1º 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜

𝑥; 𝑥∈ℕ
𝑋={
𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1



√1−𝑝

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =

𝑝
𝑝𝑒 𝑠

 𝑀(𝑠) =
Teorema: 𝑋~𝐺(𝑝) ⟹ 𝑃(𝑋 > 𝑚 + 𝑛|𝑋 > 𝑚) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑛)
1−(1−𝑝)𝑒 𝑠
Teorema: 𝑋 𝑉
...
( 𝑁−𝑥 )
= 𝑃(𝑋 = 𝑥)
𝑀
𝑀(1−𝑝)

(𝑀𝑝)
...
(1 − 𝑝)

𝑁−𝑥

, ∀𝑥 ∈ {1, … , 𝑁}




𝐸(𝑋) = 𝑁𝑝
𝑀−𝑁
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑁𝑝(1 − 𝑝) × 𝑀−1

𝑒 −𝜆
...
𝑝 𝑓𝑥 (𝑥) = 𝑥!
Teorema: 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 𝑉
...
𝑋~𝑃(𝜆1 ), 𝑌~𝑃(𝜆2 ) , 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 𝑓𝑖𝑥𝑜 ⟹ 𝑋|𝑋 + 𝑌 = 𝑛~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝜆

𝑘!
𝜆1

1 +𝜆2

)

Teorema: 𝑋~𝑃(𝜆𝑖 ) 𝑒 𝑌|𝑋 = 𝑛~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) ⟹ 𝑌~𝑃(𝑝𝜆1 )
Vetores Aleatorios: (𝑌, X): ωϵΩ ⟶ (X(ω), Y(ω)) ∈ ℝ2 F
...
Distribuição Marginal:
Prop F
...
C:
𝐹𝑋 (𝑥) = 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥, +∞) ; 𝐹𝑌 (𝑦) = 𝐹𝑋,𝑌 (+∞, 𝑦)
1
...
𝐹𝑌 (𝑦)
2
...
Massa Prob Conjunta:
3
...
𝐼 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥1 < 𝑋 ≤ 𝑥2 ; 𝑦1 < 𝑌 ≤ 𝑦2 }, 𝑃(𝐼 ) =
(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
= 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥2 , 𝑦2 ) − 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥1 , 𝑦2 ) − 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥2 , 𝑦1 ) + 𝐹𝑋,𝑌 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = {
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑛 , 𝑌 = 𝑦𝑛 )
5
...
Massa Prob Marginal:
𝑓𝑋 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦𝑖 ) ; 𝑓𝑌 (𝑦) = ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥𝑖 , 𝑦) Teorema: 𝑋, 𝑌 𝑉
...
Prob Condicionada: 𝑓𝑋|𝑌=𝑦𝑖 (𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑥|𝑌 = 𝑦𝑖 ) = 𝑋,𝑌 𝑖 ; 𝑓𝑌|𝑋=𝑥𝑖 (𝑥) = 𝑃(𝑌 = 𝑦|𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑋,𝑌 𝑖
𝑓𝑌 (𝑦𝑖 )

𝑓𝑋 (𝑥𝑖 )

Valor Médio: 𝐸[𝜓(𝑋, 𝑌)] = ∑𝑖 ∑𝑗 𝜓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )
...
k+s em rl
...
𝐼𝑛𝑑𝑝 ⟹ 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0
𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
Coeficiente de Correlação: 𝜌𝑋,𝑌 = 𝐸(𝑋)
...

Var Cnd: 𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥𝑖 ) = ∑𝑗[𝑦𝑗 − 𝐸𝑌 (𝑥𝑖 )]2 𝑓𝑌|𝑋=𝑥𝑖 (𝑦𝑗 |𝑥𝑖 )
𝑥
Variaveis aleatórias Continuas: Função Densidade Prob: 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑡)𝑑𝑡
+∞

+∞

Valor Médio: 𝐸(𝑋) = ∫−∞ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 , (𝐸[𝜓(𝑋)] = ∫−∞ 𝜓(𝑋)𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥)
Teorema: 𝑋 − 𝑉
...
F
...
𝐶 ,0 < 𝛼 < 1, 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 ∝ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝜉𝛼 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒:
𝜉𝛼
∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝜉𝛼 ) = 𝛼 Mediana: 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 0
...
5 Moda: 𝜇∗ , 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑋: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝜇∗ ), ∀𝑥
+∞

F
...
de Momentos: 𝑀(𝑠) = 𝐸(𝑒 𝑠𝑋 ) = ∫−∞ 𝑒 𝑠𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 Modelo Uniforme Continuo: 𝑋~𝑈(𝑎, 𝑏), 𝑎 < 𝑏
Teorema: 𝑋 𝑉
...
𝐼[𝑎,𝑏]
={
Modelo de Gauss(Normal): 𝑋~𝐺𝑎𝑢(𝜇, 𝜎) ⟹ (𝑍 = 𝜎 )~𝐺𝑎𝑢(0,1)
0
, 𝐶
...
𝑒 𝑋𝑖 ~𝐺𝑎𝑢(𝜇𝑖 , 𝜎𝑖 ) ⟹
0
,𝑥 < 𝑎
(𝑥−𝜇)2
−
𝑛
𝑛
𝑛
2 2
𝑥−𝑎
𝑥
∑
∑
𝑒 2𝜎2
⟹∑
𝛼
𝑋
~𝐺𝑎𝑢(
𝛼
𝜇
𝛼
𝜎
)
𝑖=1 𝑖 𝑖
𝑖=1 𝑖 𝑖, 𝑖=1 𝑖 𝑖
 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 = {𝑏−𝑎 , 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
 𝑓𝑋 (𝑥) = 2
𝜎 √2𝜋
Modelo Exp: 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝛼) ⇔ 𝑋~𝐺𝑎(1, 𝛼)
1
,𝑥 ≥ 𝑏





𝑓𝑍 (𝑧) = 𝜙(𝑧)
𝐹𝑍 (𝑧) = 𝜙(𝑧)
𝐸(𝑋) = 𝜇
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2



𝑀𝑋 (𝑠) = 𝑒 𝜇𝑠+






𝜎2 𝑠 2
2

𝑠2

𝑀𝑍 (𝑠) = 𝑒 2
𝐸(𝑍 2𝑅−1 ) = 0





𝑓𝑋 (𝑥) = 𝛼𝑒 −𝛼𝑥
0 ,
𝑥<0
𝐹𝑋 (𝑥) = { −𝛼𝑥
−𝑒
+ 1, 𝑥 ≥ 0
1
𝐸(𝑋) =
𝛼

𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
𝑀(𝑠) =







Γ(𝑛)×Γ(𝑚)
Γ(𝑛+𝑚)

𝑥 𝑚−1 (1−𝑥)𝑛−1
𝐼[0,1]
Β(𝑚,𝑛)
𝑚
𝐸(𝑋) = 𝑚+𝑛
𝑚×𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = (𝑚+𝑛)2 (𝑚+𝑛+1)
𝑚(𝑚+1)(𝑚+2)×…×(𝑚+𝑘−1)
𝐸(𝑋 𝑘 ) = (𝑚+𝑛)×…×(𝑚+𝑛+𝑘−1)

𝑓𝑋 (𝑥) =

+∞

𝑉𝑎𝑟(𝑋)



𝑀(𝑠) =

1

1

Modelo Beta: 𝑋~𝐵𝑒(𝑚, 𝑛)




𝑎+𝑏
2
(𝑏−𝑎)2
= 12
𝑒 𝑠𝑏 −𝑒 𝑠𝑎
,
{ 𝑠(𝑏−𝑎)

𝑠≠0

, 𝑠=0

Teorema: 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝛼), 𝑃(𝑋 > 𝑥 + 𝑦|𝑋 > 𝑥) = 𝑃(𝑋 > 𝑌)
𝑛 1
Modelo Gama: 𝑋~𝐺𝑎(𝑛, 𝛼)
D
...
𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥


1
𝛼2



𝛼 𝑛 𝑒 −𝛼𝑥 𝑥 𝑛−1



𝑓𝑋 (𝑥) =



𝐸(𝑋) =



𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝛼2



𝐸(𝑋 𝑘 ) =



𝑀(𝑠) = (1 − 𝛼)

𝑛
𝛼

Γ(𝑛)
𝑛

 𝐸(𝑋) = 𝑛
 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 2𝑛
Teorema: 𝑋 𝑉
...
Dnsd P
...
Dnsd P
...
a a: ∫−∞ ∫−∞ (𝑥 − 𝑎)𝑟 (𝑥 − 𝑎)𝑠 𝑓𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

MATHTOPICS | Hermano Valido

𝑥

+∞

𝑦

+∞

F
...
𝜇𝑌 𝜎𝑌

𝑦−𝜇𝑌 2

)+(

𝜎𝑌

) ]

𝐸(𝑋) = 𝜇𝑋
𝐸(𝑌) = 𝜇𝑌
𝑉(𝑋) = 𝜎𝑋2
𝑉(𝑌) = 𝜎𝑌2
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) =
= 𝜎𝑋 𝜎𝑌 𝜌

𝑀𝑈,𝑉 (𝑠1 , 𝑠2 ) = 𝑒 2(𝑠1 +2𝜌𝑠1 𝑠2 +𝑠2 )
1
2
1
𝑀𝑋,𝑌 (𝑠1 , 𝑠2 ) = exp(𝜇𝑋 𝑠1 + 𝜇𝑌 𝑠2 + 2 (𝜎𝑋2 𝑠12 +  𝑓 (𝑥) = 1
...
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐵𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ⇒ 𝑋 𝑒 𝑌 𝑠𝑎𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⇔ 𝜌 = 0
Simetria de Variaveis
...
𝑃(|𝑥| > 𝑛) = 0
𝑛⟶+∞

2

Regressões: 𝑂 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 ℝ : (𝑥, 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜(𝑇𝑖𝑝𝑜 𝐼)𝑑𝑒 𝑌 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑉

Estatistícas Ordinais: (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠 𝐴𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎𝑠 – 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑋𝑘 : 𝑛 = 𝑋(𝑘) 𝑎 𝑘
...
𝑛!

Convergências Estocásticas: {𝑋𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ} 𝑠𝑢𝑐 𝑑𝑒 𝑉
...
𝑋𝑛 ∩ 𝐵𝑒𝑟(𝑝) ⇔ 𝑋𝑛 {
𝑓𝑛 =

𝑋1 +𝑋2 +⋯+𝑋𝑛 𝑃
→
𝑛

0
1−𝑝

1
𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑝

𝑝
𝑃

𝑋 +𝑋 +⋯+𝑋𝑛
Lei dos Grandes Números: {𝑋𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ} 𝑠𝑢𝑐 𝑑𝑒 𝑉
...
𝐴′ 𝑠 , {𝑀𝑋𝑛 (𝑠), 𝑛 ∈ ℕ} 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑐 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒
𝑑

𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑒 𝑠𝑢𝑓
...
𝐹𝑋 (𝑥) é lim 𝑀𝑋𝑛 (𝑠) = 𝑀𝑋 (𝑠)
𝑛⟶+∞

Teorema do limite central: {𝑋𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ} 𝑠𝑢𝑐 𝑑𝑒 𝑉
...
√𝑛

∩ 𝑁(0,1)

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