Notesale: Turn your study into money

Document Preview

Extracts from the notes are below, to see the PDF you'll receive please use the links above

---

 
 
Math Handbook 
of Formulas, Processes and Tricks 
Trigonometry 
 
 
 
 
 
 
 
Prepared by:  Earl L
...
03 
October 3, 2013 
 

 

 

Copyright 2012‐2013, Earl Whitney, Reno NV
...
In its current form, the handbook covers many of the subjects
contained in a Trigonometry course, but is not exhaustive
...
Revisions to this handbook will be provided on
www
...
us as they become available
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
us – Developed specifically for math students from Middle School to College, based on the 
author's extensive experience in professional mathematics in a business setting and in math tutoring
...

http://www
...
us/

Wolfram Math World – Perhaps the premier site for mathematics on the Web
...
  
http://mathworld
...
com/

Khan Academy – Supplies a free online collection of thousands of micro lectures via YouTube on 
numerous topics
...

www
...
org

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-5-

Trigonometry Handbook
Table of Contents

Analyze Math Trigonometry – Contains free Trigonometry tutorials and problems
...

http://www
...
com/Trigonometry
...
   Each book in this series provides explanations of the 
various topics in the course and a substantial number of problems for the 
student to try
...
  
Schaum’s Outlines are available at Amazon
...


Note: This study guide was prepared to be a companion to most books on the subject of High
School Trigonometry
...


Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-6-

Trigonometry 
Trig Functions and Special Angles 
 
 
Trigonometric Functions 
 
 
 
 
 

 
    SOH‐CAH‐TOA 
     sin



cos



 
 
 
 

 

 

        
 

 

 

 

 

   sin

 

 cos

  

   cos

 

  

   tan

 

 
   

 

  

  

 tan

 

     tan

 
 
 
 
                         
Special Angles 
    
 
 
Radians 
 
0 
 

 sin

 

 

 

Trig Functions of Special Angles ( ) 
Degrees 
  0⁰ 

30⁰ 

 
√

√

 
 

 

√

√

 
 

 

 
 

√

 

60⁰ 

√

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-7-

Trigonometry 
Trigonometric Function Values in Quadrants II, III, and IV 
In quadrants other than Quadrant I, trigonometric values for angles are calculated in the following 
manner: 


Draw the angle θ on the Cartesian Plane
...
 



Find the value of the trigonometric function of 
the angle in the previous step
...
 
 

Examples: 
Θ in Quadrant II – Calculate:   180⁰
For 
sin 60°

120⁰, base your work on 180°
√

, so:  

∠

 

120°

60° 

√

°

 
 
 

Θ in Quadrant III – Calculate:  

∠

180⁰  

  For 
210⁰, base your work on 210°
√
  cos 30° √ , so:  
°


180°

30° 

 
 
 
 
 
 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-8-

Trigonometry 
The Unit Circle 
 
The Unit Circle diagram below provides  ‐ and  ‐values on a circle of radius 1 at key angles
...
  Using this diagram, it is easy to identify the sines and cosines of angles 
that recur frequently in the study of Trigonometry
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  So: 
 
sin
 

 

1
csc

and

csc

1
 
sin

The cosine and secant functions are reciprocals
...
  So: 

 

tan

 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-10-

Trigonometry 
Inverse Trigonometric Functions 
Inverse Trigonometric Functions 
Inverse trigonometric functions ask the question:  which angle   has a function value of ?   For example: 

sin

0
...
5
...
  It is equivalent to:  tan

0
...
 
1
...
  
So, mathematicians have defined a primary solution for problems 
involving inverse trigonometric functions
...
  For example: 
The solutions to  
2

sin

0
...
  That is, the set of all solutions to this equation contains the 

two solutions in the interval  0, 2 , as well as all angles that are 
integer multiples of 2  less or greater than those two angles
...
 
The primary value of  for which 

sin

0
...
5 is positive, and is  


...
  A table summarizing these 
is provided in the table at right
...
 

cos

 

 

tan

 

Range 
2
0
2

2

 

 
2

 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-11-

Trigonometry 
Graphs of Inverse Trigonometric Functions 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-12-

Trigonometry 
Key Angle Formulas 
 

Angle Addition Formulas 
 
sin
sin
 
 

sin cos sin cos  
sin cos sin cos  
tan



 



  



 
 

cos
cos

cos cos
cos cos

 

tan

  

 
 
 

cos 2



sin sin   
sin sin  




 



 
 

Double Angle Formulas 
 
  
  
  
  

sin 2 2 sin cos   
 
 
 
 
 
 
 
 

tan 2   
 


 
 
 

cos
sin
1 2 sin  
2 cos
1 

 

 
 

Half Angle Formulas 

The use of a “+” or “‐“ sign in the half angle 

 
  

sin





cos





formulas depends on the quadrant in which 





  

the angle    resides
...
 

 
  

Signs of Trig Functions 
By Quadrant 

  

 

 

  

tan



 

 

 

 

 

 








 



 
 

              sin +     
    sin + 
              cos ‐   
    cos + 
              tan ‐   
    tan + 
                                                              x 
              sin ‐     
    sin ‐ 
              cos ‐   
    cos + 
              tan +   
    tan – 
 
                                 y 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-13-

Trigonometry 
Key Angle Formulas (cont’d) 
 
Power Reducing Formulas 
 
  

sin



 



   

tan



 



  

 

 

cos



 



  

  



 
 

Product‐to‐Sum Formulas 
∙







 
 

∙







∙







 

∙







 

 

Sum‐to‐Product Formulas 


∙

∙

 



∙

∙

 



∙



 

∙
∙

 
∙

 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-14-

Trigonometry 
Key Angle Formulas (cont’d) 
 
 

Cofunctions 
Each trigonometric function has a cofunction with symmetric properties in Quadrant I
...
 
sin

cos 90°

   

cos

sin 90°

 

tan

cot 90°

   

cot

tan 90°

 

sec

csc 90°

   

csc

sec 90°

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

A
c

b

B

C

a

 

Law of Sines  (see above illustration) 
  















 

 

 
 
Pythagorean Identities  (for any angle θ) 
  

sin

cos

  

sec

1

tan

csc

1

cot

  











2

cos  

  









2

cos  

  









2

cos  

 

 

  

Law of Cosines  (see above illustration)

  

 

1 

 
Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-15-

Trigonometry 
Solving an Oblique Triangle 
Several methods exist to solve an oblique triangle, i
...
, a triangle with no right angle
...
  All methods require that the length of 
at least one side be provided
...
  Note that if 
two angle measures are provided, the measure of the third is determined (because the sum of all 
three angle measures must be 180˚)
...
 
 

Given Three Sides and no Angles (SSS) 
Given three segment lengths and no angle measures, do the following: 




Use the Law of Cosines to determine the measure of one angle
...
 
Subtract the sum of the measures of the two known angles from 180˚ to obtain the measure 
of the remaining angle
...
 
Use the Law of Sines to determine the measure of one of the two remaining angles
...
 

 
Given One Side and Two Angles (ASA or AAS) 
Given one segment length and the measures of two angles, do the following: 



Subtract the sum of the measures of the two known angles from 180˚ to obtain the measure 
of the remaining angle
...
 

 
Given Two Sides and an Angle not between Them (SSA) 
This is the Ambiguous Case
...
  The possibilities are discussed on the next several pages
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  It is possible that the given information will define a single triangle, two triangles, or even no 
triangle
...
  
Here are the possibilities: 

 
There are three cases in which  
Case 1:  


...
 

Case 2:  
  Produces one (right) triangle because   is exactly long enough to reach the 
base
...
 
Case 3:  
  Produces two triangles because   is the right size to reach the base in two 
places
...
 
There is only one case in which  
Case 4:  

 


...
 

 
Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-17-

Trigonometry 
Solving a Triangle (cont’d) 
Solving the Ambiguous Case (SSA) 
How do you solve the triangle in each of the cases discussed above
...
  Use the following steps: 
Step 1:  Calculate the sine of the missing angle (in this development, angle  )
...
  Stop here
...
  Proceed to Step 4
...
  Proceed to the next step to determine which
...
 

If  
, then we have Case 3 – two triangles
...
  Then, proceed to Step 4 and calculate the remaining values for each triangle
...
  Proceed to Step 4
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  At this point, we have the lengths of sides   and  , and the measures of Angles   
and 
...
   
180°

Step 4 is to calculate the measure of Angle   as follows: 

 

Step 5: Calculate 
...
  Note that in the case 
where there are two triangles, there is an Angle   in each
...
 

sin
⇒
 
sin
sin
sin
 

Ambiguous Case Flowchart 
Start Here

 
1

 

Value of
sin

1

Is

?

yes

 
no

1

 
 
 

Two triangles

 
 

 

Version 1
...

Steps 4 and 5, above

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
 
 
Formula 1:  The formula most familiar to the student can be used when the base and height of the 
triangle are either known or can be determined
...
  
 
 is the height of the triangle
...
  The height is the measure of the altitude of 
whichever side is selected as the base
...
  Sometimes this formula, though 
less appealing, can be very useful
...
 

Note:   is sometimes called the semi‐perimeter of the triangle
...
 

 

 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-20-

Trigonometry 
Area of a Triangle (cont’d) 

Trigonometric Formulas 
The following formulas for the area of a triangle come from trigonometry
...
 
,
,
,
Let the three points in the coordinate plane be:  ,
triangle is one half of the absolute value of the determinant below: 


∙




,


...
03






 













∙

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  First, let’s 
investigate the relationship between a point’s rectangular coordinates  ,  and its polar 
coordinates  ,
...
  
Generally, this angle is expressed in radians, not degrees
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  
If we express a complex number in rectangular coordinates as 
, we can also express it in 
polar coordinates as 
cos
sin , with  ∈ 0, 2
...
 

cos  

y‐coordinate:  

√

Angle:  

Convert Polar to Rectangular 

sin  

, you need to be careful to select the angle in the 

Operations on Complex Numbers in Polar Form 
cos

Another expression that may be useful is:  
as an exponential form of 
...
   Then, 
numbers
...
 
Division: 

cos

 



sin

 

So, to divide complex numbers, you divide their magnitudes and subtract their angles
...
 

Roots:   

 

√

√ cos

sin

            also, see “DeMoivre’s Theorem” below 

This results directly from the power rule if the exponent is a fraction
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
   
If we let  
page: 

cos

sin

, DeMoivre’s Theorem gives us the power rule expressed on the prior 
cos

3

Example 1:  Find 

sin

 

√7  
, we have  

3  and  

√7

4

 

First, since  

 

Then,  

 

And,  

tan

        6

√7
...
542° ~ 111
...
590°  in  Q II 

So, 

 

3

3

√7

4,096 ∙ cos 111
...
0

sin 111
...
9  

 
2

√5

Example 2:  Find 

 
2  and  

 

First, since  

, we have  

 

Then,  

 

And,  

tan

        5

√7
...
052° ~ 29
...
4

243 

So, 

 

3

221
...
052°

sin 29
...
0  
 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-24-

Trigonometry 
DeMoivre’s Theorem for Roots 
Let  

cos

sin


...
  Let’s call the roots:  ,
roots can be calculated as follows: 
2

√ ∙ cos



2

sin

, … ,

  Then, these 

 

The formula could also be restated with 2  replaced by 360° if this helps in the calculation
...
 
2  and  

, we have  

3
...
310°;   

       √

Fifth roots of 


Angle (

0 

√13 ~ 1
...
262° 

√

~

5 roots


...
 

       
√ ∙

) 


...
262° 

1
...
2524  

1 

11
...
738°

0
...
1275  

2 

60
...
738°

0
...
9492  

3 

132
...
738°

1
...
5408  

4 

204
...
738°

0
...
2835  

 Notice that if we add another 72°, we get 348
...
262° because 348
...
262°
...
  The “next 
angle” will always be equivalent to the first angle!  If it isn’t, go back and check your work
...
03

√13 ~ 1
...
 

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  The use of the sine function 
indicates that the large loop will be symmetric about the  ‐axis
...
  Let’s create a table of values and graph the equation: 
 

 

 

 

 

 

 

0 

2 

 

/6 

3 

7π/6

1

 

/3 

3
...
268

 

/2 

4 

3π/2

0

 

2 /3 

3
...
268 

 

5 /6 

3 

11 /6 

1 

2 

2  

2 

 

 

 

 

Generally, you  want to look at 
values of   in  0, 2
...
  The size of the interval 
depends largely on the nature of the 
function and the coefficient of 
...
 

 
 The portion of the graph 
above the x‐axis results 

 from   in Q1 and Q1, 
 where the sine function is 
positive
...
 
Orange points on the 
graph correspond to 
orange values in the table
...
 
 
The four Cardioid forms: 

 
 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-26-

Trigonometry 
Graphing Polar Equations – The Rose 
Example:  

This function is a rose
...
   

The number of petals on the rose depends on the value of 
...
   
 If   is an odd integer, it will have   petals
...
464 

2π/3

3
...
464 

5 /6 

3
...
  You could plot more 
points, but this interval is sufficient 
to establish the nature of the curve; 
so you can graph the rest easily
...
 

 
The values in the table 

 generate the points in the 
 two petals right of the  ‐axis
...
 

Blue points on the graph 
correspond to blue values 
in the table
...
 

 
The four Rose forms: 

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-27-

Trigonometry 
Vectors 
A vector is a quantity that has both magnitude and direction
...
  Another example would be the force of 10 kg weight being 
pulled toward the earth (a force you can feel if you are holding the weight)
...
  Unit vectors having the direction of the positive 
axes will be quite useful to us
...
 
Unit Vector 

Direction 

 

positive  ‐axis 

 

positive  ‐axis 

 

positive  ‐axis 

Graphical 
representation of 
unit vectors   and j 
in two dimensions
...
  If a vector’s 
, and its terminal point (ending position) is  ,
, then the 
initial point (starting position) is  ,
vector displaces  
  in the  ‐direction and displaces  
  in the  ‐direction
...
  The magnitude of a vector is determined as the length of the 
hypotenuse of a triangle with sides   and   using the Pythagorean Theorem
...
 
 
Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-28-

Trigonometry 
Vector Properties 
Vectors have a number of nice properties that make working with them both useful and relatively 
simple
...
  Then, 


If  



Then,  



If 

 and 



If 

, then 



Define   to be the zero vector (i
...
, it has zero length, so that 
vector is also called the null vector
...
  Note: the zero 

〈 , 〉
...
 

Properties of Vectors 


      

 
   




 

 

Additive Inverse 

 



Commutative Property 

  



 

Associative Property 

 

Associative Property 

 

Distributive Property 

 

Distributive Property 

 

 

Multiplicative Identity 

 

 

Magnitude Property 

 

 

Unit vector in the direction of   

 



 




Additive Identity 

 
1

 

 

 
Also, note that: 


‖



 
‖ ‖

‖

Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-29-

Trigonometry 
Vector Dot Product 
The Dot Product of two vectors, 

  and  
∙

, is defined as follows: 

∙

∙

 

It is important to note that the dot product is a scalar, not a vector
...
  A useful approach to calculating the dot 
product of two vectors is illustrated here: 
〈 ,

〉   

〈

〉     

,

    General

alternative 
vector 
notation

〈 ,

 

〉     

Example
〈4, 3〉   

∙ 〈2, 2〉 
    ∙ 〈 , 〉   
Take a look at the example at right
...
  The numbers in 
the each column are multiplied and the results are 
added to get the dot product
...
   

Properties of the Dot Product 
Let   be a scalar, and let u, v and w be vectors
...
03

0 and 

 and 

, then   and   are orthogonal (perpendicular)
...
 
∙
 
 
‖ ‖ ‖ ‖

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
  The formula 
used to determine the projection vector is: 
∙
 
   
‖ ‖

proj

v

∙
 is a scalar, and that proj
Notice that 
‖ ‖

In the diagram at right, v1

proj

v2
θ

 is a vector
...


 

Orthogonal Components of a Vector 
A vector,  , can be expressed as the sum of two orthogonal vectors   and  , as shown in the above 
diagram
...
  It is defined using vectors, as shown below
...
 



 



 be the vector from   to 
...
 

Then, we define work as: 
 

∙

 

‖ ‖

 
cos  

Both of these formulas are useful
...
 

 
 
Version 1
...
All Rights Reserved

10/03/2013

-31-

Trigonometry 
Vector Dot Product (cont’d) 
Vector Projection 
The projection of a vector,  , onto another vector  , is obtained using the dot product
...
 

v1

w


...
  The resulting vectors are: 
proj

 

∙
   
‖ ‖

     and   

  

 

 

Work 
Work is a scalar quantity in physics that measures the force exerted on an object over a particular 
distance
...
  Let: 


F be the force vector acting on an object, moving it from point   to point 
...
 
 be the angle between F and  


...
  
Which one you use in a particular 
situation depends on what 
information is available
...
03

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
03

Subject

Ambiguous Case for Oblique Triangles
Ambiguous Case for Oblique Triangles ‐ Flowchart
Angle Addition Formulas
Area of a Triangle
Geometry Formula
Heron's Formula
Trigonometric Formulas
Coordinate Geometry Formula
Cardioid
Cofunctions
Complex Numbers ‐ Operations in Polar Form
Complex Numbers in Polar Form
Components of Vectors
Conversion between Rectangular and Polar Coordinates
Cosecant Function
Cosine Function
Cotangent Function
Definitions of Trig Functions
DeMoivre's Theorem
DeMoivre's Theorem for Roots
Dot Product
Double Angle Formulas
Graphs of Basic Trig Functions
Half Angle Formulas
Heron's Formula
Inverse Trigonometric Functions
Definitions
Graphs
Primary Values
Ranges
Law of Cosines
Law of Sines
Oblique Triangle ‐ Methods to Solve
Operations on Complex Numbers in Polar Form
Orthogonal Components of a Vector
Polar Coordinates
Polar form of Complex Numbers in Polar Form

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV
...
03

Subject

Polar to Rectangular Coordinate Conversion
Power Reducing Formulas
Primary Values of Inverse Trigonometric Functions
Product‐to‐Sum Formulas
Projection of One Vector onto Another
Properties of Vectors
Pythagorean Identities
Rectangular to Polar Coordinate Conversion
Rose
Secant Function
Sine Function
SOH‐CAH‐TOA
Sum‐to‐Product Formulas
Tangent Function
Trig Function Values in Quadrants II, III, and IV
Trig Functions of Special Angles
Unit Circle
Unit Vectors ‐ i and j
Vectors
Special Unit Vectors ‐ i and j
Vector Components
Vector Properties
Dot Product
Vector Projection
Orthogonal Components of a Vector
Work

Copyright 2012-2013, Earl Whitney, Reno, NV

---